XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Приближенные вычисления в инженерных задачах (от простого к сложному)
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Однажды мне довелось наблюдать за работой опытного инженера. Делая чертеж какого-то замысловатого устройства, он постоянно что-то считал. Причем считал много, и без привычных нам «столбиков» и «уголков», и без калькулятора. Иногда на черновичке появлялась строчка промежуточных цифр и, после небольшой паузы, сразу появлялся результат. Я поняла – человек просто считает «в уме». Заинтересовавшись темой устных вычислений, я попыталась найти на просторах интернета методику таких вычислений.
Разных пособий по математике с изложением вычислительных приемов оказалось много, особенно с изложением приемов устного счета [1 - 6]. Эти пособия в основном ориентированы на широкий круг читателей, разных по возрасту и профессиональной деятельности. Даже просто запомнить этот объемный перечень правил устного счета обычному человеку довольно сложно. Обычно всеми этими правилами владеют либо преподаватели математики, либо отдельные любители устных вычислений.
Актуальность данной работы связана с востребованностью техники приближенных вычислений при решении инженерных (технических) задач.
Цель работы – создать набор правил, позволяющих устно либо вручную, без калькулятора быстро производить приближенные вычисления от простых арифметических до тригонометрических и логарифмирования.
Для достижения цели сформулированы следующие задачи:
Провести анализ приемов устного счета и выбрать ограничения на количество значащих цифр аргументов для вычислений с точностью около 1%;
Сформулировать правила применения техники устного счета при выполнении основных математических операций с вещественными числами;
Изложить особенности приближенных вычислений с тригонометрическими функциями и логарифмами.
Приемы приближенного выполнения основных математических операций могут быть полезны учащимся старших классов и студентам технических вузов.
1. Точные операции с натуральными числами до четырех знаков
Для решения инженерно-технических задач не требуется высокой точности вычислений. Обычно бывает достаточно двух-трех верных знаков.
Однако, чтобы их получить, нужно освоить приемы точного выполнения арифметических операций в диапазоне 4-значных чисел. Главные принципы для упрощения вычислений заключаются в следующем:
Разделение операций на прямые (сложение, умножение) и обратные (вычитание, деление);
Выделение чисел, удобных для выполнения устных вычислений;
Выполнение операций от старшего разряда к младшему.
1.1. Удобные числа и формулы сокращенного умножения
Устное сложение и вычитание чисел в 4-значном диапазоне обычно затруднений не вызывает. Операции выполняются на основе формул сокращенного умножения, которые можно записать в следующей форме:
а) для произведения одинаковых чисел (возведение в квадрат):
a2 = (a+c) ∙ (a-c) + c2
б) для произведения разных чисел (или возведение в куб):
a∙b = (a+c)∙b - c∙b
a∙b = (a-c)∙b + c∙b
В этих формулах число свыбирается так, чтобы полученная сумма (a+c) или разность (a-c) было числом, удобным для выполнения устных операций.
1.2. Приемы умножения и возведение в степень натуральных чисел
Рассмотрим подробнее прямые операции быстрого умножения и возведения в степень натуральных с результатом до 10000. На первых порах можно вычислять, записывая промежуточные результаты на листе бумаги.
1) Умножение 2-значного числа на 1-значный множитель. Сначала перемножаем десятки, затем прибавляем (или отнимаем) произведение единиц:
22 ∙ 4 = 20 ∙ 4 + 2 ∙ 4 = 80 + 8 = 88
76 ∙ 7 = 80 ∙ 7 - 4 ∙ 7 = 560 - 28 = 532
2) Возведение в квадрат 2-значных чисел. Выбираем ближайшее «удобное» число, затем вычисляем результат по формуле сокращенного умножения:
292 = 30 ∙ (29 - 1) + 12 = 30 ∙ 28 + 1 = 0840 + 1 = 0841
892 = 100 ∙ (89 - 11) + 112 = 100 ∙ 89 + 121 = 8900 + 121 = 9021
3) Умножение 3-значного числа на 1-значный множитель. Выполняем через приведение к двузначному:
118 ∙ 6 = 110 ∙ 6 + 8 ∙ 6 = 660 + 48 = 0708
788 ∙ 6 = 800 ∙ 6 - 12 ∙ 6 = 4800 + 72 = 4872
4) Произведение 2-значных чисел. Один из сомножителей приводим к «удобным десяткам» вычитанием (или добавлением) единиц. После перемножения десятков, к полученному результату добавляем (или вычитаем) произведение этих единиц на другой сомножитель:
32 ∙ 97 = 100 ∙ 32 - 3 ∙ 32 = 3200 - 96 = 3104
42 ∙ 37 = 40 ∙ 42 - 3 ∙ 42 = 1680 + 126 = 1554
Реже возникает необходимость возведения в куб и в 4-ю степень.
