XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Введение

В мире существуют разные числа. Натуральные, целые, четные – разные. В просторах интернета я узнала, что есть такие числа, которые называются числами Фибоначчи. Мне стало интересно, а что это за числа. И кто такой Фибоначчи? Поэтому тема моей исследовательской работы «Числа Фибоначчи».

Объект исследования: математика и числа.

Предмет исследования: числа Фибоначчи.

Гипотеза: применяются ли этичисла Фибоначчи к природным феноменам и процессам, содержатся ли они в объектах живой природы, в растениях, в животных и в человеке?

Цель исследования: изучение чисел Фибоначчи.

Задачи:

1. Узнать, в чем заключается последовательность чисел Фибоначчи.

2. Изучить применение этих чисел в жизни.

3. Изучить, где наиболее часто встречается эта последовательность чисел.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Биография Леонардо Фибоначчи

Леона́рдо Пиза́нский¹  — итальянский купец из Пизы, первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи.

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там математику у арабских учителей. Позже Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков в арабском переводе. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Труд Леонардо Фибоначчи «Книга абака²» способствовал распространению в Европе позиционной системы счисления, более удобной для вычислений, чем римская нотация; в этой книге были подробно исследованы возможности применения индийских цифр, ранее остававшиеся неясными, и даны примеры решения практических задач, в частности, связанных с торговым делом. Позиционная система приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения.

Сам Леонардо Пизанский никогда не называл себя «Фибоначчи». Первое известное нам упоминание «Леонардо Фибоначчи» (Lionardo Fibonacci) содержится в записях нотариуса Священной Римской империи Перизоло (Perizolo da Pisa, Notaro Imperiale) за 1506 год. Слово Fibonacci — сокращение от двух слов «filius Bonacci», появившихся на обложке «Книги абака»; они могли означать либо «сын Боначчо», либо, если интерпретировать слово Боначчи как фамилию, «сын Боначчи». Согласно третьей версии, само слово Боначчи нужно тоже понимать, как прозвище, означавшее «удачливый». Сам он обычно подписывался Боначчи; иногда он использовал также имя Леонардо Биголло — слово bigollo на тосканском наречии значило «странник», а также «бездельник».

Фибоначчи написал несколько математических сочинений: "Liber abaci"³, "Liber quadratorum"⁴, "Practica geometriae"⁵. Наиболее известным из них является "Liber abaci". Сочинение представляло своеобразную математическую энциклопедию эпохи средневековья. Особенный интерес представляет раздел, в котором Фибоначчи сформулировал и решил ряд математических задач, представляющих интерес с точки зрения общих перспектив развития математики. Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., названной впоследствии "рядом Фибоначчи".

При этом отношение соседних чисел стремится к золотому сечению⁶:

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

1.2 Задача «Кролики Фибоначчи»

Некто приобрел пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон загон. Сколько кроликов будет через год, если считать, что каждый месяц пара дает в качестве приплода новую пару кроликов, которые со второго месяца жизни также начинают приносить приплод?

Для решения этой задачи, которая наглядно демонстрируется с помощью рисунка, обозначим через A пару зрелых кроликов, а через B - пару новорожденных кроликов. Тогда процесс "размножения" может быть описан с помощью двух "переходов", которые описывают ежемесячные превращения кроликов в процессе размножения:

(1)

(2)

Заметим, что переход (1) моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В. Переход (2) моделирует процесс "созревания" кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А. Тогда, если мы начнем в первом месяце со зрелой пары А, тогда процесс размножения кроликов может быть представлен с помощью Таблицы 1.

Таблица 1.

Дата	Пары кроликов	A	B	A+B
1-го января	A	1	0	1
1-го февраля	AB	1	1	2
1-го марта	ABA	2	1	3
1-го апреля	ABAAB	3	2	5
1-го мая	ABAABABA	5	3	8
1-го июня	ABAABABAABAAB	8	5	13

Заметим, что в столбцах А и В таблицы 1 указаны количества зрелых и новорожденных пар кроликов в каждом месяце года, а в таблице А+В - суммарное количество кроликов.

