XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Логические задачи: алгоритмы и методы решения

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ткаченко Е.О. 1

---

1МАОУ "СОШ №85" г.Кемерово

Науменко Т.Г. 1

---

1Муниципальное автономное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №85», город Кемерово

Работа в формате PDF

482.4 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В современном мире логика имеет большое значение. Способность анализировать ситуации, формировать стратегию, находить правильные пути решения проблем, логически рассуждать и думать - это навыки, благодаря которым, человек зачастую добивается успеха. Тема актуальна, и поэтому я выбрал ее для детального изучения, чтобы развить вышеперечисленные качества в себе. 

В век информационных технологий логика, как область науки, быстро развивается. Появляется спрос на специалистов, чьи профессии тесно связаны с логически-математическими дисциплинами. Логика пронизывает многие сферы жизни: быт, общение, личные отношения, работу. Логика необходима в таких профессиях как программист, IT-специалист, преподаватель, математик, шахматист, следователь, криминалист, юрист, адвокат, психолог, врач, предприниматель, бухгалтер, менеджер, аналитик.

Логика используется в маркетинге, экономике, информатике, медицине и во многих других сферах. Умение решать логические задачи необходимо во многих профессиях. «Логика» буквально означает «учение о словах» и трактуется как «искусство использования слов», «наука о правильном мышлении».Логика также определяется как наука о способах рассуждения, доказательства и опровержения. Основная функция логики — исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок и получить истинное знание о предмете через размышление. Логика является одним из главных инструментов любой науки. При этом логические операции (такие как классификация, определение, опровержение и доказательство) любой человек неосознанно использует ежеминутно. Логика — это знание об абстрактном мышлении, поэтому логика интересуется также языками и высказываниями.

Глава 1. Логика. Логические задачи. История

Логика

Ло́гика (от др.- греч. λόγος — «рассуждение», «мысль», «разум»). В Большом энциклопедическом словаре дается определение логики, как науки о способах доказательств и опровержений: «Совокупность научных теорий, в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержений. Различают индуктивную и дедуктивную логику… классическую, интуиционистскую, конструктивную, модальную и другие». [1]. Особую роль в ускорении научно-технического прогресса играют приложения логики в вычислительной математике, теории автоматов, лингвистике, информатике и математической логике.

Логические задачи - это задачи, для решения которых используются алгоритмы, методы их решения, а также те, которые могу решаться только за счет логического мышления без использования математических решений.

Виды логических задач: задачи на соответствие и исключение неверных вариантов, задачи на упорядочивание множеств, задачи о лгунах, числовые ребусы, игровые задачи, задачи на переливания и взвешивания.

Логика - это нормативная наука о законах, принципах и методах идеализированных рассуждений, выражающих результаты рациональной мыслительной деятельности человека, а также о языке как средстве такой деятельности. Основы логики были заложены работами ученого и философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Он изучал правила мышления, впервые дал систематическое изложение логики.

1.2. Логика в математике и информатике

Основная цель логики  - формализация, схематизация и систематизация правильных (корректных) способов рассуждений и высказываний, то есть общезначимых (истинных) рациональных форм языкового выражения результатов мыслительной деятельности, и выявление законов и правил, которым подчиняются такие рассуждения. Инструмент логики — это математический аппарат, с помощью которого записывается, вычисляется, упрощается и преобразуется логическое высказывание. Основным понятием математической логики является высказывание. Высказывание — это повествовательное предложение, про которое всегда можно сказать истинное оно или ложное.

Математическая логика - это раздел современной формальной логики, в котором логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе математического языка, аксиоматизации и формализации. В качестве другого названия современного этапа в развитии логики используется также термин «символическая логика». Иногда термин «математическая логика» употребляется в более широком смысле, охватывая исследование свойств дедуктивных теорий, именуемое металогикой или метаматематикой. В целом, определение «математическая логика» подчёркивает её сходство с математикой, основывающееся, прежде всего, на методах построения логических исчислений на основе строгого символического языка, аксиоматизации и формализации. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правильного мышления традиционная логика, развивавшаяся в рамках философии.

