О производной, экономии горючего, и не только об этом...

XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

О производной, экономии горючего, и не только об этом...

Захаров Н.Ю. 1
1ГБПОУ Уфимский автотранспортный колледж
Ахтямова Л.Т. 1
1ГБПОУ Уфимский автотранспортный колледж
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Зачем человеку нужна математика? Не только для того, чтобы считать деньги, как думают многие отвечающие на этот вопрос. Ведь математика с незапамятных времен является фундаментом естествознания и техники, а в настоящее время она необычно расширила сферу своего приложения. Любой раздел математики учит нас логически мыслить, рассуждать. Совсем необязательно помнить все формулы, нужно овладевать методами решения, потому что все взаимосвязано, и одно вытекает из другого.

В математике XVII века самым большим достижением считается изобретение дифференциального и интегрального исчислений, составляющих математический анализ – ветвь математики, окончательно сформировавшуюся в XVIII веке. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков (в первую очередь И.Ньютона и Г.Лейбница) и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований, быстро изменивших все лицо математики и поднявших ее роль в системе естественнонаучных знаний человечества.

Одними из самых интересных прикладных задач в математике являются задачи на наибольшее и наименьшее значения функции, или задачи на максимум и минимум. Оба понятия, максимум и минимум объединяются термином экстремум (от латинского слова extremumкрайнее), поэтому задачи на отыскание максимума и минимума также называются экстремальными задачами.

Актуальность работы обусловлена тем, что решать задачи на экстремум побуждают людей разные причины. Объясняется это тем, что они похожи на наши повседневные проблемы. Мы стараемся приобрести вещи наилучшего качества по возможности за меньшую цену; пытаемся максимально увеличить свои доходы, прилагая к этому минимальные усилия; хотим поменьше рисковать и т.д. Добиться наивысшего при заданных условиях результата (прибыли, мощности, скорости) или понести наименьшие потери (времени, материалов, энергии) – желание вполне понятное и естественное. Поэтому эти задачи играют большую роль в экономике и технике, ведь с такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для автомобиля так, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д. и т.п. Поэтому задачи подобного рода носят общее название – задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum наилучший).

Цель исследования: изучить математическое моделирование прикладных задач на отыскание наибольшего или наименьшего значений функции с помощью производной.

Задачи исследования:

1. Изучить научную литературу по данному вопросу.

2. Изучить алгоритм математического моделирования задач на экстремум функции.

3. Провести математическую обработку эмпирических данных.

4. Получить формулу зависимости расхода горючего от скорости движения и выяснить с ее помощью экономичную скорость движения.

Объект исследования: задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.

Предмет исследования: зависимость расхода горючего от скорости движения.

Научная новизна исследования: собрана и систематизирована информация о задачах на экстремум, так как в пособиях, используемых в учебных заведениях технического профиля, решение таких задач описано не очень подробно.

Практическая значимость работы: описанные методы решения прикладных задач на максимум и минимум с помощью производной и результаты исследований могут быть обобщены и использованы преподавателями и обучающимися по другим профилям, так как при решении большого количества задач зависимости между переменными описываются аналогично с помощью квадратичной функции с использованием метода наименьших квадратов.

В соответствии с поставленными задачами был определен план исследования:

1. Систематизировать информацию по теме исследовательской работы путем изучения дополнительной литературы, в том числе Интернет-ресурсов и литературы по специальности.

2. Изучить методику обработки опытных данных.

3. Обработать экспериментальные данные, взятые из сети Интернет.

4. Сделать соответствующие выводы.

5. Оформить презентацию с результатами исследовательской работы.

В основной части исследовательской работы систематизирован материал об истории решения задач на наибольшее и наименьшее значения функции; даны основные теоретические сведения по нахождению точек экстремума с помощью производной; рассмотрены алгоритм и пример решения прикладной экстремальной задачи; приводится описание проведенного исследования.

Раздел 1. Теоретические сведения

1.1. История вопроса

Задачи на максимумы и минимумы всегда привлекали внимание математиков. Встречаются они и в трудах трех величайших геометров Древней Греции – Евклида, Аполлония Пергского и Архимеда. Многие красивые задачи на экстремум геометрического содержания были решены в эпоху Возрождения.

