XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Построение алгоритма подготовки для решения параметрических задач на примере задания ЕГЭ №18
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
|
25 |
Введение
Гипотеза: предполагается, что алгебраический метод является эффективным методом для решения задачи ЕГЭ № 18, содержащей параметр?
Решение данных задач с одной стороны, относятся к элементам содержания «Уметь решать уравнения и неравенства», а с другой стороны, требуют определенного уровня сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезы, оценивать результаты [3]. Школьники относят задание № 18 к одним из самых сложных заданий Единого государственного экзамена по профильной математике, объясняя это несколькими причинами: трудность в выборе способа решения, отслеживания возникающих «ветвлений», исследования всех вариантов решений.
В процессе подготовки к экзамену автором была поставлена цель - получить максимально возможное количество баллов и поскольку основная масса конкурентных баллов заложена во второй части КИМов, то было принято решение постараться научиться решать данное задание, помочь другим выпускникам осилить решение параметра через создание пособия, содержащего рекомендации по подготовке к заданию № 18 алгебраическим методом. В этом задании выпускникам, сдающим экзамен, необходимо решить уравнение, неравенство или систему уравнений, или неравенств, которая оценивается в четыре первичных балла. С заданиями 18 профильного экзамена в нашем регионе справились 15,3% из группы обучающихся, набравших от 81-100 баллов, 0,7% из группы, набравших от 61 до 80 баллов, средний балл решаемости составил 1,1% (приложение I) [5].
Задачам с параметрами посвящены множество сборников для поступающих в вузы, в которых рассмотрены разнообразные приемы и методы решения. Однако в большинстве этих пособий не учат, как выбрать тот или иной способ решения, как научиться решать эти задачи. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешнее справляются с другими задачами, поэтому в школьной математике таким задачам должно уделяться большое внимание. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач – задач, для решения которых необходимо прежде всего, умение проводить довольно разветвленные – логические построения и исследования. Поэтому возникло желание изучить аналитический метод решения задач типа № 18 с использованием метода координат.
Проблема в том, что в школьной программе такие задачи встречаются редко, и только самые простые вариации, поэтому выпускники лишают себя получить заветные 4 балла при сдаче экзамена.
Цель работы: определить алгоритм подготовки по решению параметрических задач алгебраическим методом наиболее доступными способами.
Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:
Отыскать задачи № 18 ЕГЭ, решаемые алгебраическим методом
Проанализировать информацию, определяя типы задач и построить алгоритм подготовки по решению задания с параметром
Провести вводный мастер-класс по решению уравнений с параметром c обучающимися 11 класса
Разработать рекомендации для обучающихся по решению задач № 18 ЕГЭ с использованием алгебраического метода
Объект исследования: задачи № 18 ЕГЭ.
Предмет исследования: алгебраический метод решения задач.
Методы исследования: сравнение, обобщение, аналогия, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.
Практическая значимость результатов исследования дает возможность осмысленно понимать теоретические сведения, повышает уровень логического мышления, стимулирует познавательную деятельность, умение самостоятельно решать типовые задачи. Результаты исследования могут быть использованы при подготовке к ЕГЭ по математике, а также на факультативных и элективных курсах по математике.
Основные понятия и способы решения задач с параметром
Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
Что означает «решить задачу с параметром»? Это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству. Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра. Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, сформируется после ознакомления с примерами решения задач [4].
Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения. Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.
Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).
Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.
Существует четыре больших класса задач с параметрами:
1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определённому множеству.
2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения [2].
Результаты исследования
В данной работе представлен разбор заданий 18 из ЕГЭ по математике профильного уровня. Что нужно знать прежде чем начинать решение задач с параметром:
1. Знать базовые функции, например, квадратичную, тригонометрическую, логарифмическую.
2.Уметь преобразовывать тригонометрические, рациональные и иррациональные выражения на уровне выше среднего
Алгоритм подготовки по решению задачи № 18 алгебраическим методом
Построение подготовки рекомендуем организовать следующим образом:
1. Решение простых задач и постепенный ввод в параметр.