Алгебра логики - это один из основных разделов символической логики, в основе которого лежит применение алгебраических методов к логике. Алгебра логики - исторически первая форма символической логики, возникшая в середине XIX века в трудах Дж. Буля. К её созданию привела аналогия между решением алгебраических уравнений и выводом следствий из посылок, а также то, что алгебраические уравнения применимы при решении задач из различных областей знания. Поначалу алгебра логики имела своим предметом классы (как объёмы понятий), соотношения между классиками по объёму и связанные с этим операции над ними. Позднее, в связи с появлением в 70-х годах XIX века теории множеств, взявшей на себя часть этих задач, предмет алгебры логики значительно изменился. Основным её предметом стали высказывания (суждения, предложения), рассматриваемые со стороны их логических значений (истина, ложь, бессмыслица и другие), и логические операции над ними. К логическим задачам относится любая задача, для решения которой не нужны особые (специальные) знания, а достаточно только логических рассуждений. Такие задачи не обязаны быть математическими или нестандартными.

Логика является фундаментальной основой информатики как науки. Элементы и основы математической логики заложены в логические элементы и логические устройства ЭВМ, в основы алгоритмизации и языки программирования, в процедуры поиска информации в базах данных и в сети Интернет, а также в системах логического программирования, базах знаний и экспертных системах на ЭВМ.

1.3.Основоположники логики

Всю свою историю цивилизация занимается совершенствованием логики как науки. Античная логика до Платона и Платонова логика, логика Аристотеля, логика стоиков, индийская, китайская, исламская логика, схоластическая средневековая логика, ренессансная и современная логика: эта древнейшая дисциплина сквозь века непрерывно обогащается разными народами, культурами и множеством исследователей. Еще Платон ставил три вопроса: Что можно считать истиной и ложью? Какова природа связи между посылами в рассуждениях и заключениями? Какова сущность понятий? В середине прошлого века прогресс в области вычислительной техники привел к началу новой эпохи в развитии логики и ее проникновению в практические сферы, которые теперь определяют образ жизни человека. Были разработаны такие области логики как логическое проектирование и моделирование вычислительной техники, проблемы логического синтеза. В 80-х годах двадцатого века стартовали исследования в области искусственного интеллекта на основе систем и языков логического программирования. Инженеры приступили к созданию систем с автоматическим доказательством теорем, к разработке методов доказательного программирования для верификации алгоритмов и программ. Все это повлекло перемены в образовании: в школах появились персональные компьютеры, начали выходить учебники по информатике с разделами математической логики. Это стало необходимым для того, чтобы объяснить принципы работы логических схем, логического программирования.

Рис.1. Основоположники логики

Наиболее известным основоположником логики можно назвать австрийского логика, математика, философа математикиКурта Гёделя. Курт Гёдель сформулировал и доказал теоремы о неполноте, которые оказали огромное влияние на представление об основах математики. Считается одним из наиболее выдающихся мыслителей XX века.

Рис. 1.1. Курт Гёдель, австрийский  логик, математик, философ

Известным польско-американским математиком, логиком и основателем теории истинности (формальной) является Альфред Тарский. Склонность к математическим наукам проявилась в период его обучения в школе. Этому человеку принадлежит ряд работ относительно неразрешимости и разрешимости формальных теории в логике 1-го порядка. Наиболее известными работами стали теоремы о евклидовой геометрии и разрешимости линейной арифметики. При работе с евклидовой геометрией Тарским была разработана собственная аксиоматизация геометрии, оказавшаяся самой удачной из всех ранее известных.

Рис. 1.2. Альфред Тарский, польско-американский математик, логик и основатель теории истинности

Глава 2. Методы и алгоритмы решения логических задач

2.1. Алгоритм

Понятие алгоритма относится к первоначальным, основным, базисным

понятиям математики. Вычислительные процессы алгоритмического характера (арифметические действия над целыми числами, нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и т. д.) известны человечеству с глубокой древности. Однако, в явном виде понятие алгоритма сформировалось лишь в начале XX века. Алгоритмы - это конечная совокупность точно заданных правил решения некоторого класса задач или набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для решения некоторой задачи. Система вычислений по строго определенным правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи.

2.2. Методы решения логических задач

Существуют различные способы решения логических задач:

Метод Рассуждений - самый примитивный способ. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи. Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача №1

Три друга – Петр, Роман и Сергей – учатся на математическом, физическом, химическом факультетах. Если Петр математик, То Сергей не физик. Если Роман не физик, то Петр математик. Если Сергей не математик, то Роман – химик. Определите специальности каждого.