К 30-м годам XVII века появилась необходимость отыскать какие-то общие методы решения экстремальных задач. Первый аналитический прием был найден французским математиком Пьером Ферма (1601-1665). Открытие состоялось, по-видимому, в 1629 году, но впервые автор достаточно полно изложил свой метод только в 1636 году. Прием Ферма сводится к следующему: если функция y=f(x)достигает своего экстремума в точке x0,то в данной точке производная функции должна обратиться в нуль, т.е. должно иметь место равенство f(x0)=0. Намеки на этот прием встречаются также в знаменитой книге немецкого математика и астронома Иоганна Кеплера (1571-1630) «Новая стереометрия винных бочек» (1615 г.).

В 1684 году появилась работа немецкого математика и философа Готфрида Лейбница (1646-1716) «Новый метод нахождения наибольших и наименьших значений...», в которой заложены основы математического анализа.

Следующий шаг в теории экстремума был сделан, когда стали искать кривые, наилучшие с той или иной точки зрения. Первую задачу такого рода решил английский механик и математик Исаак Ньютон (1642-1727). Это техническая задача о поверхности вращения, испытывающей наименьшее сопротивление в некой «редкой» среде. Но решение Ньютона, данное им в «Математических началах натуральной философии» (1687 г.), поняли только к середине XX века с появлением нового направления в теории экстремума, названного оптимальным управлением, одним из его создателей которого был российский математик Лев Семенович Понтрягин (1908-1988).

1.2. Алгоритм нахождения локальных экстремумов

К ак решать задачи на экстремум? Пусть функция f(x)определена на некотором интервале (a;b), содержащем точку х0. Говорят, что x0локальный минимум (максимум) функции f(x),если существует такая окрестность точки х0, что f(x)f(х0)(f(x)≤f(x0))для всехx≠х0из этой окрестности. На рис.1 точка x1– локальный минимум, а точка x2локальный максимум. Объединяются эти понятия одним термином локальный экстремум. Для их нахождения существуют два правила.

Правило нахождения экстремумов с использованием первой производной:

1) найти производную функции f(x)функцииf(x);

2) найти критические точки, т.е. точки, в которых f(x)=0или не существует;

3) исследовать знак производной f(x)в промежутках, на которые найденные точки делят область определения функции.

Если при переходе через точку х0знакпроизводной:

а) меняется с «–» на «+», то функция при х=x0имеет минимум,

б) меняется с «+» на «», то функция при х=x0имеет максимум;

в) не меняется, то функция при х=x0экстремума не имеет.

Правило нахождения экстремумов по второй производной:

Если x0стационарная точка функции f(x), т.е.f(x0)=f′′(x0)>0, то в точкеx0 локальный минимум, а если f(x0)<0, то в точке x0локальный максимум (рис.2).

Рис. 2

1.3. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего

значений функции на отрезке (глобальных экстремумов)

Как находить наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке?

1. Предположим, что функция непрерывна на отрезке а;b. Тогда:

а) найти значения функции f(a) и f(b) на концах промежутка;

б) найти критические точки функции внутри промежутка, т.е. на (а;b);

в) найти значения функции в критических точках;

г) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее, которые и будут экстремумами функции на отрезке а;b.

2. Если промежуток открытый, то в этом случае легко находить экстремумы,если между a и bоказывается лишь одна критическая точка x0. Если эта точка является точкой минимума, то именно в ней будет достигаться наименьшее значение функции на промежутке. Аналогично находится наибольшее значение.

1.4. Алгоритм решения задач на экстремум

В самых простых задачах на экстремум, как правило, две величины, одна из которых зависит от другой, причем надо найти такое значение второй величины, при котором первая принимает свое наименьшее или наибольшее (наилучшее в данных условиях) значение.

Задачи на экстремум решают по обычной схеме – в виде трех этапов математического моделирования: составление математической модели, работа с моделью, ответ на вопрос задачи.

Первый этап. Составление математической модели.

1) Проанализировав условия задачи, выделить оптимизируемую величину, т.е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти. Обозначить ее буквой y (или S, V, R, t – в зависимости от условия задачи).

2) Одну из неизвестных величин, через которую можно выразить оптимизируемую величину, принять за независимую переменную и обозначить ее буквой x (или какой-либо иной буквой). Установить реальные границы изменения независимой переменной (в соответствии с условиями задачи).

3) Исходя из условий задачи, выразить y через x. Математическая модель задачи будет составлена, если составить функцию y=f(x) и указать область ее определенияX, которая найдена на втором шаге.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции y=f(x), xϵX найтиyнаим или yнаиб в зависимости от того, что требуется в условии задачи.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

1.5. Решение прикладной задачи на экстремум

Задача №1. При проектировании дорог часто возникает необходимость соединить подъездным путем тот или иной объект с автомагистралью. Различные экономические соображения в таких случаях показывают, что подъездной путь должен пойти не перпендикулярно к магистрали, а под некоторым острым углом, называемом углом примыкания подъездного пути к магистрали.