Изучая последовательности А, В и (А+В) – чисел, можно установить следующую закономерность в этих числовых последовательностях: каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих. Если теперь обозначить n-й член последовательности, удовлетворяющей этому правилу через F_n, тогда указанное выше общее правило может быть записано в виде следующей математической формулы:

F_n = F_n-1 + F_n-2. (3)

Такая формула называется рекуррентной формулой.

Заметим, что конкретные значения числовой последовательности, порождаемой рекуррентной формулой (3), зависят от начальных значений последовательности F₁ и F₂. Например, мы имеем F₁ = F₂ = 1 для A-чисел и для этого случая рекуррентная формула (3) "генерирует" следующую числовую последовательность:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... . (4)

Для В-чисел мы имеем: F₁ = 0 и F₂ = 1; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... .

Наконец, для (А + В)-последовательности мы имеем: F₁ = 1 и F₂ = 2; тогда соответствующая числовая последовательность для этого случая будет иметь вид:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... .

В математике под числами Фибоначчи, как правило, понимается числовая последовательность (4). Числа Фибоначчи обладают удивительными математическими свойствами.

1.3 Числа Фибоначчи

Чи́сла Фибона́ччи (вариант написания - Фибона́чи) — элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (последовательность A000045 в OEIS⁷),

в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи {\displaystyle \{F_{n}\}}  задаётся линейным рекуррентным соотношением:

{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}},

где {\displaystyle \ n\geqslant 2,\ n\in \mathbb {Z} }n ≥ 2, nZ.

В некоторых книгах, особенно в старых, F₀ {\displaystyle F_{0}}, равное нулю, опускается; тогда последовательность Фибоначчи начинается с {\displaystyle F_{1}=F_{2}=1}F₁=F₂=1.

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
{\displaystyle F_{n}}	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений n{\displaystyle n} как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: F_n= F_n+2 - F_n+1. Легко заметить, что _{{\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}}}F_-n= (-1)ⁿ⁺¹F_n..

Особенности чисел Фибоначчи
1. каждое третье число Фибоначчи четно;
2. каждое четвертое кратно 3;
3. каждое пятнадцатое оканчивается нулем;
4. два соседних числа Фибоначчи взаимно просты.

