XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Определение области применения координатного метода при решении геометрических задач на примере задания ЕГЭ № 14
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
«Человек, по-настоящему мыслящий, черпает из собственных ошибок
не меньше познания, чем из успехов».
Введение
Гипотеза: предполагается, что координатно-векторный метод является эффективным методом для решения стереометрической задачи ЕГЭ № 14?
Основная масса конкурентных баллов заложена во второй части ЕГЭ по математике, содержащей 7 задач высокой и повышенной сложности. Часть 2 профильного ЕГЭ по математике содержит две задачи по геометрии. В этом задании выпускникам, сдающим экзамен, необходимо решить задачу по стереометрии, которая оценивается в два первичных балла, при этом не слишком сложна для решения. С другой стороны, в 2020 году (в сравнении с предыдущими годами) продолжается рост математической подготовки большинства выпускников, выбравших профильный экзамен и лучшие результаты показали участники экзамена из группы с хорошей подготовкой (62-80 баллов), где с заданием 14 справились четверть выпускников [2]. С заданиями 14 профильного экзамена в нашем регионе справились 5,11% выполнявших экзамен, которые набрали по 2 балла и 7, 8% - по 1 баллу (приложение I) [6].
Для многих современных учащихся является тяжелой задачей умение ориентироваться в геометрических понятиях, теоремах, признаках или сделать нужные построения и как правило чаще им проще выучить определенный набор формул и пользоваться одним алгоритмом. Для решения задач координатно-векторным способом вполне достаточно сведений, содержащихся в школьных учебниках геометрии. Векторно-координатный метод — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве.
Актуальность данной работы заключается в том, что в настоящий момент у выпускников 11 класса возникают большие трудности с выполнением задания 14, и поэтому очень важно научиться решать задачи этого типа, для того чтобы набрать дополнительные баллы на Едином Государственном Экзамене. В рамках школьной программы с этим методом знакомятся лишь на базовом уровне, то есть рассматриваются общие теоретические сведения, основные формулы и простые задачи на применение метода координат. Поэтому возникло желание самостоятельно изучить метод координат и рассмотреть решения задач типа № 14 с использованием метода координат. Особенное любопытство вызвало то, что такие задачи можно быстро решать, пользуясь определённым алгоритмом.
Проблема: при каких условиях применение координатно-векторного метода для решения задачи 14 будет эффективным?
Цель работы: определить возможности координатно-векторного метода при решении стереометрических задач разного типа.
Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:
Отыскать стереометрические задачи № 14 ЕГЭ, решаемые координатным методом
Проанализировать информацию о многообразии задач, решаемых с помощью векторно-координатного метода, определяя типы задач.
Создать мини-книжку с подборкой задач № 14 ЕГЭ с использованием координатного метода
Объект исследования: стереометрические задачи № 14 ЕГЭ.
Предмет исследования: координатный метод решения задач.
Методы исследования: сравнение, обобщение, аналогия, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.
Практическая значимость результатов исследования определяется вкладом в развитие логического математического мышления учеников, развитие умения самостоятельного решения типовых задач. Результаты исследования могут быть использованы при подготовке к ЕГЭ по математике, а также на факультативных и элективных курсах по математике.
Основные понятия
Название «декартовы координаты» наводит на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Декартом. В действительности прямоугольные координаты использовались в геометрии еще до нашей эры. Древний математик александрийской школы Аполлоний Пергский (живший в III-II веке до н. э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. Он определял и изучал с их помощью хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс.
Декарт внес в прямоугольные координаты очень важное усовершенствование, введя правила выбора знаков. Но главное, пользуясь прямоугольными координатами, он построил аналитическую геометрию на плоскости, связав этим геометрию и алгебру. Нужно сказать, однако, что одновременно с Декартом построил аналитическую геометрию и другой французский математик, Ферма.
