Топология поверхностей

XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Топология поверхностей

Седунов А.О. 1
1МОУ Удельнинская СОШ № 34
Русина А.М. 1
1МОУ Удельнинская СОШ № 34
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Какую форму имеет Вселенная? Этот вопрос до сих пор остается открытым. С древних времен ученые обращались к этой теме. Сначала вопросом устройства Вселенной занималась космология, затем математика и физика, сейчас - топология.

Актуальность исследования:

В XVII веке английский математик Исаак Ньютон был одним из тех, кто заложил основы математического анализа и дифференциальной геометрии. Дифференциальная геометрия описывает формы объектов посредством сложных математических формул. Ее можно назвать "жесткой" математикой. Через 200 лет ученые-математики пришли к выводу, что дифференциальная геометрия не может адекватно описать неизвестную нам форму Вселенной. Для этого требовался принципиально новый подход. Так родилась Топология - новый раздел математики, изучающая свойства геометрических объектов и отношений между ними, неизменяющихся при непрерывных деформациях. В 1902г. французский математик Анри Пуанкаре выдвинул гипотезу, что Вселенная имеет форму сферы. Однако, для доказательства этой гипотезы нужен был новый понятийный аппарат. Последующие 100 лет ученые не раз пытались доказать гипотезу Пуанкаре, но безуспешно. И только в 2002г. российский математик Григорий Перельман смог это сделать. Для доказательства он использовал формулы дифференциальной геометрии и методы физики. В 2006г. Григорию Перельману была присуждена Филдсовская премия за доказательство гипотезы Пуанкаре.

В настоящее время исследования формы Вселенной продолжаются. Они носят междисциплинарный характер. Топология находится на переднем крае этих исследований.

Что такое топология?

Даже люди далекие от математики слышали о таких удивительных объектах с загадочными свойствами, как лента Мебиуса и бутылка Клейна, изучением которых занимается общая топология. Это одна из самых сложных и запутанных, но одновременно прекрасных направлений математики.

Топология - это абстрактная дисциплина, изучающая формы в непрерывных деформациях. Она родственна геометрии, но в отличии от нее, объект топологии не является статичным, он эластичный и меняет свою форму без разрывов. Так в топологии, возможны такие чудеса, как превращение бублика (или тора) в кружку.

Топология - одна из самых интереснейших разделов математики, этот факт и определил тему данного проектного исследования - «Топология поверхностей».

Целью исследовательской работы является изучение топологии поверхностей.

Задачи:

1.дать общее определение науки топология и историческую справку ;

2.дать определение поверхностей, описать их свойства, с точки зрения топологии;

3.рассмотреть неориентируемые поверхности: ленту Мёбиуса, бутылку Клейна и сконструировать их макет;

4.провести опрос по теме "Знаете ли вы, что такое наука топология?";

5.описать практическое применение топологии.

Методы исследования: изучение интернет-источников и литературы, беседа, опрос, анализ, наблюдение, описание.

Практическая значимость: материалы и результаты данной работы могут быть использованы как учащимися, для расширения своих знаний в области естественных наук, так и учителями на уроках и факультативах при подготовке к ЕГЭ, а так же на внеклассных мероприятиях.

Глава 1. Теоретические основы исследования

1.1 Краткая история топологии

Топология – довольно сложная наука. Она требует знания геометрии, алгебры и других разделов математики, а также развитое абстрактное мышление.

С середины XIX века топология как наука, исследующая свойства фигур при непрерывных деформациях, начала выделяться в особый раздел математики.

Отцом основателем топологии принято считать немецкого мыслителя Готфрида Лейбница (1646-1716), хотя он и не использовал этот термин, но в своем Анализе положений (analysis situs) он предлагает не физическую, не географическую, и даже не онтологическую модель мышления о пространстве, а реляционную, т.е. характеристику отношения, соположения, сосуществования тел в пространстве.

Идеи Готфрида Лейбница получили свое развитие в работах Леонарда Эйлера (1707-1783). Леонард Эйлер был приглашен в Санкт-Петербургский Университет для развития математической науки в России. И в 1736 году он решил задачу о кенигсбергских мостах, этот момент и принято считать отправной точкой топологии как науки.