Возведение в куб – через возведение в квадрат и перемножение:
213 = 21 ∙ 441 = 20 ∙ 441 + 441 = 8820 + 441 = 9261
73 = 7 ∙ 49 = 7 ∙ 50 - 7 = 350 - 7 = 343
Возведение в 4-ю степень – через двойное возведение в квадрат:
64 = 362 = 40 ∙ 32 + 42 = 1280 + 16 = 1296
74 = 492 = 50 ∙ 48 + 12 = 2400 + 1 = 2401
Таким образом для быстрого умножения и возведения в степень натуральных чисел нужно владеть всего четырьмя основными навыками.
2. Прямые операции с вещественными числами. Нормировка
2.1. Нормировка при операциях с вещественными числами
Рассмотренные в первом разделе навыки выполнение прямых операций умножения и возведения в степень натуральных чисел можно также применять при умножении и возведении в степень вещественных чисел, если предварительно провести их нормировку. В данном случае нормировкой мы называем процесс приведения сомножителей к форме натуральных чисел, дающих результат до четырех значащих цифр, а именно при нормировке десятичная запятая переносится таким образом, чтобы можно было применить одно из 4-х правил в первом разделе. Иначе говоря, вначале записывается (запоминается) на сколько позиций вправо (+) или влево (-) надо перенести десятичную запятую результата:
76 ∙ 0,041 = 10-3 ∙ (76 ∙ 41 = 40 ∙ 76 + 1 ∙ 76 = 3040 + 76 = 3116) = 10-3 ∙ 3116 = 3,116
3802 = 10+2 ∙ (382 = 40 ∙ 36 + 4 = 1440 + 4 = 1444) = 10+2 ∙ 1444 = 144400.
2.2. Минимизация погрешности округлений
Поскольку мы определились, что точность вычислений порядка 1% вполне допустима, то в результате операций с вещественными числами нам достаточно иметь итоговое число с 2 - 3 значащими цифрами. Однако было бы неверным, например, округлять до 3-х знаков результаты, приведенные в п. 2.1, так как этим действием мы заведомо вносим погрешность в уже выполненные вычисления.
В то же время, если исходные числа имеют больше значащих цифр, чем нужно для применения освоенных навыков, то округлять исходные числа просто необходимо.
В этих случаях при нормировке «лишние» значащие цифры следует отбросить, минимизируя, по возможности, погрешность вычислений. Принципы минимизации погрешности округлений поясним на следующих примерах. Здесь и далее в конце строки в фигурных скобках будем показывать относительную погрешность приближенного результата в процентах.
Округление одного сомножителя:
0,00742 ∙ 1,8 ≈ 10-5 ∙ (74∙18 = 20∙74 - 2∙74 = 1480–148 = 1332) ≈ 0,01332 { -0,27 %}
3,141593 ∙ 5,46 ≈ 10-2 ∙ (3∙546 = 1638) ≈ 16,38 { -4,51 %}
Округление двух сомножителей в разные стороны:
0,0964172 ≈ 10-6 ∙ (96∙97 = 100∙96 – 3∙96 = 9600–288 = 9412) ≈ 0,009412 {+1,25 %}
3,141593 ∙ 5,46 ≈ 10-2 ∙ (31∙55 = 60∙31– 5∙31 = 1860–155 = 1705) ≈ 17,05 {-0,60 %}
Округление с добавлением остатка:
Минимизировать погрешность при округлении одного сомножителя можно дополнительно уже при записи итогового значения путем добавления произведения отброшенной части на второй сомножитель, например:
0,00742 ∙ 1,8 ≈ 10-5 ∙ (74∙18 = 20∙74-2∙74 = 1480–148 = 1332) ≈ 0,01336 { +0,03 %}
3,141593 ∙ 5,46 ≈ 10-2 ∙ (3∙546 = 1638) ≈ 17,18 { +0,16 %}
В этих примерах приближенные результаты 0,01332 и 16,38 скорректированы соответственно на величины 0,0004 (0,00002∙1,8) и 0,8 (0,141593∙5,46).