Рассмотрим задачу, связанную со специальностью «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов» – одной из главных в нашем колледже. На ее примере поясним алгоритм решения задач на экстремум

Расстояние от песчаного карьера А до кирпичного завода В, расположенного на прямолинейной автомагистрали, равно 30 км. Песчаный карьер удален от магистрали на 24 км. Строительный кооператив взял подряд на строительство подъездной дороги от карьера к автомагистрали. На каком расстоянии от завода должна находиться развилка дорог Х, чтобы время доставки грузов от карьера до завода было наименьшим, если на магистрали автомашины могут развивать скорость 52 км/ч, а на подъездной дороге 20 км/ч?(рис.3)

Решение. Первый этап. Составление математической модели.

1) Оптимизируемая величина – время движения, так как в задаче требуется выяснить, когда время будет наименьшим. Обозначим время буквой t. Маршрут движения – АХВ.

2) Время зависит от расстояния ХВ между развилкой и заводом, но для удобства решения введем в качестве независимой переменной СХ=х. Тогда ХВ=СВ-СХ=18(км), так как по теореме Пифагора СВ=. Таким образом, реальные границы изменения независимой переменной 0х18.

3) Для вычисления tдв также найдем по теореме Пифагора расстояние АХ= тогда х0;18. Математическая модель составлена.

Второй этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции , х0;18 нужно найти значение tнаим. Вычислим производную . Критическую точку найдем из уравнения t'=0, т.е.

,

.

Найдя t(0)1,546 ч, t(10)1,454 ч, t(18)1,5 ч и сравнив, получим tнаим=t(10).

Примечание: Ответ также можно получить, исследуя знак производной слева (t'(x)<0) и справа(t'(x)>0) от критической точки, поэтому х=10 – точка минимума. А так как она – единственная, то именно в ней и достигается наименьшее значение функции, то есть времени движения.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Так как СХ=х=10 км,то развилка дорог должна находиться от кирпичного завода на расстоянии ХВ=18-10=8 (км). При этих условиях время доставки грузов от карьера до завода будет наименьшим.

Ответ: развилка дорог должна находиться на расстоянии8 км от завода.

На IV курсе при изучении предмета «Информационные технологии в профессиональной деятельности» задачи на наименьшее и наибольшее значения функции решаются методами оптимизации задач средствами программы «Microsoft Excel».

Раздел 2. Исследовательская работа

При изучении темы «Приложения производной» нас заинтересовала задача №2 «Эмпирически (из опыта) установлено, что расход горючего автомобилем ГАЗ-69в зависимости от скорости определяется формулойf( )=18-0,3 +0,0032, где – скорость в км/ч и f( ) – расход горючего в литрах на 100 км пути. Найдите наиболее экономичную скорость движения автомобиля и расход горючего в литрах на 100 км пути при скорости автомобиля 100, 75 и 40 км/ч». (В учебнике также приводится другой вариант задачи, в которой используется формула f( )=21-0,55 +0,00662, однако марка автомобиля не указана)

Решение: Любой человек, который хоть немного разбирается в автомобилях, знает, что расход горючего зависит от многих факторов, в том числе и от скорости движения (приложение 1). Известный факт: чем больше скорость движения, тем больше расход горючего. С уменьшением скорости движения расход горючего также повышается. Таким образом, существует такое значение скорости, при которой расход горючего минимален. Эта скорость называется экономичной скоростью.

Графиком данной квадратичной функции является парабола, вершина которой является экономичной скоростью, а на языке математики – критической точкой.

Найдя производную f( )=-0,3+0,006 и приравняв ее к нулю, имеем уравнение -0,3+0,006=0. Решив его, получим критическую точку =50км/ч.

Вторая производная f( )=0,006>0, в том числе и при =50, тогда =50 – точка минимума функции расхода горючего. А так как она еще и единственная, то именно в ней достигается наименьшее значение функции, т.е. расхода горючего, и следовательно значение =50км/ч является экономичной скоростью движения автомобиля ГАЗ-69.

Расход горючего при этой скорости составляет:

f(50)=18-0,350+0,003502=10,5(л.). Соответственно, f(100)=18л., f(75)=12,375л., f(40)=10,8л.

