XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Точность способов измерения высоты объектов с. Киселёвка на основе подобия
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность темы.
В этом учебном году на уроках геометрии мы изучали тему «Подобные треугольники». В результате ее освоения узнали, что подобие применяется не только при доказательстве теорем, решении задач, но имеет широкое практическое применение при проведении различных измерительных работ на местности. Мы решили, используя свойства подобных треугольников, измерить высоту ряда объектов своего с. Киселёвка.
Мы живем в сельской местности. Многоэтажных зданий в селе нет. Казалось бы, зачем нам нужны простейшие навыки определения высоты предметов.
Наше село окружает тайга¸ рядом протекает река Амур. Многие жители нашего села – охотники, рыбаки. Мы, подростки, тоже часто бываем в лесу – на прогулке, ходим за грибами, ягодами. И на реке, и в лесу, и на территории села могут случиться такие ситуации, когда с помощью простейших измерительных приборов необходимо определить высоту объекта.
Случаются ситуации, когда нужно оценить высоту дерева, чтобы срубив его, оно упало и перекрыло реку, образовав мостик, по которому можно перебраться через речку. Зная способы определения высоты, лесничий, не располагающий высокоточными инструментами, сможет определить высоту деревьев на своем участке, геолог - высоту возвышенности, электрик – высоту высоковольтного столба… Мы на своем садовом участке сможем определить высоту мешающего нам дерева, которое решим спилить. Зная высоту дерева, сможем оценить - не достанет ли оно при падении до строения, находящегося рядом с ним. Во всех этих случаях людям разных профессий могут прийти на помощь разнообразные методы определения высоты.
Проблемная ситуация. Существуют разные способы измерения высоты объекта, для которого нельзя произвести прямые измерения. Какой способ определения высоты самый удобный и более точный?
Гипотеза: проведя измерение высоты ряда объектов села Киселёвка несколькими способами, мы сможем определить среди них наиболее удобный и точный.
Цель работы: оценка точности некоторых способов измерения высоты объектов с. Киселёвка на основе подобия фигур.
Задачи работы:
изучить способы измерения высоты предметов;
подобрать необходимые средства измерения, выбрать конкретные объекты измерения;
провести эксперименты по измерению высоты ряда объектов с.Киселёвка различными способами;
провести анализ точности использованных способов измерения высоты.
Объект исследования: способы определения высоты.
Предмет исследования: точность способов определения высоты.
Новизна работы заключается в том, что никто до нас не измерял высоту объектов с. Киселевка, применяя различные способы для измерения высоты с помощью простейших приборов и используя подобие треугольников.
Практическая значимость: результаты работы позволят не только узнать высоту значимых объектов села, но выявить наиболее простые и точные способы определения высоты с помощью несложных измерительных устройств и приспособлений.
Методы исследования:
эмпирические методы исследования – эксперимент, измерение, сравнение;
теоретические методы исследования – анализ литературы по теме исследования, анализ полученных данных, синтез, сравнение, обобщение полученных результатов, формулирование выводов.
Теоретическая часть.
2.1. Подобные треугольники. Признаки подобия треугольников.
Большинство способов определения высоты основаны на подобии треугольников.
Теоретические основы подобия фигур были заложены трудами древнегреческих ученых - Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского в V – IV веке до н.э.. Евдокс первый разработал общую теорию отношений и пропорций, которая была изложена Евклидом в пятой книге «Начал».
Учение о подобии фигур изложено в VI книге «Начал» Евклида, начинающейся следующим определением: «Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».1[4]
В рассмотренных нами современных учебниках геометрии понятие подобия перекликается с тем, что было дано в глубокой древности.
Рис.1
В работе используем определения и формулировки теорем из учебника геометрии Л.С. Атанасяна, по которому занимаемся.
Пусть у ∆АВС и ∆А1В1С1 углы соответственно равны: А =А1, В =В1, С =С1. Тогда стороныАВ и А1В1, ВС и В1С1, АСи А1С1называются сходственными (Рис.1).
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Треугольники АВС и А1В1С1 подобны, если А =А1, В =В1, С =С1,
Числок, равное отношениюсходственныхсторонподобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Рис.2
Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такое треугольники подобны (Рис.2).
Рис.3
А =А1, В =В1, следовательно АВС А1В1С1
В торой признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны (Рис.3).
А =А1, , следовательно АВС А1В1С1
Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. 2[3]
следовательно, АВС А1В1С1
2.2. Способы определения высоты предмета методом подобия.
Свойства подобных треугольников используются при проведении различных измерительных работ на местности, при строительстве, в военном деле, в быту. Люди пользовались свойствами подобных треугольников для практических работ с глубокой древности (составление карт местности, планов, выполнение архитектурных и инженерных чертежей, измерение высоты предметов, расстояний до недоступных точек).
