XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Логические парадоксы
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
АННОТАЦИЯ
Понятие логических парадоксов возникло в V веке до н.э. На протяжении веков расширялся перечень парадоксов. Часть выявленных парадоксов со временем были решены. Однако большинство из известных логических парадоксов не имеет решение.
Данное исследование направлено на выявление и классификацию основных видов логических парадоксов.
ВВЕДЕНИЕ
Логические парадоксы являются неотъемлемой частью логики, и достаточно часто используются в математическом моделировании.
Проблема. Что представляют собой логические парадоксы, их основные виды, возможности / невозможности их решения.
Актуальность проблемы и практическое использование результатов. Человек встречается с логическими парадоксами ежедневно. Знание этих парадоксов и путей их решения позволяет оптимально применять их в решении практических задач как научных, так и бытовых.
Объект исследования. Логические парадоксы.
Гипотеза. Мы предполагаем, что выявленные на сегодняшний день логические парадоксы будут пополняться бесконечно новыми парадоксами.
Цель работы: изучение основных видов логических парадоксов и путей их решения.
ПОНЯТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО ПАРАДОКСА
Для начала следует разобраться с понятием. А именно следует разобрать его по частям.
Что такое парадокс? Парадоксом называются два несовместимых и противоположных утверждения, имеющие убедительные аргументы каждый в свою сторону. Наиболее ярко выраженной формой парадокса является антиномия – рассуждение, которое доказывает равносильность утверждений, одно из которых представляет собой явное отрицание другого. И особого внимания заслуживают именно парадоксы в наиболее точных и строгих науках, таких как, например, логика. Парадоксы представляют собой наиболее интересный случай неявных, безвопросных способов постановки проблем. Парадоксы обычны на ранних стадиях развития научных теорий, когда делаются первые шаги в еще неизученной области и нащупываются самые общие принципы подхода к ней. Особой известностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках — математике и логике. И это не случайно.
Логика, как известно, является абстрактной наукой. В ней нет места экспериментам и каким-либо конкретным фактам в обычном их понимании; она всегда предполагает анализ реального мышления. Но расхождения в теории логики и практике реального мышления всё же имеют место быть. И самым явным подтверждением этому служат логические парадоксы, а иногда даже логическая антиномия, олицетворяющая собой противоречивость самой логической теории. Именно это и объясняет значение логических парадоксов и то внимание, которое уделяется этим парадоксам в логической науке.
Теперь, когда мы выяснили, что значит каждое из этих понятий, можно сделать вывод, что такое логический парадокс.
Парадокс в логике — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.
ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ПОНЯТИЯ
Логические парадоксы были открыты еще Аристотелем, который относил их к разряду софистических уловок, или паралогизмов Аристотеля.
СОФИЗМ. (греч. sophisma — хитрая уловка, измышление) — рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению. С. является особым приемом интеллектуального мошенничества, попыткой выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение.
Существует два вида логических парадоксов - апория и антиномия.
Апори́я (греч. ἀπορία «безысходность, безвыходное положение») — это вымышленная, логически верная ситуация (высказывание, утверждение или вывод), которая не может существовать в реальности. Апоретическое (апорийное) суждение фиксирует несоответствие эмпирического факта и описывающей его теории. Апории известны со времён Сократа Наибольшую известность получили апории Зенона.
Апории Зенона
Апории Зенона являются внешне парадоксальными рассуждениями о движении и множестве. Всего современниками Зенона было известно больше сорока апорий (слово «апория» с древнегреческого языка переводится как «трудность») однако до нашего времени дошли только девять из них. Самые известные из них были апории Зенона
Ахиллес и черепаха
Представим, что Ахиллес бежит со скоростью, в десять раз превышающей скорость черепахи, и находится от неё на расстоянии в тысячу шагов позади. Пока Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха сделает только сто. Пока Ахиллес преодолеет ещё сотню, черепаха успеет сделать десять и т.д. И этот процесс будет продолжаться бесконечно и Ахиллес никогда не догонит черепаху.
Дихотомия
Для того чтобы преодолеть какой-то путь, нужно для начало преодолеть его половину, а чтобы преодолеть половину, нужно преодолеть половину данной половины и т.д. Следовательно движение так и не начнётся
Антиномия
Антино́мия (др-греч. ἀντι-νομία «противоречие в законе» или «противоречие закона <самому себе>» от avri- «против» + vouc «закон») — ситуация, в которой противоречащие друг другу высказывания об одном и том же объекте имеют одинаково верное обоснование , то есть противоречие разных законов или терминов. Термин «антиномия» предложил философ Гоклениус.