В последнем примере вычисления длины окружности диаметром 5,46 (3,141593∙5,46) показано, как правильно выбранный способ округления позволил снизить погрешность вычисления с 4,51 % до 0,16 %. Хотя, если внимательно присмотреться к последнему примеру, можно заметить, что добавление остатка без вычислений (просто «угадыванием» - при соответствующих навыках) даст вполне удовлетворительный результат. Так, например, и без вычислений понятно, что отбрасывание величины 0,141593∙5,46 повышает погрешность. Просто «угадывая» в качестве приближенного ответа, можно было бы сразу записать значение 17,2.
3. Обратные операции с вещественными числами. Интерполяция
3.1. Применение интерполяции при выполнении обратных операций
В предыдущем разделе мы научились выполнять прямые операции умножения и вычисления с вещественными числами. Приближенность таких вычислений заключалась лишь в отбрасывании «лишних» знаков с целью применения навыки целочисленных вычислений. Иное дело – обратные операции: деление и извлечение корня. При делении и извлечении корней даже из натуральных чисел мы получаем вещественные с неограниченным числом значащих цифр.
Для поиска результата от деления чисел или извлечения корней сокращение числителя и знаменателя на общий множитель, равно как и вынос общего числа за знак радикала, лишь удлиняет цепочку вычислений, никак не упрощая их.
Намного эффективнее оказывается поиск ближайших граничных значений с последующей интерполяцией между ними. Поскольку мы уже овладели приемами устного умножения и возведения в степень, нам проще определить интервал, внутри которого находится искомый результат. Интерполяция в пределах этого интервала позволяет с некоторой степенью точности «предсказать» приближенное значение результата деления или извлечения корня. Графически схема интерполяции показана на рис.1.
Рис. 1. Схемы интерполяции: а) линейная, б) нелинейная.
При вычислениях следует стремиться к тому, чтобы целочисленные значения границ интервала отличались друг от друга лишь на единицу. Это упрощает интерполяцию и позволяет пренебречь влиянием нелинейности основных математических функций вследствие незначительности вносимой погрешности.
3.2. Приемы деления и извлечения корней из вещественных чисел
Рассмотрим практические приемы выполнения обратных операций.
Деление четырехзначного числа на двухзначное. Например, 3749 / 76:
Пусть 1-е граничное частное равно 50, тогда делимое 50∙76 = 3800
Пусть 2-е граничное частное равно 49, тогда делимое 3800 - 76 = 3724
Искомое частное 50-25∙1/76 ≈ 49,3. Сокращенно будет выглядеть так:
3849/76=50 или 49 => 50∙76=3800 или 3800-76=3724 => 50-25/76 ≈ 49,3{-0,06 %}
Вычисление квадратного корня. Например, корень из 4432:
Пусть 1-й граничный корень равен 65, тогда 652 = 4225
Пусть 2-й граничный корень равен 67, тогда 672 = 4489
Искомый корень ≈ 67 - 2∙57/264 ≈ 66,5. Или сокращенно:
√4432 = 65 или 67 -> 652 =4225 или 672 =4489 -> 274-2∙57/264 ≈ 66,5 {-0,11 %}
Вычисление кубического корня. Например, из 1715:
Пусть 1-й граничный корень равен 12, т.е. 123 = 144∙10+2∙144=1728
Пусть 2-й граничный корень равен 11, т.е. 113 = 121∙10+2∙121=1331
Искомый корень ≈ 12 - 13/397 ≈ 11,97. Или сокращенно:
= 12 или 11 => 123 =1728 или 113 =1331 => 12 - 13/397 ≈ 11,97 { 0,00 %}
Примеры операций с вещественными числами:
1) При делении делимое нормируем до 4-значного, а делитель до 2-значного числа, причем округление делителя и делимого производим в одну сторону:
149,29/0,247=10+1 ∙ (1492,9/24,7 ≈ (1492,9+30) / 25 ≈ 1523/25∙ (60 или 61 =>
=> 60∙25=1500 или 61∙25=1500+25=1525) => 61-2/25 ≈ 60,9) ≈ 609 {+0,76 %}
2) При извлечении корней нормируем до 4-знаков, перенося десятичную запятую кратно 2-м позициям для квадратного (или 3-м – для кубического) корней:
≈10+2 ∙ ≈10+2 ∙ (24 или 23 => 242 = 576 или 232 = 529 =>
=> 24 - 20/47 ≈ 23,8) ≈ 2380 {+0,90 %}
3 ≈ 10- ≈ 10 - 1 ∙ (5 или 6 => 53=125 или 63=216 =>
=> 5+(149 - 125)/(216 - 125) = 5 + 24/91 ≈ 5,26) ≈ 0,526 {-0,72 %}
4. Приближенные операции с тригонометрическими функциями
4.1. Тригонометрический круг и замечательное число «пи»
Приближенные вычисления в инженерных задачах немыслимы без навыков работы с тригонометрическими функциями. Несмотря на кажущуюся сложность, приближенное определение основных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс и котангенс) на основе тригонометрического круга (см. рис. 2) дают точность, достаточную для большинства практических задач.
