XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Вписанные и описанные многоугольники
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.»
А. С. Пушкин
В настоящее время на территории Российской Федерации около 17 миллионов обучающихся посещают различные учебные заведения. И в образовательной программе каждого из учеников встречается множество задач, в которых предполагается использование формул, связанных с окружностями. Кроме того, большую часть данных задач занимают те, которые включают в себя вписанные и описанные окружности. Чаще всего решение этих задач возможно только благодаря знанию каких-либо конкретных законов и теорем.
Данное исследование направлено на изготовление пособий в виде небольших памяток, содержащих несколько наиболее распространённых формул по данному разделу геометрии.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Введение
Вписанные и описанные окружности являются неотъемлемой частью геометрии. Данные фигуры встречаются как в типовых задач, так и в олимпиадных и задачах повышенной сложности.
Проблема
Что представляют собой вписанные и описанные многоугольники
Актуальность проблемы
Данный материал будет полезен ученикам старшей школы, готовящимся к ЕГЭ. Кроме того, в учебниках геометрии 9-11 класса встречается множество задач, в которых предполагается использование формул, свойств, связанных с вписанными и описанными окружностями. Решение этих задач возможно только благодаря знанию каких-либо конкретных формул и свойств.
Практическая значимость.
Благодаря данному сайту ученики смогут повторять, вспоминать или даже изучать основную и углублённую информацию на тему «решение задач о вписанных и описанных многоугольниках». В будущем, они смогут решить подобные задачи, встречающиеся на ЕГЭ.
Предмет исследования
Вписанные и описанные многоугольники, критерии, их свойства и формулы.
Объект исследования
Задачи на ЕГЭ на заданную тему.
Гипотеза
Я предполагаю, что существует больше критериев вписанности и описанности многоугольников, чем даётся в учебниках геометрии. Так же, я считаю, что, из свойств вписанных и описанных многоугольников можно вывести некоторые формулы, которые будут помогать при решении различных задач.
Описание метода. Этапы проведения исследования
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Выбор темы, формулировка проблемы.
Изучение теоретического материала о вписанных и описанных многоугольниках.
Поиск ранее проведенных исследований на данную тему.
Выбор объектов исследования (математических задач) и методов решения проблемы.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Цель работы
Найти и применить дополнительный материал о вписанных и описанных многоугольниках при решении задач. Разработать электронный сайт с данной информацией.
Задачи:
Проанализировать литературу по данной теме.
Узнать и уметь применять полученные знания.
Привести пример разбора нескольких задач со вписанными или описанными многоугольниками
Выделить основные способы их решения
Представить упорядоченную информацию о задачах по данной теме в виде организованного электронного сайта.
Методы и приёмы, которые использовались в работе
Эмпирический: изучение литературных источников.
Теоретический: анализ.
Причины использования предлагаемых методов и приёмов
простота
наглядность
точность
актуальность
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Многоугольники
Что же такое многоугольник? Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Прежде всего стоит рассказать о классификации многоугольников. Многоугольники делятся на треугольники, четырёхугольники, пятиугольники и так далее. Существует и другая классификация: на выпуклые и невыпуклые, но она не так значима для этой исследовательской работы.
Вписанным в окружность многоугольником называется такой многоугольник, вершины которого лежат на окружности (рис. 1). Описанным многоугольником называется такой многоугольник, стороны которого касаются окружности (рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
Вписанный многоугольник Описанный многоугольник
Если многоугольник взят произвольно, то в него не всегда можно вписать или около него описать окружность.
Только многоугольники, соответствующие некоторым правилам – критериям вписанности и описанности, можно описать окружностью или вписать в них окружность.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Треугольники
В любой треугольник можно вписать окружность с центром является точка пересечения биссектрис треугольника (рис. 3).
ц
Рис. 3
Вокруг любого треугольника можно описать окружность - ее центр - точка пересечения серединных перпендикуляров к этим сторонам (рис. 4). Иногда говорят еще что окружность описана около треугольника. Это означает тоже самое - все вершины треугольника лежат на окружности.
Рис. 4
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри. У тупоугольного – вне треугольника. А у прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы (рис. 5).
Рис. 5
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Формулы площади треугольника:
,
где — полупериметр,
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
где — стороны треугольника,
— радиус описанной окружности
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Четырёхугольник
Критерии вписанности четырёхугольника:
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°. Угол А + угол С = 180о (рис. 6)
Рис. 6
Чтобы выпуклый четырёхугольник был вписанным, нужно, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. (рис. 7)
Рис. 7
Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей f и e(рис. 8) четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан.