Идея антиномического мышления возникла очень давно в древнегреческой философии (Платоном и Аристотелем была предложена эта идея), но обычно употреблялся термин «апория»; тогда же были сформулированы семантические антиномии некоторые семантические антитон, например, «Лжец» (Евбулид из Милета). В самом известном и наиболее простом варианте «Лжеца» человек произносит: «Я лгу», или «То, что я сейчас говорю, является ложью», или же «Это высказывание ложно». Если высказывание ложно, то человек сказал правду, и данное высказывание, которое он сказал не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Таким образом, если человек лжет, он говорит правду, и если говорит правду, то лжёт. Парадокс «Лжец» произвел большое впечатление на людей, живших в одно время с Евбулидом. Существует невероятная легенда, что человек по имени Филит Косский, очень долго пытался разрешить этот парадокс, но не смог и из-за этого совершил самоубийство, а известный древнегреческий логик Диодор Кронос, сказал , что не будет ничего есть до тех пор, пока не сможет найти решение данного парадокса. Он умер, так и не разрешив проблему.
Парадокс лжеца
Автором этого парадокса является древнегреческий жрец и провидец Эпименид. Парадокс имеет следующие определение «То, что я в данный момент говорю — ложь», т.е. получается: либо «Я лгу», либо же «Моё высказывание — ложно». Это значит, что если высказывание правдиво, то, посмотрев на его условие, можно сказать что, оно является ложью, но если это высказывание с самого начала будет считаться ложным, то его и утверждение будет ложью. Выходит, ложно, что это высказывание – ложь. Следовательно, высказывание правдиво – это вывод возвращает нас к самому началу наших суждений.
На основе этого парадокса существует пословица Послушай мой совет, не слушай никогда ничьих советов
Летящая стрела
Летящая стрела всегда остаётся на месте, потому что в совершенно любой момент времени она будет находиться в состоянии покоя, а т.к она в состоянии покоя, то в каждый момент времени, она будет находиться в состоянии покоя в любом случае и постоянно .
К этому парадоксу можно привести ещё один схожий парадокс с данным .
Парадокс Рассела
Парадокс Рассела называется одноименно с его автором, Бертраном Расселом. Он открыл в 1901 году, а спустя время его случайно и независимо от Рассела открыл немецкий математик Эрнст Цермело. Поэтому встречается двойное название этого парадокса: парадокс Рассела-Цермело. Этот парадокс показывает противоречивость логических систем Фреге, в который он утверждает, что математика постепенно переходит в логику. У данного парадокса есть разные определения. Парадокс всемогущества – способно ли какое-то всемогущее существо сотворить что-либо, которое может ограничить его всевластие? Пример 1, какая-то библиотека имеет задачу составить один большой библиографический каталог, в который должны входить все и лишь те нужные каталоги, которые не имеют ссылок на самих себя. Вопрос: нужно ли включить в этот каталог ссылку на него? Пример 2, в какой-то стране вышел закон о том, что мэрам всех городов запрещено жить в городе, где они правят и разрешено жить только в «Городе мэров». Где, тогда нужно жить меру этого? Парадокс брадобрея – в деревне только он бреет бороды, и ему сказано брить всех тех , кто не бреется сам, и не брить тех, кто сам бреется. Вопрос: кто должен брить брадобрея?
Не менее интересны и занятны следующие парадоксы.
Парадокс Бурали-Форти
Предположение о том, что идея о возможности множества порядковых чисел может привести к противоречиям, а из этого следует , что противоречивой будет сама теория множеств, в которой возможно построение множества порядковых чисел.
Парадокс Кантора
Предположение о возможности множества всех множеств может привести к противоречиям, а это значит, что противоречивой будет и теория, согласно которой возможно построение такого множества.
Парадокс Гильберта
Предположение, что если номера в гостинице с бесконечно большим количеством номеров заняты, в неё можно поселить ещё людей, потому что количество номеров бесконечно, и их число гостей тоже может быть бесконечным . В данном парадоксе доказывается, что законы логики совершенно неприемлемы ко всем свойствам бесконечности.
