XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Финансовая математика (задачи ЕГЭ)
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В нашем современном обществе огромную роль играет экономика. Она требует от человека глубоких знаний и умений при работе с массивными числовыми потоками информации. Проценты, вклады, кредиты стали неотъемлемой частью нашей жизни. Подтверждением этому служит то, к примеру, что понятие «процент» широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки. Без процентов невозможно обойтись ни в финансовом анализе, ни в жизни. Чтобы начислить зарплату работнику необходимо знать процент налоговых отчислений; мы интересуемся размером процентных начислений на сумму вклада, чтобы открыть депозитный счет в банке; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции.
Для того, чтобы развить навыки экономической грамотности, её основы закладываются в школе. Но, особое внимание экономическим задачам уделяется на Едином Государственном Экзамене, где данные задачи представлены в задании №17. Одними из особенностей данных задач является их нестандартность и повышенная сложность решения. Умение эффективно решать задачи на сложные и простые проценты, понимание различия дифференцированных и аннуитетных платежей, а также владение основными теоретическими знаниями в экономике, способствуют правильному решению задач в области экономики на ЕГЭ. Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни.
Исследование данной темы очень важно по нескольким причинам.
Во-первых, я, являюсь учеником старшей школы на физико-математическом профиле, и успешная сдача ЕГЭ для меня приоритетна, что подразумевает под собой умение эффективно решать все типы заданий, в том числе и те, которые связаны с экономикой.
Во-вторых, решение финансовых задач очень полезно, так как вся жизнь современного человека тесно связана с экономическими операциями. Большинство людей в мире совершают банковские операции, вклады, берут кредиты, поэтому рассмотрение данного вопроса поможет не допустить финансовых ошибок в жизни с моей стороны.
Цель проекта: Изучить способы решения экономических задач. Сформировать схемы задач на кредиты и вклады по финансовой математике, показать приемы быстрого счета.
Достижение поставленной цели будет реализовано с помощью решения таких задач как:
Проанализировать научную литературу по данной теме.
Систематизировать все задачи по способам решений.
Разработать наглядные схемы по решению данного вида задач.
Подобрать несколько задач по данным схемам
На основе рассмотренных задач подготовить и создать памятку для учеников по решению данных задач.
Предмет исследования: Способы решения экономических задач ЕГЭ на проценты и вклады.
Объект исследования: Экономические задачи на ЕГЭ.
Целевая аудитория: Ученики 10-11 классов.
Методы:
Теоретический: изучение литературных и Интернет источников, анализ данных, систематизация материала,
Практическая значимость: с помощью составленных схем для учеников старшей школы можно повысить их уровень знания в области задач, связанных с расчётами кредитов, вкладов, подготовку к решению задания № 17, а также увеличить шансы выпускников на хорошую сдачу Единого Государственного Экзамена.
Основная часть
Теоретическая часть
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Для того, чтобы начинать разбираться в задании № 17, нужно повторить как арифметическую, так и геометрическую прогрессии, так как они напрямую используются при финансовых расчетах в экономике и применяются в данном задании.
Арифметическая прогрессия
Арифметической называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d: , где n принадлежит множеству натуральных чисел;
Фиксированным числом d называется разность арифметическом прогрессии;
Формула n-ого члена арифметической прогрессии: ;
Сумма первых n членов в арифметической прогрессии вычисляется по формуле: ;
В арифметической прогрессии каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних ему членов: .
Геометрическая прогрессия
Геометрической называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:, где n принадлежит множеству натуральных чисел;
Фиксированным числом q называется знаменатель геометрической прогрессии;
Формула n-ого члена геометрической прогрессии: ;
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних: ;
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле: .
Проценты
В математике, в том числе экономических задачах, мы часто сталкиваемся с понятием «процент». Под этим термином подразумевается сотая часть числа. 1%=0,01 А, где А- некоторое число. В данном задании ученикам встречаются несколько видов задач на проценты. Итак, разберемся с методом решения некоторых из них.
I тип задач — нахождение q% от некоторого числа А.