2. Решение задач с параметром, где нужно найти все значения параметра и все решения при этих значениях.
3. Решение конкретных задач с параметром на поиск конкретного количества решений или условия.
4. Исследование особенностей задач с квадратичной параболой.
5. Решение задач с параметром на отрезке.
Чему нужно научиться, чтобы успешно решать задачи с параметром?
1. Научиться правильно применять равносильные преобразования уравнений, неравенств и их систем. То есть понять, при каких ограничениях, накладываемых на параметр, можно выполнять то или иное преобразование. Лучше всего начать с заданий вида: «Для каждого значения параметра решить…» и рассмотреть по возможности все основные элементарные функции, встречающиеся в школьном курсе математики.
2. Если несложные задачи отработаны, то можно переходить к изучению аналитических методов решения задач, содержательно усложняя и классифицируя задачи с точки зрения применения к ним этих методов исследования. Имеется в виду знакомство с подходами к решению задач, содержащих формулировки типа: «При каких значениях параметра уравнение (неравенство, система) имеет одно (два, три, бесконечно много и т.д.) решений», «При каких значениях параметра решением уравнения (неравенства, системы) является некоторое подмножество множества действительных чисел» и т.д.
3. Основательно изучить схему исследования квадратичной функции. Поскольку квадратичная функция является одной из самых хорошо изученных в школьном курсе математики, на ее основе можно предложить большое количество задач КИМ ЕГЭ.
Для этого предлагаем следующую поэтапную схему для отработки задач:
1) задачи, основанные на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена;
2) применение теоремы Виета в задачах с параметром;
3) расположение корней квадратного трехчлена относительно заданных точек;
4) более сложные задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена.
4. Регулярно тренируйтесь в решении задач! (Необходимо решить не менее 50 задач).
5. Настанет момент, когда вы увидите, что задачи с параметром похожи на конструктор, где вы собираете решение из знакомых элементов [1].
Нужно помнить, что решение уравнения или неравенства с параметром обычно предполагает несколько случаев, и ни один из них нельзя потерять! Также следует следовать нескольким мудрым советам:
1 совет. Для того, чтобы решить задачу с параметром, необходимо для начала преобразовать заданное выражение к более простому виду, если это, конечно, возможно. При этом необходимо понимать, какие преобразования являются равносильными, а какие нет. В противном случае могут появиться посторонние корни, которые будет нужно проверить (это не всегда просто, поэтому рекомендуем стараться использовать равносильные преобразования).
2 совет. Надо избавиться от логарифмов, модулей, показательных степеней и т.д.
3 совет. Попытаться проанализировать получившееся после преобразований выражение на наличие каких-либо специальных свойств функции (периодичность, возрастание/убывание, четность/нечетность и т.д.)
4 совет. При решении заданий на нахождение решений на отрезке, удобнее использовать геометрическую интерпретацию решений на области определения.
5 совет. Важно помнить, что методы решения уравнения или неравенства зависят от степени многочлена. Для этого необходимо рассматривать те значения параметра, при которых (если это возможно) обращается в нуль коэффициент при старшей степени.
Например: ax2 − 3x + 1 = 0, при а = 0 выражение принимает вид −3x + 1 = 0, т.е. превращается в линейную функцию, а способы решения квадратного и линейного уравнений различны.
6 совет. Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — сделайте замену.
Выводы
Таким образом, в процессе работы над исследованием, были изучены возможности алгебраического метода при решении задач № 18 разного типа, отобраны 5 типов задач для последовательного вхождения в указанную тему, разработаны рекомендации по организации подготовки выпускника по решению задач типа № 18 (приложение II). Проведен вводный мастер-класс с обучающимися 11 класса, с целью знакомства с параметром, осуществляется сбор задач для создания пособия по подготовке по решению задач типа № 18.
Задачи с параметрами являются сложными потому, что не существует единого алгоритма их решения. Спецификой подобных задач является то, что наряду с неизвестными величинами в них фигурируют параметры, численные значения которых не указаны конкретно, но считаются известными и заданными на некотором числовом множестве. При этом значения параметров существенно влияют на логический и технический ход решения задачи и форму ответа. По статистике многие из выпускников не приступают к решению задач с параметрами на ЕГЭ.
