XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Измерение площади разных фигур на клетчатой бумаге

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Еремина К.И. 1Клопова В.Е. 1

---

1город Кемерово МБОУ "ООШ" № 39

Панасенко О.И. 1

---

1учитель математики

Работа в формате PDF

1.5 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. Богатым источником таких задач служат различные олимпиады – школьные, городские, дистанционные, международные. Готовясь к олимпиадам, мы рассмотрели множество разноплановых заданий и выделили группу задач, подход к решению которых нам показался интересным и оригинальным. Это задачи на клетчатой бумаге. У нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.

Казалось бы что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листе бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приемов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании. Проводя исследование, мы выяснили, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет нам быстрее справиться с заданиями.

Актуальность этой работы, заключается в разъяснении решения задач, на измерение площади фигур с помощью клетчатой бумаги, а также применение данного вида исследования в жизни, а именно измерение площади материков, рек, океанов и т. д.

Цель исследования заключается в изучение приёмов и методов решения задачна клетчатой бумаге и исследовании гипотезы, как отдельного метода решения этих задач.

Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

Отобрать необходимую литератур для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

Проанализировать и систематизировать полученную информацию

Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

Проверить достоверность гипотезы.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации,доказательство собственной гипотезы.

Гипотеза: С помощью формулы Пика можно найти площадь любой без форменной фигуры, даже узнать площадь нашего города.

Задачи на бумаге в клетку помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.

Глава I. Виды и способы измерения площади многоугольниковна клетчатой бумаге.

Когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше. Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости.

Если посмотреть с современной точки зрения, то для чего людям нужно измерение площадей фигур именно на клетчатой бумаге?

Допустим, вы решили арендовать магазин и если он квадратной или прямоугольной формы, то вычисление площади данных фигур не составит ни какого труда. А вот измерение площади фигуры другой формы, особенно не выпуклого многоугольника приведет вас в безысходное положение.

Подобная проблема возникает, если вы хотите измерить площадь вашей квартиры или дачного участка, материка, поля изображенного на плане.

Вот именно для этого мы сегодня с вами познакомимся с различными способами измерения площадей фигур на клетчатой бумаге.

Существуют 5 способов вычисления таких площадей:

Измерение площади фигуры с помощью подсчета клеток;

С помощью формул площадей планиметрии;

Разбиение фигуры на несколько других;

Достроение фигуры до прямоугольника;

С помощью формулы Пика;

Теперь мы подробно рассмотрим каждый из них:

Для того чтобы четко представлять, как использовать способ измерения площади фигуры с помощью подсчета клеток рассмотрим задачу1.

Задача 1: Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1(Рисунок 1).

Рисунок 1

Решение:Для того чтобы вычислить площадь этой фигуры нам сначала надо посчитать количество целых клеток. Как видно по Рисунку 2 их количество равно 6. А затем посчитать количество не целых клеток, если быть точнее, то половинок нашего треугольника и видно, что их тоже 6.

Рисунок 2

_{Затем мы можем вычислить площадь этого треугольника:}

Ответ: 9 кв. ед.

Заметим, что хоть данный способ и является простым в использовании, но только к тем фигурам, которые на клетчатой бумаге располагаются таким образом, что можно посчитать как количество целых, так и половинок клеток, находящихся внутри фигуры. Если же будет изображена фигура иного характера, то вычислить ее площадь таким способом мы не сможем.

Второй способ также прост в использование, как и первый, только вданном случае нам требуется знать все формулы площадей известных нам фигур в планиметрии.

Конечно мы пока знакомы не со всеми в 5 классе, однако узнали, что площадь трапеции выражается следующей формулой: , площадь прямоугольного треугольника: , параллелограмма: и т. д. Для того, чтобы понять, как использовать эти формулы на клетчатой бумаге рассмотрим задачу 2.

Задача 2: Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 (рисунок 3).

