XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Волшебство геометрии: треугольник Рёло
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Изобретением велосипеда» называют бессмысленное повторение и пере открытие давно пройденного и известного, и совершенно напрасно. Современные инженеры, можно сказать, постоянно изобретают велосипед, внося все новые усовершенствования в его конструкцию и отдельные детали. Однажды в интернете я прочитала об одном удивительном изобретении китайского пенсионера – велосипеде с треугольными колесами.
Это «чудо» катится и имеет удивительно плавный ход. Меня заинтересовало не только само по себе данное изобретение, но и необычная геометрическая фигура – круглый треугольник. Я узнала, что он называется треугольником Рёло, решила об этой фигуре собрать как можно больше информации. Так и появилась тема моей исследовательской работы.
Объект исследования: треугольник Рёло.
Предмет исследования: понятие треугольника Рёло, его свойства и практическое применение.
Гипотеза: треугольнику Рёло присущи свойства обеих геометрических фигур, используемых в его построении, кроме того он обладает собственными свойствами, которые используются в технике.
Цель исследования: изучить основные свойства треугольника Рёло, историю его изобретения, рассмотреть области применения, выявить задачи, связанные с треугольником Рёло.
Для достижения своей цели я выдвинула следующие задачи:
познакомиться с историей изобретения необычного треугольника;
рассмотреть и изучить свойства треугольника Рёло;
выяснить области его применения;
найти объяснение плавности хода велосипеда с «треугольными колёсами».
Методы исследования:
теоретический (изучение текстовой информации по данной теме, абстрагирование, анализ, обобщение);
эмпирический (сравнение, сопоставление полученных данных);
эксперимент;
метод проектов.
Актуальность:
В современном мире, при быстро развивающихся технологиях нельзя обойти стороной фигуру постоянной ширины - треугольник Рёло, позволяющий сократить затраты при производстве, к примеру, при конструировании деталей.
План исследования:
1) Изучаю теоретический материал о треугольнике Рёло.
2) Создание повозки с треугольными колёсами.
3) Применить повозку на практике.
4) Сделать выводы.
Практический результат исследовательской работы:
Сделать повозку с треугольными колёсами и проверить отсутствие качки на практическом применении.
I. Теоретическая часть
1.Волшебство геометрии: треугольник Рёло
1.1 Понятие треугольника Рёло
Треугольник Рёло – это область пересечения трех окружностей, построенных из вершин правильного треугольника. Они имеют радиус, равный стороне этого же треугольника. Он относится к разряду простых фигур (как круг), обладающих постоянной шириной. Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.
1 .2 История изобретения треугольника Рёло
По мнению историков, название этой «непростой» простой фигуре дал немецкий механик Франц Рёло, живший с 1829 по 1905 годы. В 1852 году он окончил политехникум в Карлсруэ, с 1856 года профессор Политехнического института в Цюрихе, в 1864—1896 годах профессор Промышленного института (позже — Высшая техническая школа) в Берлине. В 1875 году впервые четко сформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов, которые ранее содержались в неявной форме в работах П. Л. Чебышева и др. Многие историки сходятся в том, что именно он стал первооткрывателем свойств необычного треугольника. Потому как он первый широко использовал свойства и возможности треугольника Рёло в своих механизмах. Франц Рёло первым дал доскональные определения понятиям «кинетическая пара», «кинетическая цепь». Он впервые показал возможность связи между основами механики и конструирования. То есть связал теорию и практические проблемы конструирования. Это позволило создавать механизмы в совокупности их функциональных возможностей с внешней привлекательностью и эстетичностью. Отсюда Рёло стали считать поэтом механики. Иные исследователи первооткрывателем этой фигуры признают Леонарда Эйлер (18 век), который уже тогда продемонстрировал возможность его создания из трех окружностей. А третьи «увидели» треугольник Рёло в рукописях гениального Леонардо Да Винчи. Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов. Манускрипты этого естествоиспытателя, с изображением этой «простой» фигуры, хранятся в Мадридском кодексе и в Институте Франции.
1.3. Свойства треугольника Рёло
Основные свойства
Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги.
Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло. Треугольник Рёло постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рёло, а другая – на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т.е. длине стороны изначального правильного треугольника
Теорема Барбье
Теорема Барбье: Все кривые постоянной ширины h имеют одинаковую длину, равную πh. Треугольника Рёло симметричен, обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны. Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса:
1.С каждой из своих опорных (параллельных) прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке
2. Расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло не может превышать его ширины
3.Отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым
4. Через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая;
5. Через каждую точку границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса, причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку, является касательной к этой окружности;
6. Треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат.
2.Применение треугольника Рёло в разных сферах жизни
2.1. Применение треугольника Рёло в технике
Применение треугольника Рёло основано на его свойствах.
В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрёл инструмент для сверления квадратных отверстий.
С 1916 года свёрла находятся в серийном производстве. Сверло Уаттса представляет собой треугольник Рёло, в котором заточены режущие кромки и прорезаны углубления для отвода стружки.