По данным ФИПИ всего 10% выпускников приступают к решению таких задач, и процент их верного решения невысок: 2-3%, поэтому приобретение навыков решения трудных, нестандартных заданий, в том числе задач с параметрами, учащимися школ по-прежнему остается актуальным.
Список использованных источников и литературы
1.Задание 18. Задача с параметрами – профильный ЕГЭ по математике/Электронный ресурс/ сайт https://ege-study.ru/
2.З.П. Сурина. Способы и методы решения задач с параметром. Статья/Электронный ресурс/ сайт https://karamzin.mskobr.ru/
3. И.В. Ященко, Л.О. Рослова, И.Р. Высоцкий, А.В. Семенов. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2019 года по математике/ФИПИ: М. 2019 г.
4. П.И. Горнштейн. Задачи с параметрами/ М.: 2003 г.
5. Статистико-аналитический отчет о результатах единого государственного экзамена в 2020 году в Ханты-Мансийском автономном округе – Югре в 2020 году/Электронный ресурс/сайт «Институт развития образования ХМАО-Югра» [email protected]
Приложение I
Таблица. Анализ выполнения заданий КИМ, 2020
|
Номер задания КИМ |
Проверяемые элементы содержания/умения |
Уровень сложности |
Процент выполнения задания в ХМАО |
||||
|
Средний |
В группе, не преодолевших минимальный балл |
От минимального порога до 60 баллов |
В группе от 61 – 80 баллов |
В группе от 81-100 баллов |
|||
|
18 |
Умение решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения и их системы |
В |
1,1% |
0,0% |
0,0% |
0,7% |
15,3% |
Диаграмма. Решаемость КИМов ЕГЭ 2020 по учебному предмету «Математика» (профильный уровень) обучающимися Ханты-Мансийского автономного округа-Югры
Приложение II
Рекомендации по подготовке обучающихся
по решению задач № 18 ЕГЭ профильного уровня
Параметр это – числовая величина, заданная буквой. Уже в 8 классе вы встречали параметр, но даже не догадывались об этом.
Пусть нам надо решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, давайте найдём x при которых наше уравнение будет иметь решение. Значение а≠0, так как иначе наше уравнение уже не будет квадратным, значит мы можем поделить на а, получим: x2 + + =0.
Теперь давайте прибавим и вычтем . Получим:
.
Пусть b2 − 4ac = D. Тогда если D < 0, тогда правая часть <0, а значит, так как левая часть ≥0, левая часть ≠правой и решений не будет. Если D = 0, тогда правая часть = 0 => одно решение. Если D>0, тогда 2 решения.
Т.е. нахождение корней квадратного уравнения − это тоже решение задачи с параметром
1. Рассмотрим параллельное решение задач с параметром и без него. На начальных этапах мы сначала рассмотрим примеры без параметров, чтобы понять логику и порядок действий, которыми мы будем руководствоваться в дальнейшем при решении задач с параметром.
1.а) Решить уравнение 6x = 0,
Решение: поделим на 6.
х = 0. Ответ: 0
1.б) Решить уравнение ax = 0.
Решение: Мы хотим избавиться от a, но мы не можем сделать это сразу, так как a может быть равно 0. Если а = 0, то 0·x = 0, т.е. в данном случае нам будет подходить любой x. Если а ≠ 0, тогда поделим на а обе части уравнения, получим x = 0.
Ответ: если а = 0, тогда x любое число; если a ≠ 0, тогда x = 0.
2.а) Решите неравенство 2x + 5cos ≥ 0
Решение: 2x + 2,5 ≥0, так как 2>0 и 2≠0, то мы можем поделить на 2 и знак не поменяется x≥-1,25, конечный ответ.
2.б) Решите неравенство 2аx +5cos ≥ 0 при всех значениях параметра а.