- Число А умножаем на 0,01*q, и получаем искомое число;
II тип задач — нахождение некоторого числа А по его q%, где q%=B.
- Число B делим на 0,01*q, и получаем искомое число;
III тип задач — сколько процентов составляет число А от числа В.
- Делим число А на число В и умножаем на 100%;
IV тип задач — Вычислить число B, если число A меньше него на q%.
- B = A(1+q/100)
V тип задач — Вычислить число B, если число A больше него на q%.
- B = A(1-q/100)
Разберем несколько типовых задач на проценты.
Найти 15% от 80: 80*0,15=12;
Найти A, если 47%равны 94: 94/0,47=200;
Сколько % составляет 78 от 300:78/300*100%=0,26%
Для того, чтобы рационализировать расчеты, важно помнить, что проценты имеют свойство обратимости. То есть q% от числа А равны p% от числа A. К примеру, 10% от 50 равны 50% от 10 (10% от 50 = 5, 50% от 10 = 5).
Вклады: Простые и сложные проценты
Современная экономическая система определяет два способа начисления доходов на вклады: простые и сложные проценты.
Для начала работы с вкладами и процентами, нужно дать определение вкладам, а также процентам: сложным и простым.
Банковский вкладом (или банковским депозитом) называется сумма денег, переданная лицом кредитному учреждению (банку) с целью получения дохода в виде процентов, образующихся в ходе финансовых операций с вкладом.
Простые проценты — метод начисления доходов на вклад, при котором размер вклада увеличивается на одну и ту же сумму, равную определенному количеству процентов от исходного. За один расчетный период, как правило, принимается один год. Если A — исходное количество денег, q процентов годовых – процентная ставка, то по истечении k лет клиент получит сумму .
Формула для нахождения же простого процента напоминает формулу k-того члена арифметической прогрессии c разностью Разность умножается на k, а не на k-1 по той же причине, что будет показана и для сложных процентов.
Теперь следует обратиться к вкладам и второму методу начисления доходов: сложным процентам.
Сложные проценты — это способ начисления процентов, при котором происходит начисление как на исходную сумму, так и на уже начисленные проценты, то есть на прирост. Более полно понять это определение поможет следующий пример.
Пусть клиент положил на счет сумму A0на n периодов, ив конце каждого периода на имеющуюся на счете сумму начисляется q%.Тогда через 1 период на счете окажется сумма
В конце второго периода имеющаяся сумма снова увеличится на q%, то есть
Аналогично в конце третьего периода на счете окажется сумма
Несложно заметить, что появляется определённая закономерность. Выведем общую формулу количества денег на счете клиента по истечении nпрошедших периодов:
Формула, которую мы получили, напоминает формулу нахождения n-ного члена геометрической прогрессии, с той лишь разницей, что знаменатель прогрессии в нашем случае в степени n, а не n-1. Это можно объяснить тем, что сумму, лежащую в самом начале, мы обозначили за , а не за .
Обобщая выше сказанное, необходимо отметить тот неоспоримый факт о том, что начисление сложных процентов на сумму вклада более выгодно клиенту, так как в этом случае сумма вклада будет расти в геометрической прогрессии. Банку же, в свою очередь, более выгодно начисление простых процентов на сумму счёта клиента, так как она будет увеличиваться только лишь в арифметической прогрессии. Все это можно проследить на нижеуказанном рисунке (см. приложение 1).
Кредиты: Аннуитетные и дифференцированные платежи
В современном мире в экономике немаловажную роль играют кредиты. Под определением «кредит» подразумевают заем в банке определенной суммы денег с возвращением долга, а также начисленных на него процентов. В зависимости от способа начисления процентов, выплаты по кредитам осуществляются дифференцированными, либо аннуитетными платежами. В каждом из этих случаев начисление процентов всегда происходит на остаток от долга, то есть методом сложных процентов.
Аннуитетный платеж — способ выплаты по кредиту, при котором сумма выплат делится на равные части (столько, сколько планируется платежей), а сумма одной выплаты состоит из остатка по кредиту и процентов, начисленных на остаток долга. При таком способе погашения основной долг, являющийся телом кредита, при первых платежах практически не погашается, а выплачиваются только проценты.