По легенде, впервые смог точно измерить высоту египетской пирамиды древнегреческий философ и математик Фале́с Милетский (637/624— 547/558 г. до н.э.). (Приложение 1 «Легенда об измерении высоты пирамиды Фалесом Милетским)
В разных источниках нами были найдены несложные способы определения высоты предмета. Несколько способов приводится в книге Якова Перельмана «Занимательная геометрия». Это измерение высоты дерева по тени, с помощью булавочного прибора, с помощью шеста, способом, описанным в романе Жюль Верна «Таинственный остров», измерение высоты с помощью записной книжки, высотомера лесоводов, измерение высоты с помощью зеркала. В задачах Перельмана описываются способы, основанные на свойстве равнобедренного прямоугольного треугольника, свойствах подобных треугольников. Пять способов нахождения высоты предмета простейшими средствами рассматриваются в книге Ганьшина В. Н. «Простейшие измерения на местности» (с помощью прямоугольного равнобедренного треугольника, зеркала, тени, при помощи откосника, рейки, разделенной на сантиметры). На сайте «Лесная промышленность» рассказывается о трех способах измерения высоты дерева – по тени, по относительной величине и с помощью измерения углов, используя тригонометрические функции. Три способа измерения высоты описаны в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна – с помощью вращающейся планки, тени и зеркала.
Описываем в работе некоторые способы измерения высоты предмета.
Определение высоты с помощью вращающейся планки
Рис.4
Пусть А1С1 - объект, высоту которого необходимо определить. Для этого нужно поставить на некотором расстоянии от этого объекта шест АС с вращающейся планкой и направить планку на верхнюю точку А1 объекта. На поверхности земли отметить точку В, в которой прямая А1А пересекается с поверхностью земли. Треугольники А1С1В и АСВ – прямоугольные. АВСА1ВС1подобны по первому признаку подобия треугольников ( С1 = С = 90°, В – общий). (
Рис.1
Рис.1
Рис.1
Рис.4)
Из подобия треугольников следует: ; значит
Измерив расстояния ВС1 и ВС (расстояние от точки В до основания объекта (столба) и расстояние до шеста с вращающейся планкой), зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А1С1 столба.
Определение высоты с помощью тени.
Древнегреческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды, воспользовавшись ее тенью. Измерение высоты с помощью тени проводится в солнечную погоду. Лучи Солнца, падающие на З
Рис.5
емлю, можем считать параллельными, потому что угол между ними достаточно м ал.3 [6]
Измеряется длина тени объекта ВС и длина тени человека, шеста bс, рост человека или высота шеста - аb. Треугольники АВС и аbс - прямоугольные, они подобны по первому признаку подобия. Используя подобие треугольников, составим отношение сходственных сторон: . (Рис.5)
Из составленной пропорции найдём высоту объекта .
Определение высоты с помощью зеркала.
Рис.6
Для определения высоты объекта можно использовать зеркало, расположенное на земле горизонтально (точка С на рисунке). Наблюдатель, отходит от зеркала назад в такую точку D, стоя в которой видит в зеркале верхушку А объекта, высоту которого измеряет. Луч света, отражаясь от зеркала (угол падения равен углу отражения), попадает в глаз человека.
Используя подобие треугольников ∆АВС и ∆СDЕ (прямоугольные, подобны по первому признаку подобия), можно найти высоту предмета АВ, зная рост человека DЕ (до глаз), расстояние от глаз до макушки человека и измеряя расстояние от человека до зеркала СD, расстояние от зеркала до предмета ВС.
; значит (Рис. 6)
Определение высоты с помощью прямоугольного треугольника.
Для измерения высоты объекта СD, нужно приготовить равнобедренный прямоугольный аbс и, держа его вертикально на уровне глаз, отойти на такое расстояние, при котором, глядя вдоль гипотенузы ас, можно увидеть верхушку дерева С. Так как ∠а общий для треугольников, ∠В=∠b=90° (по условию), то треугольники аВС и аbс подобны по первому признаку подобия.
Так как острые углы прямоугольных треугольников равны, то ВС = аВ.
Рис.7
Чтобы найти высоту объекта, нужно к получившейся длине прибавить рост человека аА=ВD.
Высота объекта СD = ВС + ВD. (Рис.7)
Определение высоты с помощью шеста.
Рис.8
Необходимо использовать шест, длина которого равна росту человека. Нужно воткнуть шест в землю. Место для шеста надо выбрать так, чтобы лежа было видно верхушку дерева С на одной прямой линии с верхней точкой шеста с. Abc и – равнобедренные, прямоугольные. Следовательно, АВ = ВС, где ВС - высота измеряемого объекта (Рис.8).
Данный способ применялся в нашей стране при проведении военно-патриотических и спортивных игр.
Нами рассмотрены некоторые способы измерения высоты предмета. На наш взгляд, самые простые и доступные в повседневной жизни. Их могут применять туристы, охотники, лесничие.
В профессиональной деятельности строители, архитекторы, военные для определения высоты предмета используют специальные приборы.
Высотомер (или альтиметр) — прибор, предназначенный для измерения высоты. По принципу устройства высотомеры делятся на барометрические, радиотехнические (в том числе радиовысотомеры), инерциальные, ионизационные и прочие.4[1]
Нивелиры, дальномеры, тахеометры - наиболее востребованные и универсальные приборы для проведения геодезических измерений. Эти приборы применяют профессионалы и получают с их помощью высокую точность измерения, которая требуется при проведении геодезических работ.
Погрешности измерения как мера точности измерения
Погрешность измерения — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.5 [7]
По способу выражения различают абсолютную и относительную погрешность.
Абсолютная погрешность некоторой величины Х обозначается ∆Х. Она равна разности номинального (полученного при измерении значения Х) и ее истинного значения Х ист : ∆Х = Х − Хист.
Относительная погрешность величины Х обозначается