Решение: 2ахРассмотрим три случая:
1) а = 0, тогда 0, что верно при любых значениях а.
2) а 0, тогда при делении обеих частей неравенства на а, знак неравенства не изменится х .
3) а 0, тогда при делении обеих частей неравенства на а, знак неравенства изменится на противоположный х .
3.а) Решите неравенство 2(х2 - 6) ≥ 2x
Решение: 2х2 – 12 - 2x ≥ 0 Т.е. коэффициент перед х2 >0, значит графиком данной функции будет парабола ветвями вверх, D = 4 + 96 = 100
х = . Значит наш ответ x≤-2 или x≥ 3.
3.б) Решите неравенство а(х2 - 6) ≥ (2 – 3а2)x при всех значениях параметра а.
Решение: преобразуем ах2 – 6а – 2х + 3а2х , ах2 + (3а2 – 2)х – 6а . Рассмотрим два случая:
1) а = 0, -2х , х
2) а , тогда неравенство квадратичное. Найдем дискриминант D = . Так как D 0 при любых значениях параметра а. Следовательно уравнение ах2 + (3а2 – 2)х – 6а = 0 всегда имеет два корня:
. Таким образом неравенство примет вид (ах -2)(х + 3а) 0.
1) если а , то и ветви параболы у = ах2 + (3а2 – 2)х – 6а направлены вверх и решением неравенства будет х
2) если а , то и ветви параболы у = ах2 + (3а2 – 2)х – 6а направлены вниз и решением неравенства будет х.
2. Решение задач с параметром на поиск всех значений параметра и всех решений при этих значениях.
1. Решить уравнение ах =
Решение: Мы хотим поделить на а, но для этого а должно быть a ≠ 0. Давайте рассмотрим эти случаи отдельно:
1) Если а = 0, то 0х = 0, значит x∈R
2)Если а , поделим на а: х = а
Ответ: при a = 0, x∈R; при а ≠ 0, x = a.
2. Решить уравнение
Решение: данное уравнение равносильно системе:
Рассмотрим случаи:
1) а + 1 = 0, тогда а = -1. В этом случае получаем в уравнении (*) имеем 3 = 0, поэтому уравнение не имеет решений, тогда система равносильна
2) а + 1 0, тогда а -1. В этом случае система равносильна
Данная система будет иметь одно решение, если , значит имеем 1 корень х = -2а, либо система имеет два решения, если имеем 2 корня
Ответ: если а = -1, то х = 2, если х = -2а, если , то
3. Решить неравенство
Решение: пусть , t ≥ 0, получим Найдём нули функции
. Рассмотрим случаи:
1) Если D < 0
При данных а, наше неравенство будет иметь бесконечное количество корней, так как всегда будет > 0
2) Если D = 0, < 0, значит, когда D = 0, тоже бесконечное количество решений.
D = 0, значит ,
3) Если D > 0 , и
Можно заметить, что второй корень всегда < 0, а первыйможет быть как меньше 0, так и больше.
Рассмотрим первый случай:
1),
Значит при a < 0 и при D > 0 у нас есть корни, но они оба отрицательные, значит у нас будет бесконечное количество решений. Пересекаем a < 0 и D > 0, получаем
2) . Решаем уравнение аналогичное 1) и получаем
Значит, по методу интревалов, наши решения будут такими
По методу интервалов
Получаем такие решения
Или x ≤ - или x ≥
Объединяем все наши решения и получаем
Ответ: при . При
3. Решение конкретных задач с параметром на поиск конкретного количества решений
1. Найдите значения параметра а, при которых выражение х2 + у2 – 18у + 20х = а не будет иметь решений.
Решение: Прибавим к обеим частям уравнения 81 и 100. Получим:
х2 + у2 – 18у + 20х + 81 + 100 = а + 81 + 100
х2 + 20х + 100 + у2 – 18у + 81 = а + 81 + 100
(х + 10)2 + (у – 9)2 = а + 181
Левая часть уравнения неотрицательна, так как квадрат числа всегда неотрицательный, значит, чтобы не было решений, правая часть должна быть отрицательной, т.е. а + 181 , а .
