Применение банковских формул простых и сложных процентов при решении задач ЕГЭ экономического содержания

XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Применение банковских формул простых и сложных процентов при решении задач ЕГЭ экономического содержания

Воротнюк А.С. 1
1МКОУ ЗАТО Знаменск СОШ № 236
Потапова Е.А. 1
1МКОУ ЗАТО Знаменск Астраханской области СОШ № 236
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

В сентябре 2020 года мне исполнилось 14 лет, и я получил свой первый паспорт гражданина РФ. К этому возрасту у меня скопилась определенная сумма денег, которую я запланировал положить в банк под проценты с целью получения прибыли.

Понимая, что это дело важное и ответственное, что к нему нужно подходить основательно, я решил «подковаться» и изучить уроки финансовой грамотности на цифровом образовательном ресурсе «ЯКласс». В разделе «Как сберечь деньги с помощью депозитов» рассказывается о формулах простых и сложных процентов. Используя эти формулы, мною просчитана доходность разных вкладов в ведущих банках России. В результате я определился, в какой банк вложить свои деньги и какой вклад открыть.

Чуть позже мне попалась интересная задача, решенная с применением формулы сложных процентов. Изящество и гениальность приведенного решения поразили меня, ведь не зная этой формулы, пришлось бы выполнить огромное количество вычислений, занявшее много времени. Я узнал у своего учителя математики, что эти формулы не изучаются в школьном курсе математики. А пообщавшись с учащимися 10-11 классов, выяснил, что решение задач экономического содержания при подготовке к ЕГЭ по математике вызывают у многих из них затруднения, потому что приходится выполнять многочисленные вычислительные операции.

Все это обусловило проблему данного исследования, которая заключается в поиске оптимальных приемов и способов решения задач на проценты с учетом приобретенных мной новых знаний.

Главная цель исследования: научиться решать задачи экономического содержания,используя финансовые формулы простых и сложных процентов, найти для себя такие приемы и выработать такие практические навыки решения задач на проценты, которые в будущем помогут мне успешно подготовиться к сдаче ЕГЭ, в частности, раздела финансовой математики.

Гипотеза: используя формулы простых и сложных процентов, можно решать задачи экономического содержания легко и просто!

Задачи:

Познакомиться с основами финансовой грамотности, банковской системой и банковскими операциями с целью получения знаний, способствующих сохранению и преумножению вложенного мной капитала;

Изучить формулы простых и сложных процентов, с их помощью провести анализ вкладов, предлагаемых ведущими банками России, на предмет сохранения и получения максимальной прибыли;

Выработать алгоритм решения задач экономического содержания с применением банковских формул и продемонстрировать его учащимся моей школы;

Наглядно показать, как работать с этим алгоритмом при решении задач экономического содержания, определить способы и приемы их решения;

Подобрать тренировочные задания для отработки изученных приемов с целью приобретения практических навыков.

Предмет исследования: задачи экономического содержания (на проценты) в заданиях ЕГЭ.

Объект исследования: методы и приемы решения задач экономического содержания.

Методы исследования: математический; изучение, анализ и обобщение первичной информации; систематизация, классификация и обобщение.

ГЛАВА 1. Литературный обзор источников информации

Прежде чем приступить к практической части своей работы, мне необходимо было получить теоретические знания.

Для этого на цифровом образовательном интернет-ресурсе «ЯКласс» мною изучен курс «Основы финансовой грамотности» для учащихся 7‑9 классов [9]. Большая часть уроков курса опирается на учебное пособие доктора экономических наук Игоря Липсица и магистра экономики Ольги Рязановой «Финансовая грамотность» серии «Учимся разумному финансовому поведению». Из этого курса я узнал, что такое банковская система, виды финансовых организаций и банковских услуг, выяснил, в чем польза и риск банковских карт, познакомился с их разновидностями, понял, что такое налоги, почему их нужно платить [3]. Кроме того, я узнал, какие финансовые риски существуют, что такое финансовая пирамида и какие виртуальные ловушки подстерегают нас в настоящее время. Также я выяснил, что такое кредит, какие виды кредитования бывают, чем опасны микрокредиты. Особенно меня заинтересовала глава курса «Как сберечь деньги с помощью депозитов», ведь намерение открыть вклад в банке с целью сохранения и преумножения накопленного мной капитала и стало толчком к данному исследованию. Именно в этой главе я впервые узнал о формулах простых и сложных процентов [9].