Рис. 8
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке (рис. 9)
Рис. 9
Критерии описанности четырёхугольника:
Выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. (рис. 10)
Рис. 10
Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру р четырёхугольника (рис. 11)
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
AD + BC = AB + DC => AB + BC + CD + DA = р x 2
Обратно — четырёхугольник, в котором AD + BC = AB + DC, должен быть описанным.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Правильный пятиугольник
Рис.12
Пятиугольник вписать в окружность или описать его можно тогда, когда биссектрисы его сторон пересекаются в одной точке, которая будет являться центром окружностей (рис. 12)
Формулы:
Радиус вписанной окружности:
Радиус описанной окружности:
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Задачи
Задача 1.
Докажите, что отличная от B точка пересечения окружностей, построенных на сторонах BA и BC треугольника ABC как на диаметрах, лежит на прямой AC.
Решение: пусть K – вторая точка пересечения окружностей. ∠AKB=90∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр AB. Аналогично ∠CKB=90∘ как вписанный угол, опирающийся на диаметр BC. Таким образом, через точку K к прямой BK проведены две прямые AK и CK, перпендикулярные BK, следовательно, эти прямые либо совпадают, либо параллельны. Но т.к. они имеют общую точку K, то они не могут быть параллельны, то есть они совпадают. Значит, точки A, C и K лежат на одной прямой, чтд.
Задача 2.
В окружность вписан четырехугольник MNKP, причем площади треугольников MNP и MKP равны.
Докажите, что треугольник NOK – равнобедренный, где O – точка пересечения отрезков MK и NP.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Решение: т.к. S△MNP=S△MKP и эти треугольники имеют общее основание MP, то 12⋅MP⋅NH1=12⋅MP⋅KH2⇒NH1=KH2 Таким образом, точки N и K находятся на одинаковом расстоянии от прямой MP, следовательно, NK∥MP. Таким образом, MNKP – трапеция, вписанная в окружность. Т.к. параллельные прямые отсекают от окружности равные дуги, то меньшие полуокружности дуги MN⌣=KP⌣. Т.к. равные дуги стягиваются равными хордами, то отрезки MN и KP равны. Следовательно, трапеция MNKP является равнобедренной. В равнобедренной трапеции △MOP и △NOK являются равнобедренными, чтд. Действительно, вписанные углы ∠NKM и ∠KNP равны, т.к. опираются на равные дуги, следовательно, △NOK – равнобедренный.
Задача 3.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем ∠ACD=90∘, ∠ACB=∠BAD, AD=2, CD=65. Найдите длину отрезка BC.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Решение: т.к. ∠ACD=90∘, то он опирается на диаметр, то есть AD – диаметр. Следовательно, ∠ABD=90∘. Вписанные углы ∠ACB и ∠ADB равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, △ABD – прямоугольный и равнобедренный, то есть ∠BDA=∠BAD=45∘ и AB=BD=AD÷2=2. 2) По теореме Пифагора из △ACD: AC=AD2−CD2=4−3625=85 Тогда по теореме косинусов из △ABC: AB2=AC2+BC2−2⋅AC⋅BC⋅cos45∘⇒2=6425+BC2−2⋅85⋅BC⋅22 Решая полученное квадратное уравнение, находим, что BC=25 или BC=725. Заметим, что в △ABC угол B – тупой, следовательно, против него должна лежать большая сторона. Таким образом, число 725 не подходит, т.к. 725>85=AC. Таким образом, BC=25.
Задача 4.
Найдите радиус окружности, проходящей через вершину C прямого угла треугольника ABC, основание H высоты CH и точку K — середину катета BC, если гипотенуза треугольника равна c.
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Решение: сразу заметим, что ∠C=90∘ — вписанный угол, следовательно, он опирается на диаметр. Значит, если M – точка пересечения окружности с катетом AC, то MK – диаметр. Заметим, что в △CHB HK — медиана, проведенная из вершины прямого угла, следовательно, она равна половине гипотенузы, то есть HK=KC. Таким образом, прямоугольные треугольники MCK и MHK (∠H=90∘, т.к. опирается на диаметр) равны по катету и гипотенузе. Значит, KM – содержит биссектрису ∠CKH, а т.к. △CKH равнобедренный, то и высоту, то есть KM⊥CH. По условию также CH⊥AB, следовательно, MK∥AB. Значит, по теореме Фалеса M – также середина катета AC, то есть MK – средняя линия. Значит, радиус окружности равен R=12MK=12⋅12AB=14c.
Ответ: c4
«Вписанные и описанные многоугольники»
Кузьмин Никита Иванович
Российская федерация, город Чита
Забайкальский краевой лицей-интернат
Вывод
В результате данного исследования и анализа критериев вписанности и описанности многоугольников, включающих в себя: треугольники, четырёхугольники и пятиугольники были сделаны выводы о том, что критериев вписанности и описанности многоугольников существует гораздо больше, чем нам предлагают в ходе учебного курса. Помимо критериев вписанности и описанности многоугольников, я выяснил, что есть несколько формул, применяемые к вписанным или описанным многоугольникам, помогающие решать задачи.