Автомобиль ГАЗ-69 в настоящее время не выпускается, поэтому опытным путем формулу нельзя было проверить. Мы решили получить аналогичную формулу для другой марки автомобиля. Задача состояла в том, чтобы определить расход бензина при езде с фиксированной скоростью. При кажущейся простоте задачи ее нелегко было осуществить на практике, так как во-первых, довольно сложно ехать определенное расстояние с постоянной скоростью; во-вторых, расход бензина зависит от передачи, на которой движется автомобиль; в-третьих, трудно измерить расход бензина, требуемый на заданное расстояние.

Большой объем информации был найден в сети Интернет (приложение 2). По результатам заводских испытаний тщательно отрегулированного и доведенного автомобиля ВАЗ-21011 получены данные для расхода топлива, которые мы решили использовать для дальнейшего исследования (таблица 1).

Таблица 1

Скорость, км/ч

40

50

60

70

80

90

100

110

120

Расход бензина на 100 км, л

5,9

6,0

6,2

6,5

7,1

7,9

8,8

9,8

11,0

Зависимость расхода бензина от скорости описывается квадратичной функцией f=а02+а1+а2. Поэтому нужно было определить параметры а0, а1, а2 так, чтобы в эту формулу наилучшим образом «укладывались» бы полученные пары значений иf( ). Для этого были дополнительно изучены способ наименьших квадратов и метод Гаусса для решения системы 3 уравнений с 3 неизвестными а0, а1, а2. (приложение 3).

Решив систему, мы получили, что а00,0008, а1-0,07, а27,347. Таким образом, расход бензина при езде на автомобиле ВАЗ-21011 описывается формулой:

f( )=7,347-0,07 +0,00082.

Исследовав ее с помощью производной, получили значение экономичной скорости 43,75 км/ч. Первый шаг в решении этой задачи сделан, но она требует дальнейшей работы, так как для вывода недостаточно одного опыта.

Заключение

В ходе выполнения данной работы цель по изучению вопроса о прикладных задачах на наибольшее и наименьшее значения функции была достигнута. Задачи исследования выполнены.

1) Изучен и систематизирован теоретический материал по данной теме. Собран банк прикладных задач на экстремум (приложение).

2) Изучен алгоритм математического моделирования задач на экстремум.

3) Изучена методика обработки экспериментальных данных, а именно метод наименьших квадратов по определению параметров корреляционной зависимости между двумя величинами для получения формулы функциональной зависимости; метод сложения (Гаусса) для решения систем линейных уравнений с тремя переменными.

4) Получена формула зависимости расхода горючего автомобилем в зависимости от скорости его движения и найдена экономичная скорость.

5) Выполнена мультимедийная презентация с изложением основных моментов работы.

Итак, о чем свидетельствуют результаты работы? Полученная формула зависимости расхода горючего от скорости движения автомобиля вполне согласуется с теми формулами, которые предлагаются в задачнике. Найденное значение экономичной скорости 43,75км/ч очень маленькое и в реальной жизни с такой скоростью далеко не уедешь.

Тем водителям, работа которых состоит в перевозке грузов и зарплата которых зависит от количества выполненных рейсов, нужно решать не только задачу о минимальном расходе горючего и соответственно затраченных на него денег.

Немаловажен вопрос об экономии времени перевозки и доставки грузов, ведь оно также должно быть минимальным. Если не укорачивать длину маршрута, то эту задачу можно решить лишь за счет увеличения скорости движения, но при этом неизбежно будет повышаться расход горючего.

Поэтому выбирается оптимальная скорость движения, которая является наилучшей при данных условиях, когда требуется одновременно и экономия расхода горючего, и экономия времени доставки грузов. Эта оптимальная скорость отличается от экономичной, но при этом это различие не должно быть большим. Поэтому в качестве оптимальной скорости в паспортах автомобилей чаще всего рекомендуются значения в пределах 60-80 км/ч, при этом нужно учитывать, по какой дороге происходит движение: в городе, в населенном пункте или на открытой трассе.

Следует отметить также тот факт, что движение с большими скоростями не только увеличивает расход горючего, но и достаточно опасно и чревато дорожно-транспортными происшествиями. Известная пословица «Тише едешь – дальше будешь» имеет понятный смысл: человек на автомобиле с «аккуратными» скоростями имеет меньше шансов попасть в аварию и действительно будет дальше. Хотя в последнее время у пословицы появилось продолжение «Тише едешь – дальше будешь от того места, куда едешь». Да, действительно двигаясь медленно, такой водитель будет долго в пути. Однако быстрое движение вовсе не означает, что в пункт назначения такой водитель доедет за короткое время. Может случиться непоправимое…

Культура правильной езды в России оставляет желать лучшего, каждый год по статистике в ДТП погибает около 30000 человек. И даже увеличение суммы штрафов не уменьшает количество автомобильных аварий. Поэтому и есть такое понятие как «оптимальная скорость». И каждый водитель должен об этом помнить!

