XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение уравнений третьей степени методом двух прямых углов
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Решение алгебраических уравнений представляют собой одну древнейших математических задач, которой занимались самые выдающиеся математики древности, например Диофант, П. Ферма, Л. Эйлер, Л. Лагранж, П. Дирихле, К Гаусс, П. Чебышев и многие другие. В школьном курсе решение уравнений рассматривается исключительно в курсе алгебре, где мы узнали о некоторых методах их решения, таких как вынесение за скобку, метод группировки, введение новой переменной.
Школьные курсы алгебры и геометрии, как будто не имеет не чего общего. В геометрии изучаются фигуры, в алгебре, числа и зависимости. В курсе геометрии мы рассматривали построение геометрических фигур, по их элементам с помощью циркуля и линейки. Но нечего не слыхала о применение геометрических приемов использующихся, для построения фигур, к нахождению корней уравнений. С задачами, в которых бы использовались свойства и методы построения фигур вообще не встречаются.
Актуальность: исследовательская работа позволит увидеть связь геометрии и алгебры.
Цель: показать единство алгебры и геометрии при решении уравнений третьей степени.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить задачи:
1. Познакомится с методом нахождения корней уравнения третьей степени, с помощью двух прямых углов;
2. Убедится, что с помощью метода двух прямых углов можно найти корень уравнения у различные по виду уравнений третьей степени.
3. Научится находить корень уравнения третьей степени с помощью двух прямых углов.
Объект: кубические уравнения.
Предмет исследования: метод двух прямых углов.
Гипотеза — геометрия позволяет решать и чисто алгебраические задачи. Данный метод может помочь на экзамене при решение уравнений третьей степени.
В процессе выполнения работы применялись такие методы исследования: сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературы.
Практичность: материал может быть интересен и полезен учащимся, желающим познакомиться с применение геометрии для решения уравнений третьей степени. Может быть использован для изучения на элективных занятиях, при подготовке к олимпиаде, для самостоятельного изучения. Будет способствовать повышению математической культуры, а так же совершенствованию навыка написания исследовательской работы.
Обзор литературы: В своей исследовательской работе теоретический материал был взят из книг Август Адлера «Теория геометрических построений» и И. И. Александрова «Сборник геометрических задач на построение».
1. Теоретическая часть.
1.1 Решение уравнения вида ах3 - b=0
Пусть будут даны две взаимно перпендикулярные прямые f и g. Точку А отметим на прямой f, так чтобы ОА =а. Точку D отметим на прямой g, так чтобы ОD=b.ABCD – прямоугольная ломаная линия, выбранная так, что А и С лежат н
а f, а B и D – наg. (рис. 1).
рис. 1
Из прямоугольных треугольников АОВ, СОD, ВОСtgα=х/а= у/х = b/у. Если а=1, то х2=у и у2=хb. Из двух этих уравнений получаем х4=хb и отсюда х3=b.
Если а и b даны, то, х можно определить, построив прямоугольную ломаную линию АВСD. Две ее вершины ее А и D даны, а две другие, В и С должны быть построены.
Если имеются в распоряжении два подвижных прямых угла, то задача
может строго разрешена. Нужно лишь оба прямых угла расположить в плоскости чертежа так, чтобы они соприкасались вдоль одного катета и чтобы второй катет одного угла проходил через А, а второй – через D. Далее, вершина первого ушла должна лежать на g, вторая – на f. Правильного расположения углов достигают после короткого передвижения, в результате чего получается строгое решение уравнения.
Вывод: С помощью двух прямых углов можно найти корень уравнения ах3=b.
1.2 Решение уравнений третье степени с помощью двух прямых углов.
Дано уравнение: а0x³+a1x²+a2x+a3=0, где а0, a1, a2, a3 – рациональные числа.
Начертим прямоугольную ломаную линию AВCDE, стороны которой по порядку равны а0, a1, a2, a3. Первые две стороны должны быть взаимно перпендикулярно. Для следующих же сторон: параллельные стороны ломаной одинаково или неодинаково направлены в зависимости от того, имеют ли соответствующие коэффициенты противоположные или одинаковые знаки.
Р
ис.2
На рисунке 2 отрезки а0, a2, имеют противоположные знаки, одинаково направлены, a1, a3 имеют одинаковые знаки, противоположно направлены.
Строим при А произвольный угол α и чертим ломаную AFGH. Тогда
FB = a0 tg α = a0x, если tg α = x.
Далее: FC =a0x+a1, СG =(a0x+a1)x, DG =a0x2 +a1x+a2, EH =a0x3 + a1x2 + a2x + a3
Если точка Н совпадает с Е, то ЕН = 0, тогда х = tgαявляется корнем уравнения.
Из приведенного рассуждения ясно, как решить уравнение: нужно лишь определить угол α, так, чтобы ломанная линия АFGH заканчивалась в точке Е. Такую ломаную линию легко построить с помощью двух прямых углов.