Ложный вывод Монте-Карло
Вывод о том, что, играя в рулетку, можно смело ставить на красный цвет, если чёрный выпал десять раз подряд. Данный вывод считается ложным по той причине, что, согласно теории вероятностей, на наступление любого последующего события не оказывает никакого влияния событие, ему предшествующее.
Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена
Вопрос о том, что способны ли развивающиеся вдали друг от друга процессы и события оказывать друг на друга влияние? К примеру, действует случайным образом рождение в отдалённой галактике сверхновой звезды на погодные условия в каком-то далеком городе ? В качестве ответа можно привести следующее: исходя из законов квантовой механики, такое влияние невозможно, потому что как скорость света, так и скорость переноса информации являются не бесконечными величинами, а вот сама Вселенная- бесконечна.
Парадокс близнецов
Вопрос: будет ли близнец-путешественник, вернувшийся из космического странствия на каком-то космическом звездолёте моложе своего брата, находившегося всё это время на Земле? Если исходить из теории относительности, то на Земле время идёт иначе нежели на какой-то далекой планете и поэтому прошло больше времени, чем в звездолёте, летящем со сверхсветовой скоростью, а значит, близнец-путешественник будет моложе.
Парадокс убитого дедушки
Нужно представить, что есть возможность вернуться в прошлое. И вот вы вернулись в прошлое и убили своего дедушку, а следовательно теперь вы не можете появиться на свет, а значит и вернуться в прошлое, чтобы убить своего дедушку. Данный парадокс показывает то, что невозможно путешествовать в прошлое.
Логические парадоксы часто встречаются в жизни.
На этом же принципе снят фильм «Терминатор»
Неразрешимый спор
В основе этого очень известного парадокса лежит небольшое происшествие, которое случилось две с лишним тысячи лет назад, но оно не забытое до нашего времени .
У знаменитого софиста Протагора, жившего в V в. до нашей эры, был ученик по имени Еватл. Он обучал его праву и судебным делам. Они заключили между собой договор Еватл должен был заплатить за обучение только в том случае, если в первом судебном процессе он победит. Если же он этот процесс проиграет, то вообще не будет ничего платить. Но, закончив обучение, Еватл не стал участвовать в процессах. Это длилось долгое время, терпение учителя иссякло, и он сам подал на своего ученика в суд. Таким образом, для Еватла это был первый процесс. Свое требование Протагор обосновал так:
— Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то заплатит согласно этому решению.
Судя по всему, Еватл был способным учеником, поскольку он ответил Протагору:
— Действительно, я либо выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.
Если под решением данного затруднения понимать ответ на вопрос, должен Еватл уплатить Протагору или не должен, то все эти, как и все другие мыслимые решения, являются, конечно, неправильным. Они представляют софистические уловки и хитрости и являются уходом от справедливости, Ибо ничего не может разрешить данный спор потому что Невозможно выполнить вместе договор в его первоначальной форме и решение суда, каким бы последнее ни было. Для доказательства этого достаточно простых знаний логики. С помощью этих же средств можно показать, что договор имеет некорректное условие Он требует решения того, что задано неправильно с точки зрения логически невозможного положения: Еватл должен и не платить и в тоже время заплатить сумму за обучение.Исходя из этого примера, можно понять, что логические парадоксы чаще всего возникают из-за некорректного условия, и поэтому решение кроется в исходных данных.
Подобный неразрешимый спор часто встречается в жизни, когда обе стороны не хотят выслушать друг друга.
ПУТИ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ
Джастмен в своей книге "Логические парадоксы . Пути решения "[2] выделил две основные проблемы в решении данных парадоксов:
— отсутствие точного понимания ситуации, основанное на неправильном понимании исходных данных, нечётких, размытых определениях, то есть непонимание задачи в целом;
— ошибки в логическом рассуждении, возникающие как результат стереотипного мышления, либо на основе неверных посылок, либо неверных постулатов.
Таким образом, для решения логического парадокса необходимо осуществить следующие порядок действий:
1. Разбить условие на части.
2. Понять смысл каждой части (изучить досконально термины).
3. Воссоединить части и сложить их в одну общую картину.
Парадокс Лжеца
Предлагаю посмотреть решение самого известного парадокса . Парадокс Лжеца.
Существуют несколько вариантов «Лжеца»:
1) «Я лгу».
2) «Предложение»: «Данное предложение ложно».
3) «Высказывание»: «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно».