Получив в данной работе формулу зависимости расхода горючего от скорости движения автомобиля, мы определили тем самым функцию, в которой задается соответствие между величинами, характеризующими ход конкретного процесса (явления). Такие функции называются производственными.

В качестве примеров можно привести зависимость производительности труда рабочих (студентов) в течение смены от времени суток и важно знать, в какой момент времени производительность труда будет максимальной. Или суточный удой зависит от возраста коров и есть такой возраст, при котором суточный удой наибольший. Урожай любой сельскохозяйственной культуры зависит от количества вносимых минеральных удобрений, среднесуточной температуры и нормы посева и важно знать, при каких условиях будет получен максимальный урожай.

Производственные функции получают в результате изучения и обработки числовых данных результатов хозяйственной деятельности или на основе специально поставленных экспериментов. Важно, чтобы функция, заданная в виде формулы, отражала наиболее важные, существенные закономерности исследуемого процесса. Таким образом, производственная функция отражает процесс приближенно, является его математической моделью. В научных исследованиях и производственных испытаниях результаты опытов чаще всего изображают в виде таблиц и графиков, из которых сразу можно увидеть, при каких значениях регулируемых человеком факторов достигается желательный максимум (минимум) изучаемой величины. Производственные функции дают возможность прогнозировать результаты деятельности человека, давать научные рекомендации. Этот прогноз тем точнее, чем лучше составлена функция. Правильно составленная производственная функция, изучение и анализ графиков дает возможность более глубоко познать соответствующий процесс, и, следовательно, грамотно им управлять.

Таким образом, математика является не только мощным средством решения прикладных задач, но и универсальным языком науки, а также неотъемлемой частью мировоззрения. Невозможно представить нашу жизнь без математики.

Академику А.Д. Александрову принадлежат слова: «Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Все это расширяет сферу ее приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении». А математик А.Н. Колмогоров подчеркивал: «Умение пользоваться буквенными формулами необходимы почти каждому мастеру или квалифицированному рабочему». Действительно это так, особенно в современное время, когда развитие человечества идет семимильными шагами.

Математика – это способ мышления, побуждающий действовать точно, оптимально и эффективно. Математика – это универсальный язык, на котором изъясняется наука.

Знания, полученные во время учебы – это капитал, который никто не сможет отнять, и которому не страшна никакая девальвация. Хорошо усвоенные знания по математике – это капитал втройне. Во-первых, математические знания точны, так как строго доказаны; во-вторых, эффективны, так как используют оптимальные методы; в-третьих, универсальны, так как применимы и в биологии, и в технике, и в экономике.

Знания по математике можно усвоить только при применении их на практике и при решении задач. И только тогда каждый новый ответ, каждое новое решение будет победой и стимулом к новым открытиям.

Информационное обеспечение

1. Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике. – М.: Высшая школа, 1987.

2. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов. – М.: Физматлит, 2004.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2002.

4. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. – М.: Дрофа, 2003.

5. Бродский И.Л., Видус А.М., Коротаев А.Б. Сборник текстовых задач по математике для профильных классов. 7-11 классы. – М.: АРКТИ, 2004.

6. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (часть 2). – М.: Мир и образование, 2003.

8. Зайцев И.А. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1998.

9. Иларионов В.А., Морин М.М., Сергеев Н.М.. Теория и конструкция автомобиля. – М.: Машиностроение, 1985.

10. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (книги 1 и 2). – М.: Новая волна, 2005.

11. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1978.

12. Петров В.А. Математика. 5-11 классы. Прикладные задачи: учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа, 2010.

13. Фоминых Ю.Ф. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов. – М.: Просвещение, 1999.

14. Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Аванта+, 2001.

15. Газеты «Математика», №37, 1999г., №1, №2, № 44, 2000г., №5, 2001г.

16. Журналы «Математика в школе», №5, 1988г., №1, 1990г.

17. http://www.long-vehicle.narod.ru

Приложение 1. Решение задачи №1 средствами программы

«MicrosoftExcel»

Открыв таблицу «Excel», в ячейки В1-В4 ввести исходные данные. Далее:

в ячейку В5 ввести формулу: =корень (B2^2–B1^2),

в ячейку В6 ввести изначально любое число (0хВ5),

в ячейку В7 ввести формулу: =В5–В6,

в ячейку В8 ввести формулу: =корень (В1^2+B6^2),

в ячейку В9 ввести формулу: =B8/B3,

в ячейку В10 ввести формулу: =B7/B4,

в ячейку В11 ввести формулу:=В9+В10.