Вскоре этой новой геометрией положений заинтересовался другой немецкий математик Карл Гаусс (1777-1855), который поспособствовал тому, чтобы этой дисциплиной занялся его ученик Иоганн Листинг (1808-1882).

Иоганн Листинг ввёл в обращение термин топология для определения этой «квази-математической дисциплины», которая, собственно, ещё не существовала: «Так как термин «геометрия» не характеризует должным образом такую науку, из которой исключены понятия меры и величины, и так как выражение «геометрия положений» уже занято за другой дисциплиной, а наша наука всё ещё не существует, я буду пользоваться термином «топология», который нахожу удачным».

Также Листинг определяет эту дисциплину как «учение о модальных отношениях пространственных образов», и добавляет: «Я убежден в том, что она требует строгого исследовательского метода».

Фундамент топологии, причём достаточно детально разработанный для пространства любого числа измерений, создал французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912гг.). Его первая статья на эту тему появилась в 1894 г. она вызвала всеобщий интерес, и Пуанкаре в 1899—1902 годах опубликовал пять дополнений к этой работе. В последнем из этих дополнений содержалась знаменитая гипотеза Пуанкаре.

1.2 Объект топологии

Топология (от др. греч τόπος — место и λόγος — слово, учение) - наука, изучающая качественные свойства фигур не только в привычном нам трехмерном мире, но и в мирах с большим и меньшим количеством измерений. Пример пространства меньшей размерности - это плоскость у которой размерность равна 2, подобно тому, как у прямоугольника есть ширина и длина.

Таким образом, объектом топологии являются двухмерные и n-мерные пространства.

Проделаем такой эксперимент: возьмем на плоскости квадрат и начнем его сжимать по краям, как бы сглаживая углы. После некоторого количества движений и выравниваний мы сможем получить круг - другую геометрическую фигуру.

Процесс обратим - из этого круга мы всё так же можем получить квадрат. Значит ли это, что квадрат равен кругу, а круг квадрату?

Конечно нет, но обычный человек сказал бы: «Они подобны», а тополог скажет: «Они гомеоморфны или получены гомеоморфным преобразованием».

Рисунок 1. Гомеоморфное преобразование. Стрелки - направление растягивания.

Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний). Это легко представить себе с помощью замкнутой веревочки – из нее можно выложить окружность, и превратить её в квадрат, и обратно.

Каждый из нас за свою жизнь проводил гомеоморфные преобразования: «отщипнул пластилин - сделал из него шар - раскатал в блин».

Гомеоморфное преобразование - это ни что иное, как растягивание или сжатие точек какой-либо фигуры без образования разрывов и склеек одинаковых точек. Возьмем раскатанный блин и порвем его по центру - получим негомеоморфное преобразование.

Таким образом, топология рассматривает превращения фигур. Для этого используется определение гомеоморфизма – преобразования фигур, обладающего определенными свойствами: взаимнооднозначностью и непрерывностью.

1.3 Тор как одно из основных понятий топологии

Одно из основных понятий топологии – тор, или бублик - фигура получена путём вращения окружности вокруг оси, которая не пересекает окружность.

Рисунок 2. Бублик-тор

Существует шутка о том, что тополог — это такой математик, который не видит разницы между спасательным кругом и чашкой кофе. Действительно, топология занимается такими трансформациями фигур, в которых нет места разрыву или восстановлению, а также которые служат идентификации «гомеоморфных» или топологически эквивалентных фигур; одна фигура может быть выведена из другой посредством подобной трансформации.

Топологическая трансформация — это взаимно однозначная и непрерывная в обе стороны (взаимо-непрерывная) операция.

Тор может быть определён как компактная поверхность, лишенная края и обладающая отверстием в себе. Согласно классификации поверхностей, компактные поверхности без края в обычном трёхмерном пространстве могут быть образованы путём склеивания конечного числа ручек со сферой с выколотой точкой. Тор является такой поверхностью, рода 1, так как его можно определить как сферу с одной ручкой (рис. 3).

Рисунок 3. Топологическая поверхность

С другой стороны, тор может быть сгенерирован геометрическим образом посредством вращение круга (C1) вокруг оси, которая лежит вне его, но лежит в той же плоскости (C2) (рис.4).