Если с помощью двух прямых углов найдена ломанная, то необходимо еще исследовать, какой знак имеет tg α.
Выводы: с помощью двух прямых углов углов можно найти один из корней уравнения а0x³ + a1x² + a2x + a3 = 0, и в общем случае выполнив деление многочлена на двучлен х - х0, где х.0 найденный корень получим квадратное уравнение, корни которого мы умеем находить.
2. Практическая часть.
В зависимости от значений коэффициентов все уравнения можно разбить на группы:
1) Простые уравнения: x³+a3=0, x³+a1x²+a2x=0, x³+a2x=0, x³+a1x²=0.
2) Сложные уравнения: x³+a1x²+a3=0, x³+a2x+a3=0, x³+a1x²+a2x+a3=0.
Рассмотрим решение уравнений каждого вида алгебраическим методом и геометрическим, методом двух прямых углов.
Пример 1.Решите уравнение х3+ 8=0.
1 способ. Алгебраический метод.
х3=8 х= 2 Ответ: х= 2
х3= - 8 х= - 2 Ответ: х= -2.
2 способ Метод двух прямых углов
Коэффициенты а0= 1, и а4= + 8. Начертим прямоугольную ломаную линию AВCDE (рис. 3)
р
ис.3
Получаем tgα=4/2=2. Подстановкой убеждаемся, что число 2 является корнем первого уравнения, а -2 корнем второго уравнения.
Пример 2. Решите уравнение x³+2x2=0
1 способ. Алгебраический метод.
х2(х+2)=0 х= 0 или х= - 2 Ответ: 0, - 2
х2(х - 2)=0 х=0 или х= 2 Ответ: х= -2.
2 способ Метод двух прямых углов
К
оэффициенты а0= 1, и а1= + 2. Начертим прямоугольную ломаную линию AВCDE (рис. 4)
рис. 4
Получаем tgα=4/2=2. Подстановкой убеждаемся, что число - 2 является корнем первого уравнения, а 2 корнем второго уравнения.
Пример 3. Решите уравнение x³+4x=0
1 способ. Алгебраический метод.
х(х2+4)=0 х= 0 Ответ: 0.
х(х2 - 4)=0 х=0 или х= +2 Ответ: 0, +2.
2 способ Метод двух прямых углов
Коэффициенты а0= 1, и а2=4. Начертим прямоугольную ломаную линию AВCDE (рис. 5)
Коэффициенты а0= 1, и а2= - 4. Начертим прямоугольную ломаную линию AВCDE (рис. 6)
рис. 5 рис. 6
Для первого уравненияполучаемtg0=0. Для второго уравнения имеем tgα=4/2=2, число2 является корнем второго уравнения.
Пример 4а. Решите уравнение x³+2х2+x=0
1 способ. Алгебраический метод.
х(х2+2х+1)=0, х(х+1)2=0, х=0 или х= -1. Ответ: 0. - 1.
2 способ Метод двух прямых углов
Коэффициенты а0= 1, и а1=2, а2= 1. Коэффициент а0=1, а2=1 одинаковых знаков, отрезки АВ и СD противоположно направлены. Начертим прямоугольную ломаную линию AВCDE (рис. 7)
рис. 7
Имеем tgα=2/2=1, число 1 является корнем уравнения.
Пример 4б. Решите уравнение 3x³- 2х2 - x=0
1 способ. Алгебраический метод. х(3х2 - 2х - 1)=0, х=0 или х=1, х= -1/3. Ответ: 0, 1, - 1/3.
2 способ Метод двух прямых углов.
Коэффициенты а0= 3, а1= - 2, а2= - 1. Коэффициент а0=3, и а2= - 1противоположных знаков, отрезки АВ и СD одинаково направлены. Начертим ломаную линию AВCDE. (рис. 8)
р
ис. 8
Имеем tgα=2/6=1/3, число - 1/3 является корнем уравнения.
Пример 5а. Решите уравнение x³ - 2х2+1=0
1 способ. Алгебраический метод. х3 - х2 - х2+1=0, х2(х - 1) - (х2 - 1)=0, х2(х - 1) - (х - 1)(х+1)=0, (х - 1)(х2 - х — 1)=0, х= 1 или х2 - х - 1=0, х=1 или х1,2=(1+√5)/2, Ответ: 1, (1+√5)/2
2 способ Метод двух прямых углов
Коэффициенты а1= -2, и а4= 1 противоположных знаков, отрезки АВ и СD одинаково направлены, а0= 1, а3= 0. Начертим прямоугольную ломаную линию AВCDE (рис. 9)
р
ис. 9
Имеем tgα=2/2=1, число 1 является корнем уравнения.
Пример 5б. Решите уравнение 3x³ - 2х2 - 1=0
1 способ. Алгебраический метод. 3х3 - 3х2 + х2 - 1=0, 3х2(х - 1)+(х+1)(х - 1)=0, (х - 1)(3х2+х+1)=0, х=1 или 3х2+х+1=0, квадратное уравнение корней не имеет. Ответ: 1.