4) «Это – ложь».
5) «Лист» – «На одной стороне листа написано: «На другой стороне листа находится истинное высказывание»,– на другой стороне листа написано: «На другой стороне листа находится ложное высказывание»».
6) В средние века распространённой была такая формулировка: «– Сказанное Платоном – ложно, – говорит Сократ. – То, что сказал Сократ, – истина, – говорит Платон».
Для решения данного парадокса "лжеца" следует ввести понятие метаязыка.
Метаязык — язык, предназначенный для описания другого языка, называемого объектным языком.
Парадокс «Лжец» возникает из-за смешения двух языков. Как же связан этот парадокс с ними? Ещё античные философы заметили, что каждое высказывание естественного языка выражает определённую мысль, но не несёт никакой информации о том, истинна ли эта мысль или нет. Более того, они показали, что именно это утверждение об истинности того или иного высказывания не может быть выражено в естественном языке. Рассуждали они следующим образом. Пусть "A равна 0" есть некоторое высказывание, например: «1 января шёл снег», и пусть это событие действительно имело место. Но так как из содержания высказывания А0 не следует, что оно истинно, то необходимо дополнительное высказывание A1: «Высказывание A0 истинно».
Получается, что понятие истинности действительно не выразимо средствами естественного языка. Предметный язык и метаязык – это разные языки, это языки, относящиеся к различным иерархическим уровням. Игнорирование этого обстоятельства неминуемо должно привести к противоречиям. Примером может послужить описанный выше парадокс «Лжеца». Покажем, что это действительно так. С одной стороны, предложение «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно» относится к метаязыку, поскольку в нём говорится о ложности некоторого высказывания. С другой стороны, поскольку о каком-то высказывании говорится, что оно ложно, то высказывание, ложность которого утверждается, должно относиться к предметному языку. Но в данном случае высказывание утверждает ложность самого себя. Значит, само это высказывание должно относится к предметному языку. Получается, что рассматриваемое предложение относится и к метаязыку, и к предметному языку. Но это же разные языки. Игнорирование этого различия и привело к парадоксу».
Иными словами, данный парадокс возник из-за недостаточного знания всех терминов. Конкретно в данном случае необходимо было знать, что такое метаязык. Следовательно можно сделать вывод, что опять парадокс возник из-за неточного условия.
Никакого исчерпывающего перечня логических парадоксов не существует, да он и невозможен.
Рассмотренные парадоксы — это только часть из всех обнаруженных к настоящему времени. Вполне вероятно, что в будущем откроют и многие другие парадоксы, и даже совершенно новые их типы. Само понятие парадокса не является настолько определенным, чтобы удалось составить список хотя бы уже известных парадоксов.
“Теоретико-множественные парадоксы являются очень серьезной проблемой, не для математики, однако, а скорее для логики и теории познания”, — пишет австрийский математик и логик К.Гедель [3]. “Логика непротиворечива. Не существует никаких логических парадоксов”, — утверждает математик Д.Бочвар [4]. Такого рода расхождения иногда существенны, иногда словесны. Дело во многом в том, что именно понимается под логическим парадоксом.
Представленные парадоксы названы логическими, т.к. отличаются от других парадоксов некоторыми особенностями.
СВОЕОБРАЗИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ПАРАДОКСОВ
Все парадоксы имеют одно общее свойство — самоприменимость, или циркулярность. В каждом из них объект, о котором идет речь, характеризуется посредством некоторой совокупности объектов, к которой он сам принадлежит. Если мы выделяем, например, самого хитрого человека, мы делаем это при помощи совокупности людей, к которой относится и данный человек. И если мы говорим: “Это высказывание ложно”, мы характеризуем интересующее нас высказывание путем ссылки на включающую его совокупность всех ложных высказываний.
Ситуация осложняется, однако, тем, что такой круг имеется во многих совершенно непарадоксальных рассуждениях. Циркулярным является огромное множество самых обычных, безвредных и вместе с тем удобных способов выражения. Такие примеры, как “самый большой из всех городов”, “наименьшее из всех натуральных чисел”, “один из электронов атома железа” и т.п., показывают, что далеко не всякий случай самоприменимости ведет к противоречию и что она важна не только в обычном языке, но и в языке науки.
ВЫВОДЫ
Прежде всего наличие большого числа парадоксов говорит о силе логики как науки, а не о ее слабости, как это может показаться.