Рис. 2. Фрагмент тригонометрического круга для приближенных вычислений
При работе с тригонометрическими функциями не обойтись без замечательного числа π, численно равному отношению длины окружности к ее диаметру. Значение числа π, приблизительно равное 3,141593 запомнить не сложно, используя сочетание 3,14 и 1593 г. – год опубликования французским математиком Франсуа Виетом широко известной формулы Виета [4] для вычисления числа π:
4.2. Приемы вычислений на основе тригонометрического круга
Для приближенных вычислений тригонометрических функций необходимо помнить правила перехода от градусной меры к радианам:
1 радиан = 1800/π ≈ 57,30
10 = π/1800/π ≈ 0,01745 рад.
Масштабная сетка на рис.2 позволяет получить 2 верных знака при вычислении тригонометрических функций любых углов. Однако, с учетом того, что часть значений тангенса и котангенса (больше 1) выходит за пределы изображения, могут оказаться полезными следующие формулы:
ctg a = 1 / tg a;
arctg a = arcctg (1 / a).
Существенно облегчает вычисления свойство малых углов (менее 0,1 радиана ≈ π/30 ≈ 60), которое гласит, что «синус малого угла примерно равен его тангенсу и самому углу п радианах» (погрешность менее 0,5%).
В то же время для углов, близких к 0 или к π/2, зачастую требуется более высокая точность, которую можно достичь, применяя формулы:
cos a = ;
sina = cos (π/2 –a).
Полезно помнить значения тригонометрические функции основных углов, позволяющих производить вычисления с помощью приемов интерполяции:
sin(π/6) = sin(300) = ½ = 0,5
sin(π/4) = sin 450 = ≈ 0,707
sin(π/3) = sin(600) = ≈ 0,866
tg(π/6) = tg(300) = ≈ 0,577
tg(π/4) = tg(450) = 1
tg(π/3) = tg(600) = ≈ 1,732 .
Рассмотрим несколько примеров:
sin(7π/3) = sin(2π + π /3) = sin(π /3) = /2 ≈ 0,866; {0,00 %}
tg(350) (чуть более tg(300) = 0,577, но менее tg(450) = 1,0) ≈ 0,70; {-0,03 %}
ctg( /12) = 1/tg( /12) ≈ 1/0,27 ≈ 10-1∙(1000/27) ≈ 3,7;{-0,86 %}
sin(1) ≈ sin(57,30) ≈ 0,85, т.е. чуть менее sin(π/3);{+1,0 %}
arctg( /3) ≈ arctg(1,05) ≈ 0,8, т.е. чуть более /4;{-1,2 %}
cos(2000) ≈ -0,925 , т.е. примерно между -0,9 и -0,95; {-1,6 %}
arctg(2) = arcctg(1/2) ≈ 630, т.е. немного более 600, но менее 700; {+1,9 %}
sin(1/6) ≈ 0,166 (почти малый угол, округлим 0,16666 в < сторону); {+0,1 %}
cos(1/10) = = = = 10-2 ∙ ≈ 10-2 ∙ (99 или 100 => 992 =9801 или 1002 = 10000) => 10-2 ∙ (99+100)/2 ≈ 0,995. { 0,00 %}
Как видно из примеров, имея под рукой тригонометрический круг с масштабной сеткой и линейку, значения тригонометрических функций можно находить с достаточной точностью. Несколько грубее (примерно с точностью до 1 - 2%) можно вычислять и по памяти, просто мысленно представляя перед собой графическое изображение тригонометрического круга.