На следующем этапе работы мною изучены первые три главы учебного пособия кандидата технических наук, заведующего кафедрой Высшей математики Московского финансово-промышленного университета «Синергия» Равгата Хамидуллина «Финансовая математика» [7]. В первой главе пособия я познакомился с основными терминами финансовой математики: понятиями процента, арифметической и геометрической прогрессии и их применением в простейших финансовых задачах. Вторая глава пособия посвящена простым процентам и формулам, по которым они начисляются. Третья глава посвящена формулам сложных процентов. Интересно то, что автор закон сложного процента выводит на основе простого. В конце второй и третьей главы приведено большое количество примеров финансовых и жизненных задач, иллюстрирующих обоснованность применения формул простых и сложных процентов, а также даются контрольные вопросы и задания для закрепления изученного материала.

Второй блок литературы, использованный мной в исследовательской работе, составляют реальные задачи экономического содержания. В частности мне очень помогла учебно-методическая разработка автора-создателя образовательного портала РЕШУ ЕГЭ Д.Д. Гущина «Встречи с финансовой математикой». Книга учит строить математические модели экономических ситуаций, исследовать эти модели, получать и понимать полученные выводы. [1] Также мною изучены и использованы в работе задачи из сборников для подготовки к профильному уровню математики под редакцией Ивана Ященко 2015, 2020 и 2021 годов [4], [5], [6].

Вывод: тщательно подобранные литературные источники помогли мне приобрести новые знания в области финансовой грамотности, изучить основные финансовые термины и формулы, рассмотреть примеры решения задач с применением этих формул, и теперь я готов приступить к практической части своего исследования.

ГЛАВА 2. Основные термины и формулы

Банковский вклад – это денежные средства, размещённые в банке на определённый срок или бессрочно и под определённый процент.

Вкладчик – лицо, помещающее денежные средства на вклад, стремясь сохранить и приумножить свои накопления.

Основные характеристики банковских вкладов:

срок вклада – это период, в течение которого деньги будут храниться на депозитном счете в банке;

сумма вклада – это деньги, переданные банку с целью получения дохода в виде процентов, полученных в ходе финансовых операций с вкладом;

процентная ставка – прибыль в виде процентов, которую выплачивает банк вкладчику за пользование его деньгами.

Современную жизнь нельзя представить без понятия «процент». Оно является базовым понятием финансовой математики.

Процент – это одна сотая часть какой-либо величины, числа. Обозначается процент символом «. Одна сотая доля числа Х называется одним процентом от числа X: 1% = 0,01X.

При рассмотрении вариантов вложения средств на вклад необходимо рассчитать доход, который будет получен по окончании срока действия вклада. Для этого существуют две финансовые формулы. Рассмотрим каждую из них.

Формула простых процентов:

или (1), где

– первоначальная сумма вклада,

– сумма вклада вместе с прибылью, начисленной по процентам,

– процентная ставка по вкладу,

– количество начислений в заданный срок (кварталов, лет и др.).

Формула простых процентов применяется в том случае, если прибыль по вкладу начисляется на первоначальную сумму вклада в течение всего срока действия договора. При этом сумма накопленных процентов по вкладу прибавляется к нему только по истечении срока его действия или вообще поступает на отдельный счёт. Схема вклада выглядит так:

Формула сложных процентов:

(2), при постоянной процентной ставке

 (3), при различной процентной ставке

Формула сложных процентов применяется в том случае, если сумма начисленных процентов каждый раз поступает не на отдельный счёт, а на счёт вклада. Так, после каждого начисления процентов сумма вклада увеличивается, и в новом периоде процент начисляется на новую (увеличенную) сумму. Такой процесс называется капитализацией вклада. Схема вклада выглядит так:

Выводы:

Вклад, рассчитанный по формуле простых процентов, подходит тем, кто хочет в течение всего срока вклада снимать со счета начисленные проценты и использовать по своему усмотрению, но доходность такого вклада ниже, чем при капитализации вклада (по формуле сложных процентов);

Прибыль при капитализации вклада нельзя снять до окончания срока договора по вкладу, а в случае необходимости это сделать, банк пересчитает прибыль по меньшей процентной ставке;

Прежде чем принять решение по вложению средств по одному из двух видов вклада, нужно оценить конкретную финансовую и жизненную ситуацию, учитывая цели и сроки вклада.