Ответ: х
2. Найдите значения параметра а при которых выражение будет иметь 2 корня.
Решение:
Значит чтобы было 2 решения .
Ответ:
3. Найдите значения параметра a при которых все решения являются решениями .
Решение: Преобразуем наши выражения
Т.е. решением первого неравества будут числа (-∞ ; , а второго (-∞; , значит чтобы все решения первого нервенства были решениями второго неравенства ≤
≤
Ответ:
4. Решение задач, основанных на свойствах дискриминанта и старшего коэффициента квадратного трехчлена, теореме Виета
1. Найдите значения параметра а, при которых неравенство (а2 – 1)х2 + 2(а – 1)х + 1 > 0 будет иметь бесконечное количество решений
Решение: Рассмотрим случай, когда коэффициент перед х2 = 0, так как в данном случае графиком функции у = (а2 – 1)х2 + 2(а – 1)х + 1 будет прямая
а2 – 1 = 0, значит а = 1.
1) Если а = 1, то 1 > 0, значит х
2) Если а = -1, то -4х + 1 > 0, здесь получим ограниченное количество решений, что нам не подходит
3) Если а , то графиком функции у = (а2 – 1)х2 + 29а – 1)х + 1 будет парабола. Следовательно, чтобы она имела бесконечное количество решений, парабола должна лежать выше оси х, согласно знака и ветви ее должны быть направлены вверх: . Объединяя все решения, имеем: а
Ответ: а
2. Найдите все значения нараметра p при которых все решения уравнения должны быть ≥-3
Решение:
1) Проверим случай, когда p = 3,5, так как в этом случае 2p – 7 = 0, то уравнение
х·0 = 12,25 + 7 + 5 не имеет решений
2) Если p ≠ 3,5, тогда поделим на 2p -7 ≠0,
Это наше решение. Но теперь нам надо, чтобы это решение было ≥ -3, т.е. x ≥ -3, значит
Поделим на -1:
. Нули числителя:p – 4 = 0; p = 4. Нули знаменятеля:2p – 7 = 0; p = 3,5 Определяем знак фукнции р (10).
Получаем
Ответ:
3.Найдите значения параметра а, при которых среднее арифметическое корней данного уравнения (х + 2а)2 + (х – 6а)2 = 200, равно 2
Решение: Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим: х2 – 4ах + 20а2 – 100 = 0. Чтобы у нас было два корня, D > 0. Если D > 0, то среднее арифметическое корней равно 2, значит = 2. По теореме Виета
. Подставим полученное значение и проверим дискриминант.
х2 – 4х – 80 = 0, D = 16 + 320 > 0, значит данное значение параметра нам подходит.
Ответ: при а = 1
4. Найдите значения параметра а < 0 при которых уравнение ах2 + 4х + а + 1 = 0 будет иметь ровно один корень, больший 1.
Решение: Пусть у = ах2 + 4х + а + 1, D = 16 – 4a(a+1) = 16 – 4a2 – 4a = - (-2a + 1)2 + 17
При аD и графиком функции будет парабола с ветвями вниз. Значит, чтобы один корень был большим 1, единица должна располагаться между корнями, т.е. у(1)>0, и если точка находится между корнями, тогда в этом промежутке значение функции у(х)>0 и ни на каком другом промежутке функция не принимает значения большие 0. а(1)2 + 4· 1 + а + 1 = 0, а(2а + 5) < 0.
Если а < 0, тогда можно поделить на а, поменяв знак:
2а + 5 > 0, а > - 2,5, учитывая условие а получаем а
Ответ: а
5. Решение задач с параметром на нахождение значений на отрезке
Фишка в решении такого рода заданий в геометрической наглядности отбора значений.
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 1 корень на отрезке [0;1].
Решение: перенесем все в левую часть уравнения: ,
,
1) если , при , , , , т.е. является корнем уравнения
2) х = -2а при
. Значит – корень уравнения.
3) =, если .
Таким образом, 1 решение уравнение будет иметь при а
Ответ: а