Обнаружение парадоксов не случайно совпало с периодом наиболее интенсивного развития современной логики и наибольших ее успехов.
Первые парадоксы были открыты еще до возникновения логики как особой науки. Многие парадоксы были обнаружены в средние века. Позднее они оказались, однако, забытыми и были вновь открыты уже в нашем веке.
Средневековым логикам не были известны понятия, введенные в науку только во второй половине XIX в. Но чутье на парадоксы было отточено в средние века настолько, что уже в то давнее время высказывались определенные опасения по поводу самоприменимых понятий. Простейшим их примером является понятие “быть собственным элементом”, фигурирующее во многих нынешних парадоксах.
Однако такие опасения, как и вообще все предостережения, касающиеся парадоксов, не были до нашего века в должной мере систематическими и определенными. Они не вели к каким-либо четким предложениям о пересмотре привычных способов мышления и выражения.
Только современная логика извлекла из забвения саму проблему парадоксов, открыла или переоткрыла большинство конкретных логических парадоксов. Она показала далее, что способы мышления, традиционно исследовавшиеся логикой, совершенно недостаточны для устранения парадоксов, и указала принципиально новые приемы обращения с ними.
Парадоксы ставят важный вопрос: в чем, собственно, подводят нас некоторые обычные методы образования понятий и методы рассуждений? Ведь они представлялись совершенно естественными и убедительными, пока не выявилось, что они парадоксальны.
Парадоксами подрывается вера в то, что привычные приемы теоретического мышления сами по себе и без всякого особого контроля за ними обеспечивают надежное продвижение к истине.
Требуя радикальных изменений в излишне доверчивом подходе к теоретизированию, парадоксы представляют собой резкую критику логики в ее наивной, интуитивной форме. Они играют роль фактора, контролирующего и ставящего ограничения на пути конструирования дедуктивных систем логики. И эту их роль можно сравнить с ролью эксперимента, проверяющего правильность гипотез в таких науках, как физика и химия, и заставляющего вносить в эти гипотезы изменения.
Парадокс в теории говорит о несовместимости допущений, лежащих в ее основе. Он выступает как своевременно обнаруженный симптом болезни, без которого ее можно было бы и проглядеть.
Разумеется, болезнь проявляется многообразно, и ее в конце концов удается раскрыть и без таких острых симптомов, как парадоксы. Скажем, основания теории множеств были бы проанализированы и уточнены, если бы даже никакие парадоксы в этой области не были обнаружены. Но не было бы той резкости и неотложности, с какой поставили проблему пересмотра теории множеств обнаруженные в ней парадоксы.
Парадоксам посвящена обширная литература, предложено большое число их объяснений. Но ни одно из этих объяснений не является общепризнанным, и сколь-нибудь полного согласия в вопросе о происхождении парадоксов и способах избавления от них нет.
“За последние шестьдесят лет сотни книг и статей были посвящены цели разрешения парадоксов, однако результаты поразительно бедны в сравнении с затраченными усилиями”, — пишет А.Френкель. “Похоже на то, — заключает свой анализ парадоксов Х.Карри, — что требуется полная реформа логики, и математическая логика может стать главным инструментом для проведения этой реформы”.
Логические парадоксы возникают из-за 1. отсутствие точного понимания ситуации, основанное на неправильном понимании исходных данных, нечётких, размытых определениях, то есть непонимание задачи в целом; 2. ошибки в логическом рассуждении, возникающие как результат стереотипного мышления, либо на основе неверных посылок, либо неверных постулатов.
Мы часто сталкиваемся с ними в повседневной жизни, однако их решения кроется на поверхности некорректного условия . Из этого следует вывод, что они не нужны нам в бытовых условиях.
Логические парадоксы - это как теоремы в математике, они вряд ли понадобятся вам в жизни, но они очень важны в отрасли, в которой их обнаружили .
Эти парадоксы являются основной движущей силой в логике . Именно они послужили развитию логики как науке .
Литература :
1.https://4brain.ru/blog/логические-парадоксы/
2. Джастмен"Логические парадоксы .Пути решения"
3. К.Гедель. https://www.proza.ru/2013/11/21/669
4. Д.Бочвар. https://bstudy.net/704799/filosofiya/trehznachnaya_sistema_bochvara
5. Статья в википедии https://ru.wikipedia.org/wiki/Логический_парадокс