ГЛАВА 3. Практическая часть

Анализ вкладов в ведущих банках России

Чтобы выбрать банк для вложения своих накоплений, я обратился за информацией к независимому интернет-холдингу BANKI.RU [8]. В разделе «Рейтинг банков» представлен рейтинг финансовых организаций по ключевым показателям деятельности, рассчитанным с использованием отчетности этих организаций и опубликованным на сайте Центрального Банка России. Самыми надежными банками оказались: ПАО Сбербанк, ПАО Банк ВТБ, АО ГазпромБанк, АО Альфа-Банк, так как они занимают четыре верхние строчки рейтинговой таблицы.

Подбирая вклад в этих банках, я учитывал следующие условия:

- минимальная сумма вклада не более 50000 рублей (т.к. у меня была именно эта сумма денег);

- срок вклада не менее 3 лет (т.к. в ближайшие три года эти деньги мне точно не понадобятся);

- без пополнения и снятия в течение всего срока вклада, чтобы можно было выбрать между снятием процентов или их капитализацией (т.к. при возможности пополнения или снятия далеко не все банки предлагают варианты вклада со снятием/капитализацией процентов).

Результаты своих расчетов я представил в виде таблицы 1 «Накопительные вклады в крупных банках России на 1 ноября 2020 г.», указав наименование банка, сумму и срок вклада, процентную ставку при снятии и капитализации процентов, полный расчет и доходность по истечении срока договора.

В графе «Расчет» верхняя строка посчитана по формуле (1) – простых процентов, а нижняя строка по формуле (2) – сложных процентов с постоянным приростом. Расчет суммы прироста производил со знаком «+», так как цель вклада в банк – сохранение и преумножение дохода, поэтому вклад уменьшиться не должен.

Таблица 1

Накопительные вклады в крупных банках России на 1 ноября 2020 г.

п/п

Банк

Сумма

вклада,

руб.

Срок,


лет

Название

вклада

% ставка

снятие/

капита-лизация,

%

Расчет

формула простых %/ формула сложных %,

руб.

Доход,

в руб.

 

ПАО

Сбербанк

50 тысяч

3

«Сохраняй Онлайн»

2,8

50000 (1+0,028 3)=54200

4200

2,8

50000 (1+0,028)3=54318

4318

 

ПАО

Банк ВТБ

Накопительный счет

«Копилка»

4,1

50000 (1+0,041 3)=56150

6150

4,1

50000 (1+0,041)3=56405

6405

 

АО

Газпром-

Банк

«Газпромбанк –

на жизнь»

3,4

50000 (1+0,034 3)=55100

5100

3,57

50000 (1+0,0357)3=55548

5548

 

АО

Альфа-

Банк

«Накопительный

Альфа-Счет»

4,0

50000 (1+0,04 3)=56000

6000

4,24

50000 (1+0,0424)3=56633

6633

Вывод: наиболее доходным является вклад «Накопительный Альфа‑Счет» в Альфа-Банке под процентную годовую ставку 4,24% сроком на 3 года с капитализацией процентов. Он оказался самым подходящим для меня, так как до окончания школы и поступления в ВУЗ у меня есть более трех лет, а я нахожусь на полном обеспечении своих родителей, так что эти деньги в ближайшее время мне не понадобятся. Кроме того я выяснил, что закрыть этот счет самостоятельно я могу только после того, как мне исполнится 18 лет, а это значит, что, чтобы не терять проценты, вклад можно открыть сразу на 4 года.

Применение формул простых и сложных процентов

при решении задач экономического содержания

Я решил сам придумать задачу с экономическим содержанием и решить ее при помощи формулы сложных процентов (2).