1.4 Числа Фибоначчи в поэзии А.С. Пушкина
С поэзии А.С. Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции – мерила гармонии и красоты. Для анализа метрики стихотворений
А.С.Пушкина рассмотрены некоторые его произведения. Казалось бы,
величина стихотворения, определяемая числом строк, может изменяться произвольно и непрерывно от самой малой в четыре строки до самых больших. Однако оказалось, что это не так. Размеры стихов распределены совсем не равномерно; выделяются предпочтительные и редко встречающиеся размеры. Распределения стихотворений А.С.Пушкина по числу строк отчетливо выделяется несколько максимумов - наиболее встречающихся размеров. Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34. Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта – он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам ряда Фибоначчи.
Только ли стихотворения А.С. Пушкина тяготеют в своих размерах к числам Фибоначчи? Конечно, нет. И у других поэтов проявляется
тяготение размера стихов к 8,13,21 строчкам, но ни у одного из русских поэтов эта тенденция не выражена так отчетливо, как у А. С. Пушкина.
Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения. Рассмотрим, например, стихотворение А.С. Пушкина "Сапожник"(приложение3).
Проведем анализ этой притчи. Стихотворение состоит из 13 строк. В нем выделяется две смысловые части: первая, в 8 строк, и вторая (мораль притчи), в 5 строк (13, 8, 5 - числа Фибоначчи). Одно из последних стихотворений Пушкина "Не дорого ценю я громкие слова..." (приложение 4) состоит из 21 строки и в нем выделяется две смысловые части: в 13 и 8 строк. Характерно, что и первая часть этого стиха (13 строк) по смысловому содержанию делится на 8 и 5 строк, то есть все стихотворение построено по законам золотой пропорции. Таким образом, числа Фибоначчи играют
в поэзии весьма осмысленную роль, выделяя кульминационный пункт стихотворения.
Преобладание в анализе стихотворений А.С. Пушкина чисел ряда Фибоначчи никак нельзя признать случайностью. Наличие этих чисел выражает одну из фундаментальных закономерностей творческого метода поэта, его эстетические требования, чувство гармонии. Стихотворение «Мадонна» состоит из 14 строк. Стихотворение делится на две смысловые части, основная мысль выражена на 8 строке первой части (приложение5).
Стихотворение «Вакхическая песня» (приложение 6). Вряд ли у кого возникнут сомнения в том, что ставшая крылатой десятая строка стихотворения «Да здравствуют музы, да здравствует разум» концентрирует главную мысль стихотворения. Где расположена эта строка? Точно на линии золотого сечения! (16/10=1,6). В «Сказке о рыбаке и рыбке» 205
строк. Завязка действия состоит из 13 строк, один из кульминационных моментов (старик вытащил сети, увидел в ней непростую рыбку и услышал ее голос) состоит из 5 строк: Как взмолится золотая рыбка
Голосом молвит человечьим: «Отпусти ты, старче, меня в море
Дорогой за себя дам откуп: «Откуплюсь чем только пожелаешь».
Первое обращение старика к рыбке с просьбой заканчивается на 55 строке.
Текст от первой до второй встречи главных героев состоит из 13 строк. О 3 прихоти старухи (хочет быть столбовою дворянкой) мы узнаем на 89 строке. В 4 раз старик идет к морю с просьбой. Ответ рыбки- 144-145 строка.
«Царствовала» старуха недолго: для этого хватило А.С. Пушкину 34 строки, из которых 3 строки – мораль:

«Поделом тебе, старый невежа
Впредь тебе, невежа, наука:

Не садися ни в свои сани».
Старик идет 5 раз к морю, и теперь его встреча с рыбкой является развязкой, которая уместилась на 8 строках. 3 строки составляет ответ рыбки:
«Ничего не сказала рыбка,

Лишь хвостом по воде плеснула
И ушла в глубокое море».

5 последних строк содержат итоговое заключение:
«Долго у моря ждал он ответа,

Не дождался,
к старухе воротился-

Глядь: опять перед ним землянка;

На пороге сидит его старуха,

А пред нею разбитое корыто.