Треугольник Рёло используется и в автомобильных двигателях. В 1957 году немецкий инженер, изобретатель Ф. Ванкель, сконструировал роторно-поршневой двигатель. Внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рёло. Он вращается так, что три его вершины находятся в постоянном контакте с внутренней стенкой корпуса, образуя три замкнутых объёма, или камеры сгорания.
Кулачковые механизмы паровых двигателей, швейных машин и часовых механизмов также представляют собой треугольник Рёло.
2.2. Применение треугольника Рёло в грейферном механизме в кинопроекторах.
Устройство грейферного механизма основано на треугольнике Рёло, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны. Действительно, т. к. длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рёло, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера. Такой механизм обеспечивает равномерное вращение оси. Чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду.
2.3. Применения треугольника Рёло в быту человека.
В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — опытным путем доказано, что благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк.
В Сан-Франциско, для системы рекуперирования воды корпуса люков имеют форму треугольника Рёло. За счет того, что у треугольника Рёло площадь меньше, чем у круга, себестоимость люков в форме треугольников Рёло была бы ниже, чем у традиционно круглых. Перейдя на серийное производство люков в форме треугольника Рёло, на мой взгляд, можно было бы быстрее решить проблему открытых колодцев и избежать травматизма и смертей людей. Использование треугольника Рёло в изготовлении мебели придаёт ей особый вид и необычный дизайн.
Треугольник Рёло – распространенная форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для игры на струнах щипковых музыкальных инструментов.
II. Практическая часть
Конструирование повозки с треугольными колёсами.
Колесо, изобретенное несколько тысяч лет назад, произвело переворот в жизни человека. Постоянство ширины явилось для колеса определяющим свойством, следствием которого явилось техническое завоевание мира.
Изобретением колес велосипеда занимается китайский рационализатор Гуань Байхуа, 50-летний офицер из города Циндао. Больше того, он изобретает заново самую консервативную деталь велосипеда – колёса. Вместо понятных всем круглых он предложил кататься на колесах пяти - и треугольной формы (спереди и сзади, соответственно). Для китайцев велосипед – главный вид транспорта, популярностью затмевающий автомобили. Но велосипед с угловатыми колесами средством передвижения не станет. Поездка на нем требует больше усилий, чем на обычном велосипеде, и скорее всего, он найдет свою нишу в качестве экзотической игрушки и более эффективного тренажера.
Я решила смастерить повозку с треугольными колёсами. Для этого мне понадобились:
деревянная дощечка прямоугольной формы;
две железные оси с резьбой;
гайки для фиксации осей;
кусок фанеры, из которой я вырезала треугольные колёса;
Получилась повозка с круглыми колёсами. Угловатые колёса неизбежно должны создавать при качении тряску. Но оказалось, что у неё достаточно плавный ход. Чтобы убедиться, что тряски нет, я поставила, как учат автомобилистские традиции, на тележку стакан с водой. При движении тележки вода не расплескалась. Теория об отсутствии качки при движении повозки с треугольными колёсами подтвердилась.
Заключение.
Всегда интересно познавать что-то новое, открывать для себя то, что может быть увлекательным. Такой стала для меня эта работа.
Несколько тысяч лет назад было изобретено колесо, которое произвело переворот в жизни человека. Определяющим свойством, следствием которого стало техническое завоевание мира, стало свойство постоянства ширины. Но, как оказалось, круг – не единственная фигура, которая обладает этим свойством. Вызвавший мой интерес, треугольник Рёло, также принадлежит этому семейству. В своей работе я не только изучил его свойства, геометрические характеристики, историю изобретения, но и рассмотрел сферы применения этой выпуклой, симметричной фигуры постоянной ширины.
Кроме этого, я сконструировал повозку с колесами в форме треугольника Рёло и проверил теорию об отсутствии качки.
Выдвинутая мной гипотеза о свойствах этой фигуры нашла свое подтверждение. Кроме того, я ответил на ряд вопросов познавательного характера. Не менее познавательной оказалась информация о сферах применения «круглого» треугольника не только в технике, но и в архитектуре, литературе.
Таким образом, изобретенный в прошлом веке треугольник Рёло широко используется сегодня. Однако его изучение не стоит на месте. Его свойства как характеристики фигуры постоянной ширины находятся в постоянном теоретическом и практическом изучении. И это правильно, ведь чем лучше будут изучены свойства треугольника Рёло и остальных фигур постоянной ширины, тем больше возможностей будет открываться для их использования в нашей жизни. Однако данный проект является лишь каплей в море в изучении данной темы, ведь столько интересного осталось за его рамками. Таким образом, поставленные мною задачи, реализованы в полном объеме.
Список использованных источников и литературы.
1. В. Г. Болтянский, И. М. Яглом. Выпуклые фигуры. М.—Л.: ГТТИ, 1951.
2. Велосипед с треугольным колесом// Материал сайта Веломастерская «Две звезды» [Электронный ресурс] - Режим доступа. - URL: http://news/velosiped-s-treugolnyim-kolesom. html
3. Коксетер, С.М., Грейтцер, С.Л. Новые встречи с геометрией. – М., Наука, 1978.
4. Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. М.: Физматгиз, 1962.
5. http://www.etudes.ru/ru/etudes/koleso/