Многогранники вокруг нас

XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Многогранники вокруг нас

Башарова К.Н. 1
1МБОУ "Нижнесортымская СОШ"
Шахова Л.Л. 1
1МБОУ "Нижнесортымская СОШ"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1. Введение

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Таким образом, устроен окружающий нас мир, что ни один человек в своей жизни не обойдется без пространственного представления предметов. Раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве, называется стереометрия (от греч. «стереос» — обьѐмный, «метрео» — измеряю). В данном разделе большое место занимает такой материал, как "Правильные многогранники". Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники.

Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Мы можем наблюдать, что многогранники встречаются и окружают нас повсюду. Теория многогранников является современным разделом математики. Безусловно, недостаточно узнавать и видеть многогранники в окружающем мире. Интересно уточнить их классификацию, разновидность, связь с миром людей.

Актуальность исследования состоит в том, что нам порою кажется, что геометрия совершенно не связана с нашей жизнью, что это очень трудная и совсем непонятная наука. Но как можно не замечать того что, многие здания похожи на многогранники. А также во многих профессиях, к которым мы стремимся, понадобятся знания свойств геометрических фигур, ведь в современном мире очень широко применяются различные виды многогранников. На самом же деле мы живем в мире, который неразрывно связан с геометрией. Я хочу по-новому открыть для себя удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами.

Проблема: действительно ли многогранники уникальны и находятся вокруг нас?

Гипотеза: если правильные многогранники – самые выгодные фигуры, то природа этим широко пользуется.

Объект исследования: многогранники.

Предмет исследования: связь многогранников с природой и человеком.

Цель исследования: изучить правильные многогранники, их виды и свойства. Рассмотреть связь правильных многогранников с природой и человеком.

Задачи исследования:

1. Изучить необходимую литературу по данной теме;

2. Обобщить, систематизировать, классифицировать изученный материал;

3. Показать, что многогранники не только окружают человека, но и часто используются в его жизни;

4. Сделать модели многогранников.

Методы исследования: поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет; практический метод выполнения разверток правильных многоугольников; анализ полученной в ходе исследования информации.

Гипотеза: если правильные многогранники – самые выгодные фигуры, то природа и человек этим широко пользуется.

Новизна исследования: заключается в том, что работа представляет собой интереснейший исторический материал, роль которого в геометрии весьма существенна. Тема «Виды многогранников» сложна для изучения в виду отсутствия доступного для воспроизведения иллюстративного материала. Всё это не отражает в полной мере знания и умения учащихся о геометрических фигурах и их видах.

Практическая значимость: при моделировании геометрических тел и изготовлении объёмных фигур, развитие логического мышления и применение его на практике в решении задач на нахождение объёмов, площади поверхностей и построение сечений в многогранниках. А так как тема «Правильные многогранники» изучается в курсе геометрии старшей школы и мы, поняв азы данного аспекта в сегменте математики, будем применять полученные знания в будущем.

II. Теоретический обзор

1. Исторические сведения

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – 5 пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

Начиная с 7 века до нашей эры, в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

Вселенная - додекаэдр

Земля - куб

Огонь - тетраэдр

Вода - икосаэдр

Воздух – октаэдр

Из внешнего вида правильных многогранников следует, что грани трех многогранников – тетраэдра, октаэдра, икосаэдра – имеют форму равностороннего треугольника. Два оставшихся многогранника – куб и додекаэдр – построены: первый – из квадратов, а второй – из правильных пятиугольников, поэтому они не могут преобразовываться ни друг в друга, ни в рассмотренные три тела.

Это значит, что если мы придадим частицам трех стихий формы тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, то частицы четвертой стихии будем считать кубами или додекаэдрами, но эта четвертая стихия не сможет переходить в три других, а всегда будет оставаться сама собой. Платон решил, что такой стихией может быть только земля и, что мельчайшие частицы, из которых земля состоит, должны быть кубами. Тетраэдру, октаэдру и икосаэдру были сопоставлены соответственно огонь, воздух и вода.

Что касается пятого многогранника – додекаэдра, то он остается не у дел. По поводу него Платон ограничивается замечанием, что «его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал ее и украшал».

Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются Платоновыми телами. Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду, впервые перечислившего их в недошедшей до нас работе.

2. Определение многогранника и его виды.

По определению, многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников. Или многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.

Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Тетраэдр – представитель Платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240°.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°.
Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270°. Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324°. Два правильных многогранника - октаэдр и додекаэдр - строились при помощи других многогранников - куба и икосаэдра. Причем каждая вершина, скажем, октаэдра соответствовала некоторой вершине куба. То же самое можно сказать и о паре многогранников икосаэдр - додекаэдр.

3. Многогранники в природе

Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. В морях существуют одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объём и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи. Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. (Приложение 5)

Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники - самые «экономичные» фигуры. И природа этим широко пользуется.

Построенные пчелами соты строго параллельны, расстояние между ними выдерживается с удивительным постоянством. Пчелиные ячейки представляют собой шестигранные геометрические фигуры. В разрезе соты представляют сеть равных правильных шестиугольников. Из правильных n – угольников с одинаковой площадью правильные шестиугольники имеют наименьший периметр. Таким образом, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот. Некоторые ученые считают, что вселенная имеет форму шестигранного сота. Вполне возможно, что пчёлы в своих постройках копируют её форму. Ведь именно такая форма наиболее совершенна и экономична для всего: материалов, времени, пространства и энергии. Пчелиная сота выдерживает мёда в 27 раз больше своего веса. (Приложение 5)

3.1. Чудо природы - кристаллы

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли имеют форму куба.

Если соленую воду вылить на блюдце и оставить на пару дней, пока она высохнет, а потом рассмотреть образовавшийся белый налет через лупу, мы обнаружим множество сверкающих кубиков правильной формы - кристаллов поваренной соли. При медленном испарении раствора сахара, медного купороса или алюмокалиевых квасцов, в воде тоже получаются красивые кристаллы в правильных многогранников различной формы.

Но кристаллы появляются не только из раствора, но и из расплава. Что такое вода в жидком состоянии? Это расплавленный лёд, не так ли? Когда вода кристаллизуется, получается кристаллы игольчатой формы. Если такие иголочки льда образуются из капелек воды в морозном воздухе, они постепенно растут, покрываются все новыми узорами и наростами и наконец, выпадают на землю из облаков в виде красивых пушистых снежинок сказочно красивой формы.

Когда водяной пар охлаждается быстро, получается иней, который морозной зимой украшает деревья в саду, или просто морозные узоры на стекле, похожие на фантастические растения.

Почему же у кристаллов такая правильная и красивая форма? Люди задавались этим вопросом с давних пор. Само слово "кристалл" происходит от греческого "кристаллос" - лед и горный хрусталь. В древности горный хрусталь (кристаллы кварца) действительно считались окаменевшим льдом.

Если из кристалла хлорида натрия сделать шар, а потом опустить в насыщенный раствор этой же соли, то уже через несколько дней мы обнаружим, что вместо шарика опять получился кристалл кубической формы. То же самое происходит и с любыми другими кристаллами: они способны к "самоогранке" и постепенно восстанавливают свою природную, самую устойчивую форму. Кристаллы действительно так хороши собой, что ими можно любоваться часами. А как разнообразны их формы! (Приложение 9)

Монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана имеет форму додекаэдра, сурьмянистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. (Приложение 10)

Да мало ли еще красот может быть в коллекции минералов!

4. Использование многогранников человеком

Многогранники в искусстве

Титан Возрождения, живописец, скульптор, ученый и изобретатель Леонардо да Винчи (1452-1519) — символ неразрывности искусства и науки, а, следовательно, закономерен его интерес к таким прекрасным, высокосимметричным объектам, как выпуклые многогранники вообще, и усеченный икосаэдр в частности. (Приложение 2)

Леонардо да Винчи (1452 — 1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. В 2009 г. исполнилось 500 лет со времени выхода в свет книги Луки Пачоли «Божественная пропорция», а, следовательно, и изобретения Леонардо да Винчи для ее иллюстрации метода жестких ребер. Книга Пачоли, для которой Леонардо выполнил 59 иллюстраций различных многогранников, оказала большое влияние на развитие геометрии того времени, в частности, стереометрии многогранников. Этим изображением Леонардо на три века предвосхитил гипотезу о периодическом строении кристаллов, высказанную французскими кристаллографами аббатом Рэнэ-Жюстом Гаюи (1743-1822гг.) и морским офицером Огюстом Бравэ (1811-1863). Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер (1471- 1528), в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр. (Приложение 2) Голландский художник Мориц Корнилис Эшер (1898-1972) создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкие круги математических идей. Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов.

