XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Умножение со всего мира
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В нашей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними.
Человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислений. Поэтому на уроках математики нас, в первую очередь учат выполнять действия над числами, то есть считать. Умножаем, делим, складываем и вычитаем мы привычными для всех способами, которые изучаются в школе. Умножать нас учат стандартно - столбиком.
Однажды, я случайно увидел в интернете японский способ умножения. Он мне очень понравился и мне захотелось узнать, есть ли и другие способы умножения. Оказалось, что есть и все они интересные и, возможно, более рациональные, чем традиционный метод столбиком.
Постоянное применение современной вычислительной техники приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины. Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате механизированных вычислений. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память, повышает уровень математической культуры мышления, помогает полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.
Те способы вычислений, которыми мы пользуемся сейчас, не всегда были так просты и удобны. В старину пользовались более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник 21 века мог перенестись на пять веков назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих вычислений. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера.
Особенно трудны в старину были действия умножения и деления. Тогда не существовало одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления - приемы один другого запутаннее, запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.
В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках».
И все эти приемы умножения - «шахматный или органчиком», «загибанием», «крестиком», «решеткой», «задом наперед», «алмазом» и прочие соперничали друг с другом и усваивались с большим трудом.
Цель работы:
Ознакомление с различными способами умножения натуральных чисел больше 10, не используемых на уроках и их применение при вычислениях числовых выражений.
Задачи работы:
Собрать и проанализировать информацию о некоторых нетрадиционных способах умножения.
Научиться применять некоторые необычные способы умножения и рассказать ученикам начальной школы про них.
Провести анкетирование среди учеников начальной школы, обобщить собранную информацию и выявить более понравившийся способ умножения для меня и учеников начальной школы.
Проанализировать нетрадиционные способы умножения с целью выявления их достоинств и недостатков.
Оформить информацию о необычных способах умножения в виде буклета для учащихся.
Актуальность:
В последнее время ученики доверяют гаджетам больше, чем себе. Многие считают только на калькуляторах. Я хочу показать, что есть разные способы умножения, с которыми ученикам будет легче считать и интересно учить.
Новизна
Поисковое нахождение наиболее рационального способа умножения.
Гипотеза исследования:
Графический (японский) метод умножения самый удобный и рациональный, так как он является визуальным и там ничего не надо перемножать.
Чтобы освоить умножение многозначных чисел, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения). Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.
Индусы, с давних времён знавшие десятичную систему счисления, предпочитали устный счёт письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, — умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, его автором принято считать Адама Ризе, популярного немецкого педагога (1492-1559). В его руках этот метод получил последнюю отделку и завершение, и теперь этот метод считается самым удобным. В следующем столетии способ умножения столбиком прочно вошёл в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие. Давайте рассмотрим некоторые из них.
Глава 1. Теоретическая часть
Графический (Японский) способ умножения
или способ индейцев Майя.
Относительно происхождения этого способа существует несколько версий. Некоторые говорят, что его придумали индейцы цивилизации майя, населявшие районы Центральной Америки до прибытия туда конкистадоров в XVI веке. Он также известен как японский метод умножения, поскольку учителя в Японии используют именно этот визуальный способ, когда учат младших школьников умножению. По некоторым сведениям, так умножают числа и в Китае. Забавно, но в нем заучивание вовсе не требуется! Достаточно нарисовать несколько полосок на листке бумаги. Звучит странно и слишком легко.
Суть в том, что параллельные и перпендикулярные линии представляют цифры тех чисел, которые нужно перемножить. Умножать можно любые многозначные числа.
Например, чтобы умножить 34 на 23 нужно на листе бумаги поочередно нарисовать линии, количество которых определяется из данного примера (Приложение 1).
Сначала 34: 3 зеленые линии и чуть ниже - 4 черные. Затем 23: перпендикулярно уже нарисованным, надо нарисовать сначала 2 красных линии, затем - 3 синих. ВАЖНО: линии первого числа рисуются в направлении из верхнего правого угла в нижний левый, второго числа - из верхнего левого, в нижний правый. Затем надо посчитать количество точек пересечения в каждой из трех областей (на рисунке области обозначены в виде окружностей). Итак, в первой области (область сотен) - 6 точек, во второй (область десятков) - 17 точек, в третьей (область единиц) - 12 точек. Затем нужно перенести десятки к десяткам, а сотни к сотням. Из области единиц (число 12) 1 нужно перенести к 17, а из области десятков (число 17) тоже 1 нужно перенести к 6. Получается: область единиц 2, область десятков 17+1=18, область сотен 6+1=7. Следовательно, собирается число: 782.
Жаль, что с большими числами по типу 99, будет не очень удобно считать. Основная проблема такого решения - неудобства при счете чисел с цифрами больше пяти. Не каждый станет рисовать восемнадцать линий на других восемнадцати. Если умножать трех или четырехзначные числа с большими цифрами, то можно легко запутаться.
Достоинство этого способа в том, что он является визуальным, ничего не нужно перемножать, можно умножать любые многозначные числа. Этот способ умножения подходит даже для учеников 1 класса. Недостаток же состоит в трудоемкости черчения линий и повышенной внимательности.