Система координат в пространстве. Три взаимно перпендикулярные прямые х, у, z задают прямоугольную систему координат в пространстве (рис.1). Ось х – ось абсцисс, ось у – ось ординат, ось z – ось аппликат. Плоскости, проходящие через пары координатных прямых, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Охz, Oyz.
Векторы в пространстве определяются также, как и на плоскости. Только в пространстве вектор задается тремя координатами, например . Если известны координаты точек А и В: А(х1;y1;z1), B(x2;y2;z2), то координаты вектора , координаты точки С – середины отрезка АВ – это среднее арифметическое координат его концов: С . Длина вектора равна .
Направляющий вектор – это ненулевой вектор, коллинеарный прямой.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними .
Скалярное произведение векторов и выражается формулой .
Угол между скрещивающимися прямыми в пространстве – это угол между двумя прямыми, параллельными данным, лежащими в одной плоскости. Градусная мера угла располагается в диапазоне от 0° до 90°. Данный угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами.
Угол между (пересекающимися) прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее (ортогональной) проекцией на эту плоскость.
Нормальный вектор плоскости - это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.
Любая плоскость в декартовой системе в трехмерном пространстве координат задается уравнением плоскости : ax + by + cz + d = 0 , где a, b, c, d - действительные числа, причем a, b, c одновременно не равны нулю.
Угол между (пересекающимися) плоскостями - это угол между прямыми пересечения этих плоскостей с плоскостью, перпендикулярной прямой их пересечения.
Результаты исследования
Типы задач, решаемых координатно-векторным методом. В данной работе представлен разбор типов заданий 14 из ЕГЭ по математике профильного уровня. Все задачи можно классифицировать по трем главным темам: «Углы и расстояния», которые подразделяются на следующие:
Углы: между двумя прямыми; между прямой и плоскостью; между двумя плоскостями.
Расстояния: от точки до прямой; от точки до плоскости; между двумя прямыми.
Площадь сечения: треугольника, параллелограмма, трапеции, объем параллелепипеда, треугольной пирамиды, тетраэдра.
Необходимо знать:
Определение направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости
Основные формулы для вычисления (1-5) (приложение I-II).
Уметь:
Вводить прямоугольную систему координат
Определять координаты точек, необходимых для решения задачи
Находить координаты направляющего вектора прямой
Составлять уравнение плоскости по координатам трех точек, не лежащих на одной прямой и находить координаты ее нормального вектора
Применять указанные выше формулы для нахождения расстояния и углов [1].
Алгоритм решения задачи
1. Определение типа задачи
2. Введение прямоугольной системы координат
3.Задание направляющих векторов прямых или векторов, перпендикулярных заданным плоскостям.
4. Нахождение координат начала и конца заданных векторов и координат самих векторов
5. Нахождение косинуса угла между прямыми, плоскостями, синуса угла между прямой и плоскостью или расстояния между прямой и плоскостью по известной формуле, площади, объема фигуры, доказательство утверждения.
Рассмотрим несколько примеров задач № 14, взятых из сборника по подготовке к ЕГЭ, открытого банка заданий ФИПИ, обучающей системы А. Гущина [3-5]. Полный разбор всех 7 типов представлен в приложении IV-VIII.
Рис.2
1. Угол между прямой и плоскостью. П ример. В прямоугольном параллелепипеде А…D1, у которого АА1 = 3, AD = 8, АВ = 6. Найдите угол между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середину ребер АВ и В1С1. Решение: Введем прямоугольную систему координат с центром в точке В, ось х проходит через ребро АВ, ось у через ребро ВС, ось z через ребро ВВ1 (приложение II) (рис.2). Любая плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, в нашем случае это точкиADD1. Подставим значения координат этих точек в уравнение прямой и решим полученную систему, состоящую из трех уравнений. Найдем координаты точек А(6;0;0), D(6;8;0), D1(6;8;3). Используя формулу (4), имеем: , примем d = -6, тогда а = 1, подставляя во второе и третье уравнение системы искомые значения, получим b = 0, c = 0. Следовательно, вектор нормали к плоскости ADD1 равен , далее находим вектор по координатам Е(3;0;0), F(0;4;3). По формуле (2) находим угол между прямой и плоскостью: sin=sin. Значит . Ответ:
Рис.3
2 . Расстояние от точки до прямой. Пример. В правильной шестиугольной призме А…F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки С до прямой А1B1.