На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные. (Приложение 2) Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в его работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Наиболее интересная работа Эшера - гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. (Приложение 2) На картине художника Сальвадора Дали «Тайная Вечеря» Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Форму додекаэдра, по мнению древних, имела  вселенная, т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра. (Приложение 3)

Многогранники в архитектуре.

Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. Геометрия появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров, в первую очередь это относится к архитектуре. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира.

Это может показаться странным, но слово пирамида отнюдь не определяет трехмерный треугольник, и при этом его корень даже, не Египетский. Слово пирамида составлено из греческого слова "pyra" в значении огня, света (или видимый и греческого слова "midos" в значение мер (другое значение – середина(внутри). Первые определения этому понятию давали: Евклид, Герон, Учебники XIXв., Тейлор, Лежандр. (Приложение 4)

Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров. (Приложение 4)

А присутствует ли вообще математика в архитектуре? Конечно. Достаточно взглянуть на здания, и мы тут же увидим знакомые геометрические фигуры: параллелепипед, треугольные фронтоны, полукруглые и прямоугольные окна.… И это лишь малая часть геометрических фигур, которые радуют глаз при взгляде на красивые здания городов.

Использование многогранников в архитектурных сооружениях можно наблюдать и в нашем поселке Нижнесортымский (Приложение 7), в городе Сургуте, везде, во всем мире. В первую очередь это современные здания с множеством многогранников. Многогранники не только придают прочность и устойчивость архитектурным сооружениям, но и красоту, изящество. Многие здания настолько красивы и сложны по своей форме, что требуют большого количество времени, сил. Архитектурные объекты в форме тетраэдров, украшающих здания, непременно сделают их настоящим шедевром. В этом можно убедиться, изучая элементы декора фасада здания отеля «Сити Центр» (Приложение 6) в городе Сургут, которое воплотило в себе идею "город в городе". В оформлении верхнего основания зданий здания СургГУ также использованы пирамиды (Приложение 6). Удивляет оригинальным фасадом, выполненным в форме правильных многогранников гипермаркет «Богатырь» (Приложение 6). Многие мечтают побывать в Лондоне, познакомиться с его архитектурой, но не каждый имеет такую возможность. Жителям Сургута повезло, поскольку именно у них имеется точная копия знаменитого английского Биг-Бена (Приложение 6).

Проектирование зданий, принимающих вид многогранников, – в большинстве случаев сложная задача. Но сочетать различные формы геометрических фигур для искусства важнее.

III. Практическая часть

Геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскостями, называется многогранником. К наиболее часто используемым в практике многогранникам относятся призма и пирамида.

Чертёж любого многогранника состоит из сочетания многоугольников. Каждая линия на чертеже многоугольника - это либо проекция линии пересечения двух граней (ребра), либо проекция самой грани (плоскости), если эта грань перпендикулярна плоскости проекций. При проецировании многогранника на плоскость чертежа необходимо уметь мысленно разделять его на составные части и правильно определять порядок их изображения.

Построим прямоугольную правильную шестиугольную пирамиду. На свободном месте поля строят основание (Приложение 8), из точки пересечения осей проводят отрезок прямой, равный высоте пирамиды. Вершину пирамиды соединяют прямыми линиями с вершинами шестиугольного основания.

Построение прямой шестигранной призмы (Приложение 8) также начинают с построения нижнего основания. Затем из каждой вершины нижнего основания проводят вертикальные прямые, на которых откладывают высоту призмы. Полученные точки соединяют отрезками и получают верхнее основание.