Индийский способ или
итальянское умножение "решеткой" - "джелозия".
Этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения — в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». А в Италии его называли «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского — «жалюзи», «решётчатые ставни»). Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями-жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.
В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.
Этот способ позволяет перемножать любые многозначные числа.
Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты, причём размеры сторон прямоугольника соответствуют числу десятичных знаков у множимого и множителя. Затем квадратные клетки, делятся по диагонали, и «…получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи, - пишет Пачиоли. – Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь». Итальянский математик Лука Пачиоли является основателем данного способа умножения.
«Метод решетки» («ревность») описал в своей «Книге об индийском счете» выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми.
Для того, чтобы вычислить произведение 34 × 23. Нужно сначала нарисовать таблицу с квадратными клетками, в которой будет два столбца и две строки, — по количеству цифр в множителях. Затем разделить клетки пополам по диагонали. Над таблицей записать число 34, а с правой стороны вертикально — число 23. Затем перемножить каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и записать произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения получаются сложением цифр в косых полосах. При этом нужно двигаться, начиная с правой нижней клетки: 2, 8+1+9, 0+6, 0. Записываются результаты под таблицей, а также слева от неё. (Если при сложении получится двузначная сумма, указываются только единицы, а десятки прибавляются к сумме цифр из следующей полосы.) Ответ: 782. Итак, 34*23=782 (Приложение 2).
Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат.
Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.
Недостаток этого способа заключается в построении прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.
Русский способ умножения.
Способ этот был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Таблица умножения в этом деле без надобности. Этим способом можно умножать любые многозначные числа.
Однако, как поступить, если при этом приходится делить пополам нечётное число? В этом случае от нечётного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечётных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением.
Иными словами, нужно выделить строки с нечётными левыми числами, а затем суммировать числа правого столбца из выделенных строк к последнему числу правого столбца.
У нас как-раз пример с нечетным числом:
34 23
17 46
8 92
4 184
2 368
1 736
34 * 23 = 736 + 46 = 782
Проще умножить традиционным способом столбиком, чем постоянно удваивать второе число – это главный недостаток русского способа умножения.
Примечателен также и древнерусский способ умножения на пальцах, который являлся одним из наиболее употребительных методов, которым успешно пользовались на протяжении многих столетий российские купцы. Они научились умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. При этом достаточно было владеть начальными навыками пальцевого счета “единицами”, “парами”, “тройками”, “четверками”, “пятерками” и “десятками”. Пальцы рук здесь служили вспомогательным вычислительным устройством.
Для этого на одной руке загибали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Потом бралось число (суммарное) загнутых пальцев и умножалось на 10, далее перемножались числа, показывавшие, сколько вытянутых пальцев на руках, а результаты складывались.
Например, надо умножить 9 на 6. Нужно будет загнуть 4 (9-5) пальца на одной руке и 1 (6-5) палец на другой. Если сложить количество загнутых пальцев (4+1=5) и перемножить количество вытянутых (1•4=4), то получаются соответственно числа десятков и единиц искомого произведения - 54. Так можно вычислять произведение любых однозначных чисел, больше 5.
Умножение крестиком.
Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».
Этот способ позволяет перемножать только двузначные числа.
Он достаточно прост и быстр, рассмотрим на нашем примере 34*23.
Нужно расположить числа одно под другим:
3 4
Х
2 3
Теперь последовательно нужно произвести следующие действия:
Сначала надо перемножить правые цифры по вертикали – 4*3=12 (2 – последняя цифра результата (единицы), 1 надо запомнить и прибавить к десяткам).
Затем надо перемножить и сложить цифры крест на крест – 3*3=9 и 4*2=8, 9+8=17 (7+1=8 – средняя цифра результата (десятки), 1 надо запомнить и прибавить к сотням).
Потом надо перемножить левые цифры по вертикали – 3*2=6 (6+1=7 – первая цифра нашего результата (сотни)).
Нужно собрать число: 7, 8, 2 – 34*23=782.
Достоинство этого способа в удобстве. Очень легко запомнить порядок расчета, умножить, сложить и собрать число. Для современного ученика с его знаниями этот процесс не составит никакой сложности.
Недостаток этого способа в том, что можно перемножать только двузначные числа, то есть для чисел с большей разрядностью этот метод не подходит, а остальными способами можно умножать любые многозначные числа.
Что точно можно утверждать - так это то, что все эти разные способы дали нам один и тот же результат!
Пришлось все-таки кое-что перемножать в процессе, но каждый метод был гораздо более нагляднее и интереснее, чем умножение традиционным способом, хотя эти способы занимают больше времени, чем традиционный способ «столбиком».
Глава 2. Анкетированиесреди учеников начальной школы:
Цель выявления достоинств и недостатков нестандартных способов умножения достигалась с помощью анкетирования в двух классах (3Б и 3В нашей гимназии) (Приложение 3):
Было опрошено 51 ученик, им предлагалось пять способов умножения: 1 традиционный способ умножения столбиком и 4 нестандартных, которые я показал. Некоторые ученики выбрали несколько понравившихся способов умножения, поэтому общее количество выбранных способов получилось больше, чем количество респондентов (67) (Приложение 4).