В сказке преобладают числа 3, 1,2, 3, 3, 1,2, 1,2, 13,5, 55,13,89,144, 34,3, 5,8,8. А.С. Пушкин совершенно верно определил все точки кульминационных моментов в каждой смысловой части – будто калькулятор рассчитал число строк, причём все кульминационные моменты этих частей точно вписались в композицию сказки: завязка - 13 строк; основные кульминационные моменты: первый - 5строк; второй – 55 строка; третий – 144 строка; четвертый – 8 строк; развязка – 8 строк. Наличие этих чисел выражает одну из фундаментальных закономерностей творческого метода поэта, его эстетические требования, чувство гармонии.
Золотая пропорция присутствует и в композиции других произведений Пушкина. В рассказе «Станционный смотритель» 377 строк. Кульминационный момент рассказа – это известие о том, что дочь смотрителя уехала с гусаром. Этот момент отражен во фразе, которая является 214 строкой. Здесь почти точное соответствие золотой пропорции.
В маленьком рассказе «Гробовщик» всего 229 строк. Со 139 строки начинается описание страшного сна гробовщика. И здесь переломный момент рассказа приходится почти точно на золотую пропорцию.
Совпадение кульминационных моментов в произведениях А. С. Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3 строк. Чувство гармонии у него было развито необыкновенно, что объективно подтверждает гениальность великого поэта и писателя. Представляет несомненный интерес анализ романа "Евгений Онегин", сделанный Н. Васютинским. Этот роман состоит из 8 глав, в каждой из них в среднем около 50 стихов. Наиболее совершенной, наиболее отточенной и эмоционально насыщенной является восьмая глава. В ней 51 стих. Вместе с письмом Евгения к Татьяне (60 строк) это точно соответствует числу Фибоначчи 55! Н. Васютинский констатирует: «Кульминацией главы является объяснение Евгения в любви к Татьяне – строка «Бледнеть и гаснуть … вот блаженство!». Эта строка делит всю восьмую главу на две части – в первой 477 строк, а во второй – 295 строк. Их отношение равно 1,617! Тончайшее соответствие величине золотой пропорции! Это великое чудо гармонии, совершенное гением Пушкина!» Наиболее выдающиеся произведения поэта, шедевры его творчества явно тяготеют к размерам 8, 13, 21 и 34 строки. К ним относятся стихи «В крови горит огонь желаний…», «Я вас любил, любовь еще, быть может…», и, наконец, одно из последних: «Пора, мой друг, пора! покоя сердце просит…»- все они состоят из 8 строк. В таких замечательных произведениях поэта, как «Сонет», «Поэту», «Мадонна», «Няне», - 12-14 строк. По 20 строк в таких известных произведениях, как «Храни меня, мой талисман», «Во глубине сибирских руд», «Поэт», «Когда в объятия мои», «Я здесь, Инезилья…» и в предсмертном «Я памятник воздвиг себе нерукотворный…»
Числа Фибоначчи не только доминируют в размерах стихотворений А.С. Пушкина, они определяют во многих случаях и внутреннюю композицию стихотворений: число стихов и число строк в них. Из 106 рассмотренных стихотворений в 54 встречаются числа 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. В 16 произведениях стихи состояли из 8 строк (3x8, 5x8, 8x8). Так, в стихотворении «Моя родословная» - 8 восьмистиший, в стихотворении «Друзьям» и «Дорожные жалобы» - 8 четверостиший. Конечно, число 8 удобно для стихосложения еще и потому, что оно четное. Но ведь четными являются и числа 6 и 10, однако они встречаются в произведениях поэта крайне редко. То, что количество в стихах Пушкина соответствует числам Фибоначчи, – вовсе не случайность и не слепая игра вероятности. Это закономерность творческого восприятия поэта, интуитивное чувство гармонии. Хотя сам поэт признавал, что нельзя «алгеброй гармонию разъять», но математические законы действуют в его поэзии независимо от автора. Интуиция Пушкина была необычайно сильной и плодотворной. Это основа его гениальности. Числа Фибоначчи прослеживаются и в поэзии М. Ю. Лермонтова.

1.5 Числа Фибоначчи в природе

Подсолнухи являются отличными примерами последовательности Фибоначчи, потому что семена в центре цветка организованы в два набора спиралей — короткие, идущие по часовой стрелке от центра, и более длинные — против часовой стрелки. Если считать спирали последовательно, то, видимо, всегда найдутся числа Фибоначчи. (приложение 7)

Последовательность Фибоначчи можно также увидеть в форме или разделении ветвей дерева. Основной ствол будет расти до тех пор, пока он не создаст ветвь, которая создает две точки роста. Затем один из новых стеблей разветвляется на два, в то время как другой находится в состоянии покоя. Такая картина ветвления повторяется для каждого из новых стеблей. Корневая система и даже водоросли также демонстрируют эту закономерность. (приложение 8)

Вот еще несколько примеров, где вы можете найти спираль Фибоначчи в природе. (приложение 9,10,11)

Филлотаксис (листорасположение) у растений описывается последовательностью Фибоначчи, если листья (почки) на однолетнем приросте (побеге, стебле) имеют так называемое спиральное листорасположение. При этом число последовательно расположенных листьев (почек) по спирали плюс один, а также число совершенных при этом полных оборотов спирали вокруг оси однолетнего прироста (побега, стебля) выражаются обычно первыми числами Фибоначчи.

Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветков, ячейки ананаса также располагаются согласно последовательности Фибоначчи. Неудивительно, что спиральные галактики также следуют знакомой схеме Фибоначчи. Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет логарифмическую спираль около 12 градусов. (приложение 12)

1.6 Числа Фибоначчи в теле человека

Есть много примеров соотношений частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, например, рука и, в частности, кости пальца (приложение 13).

Каждая кость указательного пальца, от кончика до основания запястья, больше предыдущей примерно на коэффициент Фибоначчи 1,618, что соответствует числам Фибоначчи 2, 3, 5 и 8.

Почему эта последовательность настолько уникальна?

Числа Фибоначчи описывают различные явления в искусстве, музыке и природе. Числа спиралей на большинстве шишек и ананасах равны числам Фибоначчи. Расположение листьев и ветвей на стеблях многих растений соответствуют числам Фибоначчи. На пианино количество белых (8) клавиш и черных (5) клавиш в каждой октаве (13) являются числами Фибоначчи. Длины и ширины многих прямоугольных предметов, таких как учетные карточки, окна, игральные карты и пр. соответствуют последовательным числам ряда Фибоначчи.

Глава 2. Практическая часть

2.1 Исследование. Соотношение костей указательного пальца руки

Мы провели исследование среди учащихся 8В класса, 5А класса и среди своих родственников. Мы хотели проверить соотношение частей тела человека на основе последовательности Фибоначчи, в частности, костей указательного пальца руки.

Эксперимент №1

В эксперименте участвовали 15 человек из 8В класса (см. приложение 14). Вывод: соотношение костей указательного пальца тяготеет к числам Фибоначчи.

Эксперимент №2

В эксперименте участвовали 18 человек из 5А класса (см. приложение 15). Вывод: соотношение костей указательного пальца руки в основном тяготеет к числам Фибоначчи.

Эксперимент №3

В эксперименте участвовали 10 человек. (см. приложение 16).

Вывод: соотношение костей указательного пальца в основном тяготеет к числам Фибоначчи.

Заключение
В ходе проделанной работы мы выполнили поставленные перед нами задачи исследования. Узнали, кто такой Леонардо Пизанский. Рассмотрели знаменитую задачу Фибоначчи о кроликах. Познакомились с числами Фибоначчи. А также исследовали некоторые произведения А.С. Пушкина с точки зрения математики.

Цель достигнута. Наша гипотеза подтвердилась. Числа Фибоначчи окружают нас повсюду. Они и в музыке, и в архитектуре, в поэзии, математике, экономике, на фондовом рынке, в строении растений, в спирали улитки, в пропорциях человеческого тела и так далее, до бесконечности.

Список использованных источников и литературы

1. https://ru.wikipedia.org/wiki время доступа 18.01.2021

2. http://e-maxx.ru/algo/print_fibonacci_numbers время доступа 20.01.2021

3. https://lusana.ru/fullpresentation/5879/573/3 время доступа 23.01.2021

4. https://medium.com/paradox- время доступа 24.01.2021

5. https://schoolfiles.net/3213089 время доступа 17.01.2021

6. Васюткинский Н. А. «Золотая пропорция» - М.: «Молодая гвардия» 1990 г.
7. Волошинов А.В. «Математика и искусство»-М.:«Просвещение» 2000 г.
8. Розенов Э. К. Закон золотого сечения в поэзии и музыке. – Розенов Э. К. Статьи о музыке. – М., 1982
9. Сороко Э. М. Структурная гармония систем. – Минск, 1984, с. 88.
10. В.В. Зарудко. - «Золотое сечение. Традиция и современность». -2003
11. Ю.В. Келдыш. – Музыкальная энциклопедия. – Издательство «Советская энциклопедия». – Москва. – 1974г. – стр. 958.
12. Пидоу Д. «Геометрия и искусство» «Мир» 1989 г.
13. В.С. Смирнов. – «Золотое сечение – основа математики и физики будущего. Спираль развития Вселенной». – Санкт – Петербург. – Типография ИПТ. – 113стр. – 1997г.
14. Смирнова Е. С., Леонидова Н. А. «Математическое путешествие в мир гармонии».