Решение:

Предположим, что Роман не физик, тогда (по условию 2) Петр — математик, но если Петр — математик, то Сергей (по условию 1) не физик. Тогда физиков нет. Противоречие. Значит, Роман — физик. Тогда Сергей— — математик, так как иначе (по условию 3) Роман был бы химиком. Значит, Петр — химик. Итак: Петр — химик, Роман — физик, Сергей — математик. И все три условия выполнены. Ответ. Петр — химик, Роман — физик, Сергей — математик. 

Таким образом, получается, что данная задача решается исключительно только через метод рассуждения.

Метод Блок – Схем - распространённый тип схем (графических моделей), описывающих алгоритмы или процессы, в которых отдельные шаги изображаются в виде блоков различной формы, соединённых между собой линиями, указывающими направление последовательности.

Рис. 3. Блок-схема

Задача №2:

Составить алгоритм планирования выходного дня студентом: если будет хорошая погода, он пойдет гулять, а если плохая − будет писать реферат.

Входные данные: x (информация о погоде);

Выходные данные: y (результат прошедшего выходного дня).

Рис.8. Блок-схема

Метод Таблиц - основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Задача №3

 В течение последних четырех лет Алексеев, Фомин, Дементьев и Иванов получали очередной отпуск в мае, июне, июле или в августе. Причем, если один из них отдыхал в мае, то другой - в июне, третий – в июле, а четвертый – в августе. Каждый их них получал отпуск в эти четыре года в разные месяцы. Так в первый год Дементьев отдыхал в июле, во второй год – в августе. Алексеев во второй год отдыхал в мае, Иванов в третий год – в июне, а Фомин в четвертый год – в июле.

Кто в каком месяце отдыхал в каждом из этих четырех лет?

Ответ: 

Метод Кругов Эйлера - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений. Эйлер наглядно изображал операции над множествами при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества, сколько бы элементов они не содержали, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур. Данный метод позволяет графически решать математические задачи на основе применения теории множеств.

Рис. 4. Круги Эйлера

Задача №4

В футбольной команде «Спартак» 30 игроков, среди них 18 нападающих. 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть нападающими и защитниками, 10 защитниками и полузащитниками, 6 нападающими и защитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Спартак» вратарей?

Решение:

18+11+17-3-10-6+1=28 (игроков) на этой диаграмме. Но в команде всего 30 футболистов. Значит, вратарей будет 30-28=2.

Ответ: 2 вратаря.

М
етод Графов - это совокупность непустого множества вершин и связей между вершинами. Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами.

Рис. 5. Графы

Задача №5

За круглым столом сидели четыре студента. Филолог сидел против Козина, рядом с историком. Математик сидел рядом с Волковым. Соседи Шатрова — Егоркин и физик. Какая профессия у Козина?

Рис. 6. Варианты решения задачи

Метод математического бильярда – метод заключается в представлении последовательности переливаний аналогично движению бильярдного шарика по столу особой конструкции с размерами, соответствующими объемам первоначально пустых сосудов. Нарисовав на клетчатой бумаге исходную конфигурацию, необходимо проследить возможные движения шарика в соответствии с законом «угол падения равен углу отражения» и попадание им в требуемые точки по условию задачи.

Задача №6

Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8 литров воды.

В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Данная задача решается методом «Математического бильярда».

Решение:

В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали - в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.

Рис. 7. Математический бильярд

Прослеживая дальнейший путь шара и, записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы, в конце концов, мы попадаем в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице:

Рис.9. Итоговая таблица переливаний

Метод решения задач с помощью полупрямой

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать на полупрямой.

Задача №7.

В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята?

Решение:

Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени».

а) Вика стоит впереди Сони, но после Аллы

б) Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, значит он – крайний слева

в) Боря и Алла не стоят рядом, Борис не находится рядом с Денисом, значит, место Бориса – после Вики

Ответ: Алла, Вика, Борис, Соня, Денис.

Выбор наиболее популярного метода решения логической

задачи

Известный американский психолог, автор понятия Множественный интеллект (Multiple Intelligences), специалист в области клинической психологии и нейропсихологии - Говард Гарднер (Gardner) разработал теорию множественного интеллекта. Гарднер определяет интеллект как «способность к решению задач или созданию продуктов, обусловленную конкретными культурными особенностями или социальной средой» (1993, р. 15).