5. Приближенные операции с логарифмами
В естественных науках (особенно в информатике и инженерных расчетах) логарифмы востребованы почти на уровне тригонометрических функций. Одним из основных принципов природных процессов является принцип пропорциональности прироста самой измеряемой величине, это делает логарифмическую функцию удобной, например, в физике - для измерения уровня восприятия человеком звуковых и световых явлений, в информатике – для описания информационной энтропии (формула Шеннона), в теории ракетных двигателей (формула Циолковского), в статистической термодинамике (формула Планкадля энтропии вещества). Освоение методов приближенного вычисления логарифмов несомненно облегчит решение подобных задач.
5.1. Применение формул логарифма произведения и логарифма частного
Логарифмирование есть операция отыскания показателя степени (x), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить значение аргумента (b). Иными словами, это решение уравнения вида ax = b. Традиционно записывается в форме x = loga b, предложенной Джоном Непером в 1614 году. Из сказанного следует, что, по сути, логарифмирование есть операция, обратная возведению в степень. Таблица 1 иллюстрирует взаимосвязь прямых и обратных операций.
Таблица 1
Прямые и обратные операции
|
Прямая операция |
Обратная операция |
|||||||
|
А |
+ |
Х |
= В |
В |
- |
A |
= Х |
|
|
А |
х |
Х |
= В |
В |
/ |
A |
= Х |
|
|
А |
↑ |
Х |
= В |
В |
↓ |
A |
= Х |
|
|
АХ = В |
logАВ = Х |
|||||||
В этой таблице знаком ↑ обозначена операция «возведения» исходного числа А в степень Х, а знаком ↓ обозначена обратная операция, которую условно можно назвать «извлечением степени Х из числа В по основанию А», т.е. отыскания степени Х, в которую возвели исходное число Адля получения результата В(в чем собственно и заключается операция логарифмирования). Из сказанного следует, что при определении численных значений логарифмов мы также можем использовать приемы интерполяции, изложенные в п.3.1.
В отличие от операций сложения и умножения при возведении в степень перестановка операндов (аргументов операции) недопустима. Кроме того, при вычислении логарифмов с применением техники линейной интерполяции необходимо более внимательно следить за вносимой погрешностью, особенно когда результат от двухзначного числа приближается к единице.
Для практических вычислений нам потребуются вспомнить следующие свойства показательных функций:
Любое чисто в степени ноль равно единице: a0 = 1;
Произведение ab ∙ ac = ab+c;
Частное ab / ac = ab-c ;
и вытекающих из них формул для логарифмов:
Логарифм по любому основанию от единицы равен нулю: loga 1 = 0;
Логарифм произведения loga (b∙с) = loga b + loga с;
Логарифм частного loga (b/с) = loga b - loga с.
Если бы Д. Неппер вместо обозначения loga b придумал бы какой-нибудь знак попроще (ну хотя бы как в таблице 1), логарифмирование с точки зрения вычислительных операций, воспринималось бы гораздо проще.
Поскольку нас главным образом интересует вопрос приближенного нахождения численных значений логарифмов, как операций, обратных возведению в степень, исключительно в целях сокращения записей заменим традиционную форму записи x = loga b на упрощенную аb = x, ассоциирующуюся с привычной операцией возведения в степень b =ax. Тогда упомянутые ранее формулы логарифма произведения и логарифма частного запишутся в виде:
a (b∙с) = a b + aс; a (b/с) = a b - aс.
Нам представляется, что допущенная вольность облегчит устные операции за счет сокращения записи.
Итак, при вычислении численного значения логарифма перед нами стоит задача определить, на сколько порядков (степеней) число, стоящее за признаком логарифма, больше (или меньше) основания.
Поясним сказанное на примере вычисления десятичного и двоичного логарифма, используя договоренность об упрощении записи
x = loga b тождественно аb = x.
Двоичный (бинарный) логарифм. Например, из числа 1565 и 0,1565.
Пусть 1-я граничная степень равна 10-ти, т.е. 210 = 1024.
Пусть 2- я граничная степень равна 11-ти, т.е. 211 = 2048.
Искомая степень ≈ 10 + 541/1024 ≈ 10,5. Или сокращенно:
21565 = 10 или 11 => 210 = 1024 или 211 = 2048 => 10 + 541/1024 ≈ 10,5 {-1,1 %}
20,1565 ≈ 2(1/6,4) =-26,4= -2 или -3 => 22=4 или 23=8 => -(2+2,4/4) ≈ 2,6 {-2,8 %}
Десятичный логарифм. Из числа 1565 и 0,1565.
Пусть 1-я граничная степень равна 3-м, т.е. 103 = 1000.
Пусть 2- я граничная степень равна 4-м, т.е. 104 = 10000.