Авторская задача

Первый банк в России был открыт 13 мая 1754 года в Петербурге по Указу императрицы Елизаветы Петровны. Представим, что бедный крестьянин положил под 10% годовых с капитализацией вклада 1 копейку (медную денгу). Рассчитайте, сколько бы денег было у него на счету 13 мая 2020 года.

Средняя стоимость операции для ребёнка с врождённым пороком сердца в России составляет 200000 рублей. Скольким детям можно провести такую операцию на накопленные крестьянином деньги?

Решение:

Дано: S0 = 0,01 руб, i= 10% = 0,1, n = 2020 – 1754 = 266 (лет)

Найти: S

- формула сложных процентов при постоянном приросте.

1). Найдем, какая сумма будет у крестьянина на счету через 266 лет:

≈ 1024363870(руб.)

2). Найдем, скольким детям можно провести операцию:

Ответ: 1024363870 рублей, 5121 ребёнку.

Примечание: в 266-ую степень я возвел с помощью калькулятора, так как тема логарифмов изучается в старших классах. Ведь моей целью было понять – применима ли эта формула в математике при решении задач экономического содержания.

Разобрав большое количество задач на проценты, проанализировав приемы и пути их решения, я заметил общую закономерность и составил для себя алгоритм решения таких задач, которую успешно стал применять.

А лгоритм решения задач экономического содержания

На практике этот алгоритм я применяю так.

Задача 1 (Ю.В. Лепехин, 1996 г., № 785) [2]

Цех в целом увеличил за год выпуск продукции на 34%, причем 20% рабочих увеличили выпуск продукции на 50%. На сколько процентов увеличили выпуск продукции остальные рабочие цеха?

Решение: 1. Представляю краткую запись в виде таблицы с применением формулы (1) простых процентов, так как действие происходит однократно:

 

Количество рабочих

Производительность каждого

Производительность общая

1 группа

0,2х

у(1+0,5)

0,2х 1,5у

2 группа

0,8х

у(1+0,01 )

0,8ху(1+0,01 )

Всего

х

у

ху(1 0,34)

2. Записываю уравнение и выражаю неизвестное – i,решаю его:

0,3ху+0,8ху(1+0,01 )=1,34ху | ÷ ху

0,3+0,8+0,008=1,34

0,008 =0,24

=30

Ответ: остальные рабочие увеличили выпуск продукции на 30%.

Надо заметить, что часто в задаче приходится применять сразу несколько формул. Чтобы понять, какие именно, задачу надо разбить на части, а потом к каждой части задать вопросы из данного алгоритма. Умело скомбинированные формулы помогают красиво выстроить решение задачи, а вычисления становятся простыми и понятными.

Задача 2 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2020, стр. 158) [5]

По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 11% в первый год и на одинаковое целое число i процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение i, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение: 1. Представляю краткую запись в виде таблицы:

 

S0

n

i1

i2

i3

Вклад «А»

S0

3

20%

Вклад «Б»

S0

3

11%

i %

2. Записываю сумму вклада через 3 года для вклада «А» и вклада «Б»:

Вклад «А»: - по формуле (2) при постоянном приросте

Вклад «Б»: - комбинацияформул (2) и (3) при постоянном и различном приросте

3. Составляю неравенство и решаю его:

Ответ: вклад «Б» выгоднее вклада «А» приi= 25%.

Задача 3 (Ю.В. Лепехин, 1996 г., № 786) [2]

Цену товара сначала повысили на 50%, потом еще повысили на после чего цену снизили на 50% и, наконец, повысили на 25%. В результате установилась цена 255 рублей. Чему равна первоначальная цена товара?

Решение: 1.Записываю условие задачи:

Дано: S = 255 руб. n = 4, i1= 50% = 0,5 i2= 6,25% = 0,0625

i3= 50% = 0,5i4= 25% = 0,25

Найти: S0

Примечание: если в задаче говорится о повышении процентов (производительности труда, концентрации раствора, стоимости товара, ставки по вкладу или кредиту), то внутри скобки в формуле ставится «+», а, если о снижении, то ставится «–».