Рисунок 4. Схема тора как сгенерированного круга

Наглядно рассмотрим, что может связывать тор и обычную кружку? (рис. 5)

Рисунок 5. Пример гомеоморфизма

Будем считать, что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы. Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными.

1.4 Тор и сфера разные топологические поверхности. Род поверхности

В научно-популярной литературе топологию часто называют "геометрией на резиновом листе", поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию.

Теперь мы можем понять, что поверхность куба гомеоморфна сфере. Если мы деформируем куб, то можно получить шар.(рис. 6)

Рисунок 6. Пример гомеоморфизма

Со стороны топологии кружка и тор- это одно и то же. Кружка гомеоморфна тору. То есть можно "надуть" кружку и получить бублик, а потом сдуть его. Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в тор. Заметим, что при таких деформациях одно остается неизменным – наличие «дырки». В данном случае «дырка» одна.

Но сделать шар из тора не возможно, так как будет мешать отверстие в центре. Из тора можно получить так называемую сферу с ручкой. Прекрасным примером сферы с ручкой является спортивная гиря. Можно представить себе сферу с множеством ручек (рис.7). С такими понятиями работает топология.

Рисунок 7. Пример гомеоморфизма

Наличие или отсутствие «дыр» является топологическим свойством, оно сохраняется при топологическом преобразовании, как в нашем примере с кружкой. Область с дырой не может перейти при гомеоморфизме в область без дыр. В топологии используется такое понятие, как род. Говоря совсем простым языком, можно определить род как количество «дырок» (рис.8).

Рисунок 7. Пример рода

Таким образом, род сферы равен нулю, род тора (поверхности «бублика» - единице, род кренделя (тора с двумя дырками) - двум, род поверхности с p дырами равен p. Отсюда следует, что ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору.

Любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.

1.5 Неориентируемые поверхности: лента Мёбиуса, бутылка Клейна

Ориентируемость - важное свойство топологических поверхностей. Такие поверхности, как сфера, тор и неперекрученная лента, называют ориентируемыми и двухсторонними.

Рассмотрим два вида неориентируемых, или односторонних, поверхностей.

Простейшей односторонней поверхностью является лента Мебиуса, которая получила свое название в честь немецкого математика Августа Мебиуса (1790-1868), открывшего ее необычайные топологические свойства.

Если полоску бумаги перед склеиванием концов перекрутить на полуоборота и склеить точку A сточкой C, а B с D, то получится лента Мебиуса. (рис.8).

На рисунке видно, что из прямоугольной полоски путем разного склеивания можно получить разные поверхности. В первом случае мы получаем обычный цилиндр, во втором, так называемую ленту Мебиуса.

Рисунок 8. Схема изготовления ленты Мёбиуса

Цилиндр и лента Мебиуса отличаются друг от друга следующими свойствами

У цилиндра два края, у ленты Мебиуса - один: если мы обозначим точку на краю ленты и будем двигать палец вдоль него пока не вернемся к отмеченной точке, то пройдем вдоль всего края.

У цилиндра две стороны, у ленты Мебиуса всего одна: если мы поставим палец на одну из сторон ленты и будем двигать его вдоль нее, то вернемся в исходную точку, но уже с другой стороны. Таким образом, обе стороны ленты Мебиуса на самом деле одна и также сторона. Этот факт подтверждается невозможностью раскрасить ленту Мебиуса в два цвета. Цилиндр же - это поверхность, которую можно раскрасить в два цвета.

При разрезании ленты Мебиуса по средней линии она не распадается на две части, в отличии от цилиндра.

Таким образом, цилиндр и лента Мебиуса топологические разные поверхности: цилиндр - односторонняя, лента Мебиуса - двусторонняя поверхность. Если говорить строгим топологическим языком, то цилиндр - ориентируемая, а лента Мебиуса неориентируемая поверхность.

Рисунок 9. Схематическое изображение ленты Мёбиуса

В 1858 году, одновременно с Августом Мёбиусом Иоганн Листинг открывает одностроннюю поверхность.

Тем не менее, будущее поколение выбрало имя Мёбиуса для названия этой ленты, объяснение чему можно найти у Понта: «Для Листинга она была лишь вторичной формой, исключением по отношению к тому, что он изучал, чем-то смежным, а не соответствующим, его работе. Тогда как для Мёбиуса, чьё имя она и носит, эта лента была «необходимым и неотъемлемым элементом».