Дифференцированный платеж — способ выплаты по кредиту, при котором сумма долга клиента делится на равные части (столько, сколько планируется платежей для его выплаты), к каждой из которых прибавляются проценты, начисленные на оставшуюся сумму долга. При этом с каждым разом сумма выплаты уменьшается, а в последний раз клиент платит наименьшую сумму.
Более понятно разъяснить суть разницы двух видов платежей поможет следующий рисунок (см. приложение 2).
Дифференцированные платежи более выгодны клиенту, так как переплата в этом случае для намного меньше, чем в случае выбора клиентом аннуитетной схемы. Но при этом стоит учитывать то, что первые платежи могут оказаться слишком большими для клиента. Кроме того, сумму каждого следующего дифференцированного платежа необходимо отслеживать. Все это делает аннуитетную схему выплат более удобной как для клиента, так и более выгодной для банков, а потому и наиболее популярной.
После того, как мы познакомились с определениями кредита, а также двух типов платежей, разберем схемы решения задач на кредиты:
Пусть A — сумма кредита, x — очередная выплата n — количество платёжных периодов, q — процент по кредиту, начисляемый банком. В нашем случае коэффициент показывает то, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления по нему процентов.
Выплата кредита равными платежами (аннуитетные платежи)
Схема погашения кредита:
Преобразуем выражение:
Применим формулу суммы геометрической прогрессии и получим:
=0.
Схема с дифференцированными платежами (равномерное уменьшение суммы долга по кредиту)
Схема погашения для n платёжных периодов:
1-я выплата:
2-я выплата:
…
n-я выплата:
Посчитаем сумму всех выплат:
Теперь применяем формулу суммы для арифметической прогрессии. Тогда общая сумма выплат равна:
В данном случае Z— величина переплаты,
Практическая часть
Примеры решения задач на аннуитетный платёж
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 2 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 15 млн рублей.
Решение
Пусть S- первоначальная сумма вклада, а по условию q=10%, k=1,1.
Расчёты, для удобства следует проводить в миллионах рублей: по ранее представленной формуле для аннуитетных платежей получаем:
;
;
;
, следовательно, S=7 миллионов рублей.
Ответ:7 миллионов рублей.
31 декабря 2020 года Максим взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, то есть увеличивает долг на 12,5%, затем Максим переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Максим выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за четыре года?
Решение
Данная задача также решается с помощью формулы аннуитетных платежей, так как по условию сказано, что долг выплачивается равными платежами.
Пусть S=6902 тыс. рублей;
Применим формулу геометрической прогрессии:
следовательно,
.
Ответ: 2296350 рублей.
Ольга хочет взять в кредит 100 000 рублей под 10% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами, кроме, может быть, последней, после начисления процентов. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 000 рублей?
Решение
Пусть Оля берет кредит на n лет. Если же последняя выплата по кредиту будет меньше предыдущих, то погасится все тело кредита. Но возьмём, к примеру, что последняя выплата будет всё же равна предыдущим, тогда долг клиента не только погасится полностью, но и станет отрицательным
(на карте останутся некоторые средства). Для удобства будем вести расчёты в тысячах рублей.
.
Тогда следует для такого случая записать неравенство по формуле для расчетов аннуитетного платежа:
Так как в скобках- сумма n членов геометрической прогрессии, то тогда данная сумма равна ;
Тогда: ;
Домножим обе части неравенства на (k-1) и подставим числовые значения:
получаем .
Переведем, округляя до сотых, данную дробь в десятичную и получаем, что ,71.
Теперь, для того, чтобы вычислить значение n, нам необходимо воспользоваться биномом Ньютона, следовательно, и треугольником Паскаля (см. приложение 3).
Выражение есть бином Ньютона и расписывается следующим образом: .
Нам необходимо найти минимальное значение n. Распишем же 1,1 так, чтобы воспользоваться треугольником Паскаля:
Возьмём n=5, тогда ;
Возьмём n=6,тогда .
Следовательно, .
Ответ:6 лет.
Примеры решения задач на дифференцированный платёж
Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?