2. Применив формулу (3) сложных процентов с различным приростом, записываю уравнение, выражаю S0и произвожу вычисления:

S0(1 + 0,5)(1 + 0,0625)(1 – 0,5)(1 + 0,25) = 255

1,5 1,06250,5 1,25S0= 255

S0 = 256

Ответ: первоначальная стоимость товара составляла 256 рублей.

Задача 4 (Гущин Д.Д., 2016 г., стр. 32, № 7) [1]

Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 3 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810000 рублей?

Решение:

1.Записываю условие задачи:

Дано: i= 20% = 0,2 Sпл= 810000 руб. Найти: S0= х

Найти: S0

Представляю краткую запись в виде таблицы с применением формулы (1) простых процентов, так как остаток долга на конец каждого года буду считать отдельно:

 

Долг после

начисления %, руб.

Сумма

платежа (S0),

руб.

Долг после внесения платежа, руб.

1 год

1,2х

S0

1,2х - Sпл

2 год

1,2(1,2х - Sпл)

1,2² х - 1,2Sпл - Sпл

3 год

1,2(1,2² х - 1,2Sпл - Sпл)

1,23х - 1,2²Sпл - 1,2Sпл - Sпл

2. Так как долг после внесения третьего платежа полностью погашен, то можно составить уравнение:

1,23х - 1,2²Sпл - 1,2Sпл - Sпл = 0

1,23х - Sпл(1,2² + 1,2 + 1) = 0

1,23х = Sпл(1,2² + 1,2 + 1)

х =

х =

х = 1706250

Ответ: банк может предоставить кредит в размере 1706250 рублей.

В Приложении 1 к исследовательской работе мною подобраны тренировочные задания для отработки приемов решения задач на проценты: от простых к более сложным. При их выполнении очень хорошо помогает данный алгоритм.

Вывод: использование алгоритма решения задач экономического содержания с применением финансовых формул простых и сложных процентов позволяет мне лучше понять текст задачи, упрощает ее решение, так как не приходится выполнять сложных вычислений, а значит, существенно сокращается время на выполнение задания.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя общий итог своей работы, я пришел к выводу, что моя гипотеза подтвердилась полностью: используя формулы простых и сложных процентов, можно решать задачи экономического содержания легко и просто!

Свое исследование по данной теме я проводил более девяти месяцев, за это время мне удалось не только повысить уровень своих знаний в области финансовой грамотности, но и заложить предпосылки для успешной сдачи ЕГЭ по математике в будущем, научившись решать самые сложные экономические задачи. В этом и заключается практическая значимость моей работы.

Созданный мной алгоритм я продемонстрировал учащимся нашей школы, ребята заинтересовались им. Поэтому у меня появилась идея записать видеоразборы нескольких задач на проценты из сборников для подготовки к ЕГЭ в качестве дополнительной помощи и для лучшего понимании решения задач экономического содержания с помощью «волшебных» финансовых формул. Познакомиться с ними можно на моем YouTube-канале, пройдя по одной из этих ссылок:

https://youtu.be/C9nIS4tXLw0

https://youtu.be/aeO7yHbf0LU

Ну и, конечно, я хочу выразить благодарность тем людям, которые эти формулы придумали, несмотря на то, что мне не удалось узнать их имен.

Источники информации:

1. Гущин Д.Д. Встречи с финансовой математикой. Учебно-методическая разработка. – С-П: Издательский дом «Учительская газета» - 2016, 34 с.

2. Лепехин Ю. В. Почти просто! Задачи по алгебре и началам анализа. - Волгоград: Перемена. - 1996 г.

3. Липсиц И.В., Рязанова О.И. Финансовая грамотность. Материалы для учащихся. 8-9 классы. Серия: Учимся разумному финансовому поведению. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2016 г. – 352 с.

4. Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ. 4000 задач с ответами по математике. Базовый и профильный уровни. Все задания. «Закрытый сегмент». – М.: «Экзамен», 2015 г. – 688 с.

5. Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Серия «ЕГЭ. 50 вариантов. Тесты от разработчиков». – М.: «Экзамен», МЦНМО, 2020 г. – 231 с.

6. Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ 2021. Математика. Профильный уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ЕГЭ. Серия «ЕГЭ. 50 вариантов. Тесты от разработчиков». – М.: «Экзамен», МЦНМО, 2021 г. – 231 с.