2 способ Метод двух прямых углов
Коэффициенты а1= -2, и а4= - 1 одинаковых знаков, отрезки АВ и СD противоположно направлены, а0= 3, а3= 0. Начертим прямоугольную ломаную линию AВCDE (рис. 10)
р
ис. 10
Имеем tgα=2/2=1, число 1 является корнем уравнения.
Пример 6. Решите уравнение х3 +4х2 - 9х - 36=0
1 способ Алгебраический способ.
Метод группировки. х3 +4х2 - 9х - 36=0, (х3 +4х2 )+(- 9х - 36)=0, х2(х+4) — 9(х+4)=0,
(х+4)(х2 - 9)=0, (х+4)(х - 3)(х+3)=0. Ответ: х= - 4, х=3, х= - 3
2 способ Метод двух прямых углов
Коэффициент а0=1, и а2= - 9 противоположных знаков, отрезки АВ и СDодинаково направлены, коэффициенты а1=4 и а4= - 36 противоположных знаков, отрезки ВС и DЕ одинаково направлены. Начертим прямоугольную ломаную линию AВCDE (рис 11).
р
ис. 11
Имеем tgα=4/1=4, число - 4 является корнем уравнения.
Выводы: на конкретных примерах убедились, что метод дух прямых углов позволяет найти один из корней уравнений третьей степени не зависимо от его вида. Но зная один из корней, методом деления многочлена на двучлен можно найти и остальные его корни. Как это сделать можно найти в приложение 1.
Заключение.
В ходе исследовательской работы были решены различные уравнения третьей степени методом двух прямых углов. И убедились, что чисто геометрические методы позволяют решать и алгебраические задачи. Увидели связь таких наук как геометрия и алгебра, на примере решения уравнений третьей степени.
Были выполнить поставленные задачи, так как познакомились с методом нахождения корней уравнения третьей степени, с помощью двух прямых углов, тем самым повысили уровень математической культуры и получили навык написания исследовательской работы.
Тем самым наша гипотеза частично подтвердилась. Так как геометрия позволяет решать и алгебраические задачи. Но данный метод не может помочь на экзамене при решение уравнений третьей степени,так как позволяет найти только один корень и не очень удобен при решение уравнений.
Литература.
И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение с решением, под ред. Н. В. Науймович, 18 изд., - Л.: УЧПЕДГИЗ, 1950
Август Адлер, Теория геометрических построений, перевод с немецкого Г.М. Фиктельгольц, - 3 изд, Л.: УЧПЕДГИЗ, 1940
А. Г. Мордкович. Алгебра. 8 класс. 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М: Мнемозина, 2010 г.
А. Г. Мордкович. Алгебра. 9 класс. 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. М: Мнемозина, 2010 г.
Открытый банк заданий по математике, http://www.mathgia.ru/or/gia12/Main
ЕГЭ и ГИА по математике http://alexlarin.net/ege17.html
Приложение 1.
1) х3+ 8=0
х3+ 8 \х+2 х2 - 2х +4=0
х3 + 2х2 \х2 - 2х+4 D= - 12
- 2х2+8 корней нет
- 2х2 - 4х
4х+8
4х+8
0
Ответ: - 2
2) x³+2x2=0
x³+2x2 \х+2
х3+2х2 \х2
0
3) x³ - 4x=0
x³ - 4x \х + 2 х2 - 2х=0
х3+2х2 \х2 - 2х х(х - 2)=0
- 2х2 — 4х х =0 или х=2
- 2х2 - 4х
0
Ответ: 0, 2, - 2.
4) x³ - 2х2+x=0
x³ - 2х2+x \х - 1 х2 - х=0
х3 - х2 \х2 - х х(х - 1)=0
- х2+х х=0 или х=1
-х2+х
0
Ответ: 0, 1
5) 3x³- 2х2 - x=0
3x³- 2х2 - x \х - 1 3х2+х=0
3х3 - 3х2 \3х2+х х(3х+1)=0
х2 - х х=0 или х=-1/3
х2 - х
0
Ответ: 0, 1, -1/3
6) x³ - 2х2+1=0
x³ - 2х2+1 \х - 1 х2 - х - 1=0
х3 - х2 \х2 - х - 1 D=5
- х2+1 х=(1+√5)/2
- х2+х
- х+1
- х+1
0
Ответ: 1, (1+√5)/2
7) 3x³ - 2х2 - 1=0
3x³ - 2х2 - 1 \х - 1 3х2+х+1=0
3x³ - 3х2 \3х2+х+1 D= - 11
х2 — 1 корней нет
х2 - х
х - 1
х - 1
0
Ответ: 1
8) х3 +4х2 - 9х - 36=0
х3 +4х2 - 9х - 36 \х+4 х2 - 9=0
х3+4х2 \х2 - 9 х=+3
- 9х - 36
-9х - 36
0
Ответ: - 4, 3, - 3.