Решение
Пусть S- первоначальная сумма долга, при этом, .
Для начала нарисуем схему начисления процентов и выплат. Заметим некоторые закономерности:
S … 0
Начисление 1-ая 2-ая посл.
процентов выплата выплата выплата
Sk …
Как обычно, коэффициент показывает то, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления по нему процентов.
Сумма долга уменьшается равными долями, равномерно. Каждая доля равна
.
Тогда первая выплата *S;
Вторая выплата ;
…
Последняя выплата в году равна .
Посчитаем общую сумму всех выплат в течение первого года:
.
Видим, что в первой скобке находится сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой , . Пусть эта сумма равна .
Видим, что во второй скобке аналогично находится сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой , . Пусть эта сумма равна .
Тогда общая сумма выплат за 1 год:
Ответ:1066500 рублей.
Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется q % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите q.
Решение
Применим формулу для задач с дифференцированными процентами, выведенной в теоретической части.
Пусть на n платежных периодов в кредит взята сумма S, но при этом имеем то, что платежи подобраны таким образом, что сумма долга уменьшается равномерно. Тогда величина переплаты F и полная сумма выплат G за все время выплаты кредита представлены формулами:
; .
Применяя формулу к данной задаче, получаем (величина переплаты)
.
Ответ: q=3.
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
|
Месяц и год |
Июль 2016 |
Июль 2017 |
Июль 2018 |
Июль 2019 |
Июль 2020 |
|
Долг (в млн рублей) |
S |
0,8S |
0,5S |
0,1S |
0 |
Решение
В данной задаче .
Составим схему выплат для дифференцированных платежей:
Год 2016 2017 2018 2019 2020
Июль S 0
1-ая 2-ая 3-я 4-ая
процентов выплата Х1 выплата Х2 выплата Х3 выплата Х4
ЯнварьkS …
Общая сумма X выплат:
.
По условию S- целое число, а . Для удобства произведем расчеты в миллионах рублей.
, значит
Ответ: 29 млн. рублей
Заключение
Цели исследования достигнуты. В данной работе были показаны основные методы решения задач на кредиты, вклады. Тема исследования остается актуальной по причине того, что все рассматриваемые задачи взяты из материалов по подготовке к ЕГЭ по математике «Профиль».
Исследование и рассмотрение задания №17 ЕГЭ показало, что отличное знание теоретического аспекта темы, умение оперировать этими знаниями, позволяют решать задачи повышенной сложности из Единого Государственного Экзамена по теме «Экономические задачи» ученикам старшей школы.
Также, для успешного решения таких задач, необходимо отработать аппарат стандартных вычислений, так как все экономические задачи направлены на серьёзные вычисления. Экономические задачи – это не просто задачи из математики, это часть нашей жизни в современном мире. Умение их решать будет полезно в будущем, как для проверки банковских операций при оформлении кредитов или вкладов, так и в простых жизненных ситуациях, что поможет не совершать мелких и фатальных ошибок.
Составленные схемы по решению задач (см. приложение 4) помогут разобраться и справиться с заданием, посвященным экономике в ЕГЭ, как старшеклассникам, сдающим экзамен в этом году, так и ученикам девятых и десятых классов.
Библиографический список
https://ru.wikipedia.org/wiki/Аннуитет;
https://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференцированный_платёж;
https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=293;
https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=292.
Математика: задания высокой и повышенной сложности/ A. Г. Малкова — Изд. 2-е — Ростов н/Д: Феникс, 2019. — 221, с.: ил. — (ЕГЭ. Высший балл).
Приложения
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Треугольник Паскаля
Приложение 4
Общие схемы решения задач ЕГЭ задания №17
(аннуитетные и дифференцированные платежи)
A — сумма кредита;
x — очередная выплата;
n — количество платёжных периодов;
q — процент по кредиту, начисляемый банком;
коэффициент показывает то, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления по нему процентов.
Схема выплат кредита равными платежами (аннуитетные платежи)
=0.
Схема с дифференцированными платежами (равномерное уменьшение суммы долга по кредиту)
V— величина переплаты,