Рисунок 3

Р ешение:Так как нам дана трапеция, мы применим формулу площади планиметрии для ее нахождения

По рисунку 3 видно, что ВС=а=2

AD=b=4

Рисунок 4

Осталось найти h, чтобы подставить в исходную формулу. Для этого нарисуем ее на бумаге: как видно на рисунке 4: h=BH=3. Тогда площадь данной трапеции равна: .

Ответ: 9 кв. ед.

Но данный способ нельзя использовать, если нам даны такие фигуры (Рисунок 5, Рисунок 6), поэтому мы приступили к изучению следующих способов измерения площади фигуры на клетчатой бумаге.

Рисунок 5 Рисунок 6

Третий способ называется: «Разбиение фигур на несколько других», т. е. мы разбиваем известную нам в планиметрии фигуру на 2, 3, и т. д., площадь которых мы уже можем найти либо по первому, либо по второму способу вычисления площади на клетчатой бумаге.

Рассмотрим задачу:

Задача 3: Найдите площадь четырехугольникаABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 (рисунок 7).

Рисунок 7

Решение:В этой задаче мы не можем ни посчитать количество клеточек у фигуры, ни вычислить ее площадь с помощью формулы, поэтому мы разобьем эту фигуру на 2 другие, а именно на 2 треугольника (рисунок 8)

Рисунок 8

Так как показано на рисунке

Сначала рассмотрим , площадь которого равна: , где, а=АС – основание, h=ВН – высота треугольника. Они соответственно равны: а=9, h=4. Откуда следует, что .

Теперь рассмотрим : АС=а – основание, DH=h – высота, а значит .

Для решения поставленной задачи нам осталось найти сумму двух этих площадей, т. е. = .

Ответ: кв. ед.

Нетрудно заметить, что данное разбиение не единственно, вы можете сами разделить вашу фигуру на те части, которые вам удобно.

Чаще всего ученики в замену этому способу вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге выбирают другой, похожий на него, а именно четвертый.

Данный способ применяется в том случае, как и третий, когда мы не можем использовать первые два. Так как он представляет собой достроение фигуры до прямоугольника, значит, нам в первую очередь нужно знать площадь прямоугольника: . А во-вторых, чтобы понять схему использования данного способа рассмотрим задачу:

Задача 4: Найдите площадь четырехугольникаABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 (рисунок 7).

Решение:Как видно по условию, мы будем находить площадь того же четырехугольника, что и в способе 3. Достроим его до прямоугольника, как показано на рисунке 9.

Н

_{Рисунок 9}

айдем площадь желтого прямоугольника, видно, что a=7, b=9, тогда . Затем, чтобы найти интересующую нас площадь S, нужно из площади прямоугольника вычисть площади: , , , . Все треугольники прямоугольные, поэтому мы будем использовать

площадь

3) 4) 5)

₆₎

Ответ: кв. ед

Видно по задаче 4 что, мы получили такой же ответ, как и в задаче 3, только другим способом. Значит ученики, подходя к такому типу задач, могут выбирать каким способом им удобно их решать.

Глава II. Измерение площади Различных фигур с помощью формулы Пика на клетчатой бумаге.

Мы считаем настоящей жемчужиной нашего исследования формулу Пика!

Н

Рисунок10

а нашей клетчатой бумаге линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток – узлы этой сетки.

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов

на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов – 4 граничных не угловых узла – половину клетки, а каждая из угловых точек – четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна

S = В + + 4 · = В + - 1.

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + - 1.

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников!Это и есть формула Пика.

Нам стало интересно, а могут ли ребята нашего и других классов найти площадь любой без форменной фигуры и вообще знают ли они о таком измерителе, как палетка. Был проведен следующий эксперимент:

Ребята 5-го,6-го и 7-го классов прошли тест, ответив на вопросы, связанные с площадью фигур (приложение 1). Затем мы нашли рисунки в интернете (их было 2- по вариантам) и добавили их к тесту, что бы узнать смогут ли они найти площадь данного мороженного или героя мультика –Пикачу.И на последний вопрос где нужно было выяснить какую формулу использовать для нахождения площади нарисованной картинки, некоторые дети конечно понимали, что это не площадь прямоугольника, либо квадрата, однако ответом выбрали вариант «я не знаю». Несколько детей 5 класса вспомнили про палетку, так как встречались с ней в 4 классе.