Доктор философии Томас Армстронг - преподаватель с 40-летним опытом работы, автор 15 книг, рассказывает в них о том, как почувствовать уверенность в своих силах и найти свое место в жизни. Томас Армстронг 25 лет посвятил изучение работ Гарднера, написал книги о множественном интеллекте. В книге Томаса Армстронга «Ты можешь больше, чем ты думаешь» в переводе Змеевой (Манн, Иванов, Фербер) приводится несколько задач-загадок: «Логику можно назвать инструментом для решения задач. … Хочешь быстро проверить свои способности? Попробуй решить эту загадку:

«У Фриды было девять конфет, семь она уже съела. У каждого из ее друзей тоже было по 9 конфет. Кто-то из них съел 6 штук, а кто-то только четыре. Всего у Фриды и ее друзей осталось 25 конфет. Сколько друзей у Фриды? Подсказка: правильных ответов может быть больше, чем один»!

Рис. 10. Книга Томаса Армстронга «Ты можешь больше, чем ты думаешь»

Глава 3. Социологическое исследование

в 8-9 классах МАОУ «СОШ№85»

«Логико-математический интеллект. Как развить логические способности»

В рамках работы над проектом проведен социологический опрос среди учеников 8-9-х классов МАОУ «СОШ№85» г. Кемерово на основе опросного листа Томаса Армстронга из книги «Ты можешь больше, чем ты думаешь». Целью данного опроса было получение информации о том, как оценивают учащиеся 8-9 классов собственные логические способности.

Задачи исследования: получить общую картину с помощью анкетирования, анализа и обработки результатов опроса.

В данном опросе использовался метод - анкетирование, т.е. заполнение респондентами бланков, включающих в себя набор вопросов. По форме контакта опрос опосредованный (через раздачу анкет респондентам), письменный, анонимный, выборочный (участвовали представители отдельных целевых аудиторий- 8А,Б,Г,Д и 9Б,В,Г,Д).

Объект исследования – учащиеся 8-9 классов, возраст 14-16 лет.

Предмет исследования: логико-математические способности.

Сроки проведения: 3 четверть (март) 2020-2021 учебного года.

Место проведения: аудитории МАОУ «СОШ№85», уроки прикладной математики. Обработка заполненных анкет проводилась в школе и дома Ткаченко Егором.

Число заполненных анкет-162. Число пригодных для дальнейшей обработки – 158 анкет (4 были заполнена частично).

Анализ данных социологического опроса осуществлялся с помощью программы для работы с электронными таблицами Excel. Сводные таблицы и диаграммы представлены в Приложениях к проекту. Рекомендации для учащихся: как развить логические способности, представлены в виде Памятки.

ОПРОСНЫЙ ЛИСТ «Логико-математический интеллект»

Любишь ли ты (нравится ли тебе?):

Поставь от одного до трех + (если нравится) и от одного до трех – (если не нравится).

Считать

Читать детективы

Играть в шахматы, шашки, морской бой

Придумывать и разгадывать коды и шифры

Считать и тратить деньги

Собирать спортивную статистику

Играть в компьютерные игры

Работать на компьютере, планшете, телефоне

Вести различные подсчеты

Раскладывать вещи по определенному принципу

Играть в логические игры и игры стратегии

Угадывать количество предметов в емкости

Рассчитывать время

Замечать причинно – следственные связи (связь между действиями и их результатами)

Представлять информацию в виде графиков и таблиц

Любишь науку

Изучать глобус, географические карты

Тебе интересны - карты звездного неба и Солнечной системы.

Обработка результатов: Чем выше положительный результат, тем более развит логико – математический интеллект.

Обычно считается, что математика – очень сложная наука, но для развития математических способностей необходимы большие усилия. В книге Т.Армстронга даются советы: как «развить логические способности и насладиться ими в полной мере». Приложения. Памятка «КАК РАЗВИТЬ ЛОГИЧЕСКИЕ СПОСОБНОСТИ».

Заключение

Данная работа посвящена логическим задачам и методам их решения. Рассмотрены алгоритмы и методы решения логических задач на примере задач №1-№7. Чтобы успешно их решать, нужно знать способы решения, иметь развитое логическое мышление, обладать графической культурой. В результате работы над проектом были изучены исторические сведения и материалы по теме, рассмотрены разные типы логических задач и разные способы их решения. Каждый из этих способов обладает своими достоинствами при решении задач определенного типа.

Выводы: Логика является одним из главных инструментов любойнауки. Решение логических задач развивает мышление, расширяет кругозор.

Задачи на логическое мышление, как правило, требуют знаний и больших усилий.

В результате проектной работы:

Изучена литература по данной теме.

Решены задачи №1-№7.