Искомая степень ≈ 3 + 565/9000 ≈ 3,1. Или сокращенно:
101565 = 3 или 4 => 103 = 1000 или 104 = 10000 => 3 + 565/9000 ≈ 3,1 {-3,0 %}
100,1565 = 10(1565/10000) = - (1010000) - 101565) ≈ - (4 – 3,1) ≈ -0,9 {+11,7 %}
Как видно из примеров, погрешность вычисления из-за нелинейности функции зависит от степени приближения результата к единице. Для двухзначного результата (более 10-ти) нелинейность можно не учитывать.
5.2. Особенности натуральных логарифмов и замечательное число «е»
Если в тригонометрических функциях базовой является константа π, характеризующая связь между линейными и сферическими измерениями, то для функций логарифмирования базовой константой является число e=2,718281828…, служащее основанием натурального логарифма (ln). Запомнить константу e не трудно 2,7 + 1828 + 1828 (год рождения Л.Н. Толстого). Вычислить численное значение константы е можно с помощью ряда:
е= 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... ≈ 2,718281828 или ≈ 2,72.
Важное свойство: производная от натурального логарифма является обратная функция (ln x)’ =1/x.Благодаря этому свойству натуральный логарифм нашел широкое применение в самых разных областях математики, в технических науках, в экономике и финансах.
Для приближенных вычислений натуральных логарифмов кроме упомянутых ранее формул суммы (разности) логарифмов полезно запомнить некоторые «удобные» числа в 4-значном интервале, являющиеся приближенным результатом возведения числа е в целую однозначную степень:
е2≈ 7,4; е3≈20; е4≈55; е5≈148; е6≈403; е7≈1096; е8≈2981; е9≈8103.
Примеры приближенного вычисления натуральных логарифмов:
Натуральный логарифм из целого четырехзначного числа 1565:
е1565 = 7 или 8 => е7 ≈ 1096 или е8 ≈ 2981 => - (7+469/1885) ≈ 7,25 {+0,6%}
Натуральный логарифм из десятичной дроби 0,1565:
е0,1565 = е(1/6,4) = - е6,4 => -1 или -2 => -е1 ≈ 2,27 или –е2 ≈ 7,4 =>
=> - (2 - 1/5,13) ≈ 1,8 {-2,9%}
Как видно из примеров, приведенных в п.5.1 и 5.2, основным приемов приближенного вычисления логарифмов является представление исходного числа в виде произведения (или частного) двух чисел, одно из которых наиболее близко подходит к основанию в целочисленной степени, а логарифм от второго числа (по возможности) мал по сравнению с логарифмом от первого числа.
Заключение
В результате анализа существующих публикаций по способам устного умножения и возведения в степень натуральных чисел в настоящей работе выбран ограниченный набор правил, позволяющих быстро выполнять операции точного умножения и возведения в степень произвольных натуральных чисел. Показано, что достижение 4-значного результата умножения и возведения в степень достаточно для выполнения произвольных приближенных вычислений с точностью порядка 1 - 2%.
С учетом того, что в инженерной практике в основном востребованы вычисления с точностью до 2 - 3 верных знаков, в результате проведенного исследования разработана методика быстрого выполнения вычислительных операций с произвольными вещественными числами без применения калькулятора и другой счетной техники.
Новизна предложенной методики заключается в следующем своде приемов приближенных вычислений:
Исходные числа приводятся к форме, позволяющей применять способы устного умножения и возведения в степень с результатом до 4-х знаков.
Обратные операции (деление и извлечение корней) выполняются с применением правил линейной интерполяции.
Специфика операций с тригонометрическими функциями учитывается с помощью тригонометрического круга.
Специфика вычисления логарифмов основана на применении свойств показательной функции.
Предложенная методика помогает закрепить математическую подготовку уровня школьной программы и сохранить полученные навыки в дальнейшей учебе и производственной деятельности.
Список источников и литературы
1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1999. – 368 с.
2. Владимиров А.И. Интересные способы быстрого счета / А.И. Владимиров, В.В. Михайлова, С.П. Шмелева // Юный ученый. 2016. - № 6.1 (9.1). - стр. 15–17.
3. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1978. – 128 с.
4. История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. Том.1 - М.: Наука, 1970. - стр. 314 – 315.
5. Камаев П.М. Устный счет, 2007. - стр. 4 – 29.
6. Trachtenberg, Yakow, The Trachtenberg’s Speed System of Basic Mathematics, 2004. – 207 p.