На экране увидим результат:

Заполнив таблицу, выделить ячейку В11 и выполнить команду: «Сервис» – «Поиск решения». Появится диалоговое окно «Поиск решения». В этом окне установить целевую ячейку $B$11, равной минимальному значению. Изменяя значения ячейки $В$6 и введя необходимые ограничения $В$6<=$В$5 и $В$6>=0, нажать кнопку «Выполнить». Сравнить полученные результаты.

В ячейке В6 будет значение критической точки х=10 км, в ячейке В7 – значение расстояния от развилки до завода ХВ=8 км, при котором время доставки грузов от карьера до завода будет наименьшим, а в ячейке В11 – наименьшее значение времени движения tдвиж=1,45385 ч.≈1,454 ч. Эти же результаты были получены исследованием с помощью производной.

Приложение 2. Сведения из сети Интернет

П о данной теме мы получили много полезных сведений. Зависимость расхода топлива от скорости движенияавтомобиля «Москвич» описывается квадратичной функцией, графиком которой является парабола (рис.4). Из него видно, что экономичная скорость =40 км/ч, и расход бензина растет по мере изменения скорости автомобиля относительно этого значения.

Рис. 4. График расхода бензина автомобиля «Москвич».

А налогичная зависимость расхода топлива от скорости движения наблюдается и для автомобиля ГАЗ-24 Волга (рис.5).

Рис. 5. График расхода бензина автомобиля ГАЗ-24 Волга.

Пока автомобиль движется совсем медленно (5-10км/ч), его движению по ровной дороге препятствует только сопротивление качению колес. Это сопротивление обусловлено главным образом деформацией шины и дороги. При скорости до 50км/ч сопротивление качению почти постоянно, то есть в диапазоне от нуля до 50км/ч мощность, затрачиваемая на преодоление сопротивления качению, пропорциональна скорости. Сопротивление качению зависит от дороги: по сравнению с асфальтом на гравийной дороге оно в 1,5 раза, на сухой грунтовой в 1,5-2 раза и на песке в 8-12 раз больше. Но при увеличении скорости возрастают внутренние потери, обусловленные упругими свойствами резины. При скорости выше 100 км/ч пропорционально ее квадрату увеличивается и воздушное сопротивление движению, расход бензина на преодоление этого сопротивления, как и требуемая мощность, увеличивается пропорционально кубу скорости.

При скорости 50км/ч для автомобиля без багажника на крыше сопротивление воздуха не превышает 20% общего сопротивления движению, при 80км/ч оно уже берет на себя половину, а при 100км/ч – 80% общего сопротивления! Увеличение сопротивления со скоростью означает повышение удельного расхода бензина при быстрой езде. Практически оно становится заметным при скорости движения свыше 70км/ч (на современных легковых автомобилях).

При создании новой машины конструкторы делают все возможное, чтобы уменьшить сопротивление воздуха при сохранении небольшой длины автомобиля и удовлетворении эстетических требований.

Но вот автомобиль попадает в руки счастливого владельца, и он тут же водружает на крышу багажник, ставит на вентиляционные лючки ненужные «уши», прицепляет к стеклоочистителям аэродинамические, предназначенные для ралли, прижимы.

Казалось бы, много ли «съест» бензина пустой багажник из тонких металлических прутков? Чтобы проверить это, были организованы специальные испытания. Результат: увеличение расхода бензина на 100 км при скорости 70км/ч+0,5л, при 90км/ч +1,0л, а при 120км/ч +2,0л. Вот тебе и пустой каркасик! При загруженном верхнем багажнике расход бензина на загородных дорогах увеличивается на 2-2,5л на 100 км. Не только встречный, но и боковой ветер значительно увеличивает сопротивление движению, особенно при открытых с обеих сторон окнах, так как автомобиль при этом увлекает за собой большие массы воздуха. Обычное боковое зеркало при скорости 90км/ч требует дополнительно пол-литра бензина. А вот спойлер – вертикальный фартук шириной около 20-25мм с закругленными боковинками под передним бампером автомобиля – может столько же, а то и несколько больше бензина сэкономить. На «Оке» спойлер предусмотрен как неотъемлемая часть кузова. Кроме переднего, делают задний спойлер в виде выступа на верхней части багажника. Задний спойлер обеспечивает так называемый срыв воздушного потока, что уменьшает разрежение за автомобилем.