IV. Выводы:

Многогранные формы окружают нас в повседневной жизни повсюду: книга, комната, молочные пакеты в форме тетраэдра или параллелепипеда. Почти все сооружения, возведённые человеком, от древнеегипетских пирамид до современных небоскрёбов, имеют форму многогранников. В представленной работе мы исследовали удивительные особенности строения правильных многогранников, их виды и свойства. Познакомились с интересными историческими гипотезами и фактами. Увидели красоту, совершенство и гармонию форм этих тел, которые изучаются учеными на протяжении многих столетий и не перестают удивлять нас мудростью и совершенством своих форм. Узнали, что в строении нашей, казалось бы, шарообразной планеты присутствуют правильные многогранники, что еще раз доказывает их значение в окружающем нас мире. И многие современные ученые склоняются к гипотезе, что вещества в природе состоят именно из этих уникальных фигур. Окружающий нас мир скрывает множество тайн и загадок, которые предстоит разгадать человечеству. Напутствием для нас служат слова Платона: «Когда мы стремимся искать неведомое нам, то становимся лучше, мужественнее и деятельнее, тех, кто полагает, будто неизвестное нельзя найти и незачем искать».

Подводя итоги, можно считать цели исследования достигнутыми. В дальнейшем тему работы можно развивать, например, рассмотреть использование свойств, особенностей симметрии правильных многогранников в архитектуре, технике, искусстве.

Да и во многих профессиях, к которым мы стремимся, понадобятся знания свойств геометрических фигур, ведь в современном мире очень широко применяются различные виды многогранников. И если бы геометрию изучали осознано, то наши красивые дома, аквапарки и крытые рынки не складывались бы как карточные домики. А вот Египетские пирамиды стоят 4 000 тысячи лет и ещё простоят много

V. Список литературы и используемые источники:

1. Геометрия, 10 –11 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.: Просвещение, 2014.

2. Атанасян, Л. С. Изучение геометрии в 10-11 классах: методические рекомендации для учителя [Текст] / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, Ю. А. Глазков и др. - М.: Просвещение, 2005.

3. Энциклопедия. Я познаю мир. Великие ученые. М.: ООО «Издательство АСТ», 2003

4. Энциклопедия. Я познаю мир. Математика. М.: ООО «Издательство АСТ», 2003 г

5. Черкасов О. Ю. Математика. Справочник. / О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев-М.: АСТ-ПРЕСС ШКОЛА, 2006

6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике.

М.: Вита-Пресс, 1996

7. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981

8. Интернет – ресурсы.

http://www.krugosvet.ru

http://schools.techno.ru

http://ru.wikipedia.org

VI. Приложения

Приложение I

Изображение

Тип

правильного

многоугольника

Тип

грани

Число

сторон

у грани

Число ребер,

примыкающих

к вершине

Общее

число

вершин

Общее

число

ребер

Общее

число

граней

Сумма

плоских

углов при

вершине

 

Тетраэдр

Треугольник

3

3

4

6

4

180˚

 

Куб

Квадрат

4

3

8

12

6

270˚

 

Октаэдр

Треугольник

3

4

6

12

8

240˚

 

Додекаэдр

Пятиугольник

5

3

20

30

12

324˚

 

Икосаэдр

Треугольник

3

5

12

30

20

300˚

Приложение II

Надгробный памятник в кафедральном Альбрехт Дюрер (1471- 1528), соборе Солсбери Сэру Томасу Джорджсу. известная гравюра «Меланхолия»

Мориц Корнилис Эшер - гравюра "Звезды" Гравюра «Порядок и хаос»

Приложение III.

Художник Сальвадор Дали. Картина «Тайная Вечеря».

Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Приложение IV.

П ирамиды в Гизе

Александрийский маяк. Четкая геометрия проникающих архитектурных

форм противопоставлена природному ландшафту.

Приложение V.

Скелет феодарии Форма бактерий

Соты пчел

Приложение VI.

Приложение VII.

Приложение VIII.

Построение многогранников

Пирамида. 2. Призма.

Приложение IX.

Кристаллы.

«Кристалл» произошло от двух греческих слов – «холод» и «застывать»,

т. е. «застывший лед»

Горный хрусталь. Аквамарин.

Приложение X.

Кристаллография

Микромонокристалл Монокристалл
германия сегнетовой соли

Природные кристаллы турмалина. Кристаллы белка каталазы

Приложение XI.

Просмотров работы: 21