М.А.А. Соколов. - «Тайны Золотого сечения» - «Техника молодежи». –
Тимердинг Г. Е. Золотое сечение (Петроград: Научное книгоизд-во, 1924)
15. Стахов А. П. Коды золотой пропорции (М.: Радио и связь, 1984)
16. Сайт в Интернете http://www.portal-slovo.ru. Васютинский Н. «Золотая пропорция».

Приложение

Приложение 1.

Приложение 2. Решение задачи о кроликах Фибоначчи

Приложение 3. Стихотворение А.С.Пушкина «Сапожник»

Картину раз высматривал сапожник

И в обуви ошибку указал;

Взяв тотчас кисть, исправился художник.

Вот, подбочась, сапожник продолжал:

«Мне кажется, лицо немного криво…

А эта грудь не слишком ли нага?»…

Тут Апеллес прервал нетерпеливо:

«Суди, дружок, не свыше сапога!»

Есть у меня приятель на примете:

Не ведаю, в каком бы он предмете

Был знатоком, хоть строг он на словах,

Но черт его несет судить о свете:

Попробуй он судить о сапогах!

Приложение 4. Стихотворение А.С.Пушкина «Не дорого ценю я громкие права…»

Не дорого ценю я громкие права,

От коих не одна кружится голова.

Я не ропщу о том, что отказали боги

Мне в сладкой участи оспоривать налоги

Или мешать царям друг с другом воевать;

И мало горя мне, свободно ли печать

Морочит олухов, иль чуткая цензура

В журнальных замыслах стесняет балагура.

Все это, видите ль, снова, слова, слова*.

Иные, лучшие, мне дороги права;

Иная, лучшая, потребна мне свобода:

Зависеть от царя, зависеть от народа -

Не все ли нам равно? Бог с ними.

Никому

Отчета не давать, себе лишь самому

Служить и угождать, для власти, для ливреи

Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи;

По прихоти своей скитаться здесь и там,

Дивясь божественным природы красотам,

И пред созданиями искусств и вдохновенья

Трепеща радостно в восторгах умиленья.

— Вот счастье! вот права...

Приложение 5. Стихотворение А.С.Пушкина «Мадонна»

Не множеством картин старинных мастеров

Украсить я всегда желал свою обитель,

Чтоб суеверно им дивился посетитель,

Внимая важному сужденью знатоков.

В простом углу моем, средь медленных трудов,

Одной картины я желал быть вечно зритель,

Одной: чтоб на меня с холста, как с облаков,

Пречистая и наш божественный спаситель —

Она с величием, он с разумом в очах —

Взирали, кроткие, во славе и в лучах,

Одни, без ангелов, под пальмою Сиона.

Исполнились мои желания. Творец

Тебя мне ниспослал, тебя, моя Мадонна,

Чистейшей прелести чистейший образец.

Приложение 6. Стихотворение А.С.Пушкина «Вакхическая песня»

Что смолкнул веселия глас?

Раздайтесь, вакхальны припевы!

Да здравствуют нежные девы

И юные жены, любившие нас!

Полнее стакан наливайте!

На звонкое дно

В густое вино

Заветные кольца бросайте!

Подымем стаканы, содвинем их разом!

Да здравствуют музы, да здравствует разум!

Ты, солнце святое, гори!

Как эта лампада бледнеет

Пред ясным восходом зари,

Так ложная мудрость мерцает и тлеет

Пред солнцем бессмертным ума.

Да здравствует солнце, да скроется тьма!

Приложение 7. Числа Фибоначчи в подсолнухе

Приложение 8. Числа Фибоначчи в ветвях деревьев

Приложение 9. Спираль Фибоначчи

Приложение 10. Спираль Фибоначчи в метеорологии

Приложение 11. Положение кота в виде спирали

Приложение 12. Галактика в форме спирали Фибоначчи

Приложение 13. Числа Фибоначчи в теле человека

Приложение 14. Исследование

Эксперимент.