Рис.4
Решение: Начало координат в точке А, прямая АВ – ось х, прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АЕ – ось у, прямая АА1 – ось z (приложение II) (рис.3). Рассмотрим треугольник СВ1А1, в котором (С; А1B1) = СК, определим координаты вершин данного треугольника С( , А1 (0;0;1), В1(1;0;1). По формуле (11) найдем расстояние А1С = . По теореме косинусов имеем: А1С2 = А1В12 + В1С2 - 2 А1В1· В1СcosВ1, 22 = 1 + 2 - 2cosВ1, 4 = 3 - 2cosВ1, 2cosВ1 = -1. Отсюда cosВ1 = , sinВ1 = , значит СК = sinВ1·В1С = = . Ответ:
3. Расстояние между двумя прямыми. При решении данного типа задач надо либо указать соответствующую плоскость, либо строить требуемую плоскость путем параллельного переноса одной из прямых до пересечения со второй.
Пример. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми SA и ВС.
Рис.4
Р ешение: Начало координат в точке А, прямая АВ – ось х, прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АD – ось у, прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС – ось z (приложение III) (рис.4). Т.к. плоскость грани ASD содержит прямую AS и параллельна ВС (AD ВС). Таким образом, (SA; ВC) = (В; ASD). Составим уравнение плоскости для трех точек А(0;0;0), D(0;1;0), S() : , а = , b = 0, с = -1, вектор нормали . Вычислим расстояние h от точки В(1;0;0) до плоскостиАDSпо формуле (5): h = Ответ:
4. Вычисление площади, объема. Для вычисления площади сечения, объема многогранника используются формулы (7-9) (приложение II).
Пример. Точка E — середина ребра BB1 куба ABCDA1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью D1AE, если ребра куба равны 4.
Рис.5
Р ешение: Введем прямоугольную систему координат с центром в точке D, ось х проходит через ребро АD, ось у через ребро CD, ось z через ребро DD1 (приложение I) (рис.5). Искомое сечениеD1AEF. Найдем координаты вершин A(4;0;0), E(4;4;2), F(2;4;4), D1(0;0;4) и направляющие вектора , , , . Разобьем сечение на два треугольника и найдем по формулам (7-8) площадь треугольника D1EF:
S = = Аналогично найдем площадь треугольника D1EА = 12, значит площадь сечения составляет 18. Ответ: 18
Выводы
Таким образом, в процессе работы над исследованием, были изучены возможности координатно-векторного метода при решении стереометрических задач разного типа. Представлены разнообразные стереометрические задачи, отобраны 7 типов задач: вычисление угла между двумя прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями, нахождение расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости, между двумя прямыми. Рассмотрены задачи на вычисление площади сечения, объема, которые возможно решить, используя векторно-координатный метод, предложена подборка задач, в которых даны подробные решения по каждому виду задач (приложение VI-VII), составлена мини-книжка.
Преимущества метода: большинствозаданий данной группы можно решить с помощью этого метода; появляется возможность избежать ошибки, связанной с построением; метод имеет очень отлаженный алгоритм решения: решение сводится к простым формулам.Проанализировав задания № 14 и их решения, можно сделать вывод, что метод координат является наиболее удобным для решения отдельных задач. Координатно-векторный метод позволяет экономить время при решении подобных задач и получить заветные баллы на ЕГЭ. Однако в некоторых случаях приходится делать громоздкие вычисления и могут возникнуть проблемы с оформлением.
Был сделан вывод, что это интересный рациональный метод, при помощи которого стереометрические задачи решаются гораздо легче, чем традиционным способом при правильном выборе системы координат. Поняв его суть, а она очень проста, вы точно не потеряете баллы на 14-той задаче профильного ЕГЭ!