Попробуем представить удвоение этой поверхности (состоящие из двух таких полосок бумаги, обладающих одним ребром), и воздух, который продувается между этими двумя полосками: эта поверхность становится сосудом, напоминающим воздушную камеру, собственно, тором (рис.10).

Рисунок 10. Тор

Также возможна и обратная процедура — сжимание тора воспроизводит свёртку края ленты Мёбиуса, сплющивая тор относительно этой линии и превращает его в двух-листную ленту Мёбиуса (Рис.11).

Рисунок 11. Двух-листная лента Мёбиуса

Лента Мёбиуса является односторонней поверхностью, она обладает только одной стороной и только одним краем. Также она является неориентируемой поверхностью, так как даже если мы определим два направленных вектора (V1, V2) в тригонометрической форме, которые будут скользить по её поверхности, то после одного оборота они будут направлены в противоположную сторону, то есть, исходное направление будет изменено на противоположное.

Ранее упомянутая поверхность (тор) в трёхмерном пространстве может быть ориентирована: добавление ручки к сфере не лишает её ориентированности.

С другой стороны, лента Мёбиуса обладает особым свойством лишения сферы её ориентированности в случае выполнения следующей «пластической хирургии»: проделать отверстие в сфере, удалив небольшой диск, и затем, точка за точкой, определить край этого отверстия с единственным краем ленты Мёбиуса.

Результатом такой операции будет лишенная края компактная поверхность, которая не может быть ни ориентирована, ни определена в трёхмерном пространстве. В зависимости от точки стояния эта поверхность может быть репрезентирована как проективная плоскость, кросс-кап (или плёнка Мебиуса) или поверхность Бойса.

Примером другой неориентируемой поверхности без края является бутылка Клейна. Эта поверхность и в самом деле имеет форму бутылки, но ее название - результат ошибки при переводе. Бутылку впервые описал немецкий математик Феликс Клейн в 1882 году и назвал ее Flache, что в переводе с немецкого означает "поверхность". Переводчик допустил ошибку, спутав это слово со словом Flasche, что означает бутылка. Название прижилось скорее всего потому, что трехмерное представление этой поверхности действительно напоминает бутылку.

Рисунок 12. Бутылка Клейна

Построить бутылку Клейна в трехмерном пространстве невозможно без разрывов. Модель бутылки Клейна представляет собой две склеенных ленты Мебиуса или склеенные верхнюю и нижнюю окружность цилиндра.

Рисунок 13. Шуточное стихотворение о бутылке Клейна.

Выводы:

1) Топология изучает качественные свойства геометрических тел. Так, если геометрия оперирует понятием площади (измерив ее можно вычислить ее размер), то топология оперирует понятием поверхности.

2) Суть топологического преобразования прекрасно отображает преобразование кружки в тор. Оно гомеоморфно, а значит взаимооднозначно.

3) Важнейшим топологическим свойством является род или количество ручек у поверхности. Все ориентируемые двумерные ограниченные компактные поверхности устроены следующим образом: к сфере приделываются ручки. Если одна ручка, то это тоже самое, что бублик (тор). Ручек может быть много.

4) Поверхности с разным количеством ручек не гомеоморфны. И каждая такая поверхность - это уже новый инвариант поверхности.

Глава 2. Практические основы исследования

2.1 Моделирование неориентируемых поверхностей: Ленты Мебиуса и бутылки Клейна

Лента Мебиуса сделана в виде шарфа. Приложение 1.

Бутылка Клейна в виде шапки. Приложение 2.

2.2 Результаты опроса

Для того, чтобы понять знакома ли наука топология обычным людям был проведен небольшой экспресс-опрос:

Вопрос 1 – «Что такое топология?»

Вопрос 2 – «Что из себя представляет лента Мебиуса?»

Вопрос 3 – «Что из себя представляет бутылка Клейна?»

Вопрос 4 – «Знакомы ли Вам работы художника М. Эшера?»

В число опрошенных входили ученики нашей школы и знакомые. Результаты опроса представлены на рисунке 14.