Таблица №1. Учащиеся 5А класса

№ п/п	Длина дистальной (ногтевой) фаланги указательного пальца	Длина средней фаланги указательного пальца	Длина проксимальной фаланги указательного пальца	Длина пястной кости указательного пальца
1	2 см	2,5 см	4,5 см	8 см
2	2 см	3 см	4,5 см	8,5 см
3	2 см	3 см	4,5 см	8,8 см
4	2,2 см	2,8 см	4,5 см	8,5 см
5	2,3 см	3 см	4 см	8 см
6	2 см	3 см	4,5 см	8 см
7	2,3 см	2,8 см	4 см	8 см
8	2,4 см	3 см	5 см	8 см
9	2,3 см	3 см	4,5 см	8 см
10	2,2 см	3 см	4,8 см	8,5 см
11	2,3 см	2,5 см	4,5 см	8,5 см
12	2 см	3 см	4,5 см	8,5 см
13	2,5 см	3,5 см	5,5 см	9 см
14	2 см	3 см	4,5 см	8,5 см
15	2,5 см	3 см	5 см	8,5 см
16	2 см	2,5 см	4,5 см	9 см
17	2 см	2,5 см	4,5 ми	9 см
18	2 см	3 см	5 см	9 см

Таблица №2. Учащиеся 8В класса

№ п/п	Длина дистальной (ногтевой) фаланги указательного пальца	Длина средней фаланги указательного пальца	Длина проксимальной фаланги указательного пальца	Длина пястной кости указательного пальца
1	2,5 см	3 см	5 см	9,5 см
2	2,6 см	4 см	5,5 см	10см
3	2,4 см	3,5 см	5 см	10см
4	2,6 см	3,5 см	5,5 см	9,5 см
5	2,5 см	3,5 см	5,5 см	11 см
6	2,7 см	4 см	6 см	11 см
7	2 см	2,8 см	4,8 см	10 см
8	2,4 см	3 см	5 см	8,5 см
9	2,5 см	3 см	5,5 см	10,5 см
10	2,5 см	3,5 см	5,5 см	10 см
11	2,5 см	3,5 см	5 см	10 см
12	2 см	3 см	5,5 см	10,5 см
13	2,5 см	3,5 см	5,5 см	10,5 см
14	2,2 см	3 см	5 см	9,5 см
15	2,5 см	3,5 см	5 см	10 см

Таблица №3. Родственники

№ п/п	Длина дистальной (ногтевой) фаланги указательного пальца	Длина средней фаланги указательного пальца	Длина проксимальной фаланги указательного пальца	Длина пястной кости указательного пальца
1	2 см	3 см	5 см	8 см
2	2,3 см	5,5 см	9,5 см	12,5 см
3	2,6 см	3,7 см	8,6 см	11,5 см
4	2 см	3 см	5 см	8 см
5	2,6 см	3,5 см	5,5 см	9,5 см
6	2,7 см	4 см	6,2 см	11,2 см
7	2 см	3 см	5 см	9 см
8	2 см	3 см	5 см	9 см
9	2,5 см	3,8 см	5,9 см	9,5 см
10	2 см	3 см	5,3 см	8,3 см

Приложение 16. Исследование. Эксперимент №2

Приложение 17.Исследование. Эксперимент №3

1лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза — около 1250 года.

2 Абак — семейство древних счётных досок — предшественников счётов.

3 Книга абака.

4 Книга квадратов и цветок.

5 Практика геометрии.

6 Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — соотношение двух величин {\displaystyle a}a и b{\displaystyle b}, при котором бо́льшая величина относится к меньшей, так же, как сумма величин к бо́льшей, то есть:  = {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}.}

7 Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей — сетевая энциклопедия, содержащая записи о последовательностях целых чисел, таких как числа Фибоначчи, числа Белла, числа Каталана, простые числа.