Заключение
В процессе работы над темой исследования, применения полученных знаний по методу координат, был сделан вывод, что это интересный рациональный метод, при помощи которого стереометрические задачи решаются гораздо легче, чем традиционным способом при правильном выборе системы координат. Математическая красота и наглядность на лицо.
Проанализировав решения стереометрических задач повышенного уровня, мы пришли к заключению, что координатно-векторный метод позволяет экономить время при решении подобных задач и получить заветные баллы на ЕГЭ. Однако в некоторых случаях приходится делать громоздкие вычисления и могут возникнуть проблемы с оформлением. В дальнейшем, при изучении стереометрии, можно воспользоваться полученными знаниями и решать некоторые стереометрические задачи методом координат как при подготовке к экзамену, так и на уроках математики.
Список использованных источников и литературы
1. А. Прокофьев, В. Бардюшкин. Статья «О решении стереометрических задач координатно-векторным методом». Журнал «Математика», январь 2013 г.
2. И.В. Ященко, Л.О. Рослова, И.Р. Высоцкий, А.В. Семенов. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2019 года по математике/ФИПИ: М. 2019 г.
3.Обучающая система А. Гущина/ Электронный ресурс/cайт https://math-ege.sdamgia.ru/
4. Открытый банк заданий ЕГЭ// Электронный ресурс/Федеральный институт педагогических измерений/cайт: http://ege.fipi.ru/
5. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2018: Математика/авт.-сост. И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И. Захаров и др.; под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2018. – (ФИПИ).
6. Статистика основных результатов государственной итоговой аттестации по программам среднего общего образования в Ханты-Мансийском автономном округе –Югре в 2019 году/Электронный ресурс/сайт «Институт развития образования ХМАО-Югра» https://iro86.ru/index.php/zhurnaly/sborniki/
Приложение I
Диаграмма. Решаемость КИМов ЕГЭ 2020 по учебному предмету «Математика» (профильный уровень) обучающимися Ханты-Мансийского автономного округа-Югры
Основные формулы, используемые при решении задач
1. Угол между прямыми. Вектор лежит на прямой, а вектор лежит на прямойb. Косинус угла между прямыми a и b вычисляется по формуле: (cos, так как – острый) (1)
2. Угол между прямой и плоскостью. Прямая а образует с плоскостью угол . Вектор - направляющий вектор прямой а. Плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0 , - вектор нормали. Синус угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле: (2)
3. Угол между двумя плоскостями. Плоскость задана уравнением a1x + b1y + c1 + d1 = 0 и ее вектор нормали , плоскость задана соответственно уравнением a2x + b2y + c2 + d2 = 0, ее вектор нормали . Для угла между плоскостями и справедлива формула cos= (cos, так как – острый) (3)
Уравнение плоскости, проходящей через три точки). M ( ), M1 ( ), M2 ( ), не лежащие на одной прямой: (4)
Приложение II
4. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние h от точки М(х0; у0; z0) до плоскости , заданной уравнением ax + by + cz = 0, определяется по формуле h = (5).
5. Деление отрезка в заданном отношении. Пусть точки А(x1;y1;z1) и В(x2;y2;z2) являются концами отрезка АВ и точка С делит его так, что АС : СВ = m : n. Тогда координаты точки с вычисляются по формулам: х0 = ; y0 = ; z0 = (6).
6. Векторное произведение. Векторное произведение для векторов и обозначается как = и вычисляется по формуле определителя третьего порядка: (7), где определитель второго порядка вычисляется по формуле Площадь параллелограмма S = площадь треугольника S = (8). Объем прямоугольного параллелепипеда V = треугольной пирамиды V = (9).
7. Координаты середины С(x0;y0;z0) отрезка AB, где A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2) вычисляется по формуле x0 = ; y0 = ; z0 = (10).