Теперь разберемся, как влияет режим движения на экономичность исправного и правильно отрегулированного автомобиля. Например, для автомобиля ВАЗ-2106 при скорости движения40км/чрасход топливасоставляет на первой, второй, третьей и четвертой передачах соответственно16,5; 7,9; 6,3; 5,5лна 100 км. Такая значительная разница объясняется снижением экономичности двигателя при малых нагрузках и повышенной частоте вращения. Дело в том, что, во-первых, КПД двигателя максимален при максимальном моменте и быстро снижается с увеличением частоты вращения и, во-вторых, при повышении частоты вращения растет доля механических и «насосных» потерь в двигателе. Отсюда первое положение экономной езды: наибольшая экономичность при равномерном движении достигается при включении высшей передачи. Однако здесь имеется другое техническое ограничение: большая нагрузка при малой частоте вращения вызывает ускоренное изнашивание двигателя – на режиме максимального момента он в 3-5 раз больше, чем на режиме максимальной мощности. С этой точки зрения на автомобилях с современными высокооборотными двигателями не следует включать высшую передачу при скорости меньше 50км/ч (на «Оке» – 60км/ч), причем равномерно двигаться с этой скоростью по ровной асфальтовой дороге еще можно, но при разгоне нужно включать пониженную передачу.

Специальные испытания, проведенные с целью определения рационального стиля езды по городу, показали следующее: на третьей передаче нужно разгоняться до скорости 60 км/ч Разгон при этом получается достаточно интенсивный, а экономичность близка к максимальной.

Приложение 3. Решение исследовательской задачи

Подбор параметров способом наименьших квадратов

На практике часто приходится решать такую задачу. Пусть для двух функционально связанных величин х и у известныn пар соответствующих значений (х1;у1), (х2;у2),…, (хn;уn). Требуется в наперед заданной формуле у=f(x;1;2;…;m) определить mпараметров 1,2,…,m (m<n) так, чтобы в эту формулу наилучшим образом «укладывались» бы известные nпар значений.

Считается (исходя из теории вероятностей), что наилучшими являются значения 1,2,…,m, обращающие в минимум сумму , (т.е. сумму квадратов отклонений значений у, вычисленных по формуле, от заданных). Поэтому сам способ и получил название способа наименьших квадратов.

На практике заданную формулу у=f(x;1;2;…;m) иногда приходится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовать к такому виду, чтобы легко было решать систему m уравнений, полученных в итоге из условия.

Для результатов заводских испытаний автомобиля ВАЗ-21011 нами составлена таблица 2:

Таблица 2

k

             

1

40

1600

64000

2560000

5,9

236

9440

2

50

2500

125000

6250000

6,0

300

15000

3

60

3600

216000

12960000

6,2

372

22320

4

70

4900

343000

24010000

6,5

455

31850

5

80

6400

512000

40960000

7,1

568

45440

6

90

8100

729000

65610000

7,9

711

63990

7

100

10000

1000000

100000000

8,8

880

88000

8

110

12100

1331000

146410000

9,8

1078

118580

9

120

14400

1728000

207360000

11,0

1320

158400

Σ

720

63600

6048000

606120000

69,2

5920

553020

В нашем случае функция – квадратичная, поэтому у=a0х2+a1х+a2, то есть расход горючего от скорости описывается формулой: f( )02+а1+а2. Составляется система уравнений:

Таким образом, наша система выглядит так:

Перепишем для удобства в виде:

Решим методом Гаусса, то есть исключением переменных. Для этого умножим первое уравнение на 6048 и вычтем из него второе, умноженное на 636; потом умножим первое уравнение на 60612 и вычтем из него третье, умноженное на 636. В результате преобразований система примет вид:

Теперь умножим второе уравнение на 517,536 и вычтем из него третье, умноженное на 309,6. В итоге получим “треугольную” систему:

Из третьего уравнения получим а27,347. Подставляя его во второе уравнение последней системы, имеем а1-0,07. Подставляя найденные значения в первое уравнение, получим а00,0008. Таким образом, расход бензина при езде на автомобиле ВАЗ-21011 описывается примерной формулой:

f( )=7,347-0,07 +0,00082. С помощью средств программы «Microsoft Excel» получен график зависимости расхода топлива от скорости движения (рис.6):

Рис. 6. График расхода бензина автомобиля ВАЗ-21011.

Приложение 3. Банк прикладных задач

Пример 1. Сжатие вертикальной балки пропорционально площади поперечного сечения. Какое поперечное сечение прямоугольной формы должна иметь балка, изготовленная из круглого бревна диаметром d, чтобы сопротивление на сжатие было наибольшим?