Рисунок 14. Распределение ответов на вопросы

2.3 Практическое применение топологии

Идеитопологии широко используются в абстрактном искусстве. Классическим примером являются работы голландского художника Морица Эшера (1898-1972гг.). Он черпал идеи для своих картин из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии.

Рисунок 15. М.Эшер Муравьи.

Рисунок 16. М.Эшер Относительность.

Рисунок 17. М.Эшер Водопад.

Рисунок 18. М.Эшер Небо и вода 1.

На производстве в виде листа Мёбиуса изготавливают ленту для конвейера. Такая конструктивная особенность позволяет увеличить срок службы ленты, так как происходит равномерное изнашивание её поверхности.

компьютера на печать был матричный принтер. В его печатной головке красящая лента также была уложена в виде ленты Мёбиуса.

Рисунок 19. Матричный принтер

Для того чтобы соединить несколько машин в единое целое применяется компьютерная сеть. Одним из основных терминов сетевой технологии является понятие топологии сети. Топология – общая схема компьютерной сети, отображающая физическое расположение компьютеров и соединение между ними.

Рисунок 20. Примеры топологии компьютерной сети

Форма ленты Мёбиуса достаточно успешно применяется и в архитектуре. Приведём несколько подобных примеров.

   
   

Рисунок 21. Лента Мёбиуса в архитектуре

Существует гипотеза, что спираль ДНК сама по себе является фрагментом листа Мёбиуса и поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Кроме того, такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Рисунок 22. Спираль ДНК

Используя непрерывные деформации, такие, например, как растяжение, сжатие или изгибание мы можем создавать новые практичные модели одежды.

Топология позволяет исследовать и описывать пространственные отношения, которые помогут нам в моделировании одежды. С их помощью которых можно будет создавать различные эффекты, благодаря которым одежда будет смотреться наиболее выигрышно (растяжение, сужение фигуры и т.д.), а также оптимизировать процесс изготовления одежды, минимизируя затраты времени и ресурсов на кройку и шитье.

Заключение

Проведенная работа была интересной и познавательной.

Мы познакомились с интереснейшей и загадочной областью математики – топологией. Рассмотрели базовые понятия, используемые этой наукой и доступные для понимания без серьёзной математической подготовки.

Также определили практическое применение топологических поверхностей в различных сферах человеческой деятельности.

Для решения поставленных задач по изучению топологии мы провели экспресс-опрос в котором участвовали 30 человек.

По результатам опроса сделан вывод: топология остается малоизвестной наукой для многих. Поэтому необходимо выступить с докладом по теме исследования на факультативном занятии по математике.

Были смоделированы неориентируемые поверхности лента Мебиуса и бутылка Клейна в виде шарфа и шапки.

Таким образом, была достигнута цель исследования и успешно решены все его задачи. Знакомство с данной областью математики расширило наши горизонты в изучении математической науки.

Литература

Муньос В. Деформируемые формы, М.: Deagostini, 2014.

Болтянский, В.Г. Наглядная топология / В.Г. Болтянский, В.А. Ефремович – М.: Наука, 1975. – 160 с.

Глейзер. Г.И. история математики в средней школе / Г.И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1970.

Математический энциклопедический словарь / Ю.В. Прохоров [и др.]. – М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1988. – 340 с.

Перельман Я.И. «Занимательная геометрия». – М.: АСТ.Астрель, 2003.

Прасолов, В.В. Наглядная топология / В.В. Прасолов. – М.: МЦНМО, 1995. – 110 с.

Старова, О.А. Топология / О.А. Старова // Математика. Всё для учителя. – 2013. – № 9. – с.28-34.

Стюарт, Я. Топология / Я. Стюарт // Квант. – 1992. – № 7. – с. 28-30.

Эмоциональная презентация детищей несоизмеримости. // Математика в школе – 1998 - № 1 – с. 76 – 77.

Список интернет-ресурсов

Чары гипотезы Пуанкаре. Документальный фильм. Реж. Масахито Касуги, 2008.

Лекции В.С. Итенберга Беседы о математике: Топология, часть 1,2, 2015.

Приложения

П риложение 1. Шарф в виде ленты Мебиуса.

Приложение 2. Шапка в виде бутылки Клейна.

Просмотров работы: 22