8. Расстояние между двумя точками. Расстояние d между двумя точками A(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2) равно d = (11).
Координаты вершин многогранников
Е диничный куб A…D1. Начало координат в точке А, прямая АВ – ось х, прямая AD – ось у, прямая АА1 – ось z. Тогда вершины куба имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С(1;1;0), D(0;1;0), А1(0;0;1), В1(1;0;1), С1(1;1;1), D1(0;1;1).
П равильная треугольная призма АВСА1В1С1, все ребра равны 1.
Начало координат в точке А, прямая АВ – ось х, прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ – ось у, прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( ; ; 0), А1(0;0;1), В1(1;0;1), С1( ; ; 1).
Приложение III
Правильная шестиугольная призма A…F1, все ребра равны 1. Начало координат в точке А, прямая АВ – ось х, прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ – ось у, прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты: А(0;0;0),
В (1;0;0), С( ; ; 0), D(1; ; 0), E(0; ; 0), F(- ; ; 0), А1(0;0;1), В1(1;0;1), С1( ; ; 1), D1(1; ; 1), E1(0; ; 1), F1(- ; ; 1). AD = BE = CF = 2R = 2; R – радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника; R = 1; AE = = .
Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD, все ребра равны 1.
Начало координат в точке А, прямая АВ – ось х, прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ – ось у, прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС – ось z. Тогда вершины тетраэдра имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( ; ; 0), D(( ; ). Точка D проектируется в точку О – точку пересечения медиан треугольника АВС, которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Высота тетраэдра выражается из прямоугольного треугольника АDO: DA = 1, AO = , DO = = .
П равильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра равны 1. Начало координат в точке А, прямая АВ – ось х, прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ – ось у, прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС – ось z.
Приложение IV
Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С(1;1;0), D(0;1;0), S( ; ). Точка S проектируется на плоскость АВС в точку пересечения диагоналей квадрата АВСD – точку О. Высота пирамиды выражается из прямоугольного треугольника АSO: SA = 1, AO = ,SO = SO = = .
П равильная шестиугольная пирамида SABCDEF, все ребра равны 1, а боковые ребра равны 2.
Н ачало координат в точке А, прямая АВ – ось х, прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ – ось у, прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС – ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( ; ; 0), D(1; ; 0), E(0; ; 0), F(- ; ; 0). Точка S проектируется на плоскость АВС в точку пересечения диагоналей шестиугольника АВСDEF – точку О. Высота пирамиды выражается из прямоугольного треугольника АSO: SA = 2, AO =1,SO = = .
Дополнительная подборка задач № 14
1. Угол между прямыми.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AD1 и СЕ1, где D1 и Е1 – соответственно середины ребер А1С1 и В1С1.
Приложение V
Р ешение: Введем прямоугольную систему координат с центром в точке А, ось х проходит через ребро АВ, ось у прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, ось z через ребро AA1. Найдем нужные нам координаты точек А1(0;0;1), D1( , С( Е1( и координаты векторов , .
cos = cos ( AD1; CE1) = . Ответ: 0,7.
2. Угол между прямой и плоскостью. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра АВ = , SC = . Найдите угол образованный плоскостью основания и прямой MN, где M – середина ребра AS, а точка N делит ребро ВС в отношении 1:2, начиная от точки С.
Р ешение: Введем прямоугольную систему координат с центром в точке А, ось х проходит через ребро АВ, ось у, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно ребру АВ, ось z проходит через точку А, параллельно высоте пирамиды SO. Из прямоугольного треугольника SOC определим по т. Пифагора расстояние SO = = , где расстояние CD можно найти из прямоугольного треугольника CDB: CD = , следовательно ОС = 1. Далее находим координаты M -середины ребра AS по формуле (10): M( где S( , A(0;0;0). Вектор
по координатам M( , N( ;1;0). Для определения уравнения плоскости АВС, найдем координаты точек А(0;0;0), В( ;0;0), С( ). Используя формулу (4), имеем: , откуда а = 0, b = 0, c = 1. Следовательно, вектор нормали к плоскости АВС равен ,. По формуле (2) находим угол между прямой и плоскостью:
Приложение VI
sin. Значит .