7. Хамидуллин Р.Я. Финансовая математика. Учебное пособие. – М.: Издательский дом, 2019 г. – 220 с.

8. Независимый интернет-холдинг BANKI.RU – Режим доступа: https://www.banki.ru/banks/ratings/

9. Образовательный интернет-ресурс «ЯКласс» - Режим доступа: https://dnevnik.ru/ad/promo/yaklass?utm_source=dnevnik&utm_medium=appcentet&utm_content=appcenter#%2Fp%2Fosnovy-finansovoj-gramotnosti%2F7-9-klass

Приложение 1

Задача 1 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2015, стр. 19) [4]

Цена на электрический чайник была повышена на 19% и составила 1785 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Подсказка: (известно S и i, найти S0, применяем формулу (1))

Ответ: 1500 рублей.

Задача 2 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2015, стр. 24) [4]

Пирожок в кулинарии стоит 12 рублей. При покупке более 30 пирожков продавец делает скидку 5% от стоимости всей покупки. Покупатель купил 40 пирожков. Сколько рублей он заплатил за покупку?

Подсказка: (известно S0 и i, найти S, применяем формулу (1))

Ответ: 456 рублей.

Задача 3 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2015, стр. 20) [4]

Клиент взял в банке кредит 24000 рублей на год под 9% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

Подсказка: (известно S0 и i, найти сначала S, применяем формулу (1))

Ответ: 2180 рублей.

Задача 4 (ЯКласс, олимпиада по фин. грамотности, 8 класс, 2 тур) [9]

Плата за квартиру, в которой проживает семья Саши на протяжении двух лет, повышалась на один и тот же процент. Определи, на какой процент повышалась стоимость квартплаты каждый год, если её первоначальная величина равнялась 4000 рублей, а через 2 года уже составила 4840 рублей.

Подсказка: (известно S0, S и n, найти i, применяем формулу (2))

Ответ: на 10 процентов.

Задача 5 (ЯКласс, олимпиада по фин. грамотности, 8 класс, 2 тур) [9]

Сашин папа купил новую машину за 489700 руб. Предположим, машина будет обесцениваться (амортизироваться) на 18% в год. Определи в таком случае стоимость автомобиля спустя 6 лет. Ответ округлите до целого числа.

Подсказка: (известно S0, iи n, найтиS, применяем формулу (2))

Ответ: 148872 рубля.

Задача 6 (Гущин Д.Д., 2016 г., стр. 29, № 11) [1]

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рубля.

Подсказка: (известно S0, S и n, найти i, применяем формулу (2))

Ответ: на 11 процентов.

Задача 7 (Ю.В. Лепехин, 1996 г., № 822) [2]

Цена товара повысилась на р%, затем снизилась на 50%, потом повысилась в 2 раза и, наконец, снизилась на р%. В результате цена составила 93,75% начальной стоимости. Чему равен р?

Подсказка: (известно S0, S и n, найти i, применяем формулу (3))

Ответ: 25 процентов.

Задача 8 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2021, стр. 32) [6]

31 декабря 2016 года Сергей взял в банке 2648000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Подсказка: (известно S0, i и n, найти Sплатежа, рассчитываем для каждого года отдельно и последовательно, применяя формулу (1))

Ответ: 1064800 рублей.

Задача 9 (Под ред. Ященко И.В. ЕГЭ-2021, стр. 147) [6]

По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивать эту сумму на 9% в первый год и на одинаковое целое число i процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее целое значение i, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Подсказка: (известно S0и n, S1<S2, найти i, для вклада «А» применяем формулу (2), для вклада «Б» комбинируем формулу (2) и (3), составляем неравенство и выражаемi)

Ответ: 12 процентов.

Задача 10(Гущин Д.Д., 2016 г., стр. 32, № 7) [1]

Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 5 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810000 рублей? Ответ округлите до целого числа (в меньшую сторону).

Подсказка: (известноSплатежа, i и n, найти S0, рассчитываем для каждого года отдельно и последовательно, применяя формулу (1))

Ответ: 2422395 рублей.

Просмотров работы: 230