Самый популярный способ умножения оказалось умножение крестиком – 20 человек.
На втором месте – традиционное умножение столбиком – 15 человек.
На третьем месте – графический (японский) способ умножения или способ индейцев Майя – 14 человек.
На четвертом месте – индийский способ или итальянское умножение «решеткой» - 11 человек.
Самый невостребованный способ умножения оказался русский способ умножения – 7 человек.
Из проведенного анкетирования стало ясно, что умножение крестиком по мнению опрошенных – самый удобный и рациональный, потому что этим способом можно просто и быстро перемножить числа. Порядок сложения произведений тоже не вызывает трудностей. По моему мнению, на данном этапе обучения ученики умножают только двузначные числа – это и объясняет популярность умножения крестиком, то есть умножение трехзначных чисел и чисел с большей разрядностью пока не актуально.
Если нужно умножить трехзначное число или число с большей разрядностью, то быстрее будет умножать традиционным способ «столбиком».
Мое предположение оказалось неверным. Графический (японский) способ умножения оказался лишь на третьем месте, хотя там ничего не нужно перемножать. В этом способе нужно лишь начертить линии и подсчитать точки пересечений. Черчение линий занимает достаточно много времени, а подсчет пересечений линий требует повышенной внимательности. Этим способом можно умножать любые многозначные числа. Этот способ больше подходит для хобби.
Индийский способ или итальянское умножение «решеткой» очень прост из-за своей наглядности. Этим способом также можно умножать любые многозначные числа. Необходимо только нарисовать решетку и правильно расставить числа. Из-за разбивания многозначных чисел на однозначные цифры, сам процесс умножения упрощается. Мыслительный процесс современных учеников опережает вычисление этим методом, поэтому он потерял свою важность.
Самым невостребованным способом является русский способ умножения, потому что нужно увеличивать вдвое все большее и большее число, а это уже непросто.
Заключение:
Так почему же мало где в мире в обычных школах учат этим методам вычисления?
Одной из причин может быть упор на обучение "вычислениям в уме" - чтобы развивать умственные способности.
У современных учеников настолько развит интеллект, что нетрадиционные методы умножения многозначных чисел стали неактуальными. Школьники способны держать в уме несколько промежуточных произведений и соответственно им достаточно легко умножать многозначные числа без потери времени на черчение линий или таблиц. На умножение столбиком тратится гораздо меньше времени, которое в современном мире очень ценно. У нетрадиционных способов умножения нет применения в реальной жизни, умножение столбиков все-таки проще – для него необходимо знать только таблицу умножения и одно правило, что число после девяти переносится в следующий разряд.
Список использованных источников информации и литературы:
https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/intieriensnyie_sposoby_umnozhieniia_chisiel
https://matclass.ru/blog/umnozhenie-po-yaponski
http://matsievsky. newmail. ru/sys-schi/file15
https://ru.wikipedia.org/wiki/Знак_умножения
http://sch69.narod. ru/mod/1/6506/hystory
https://www.bbc.com/russian/features-42640615
http://www.vseznaika.org/history/kto-pridumal-tablicu-umnozheniya/
Арутюнян Е. Б., Левитас Г. Г. Занимательная математика. - М.: АСТ - ПРЕСС, 1999. - 368 с.
Беллюстин В. К. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. - ЛКИ ,2012.-208 с.
Депман И. Я. Рассказы о математике. – Ленинград.: Просвещение, 1954. – 140 с.
Ликум А. Все обо всем. Т. 2. - М.: Филологическое общество «Слово», 1993. - 512 с.
Наука и жизнь. Журнал 2011г. № 2.
Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В., Потапов М. К.. Старинные занимательные задачи. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 160 с.
Перельман Я.И. Занимательная арифметика. - М.: Русанова, 1994 – 205с.
Перельман Я.И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета. Л.: Лениздат, 1941 — 12 с.
Савин А.П. Математические миниатюры. Занимательная математика для детей. - М.: Детская литература, 1998 - 175 с.
Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Аванта +, 2003. – 688 с.
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ сост. Савин А.П., Станцо В.В., Котова А.Ю. - М.: ООО «Издательство АСТ», 2000. - 480 с.
Приложение 1
Умножение 34 на 23 графическим способом
Приложение 2
Умножение 34 на 23 способом «решетки»
Приложение 3
Образец анкеты
А Н К Е Т А
Знаете ли вы какие-нибудь способы умножения двух- трехзначных чисел, отличные от традиционного умножения столбиком?
ДА НЕТ
Хотели бы вы использовать предложенные способы умножения?
ДА НЕТ
Какой способ умножения вам понравился больше всего?
- Умножение столбиком.
- Графический (Японский) способ умножения или способ индейцев Майя.
- Индийский способ, или итальянское умножение "решеткой" - "джелозия".
- Русский способ умножения.
- Умножение крестиком.
Приложение 4
Результаты анкетирования