Ответ:
3. Угол между плоскостями.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 АВ = 8, АА1 = 10, AD = 6, CE = 3, точка D принадлежит стороне АА1, точка Е стороне СС1. Найдите угол между плоскостью BDE и плоскостью основания ABC.
Р ешение: Введем прямоугольную систему координат с центром в точке А, ось х проходит через ребро АВ, ось у, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно ребру АВ, ось z через ребро AA1. Из прямоугольного треугольника АВС, найдем длину СК = . Плоскость ВDЕ содержит точки В(8;0;0), D(0;0;6), Е(4;4 ;3), отсюда система: , примем d= -8, получаем а = 1, b = 0, с = , вектор нормали . Плоскость АBС содержит точки
А(0;0;0), В(8;0;0), С(4;4 ;0), отсюда система: , получаем а = 0, b = , с = 1, вектор нормали . Найдем угол между плоскостями по формуле (3): cos= = , = arccos 0,8.
Ответ: arccos 0,8
4. Расстояние между прямой и плоскостью.
В правильной шестиугольной призме А…F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости BFE1.
Приложение VII
Р ешение: Введем прямоугольную систему координат с центром в точке А, ось х проходит через ребро АВ, ось у, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно ребру АВ, ось z через ребро AA1. Плоскость BFE1 содержит точки В(1;0;0), F( ; ;0), Е1(0; ;1), отсюда система: , пусть d = -1, получаем а = 1, b = , с = -2, вектор нормали . Вычислим расстояние h от точки А(0;0;0) до плоскостиBDА1 по формуле (5): h =
Ответ:
5. Расстояние от точки до прямой.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, в которой ребро АА1 = 1, боковое ребро АВ = 2, найдите расстояние от точки А1 до прямой ВС1.
Решение: Начало координат в точке А, прямая АВ – ось х, прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ – ось у, прямая АА1 – ось z. Т.к. призма правильная, то С1В = А1В. Рассмотрим треугольник СВА1, в котором (А1; С1B) = СК, определим координаты вершин данного треугольника С1( , А1 (0;0;1), В(2;0;0). По формуле (11) найдем расстояние А1В = ВС1 = . По следствию из теоремы косинусов найдем: cosВ = ,cosВ= . Отсюда sinВ = , значит СК = sinВ·А1В = .
Ответ:
Приложение VIII
6. Расстояние между двумя прямыми.
Пример. В единичном кубе А…D1 найдите расстояние между прямыми АВ1 и BD.
Р ешение: Введем прямоугольную систему координат с центром в точке А, ось х проходит через ребро АD, ось у через ребро AB, ось z через ребро AA1. Т.к. DC1 AB1, то (BDC1)AB1. Поэтому расстояние (AВ1; ВD) = (AВ1; BDC1) = (A;BDC1). Определим координаты точек А(0;0;0), В(0;1;0), D(1;0;0), С1(1;1;1). Плоскость BDС1 содержит точки найденные точки, отсюда система: , пусть d = -1, получаем а = 1, b = 1, с = -1. вектор нормали . Вычислим расстояние h от точки А(0;0;0) до плоскостиBDC1по формуле (5): h =
Ответ:
7. Вычисление площади, объема.
Пример. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA1 = 8. Найдите объем пирамиды MB1C1D, если M — точка на ребре AA1, причем AM = 5.
Р ешение: Введем прямоугольную систему координат с центром в точке А, ось х проходит через ребро АВ, ось у через ребро АD, ось z через ребро АА1 . Искомое сечениеD1AEF. Найдем координаты вершин A(0;0;0), В(5;0;0), D(0;12;0), М(0;0;5) и направляющие вектора , , . Объем треугольной пирамиды V =
Ответ: 50