Проведен опрос учащихся восьмых (8АБГД) и девятых (9БВГД) классов МАОУ «СОШ№85» «Логико-математический интеллект. Как развить логические способности».

Обработаны результаты исследования в программе Excel: составлены сводные таблицы и диаграммы по классам и параллелям.

Рекомендации «Как развить логические способности» представлены в виде Памятки и буклета.

Подготовлена презентация и доклад по результатам работы над проектом.

Логика помогает нам не только при решении математических задач, но и в повседневной жизни: правильно строить свои мысли, верно их выражать, убеждать других людей, отстаивать свою точку зрения. Логика помогает людям и в их профессиональной деятельности. Например, следователю важно уметь логически мыслить, чтобы правильно восстановить цепь событий для раскрытия преступления. Также знание логики необходимо работникам печати и средств массовой информации, медицинским работникам и людям других специальностей и направлений.

Решение логических задач – это не только увлекательный, но и полезный способ времяпровождения. Логические задачи - это зарядка для ума. Логические задачи развивают умение анализировать и обобщать данные, искать возможные пути решения, формировать стратегию, проверять данные на достоверность.

Литература и интернет-источники

1. Большой энциклопедический словарь. 2012 г.

2. Gtmarket.ru

3. http://ktokemrabotaet.ru/professii-gde-nuzhna-logika/

4. Армстронг Томас, «Ты можешь больше, чем ты думаешь» https://www.b17.ru/article/141395/

5. https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/217730

6. В. Е. Шевченко, Библиотечка физико-математической школы «Некоторые способы решения логических задач», г.Киев, издательство издательского объединения «Вища школа», 1979г.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

Памятка «КАК РАЗВИТЬ ЛОГИЧЕСКИЕ СПОСОБНОСТИ»

Играть в игры, где есть стратегия и логика (настольные стратегические игры, шахматы, домино, шашки).

Телепрограммы о науке и математике, обучающие курсы по развитию логики и научным открытиям.

Решать простые математические задачки в уме.

Посети научный музей, планетарий, экспериментариум.

Прочти статьи в изданиях и интеренете, публикующие новости из мира науки и математики.

Пытайся угадать количество предметов в коробке, или изюминок в тарелке.

Разгадывай головоломки, играй в математические игры.

Устрой семейный «день математики» или «научный день».

Составь вопросы о неизвестных явлениях. Например – что такое «северное сияние».

Вступи в школьный математический или научный клуб.

Найди сайт, рассказывающий о проведении научного эксперимента в домашних условиях.

Чем больше объясняешь, тем лучше понимаешь: объясни родителям или друзьям значение математических или научных понятий, которые тебе известны.

Анализируй цифры в новостях. Что они на самом деле означают?

«Узнавай о том, как появилась математика в других странах. Многие математические принципы, которые мы используем сегодня, сформулировали индейцы майя и древние арабы. У них были даже «калькуляторы! Научись пользоваться счетами и другими вычислительными приборами, придуманными людьми разных культур».

Создавай свою страничку или сайт. Попробуй освоить один из языков компьютерного программирования.

«Обращай внимание на то, как ты решаешь логические задачи. На уроках математики или физики, отмечай, какие действия помогают, а какие, наоборот, замедляют мыслительный процесс».

ПРИЛОЖЕНИЕ №2

Результаты опроса учащихся наАнкету«Логико-математический интеллект».

Опрошено: 162 человека.

Максимально возможное количество баллов: 54 балла.

Средний балл по классам:

Чем выше положительный результат, тем более развит логико – математический интеллект.

Общее количество положительных (+) баллов по вопросам №1-18

Большинство участвовавших в опросе учеников 8-9 классов развивают логико-математические способности (по их мнению) с помощью логических, стратегических, компьютерных и настольных игр, детективов. Рассчитывать время, замечать причинно-следственные связи и вести различные подсчеты – необходимые навыки для развития логики и интеллекта.

Ответы:

Любят/нравится

Считать и тратить деньги (в среднем - 42 балла на класс);

Играть в компьютерные игры (в среднем - 40 баллов);

Работать на компьютере, планшете, телефоне (в среднем - 40 баллов).

Непопулярные занятия:

Изучать глобус, географические карты и карты звездного неба (в среднем - 13 баллов на класс);

Собирать спортивную статистику (в среднем - 13 баллов);

Представлять информацию в виде графиков и таблиц (15 баллов);

Угадывать количество предметов (16 баллов).