Пример 2. Прочность на изгиб балки прямоугольного сечения пропорциональна произведению ее ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы ее прочность была наибольшей?

Пример 3. Коэффициент сопротивления fдороги движению автомобиля при скорости движения (км/ч) задается следующими формулами:

на асфальте f=14,5+0,25 ;

на хорошем шоссе f=24+2;

на булыжной мостовой f=29 +2;

на мягкой грунтовой дороге f=36 +2.

Определить (когда возможно) скорость, при которой сопротивление будет наименьшим?

Пример 4. Центральная усадьба совхоза находится на расстоянии 50км от города и на расстоянии 30 км от железной дороги, проходящей через город. Под каким углом к железной дороге следует провести прямолинейное шоссе, чтобы стоимость перевозок из совхоза в город (и из города в совхоз) была наименьшей, если известно, что стоимость перевозки по шоссе обходится в 2 раза дороже, чем перевозка на то же расстояние по ж/д.

П ример 5. Определить, каким должен быть угол примыкания подъездного пути СЕ и магистрали АВ, чтобы суммарный годовой пробег автомобилей из С в А и В был как можно меньше. Известно, что движение между С и А будет в 2 раза интенсивнее, чем между С и В; АВ=100 км, АС=50 км, СD=30 км.

Пример 6. В степи на расстоянии 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от точки на шоссе, ближайшей к поисковой партии, расположен райцентр. Из поисковой партии в райцентр отправляется курьер-велосипедист. Каков должен быть маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8 км/ч, по шоссе – 10 км/ч?

Пример 7. Эмпирически установлено, что расход горючего автомобилем в зависимости от скорости определяется формулой f( )=21–0,55 +0,00662, где – скорость в км/ч и f( ) – расход горючего в литрах на 100 км пути. Найдите наиболее экономичную скорость движения автомобиля и расход горючего в литрах на 100км пути при скорости автомобиля 100, 75 и 40 км/ч.

П ример 8. Оросительный канал имеет форму равнобедренной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон сечение канала будет иметь максимальную площадь?

П ример 9. Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь 80 м2. Известно, что 1 м2 стеклянной стены стоит 75 у.е., а из обычного материала 50 у.е. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы стоимость всех стен была наименьшей?

Пример 8. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли, примыкающий одной из своих сторон к стене дома. Участок должен иметь определенную площадь S. Каково должно быть отношение его сторон, чтобы длина забора была наименьшей?

Пример 11. Бак, имеющий вид прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать V литров жидкости. Какой должна быть сторона основания, чтобы площадь поверхности бака (без крышки) была наименьшей?

Пример 10. Для расфасовки растворимого кофе используются металлические банки цилиндрической формы объемом V. При каких размерах банки на ее изготовление потребуется наименьшее количество металла?

Пример 13. Производительность труда рабочих цеха в течение смены описывается эмпирической формулой Р(х)=-2,53х2+20,24х+111,1 (0<х<7), где х – рабочее время в часах. В какой момент времени производительность труда окажется максимальной?

Пример 14. Скорость распространения сигнала по подводному кабелю пропорциональна выражению х2ln(1), где х – отношение радиуса металлической сердцевины к толщине изолирующей оболочки. Каким должно быть это отношение, чтобы скорость сигнала была наибольшей?

Пример 15. Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте hследует подвесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность? Известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона освещаемой маленькой площадки к лучу света, т.е. .

Пример 16. Источник тока с электродвижущей силой Е и внутренним сопротивлением r подключен к переменному резистору (реостату). При каком сопротивлении реостата Rво внешней цепи достигается максимальная тепловая мощность? Для справки: .

Пример 17. Зависимость суточного удоя у в литрах от возраста коров х в годах определяется формулой у=-9,53+6,865х-0,49х2, х>2. Найти возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Пример 18. Функция полных издержек производства имеет вид у=х3-6х2+15х, где х – объем производства продукции в условных единицах для данного производства. Определить, при каком объеме производства продукции средние издержки имеют наименьшее значение.

Пример 19. Зависимость между урожаем озимой пшеницы у (ц/га) и нормой посева семян х (млн. зерен/га) выражается производственной функцией у=5,6+8,1х-0,7х2. Найдите оптимальную норму посева семян для того, чтобы получить максимальный урожай.

Пример 20. Найти максимальную скорость прямолинейного движения точки, если закон ее движения задан уравнением .

Просмотров работы: 14