Тогда мы им показали как воспользоваться формулой Пика. Посчитали количество узлов, лежащих на границы фигуры и количество узлов, лежащих внутри фигуры и тогда одноклассники смогли справиться с этой задачей, хоть и не все, так как погрешность в расчетах все таки существует. После чего мы провели анализработы детей (приложение 2).

Вывод: После проведения эксперимента стало понятно, что использование такого метода расчета площади далек от учеников нашей школы, однако этот метод мог бы им пригодиться не только прирешении задач на уроках математики, но и в жизни. Например измерить площадь своей квартиры на плане, участка земли, и не только, а даже площади городов, стран и материков, используя атлас.

Этим мы и занялись. Мы нашли в интернете сведения о площади таких материков как, Австралия, Южная Америка, Евразия. Ну и конечно не забыли про наш любимый город Кемерово. Взяли свои атласы, с которыми работаем на уроках географии и начали работу. Для этого нам понадобились знания о масштабе.

Масштаб –это отношение длины линий на карте или чертеже к действительной длине линий на местности. Например, масштаб 1:100000 означает, что линия в 1 см на карте или чертеже соответствует линии в 1 км на местности, так как в 1 км – 100000 см, а 1см²=1*1=1км²

Мы видим что данные которые известны всем в общем доступе сети интернет, отличаются с теми которые мы получили где то в среднем с погрешностью в 100000 км², а на карте это очень маленькая величина, однако это происходит из за рельефа материков и городов, они очень неровные. Но все же это достаточно близкий результат, благодаря чему мы можем сделать вывод:

Формулу Пика можно использовать в решении таки задач, это удобно, так как не трудно посчитать количество узлов, лежащих внутри фигуры, и количество узлов на ее границе.

Этот выводпоказал нам, что наша гипотеза верна! Мы можем использовать на практике и в жизни данные способыизмерения площади фигур на клетчатой бумаге.

Заключение.

В процессе исследования мы изучили много справочной, научно-популярной литературы, побывали на сайтах. Рассмотрели и решили множество задач на нахождение площади фигур.

В результате произведенной работы мы расширили свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определили для себя классификацию исследуемых задач, убедились в их многообразии.

В данной работе была достигнута поставленная цель и решены все задачи, а также проведены несколько экспериментов для доказательства гипотезы.

Раскрытие этой темы, которая нас так захватила и заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Мы затронули только одно направление: Измерили площади материков и городов. Поэтому в дальнейшем решили продолжить работу в этом направлении: найти другие направления и решение этих задач. Следующим этапом нашей работы будет исследование таких задач и составление своих.

Список используемой литературы

1. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

2. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ. Режим доступа:http://mmmf.msu.ru/archive/20082009/KanunnikovKuznetsov/2.html

3. Болотин И. Б., Добрышина Л. Ф. Смоленские математические олимпиады школьников (готовимся к ЕГЭ). Смол.гос. ун-т; Смоленск: СмолГУ, 2008.

4. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011.Режим доступа:http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=32

5. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

6. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010.

7. Трошин В. В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. – М.: Глобус, 2008.

8. Атлас по географии 5-7 классы

Приложение 1

Тест – опрос для учащихся школы

1)Как измерить площадь прямоугольника? назовите формулу

а) S=(а+в) *2 ;б) S= a * b; в) S= a + b.

2) Как измерить площадь квадрата?

а ) а * а ; б) S= a + b ; в)S= a *a *2

3)С помощью чего можно измерить этот рисунок?

а) С помощью линейки б) Никак в) С помощью палетки

4) Назовите формулу измерения этого рисунка?

а) Не знаю б) Другой вариант в) S=a*b

Приложение 2

Результаты опроса

Приложение 3 Работа над исследованием

Австралия

Евразия

Приложение 4

Город Кемерово