XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Экономические задачи ЕГЭ. Задачи на оптимизацию

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Алексеева Ю.М. 1

---

1ГОУ "Забайкальский краевой лицей-интернат"

Ульзутуева С.А. 1

---

1ГОУ "Забайкальский краевой лицей-интернат"

Работа в формате PDF

131.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение 

Иногда решить задачу из второй части профильного ЕГЭ бывает особенно трудно школьникам, если это задача с экономическим содержанием. Подобные задачи требуют определенных знаний некоторых математических моделей, заимствованных из области экономики, школьнику необходимо уметь анализировать текст задачи, чтобы в последствии суметь составить уравнение или неравенство, не противоречащие условию задачи. Среди экономических задач можно выделить одни из самых сложных задач – задачи на оптимизацию, по-другому их еще называют экстремальные задачи. А также стоит обратить внимание на следующие задачи: задачи «на движение», задачи с альтернативным условием, задачи, в которых число переменных превышает число составленных уравнений, задачи с неравенствами на нахождение целочисленных решений. Сложность подобных задач заключается в следующем: не всегда можно найти готовые методы решения, тогда задача требует своего подхода к решению. Единственное, что может помочь в успешном решении подобных задач – это систематический тренинг.

Цель – подбор методов, способов и приемов решения экономических задач ЕГЭ (задач на оптимизацию). 

Задачи: 

Проанализировать литературу по данной теме. 

Систематизировать задачи по способам их решений. 

Подобрать для каждого вида задач примеры. 

Показать наглядные методы, приемы и способы решения определенного вида задач. 

Подготовить на основе решенных задач памятку. 

Провести опрос среди учеников 10 – 11 классов ГОУ “ЗабКЛИ”. 

Объектом исследования являются экстремальные задачи. 

Предмет – алгоритмы решения экстремальных задач. 

Целевая аудитория – ученики старшей школы. 

Методы: 

Теоретическое исследование (анализ). 

Эмпирический (изучение источников литературы).  

Практическая значимость: 

Основная значимость проекта заключается в успешном написании ЕГЭ (единого государственного экзамена), чтобы в последствии претендовать на места обучения в лучшие вузы страны. Продукт этого проекта – алгоритмы решения подобных задач, может неплохо помочь выпускникам сэкономить время на экзамене, что невероятно важно. Данный ресурс можно использовать на уроках математики и выполнении домашних заданий для учеников 10-11 класса ГОУ «ЗабКЛИ».

Теоретическая часть

Глава 1. Задачи “на движение” 

Первые задачи, с которыми мы познакомимся, можно отнести к задачам «на движение». При решении подобных задач мы прибегаем к использованию некоторых определенных обозначений неизвестных. К таким относятся: расстояние (s, l, r), скорости движущихся тел (u, w, v), время движения (t, T). Это сделано для того, чтобы допустить как можно меньше ошибок при решении таких задач, ведь при не ассоциативных и непонятных обозначениях решающий может перепутать переменные или вовсе упустить их из своего решения.

Обычно при решении подобных задач используются некоторые базовые допущения. Применяются они только в тех случаях, если не оговорено противоречивое по условию задачи. К таким допущениям можно отнести:

1) движение можно считать равномерным на необходимых к рассмотрению участках пути, тогда пройденный путь определяется по формуле: s = vt (где s - путь, v - скорость тела, t - промежуток времени, за которое был пройден путь). 

2) повороты в условиях данных задач считают мгновенными, т.е. они происходят без затрат времени, при этом скорость либо остается неизменной, либо мгновенно меняется до определенного значения. 

3) тело, движущееся в воде: если тело движется по течению реки, то его скорость w складывается из собственной скорости v и скорости течения реки u: w = v + u; если тело движется против течения реки, то его скорость равна w = v – u. 

4) если в условии задача рассматривается движение плота, собственную скорость считают равной нулю. 

К таким задачам также часто относят задачи на совершение работы, а также задачи, которые связаны с наполнением, а также опустошением резервуаров. В подобных задачах работа (объем) резервуара – расстояние, а производительности объектов – скорость движения. 

В решении задач “на движение” нужно обратить внимание на обязательное наличие иллюстративного чертежа. Рекомендация к выполнению чертежа: полная динамика движения с характерными моментами (встречами, остановками, поворотами).  

Виды движений, часто встречающихся в решении подобных задач: 

1. навстречу друг другу.

2. в одном направлении – вдогонку.

Глава 2. Задачи, в которых число неизвестных 

превышает число уравнений системы 

 В практических задачах нередко встречается ситуация, что количество неизвестных намного больше числа составленных уравнений системы. Основная причина - другой способ решения задачи. Если неизвестные выбраны для составления уравнений для наибольшего удобства, то искомая величина может не войти в число данных неизвестных. Но, как правило, эта величина представляется некоторой комбинацией выбранных неизвестных. Таким образом, не нужно искать все неизвестные системы уравнений, а необходимо и достаточно найти величину, равную их комбинации.

Глава 3. Задачи с целочисленными неизвестными 

В задачах с целочисленными неизвестными необходимы знания и применение материала о делимости целых чисел. Здесь рассмотрим материал и теорию по диофантовым уравнениям и задачи, решающиеся с их помощью. 

Диофантовые уравнения 1 порядка 

Диофантовым уравнением 1 порядка с двумя переменными x и y будем называть уравнение вида ax + by = c, где a, b, c, x, y из множества целых чисел. 

Уравнение вида ax + by = c имеет решение (x; y) в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на НОД(a, b), т.е.: если d = НОД(a, b), a = a₁*d, b = b₁*d и (x₀, y₀) - некоторое решение уравнения ax + by = c, то все решения этого уравнения задаются формулами x = x₀ + b₁*t, y = y₀  - a₁*t, где t - произвольное целое число, а (x₀, y₀) находим подбором. Важно: если при делении на d числа с получается не целое число, то говорят, что уравнение в целых числах решение не имеет. 

Уравнение вида ax + by = c, где a, b, c, x, y из множества целых чисел, при этом a и b взаимно простые числа (если это не так, то всегда можно сократить на d). Метод решения таких уравнений зависит от того, насколько большие модули чисел a и b. Если хотя бы один из коэффициентов (пусть а) невелик по модулю, то уравнение перепишем в виде ax = c – by. Левая часть делится на a, значит, правая обязана делиться на a так же. Рассматриваем всевозможные остатки r от деления числа a на y (r = 0, 1, 2, …, а - 1). Получим, что при одном значении r из указанного промежутка будет делиться на a и правая часть. Т.к. число а невелико, то и перебор вариантов будет не велик. 

Метод рассмотрения остатков становится не эффективен, если a и b большие по модулю числа. В этом случае применим алгоритм, основанный на последовательном уменьшении по модулю коэффициентов при неизвестных.  

Алгоритм Эвклида. 

При решении линейных диофантовых уравнений используется способ разложения на множители. 

Теорема: 

Если числа a и b - взаимно простые числа, то уравнение ax + by = 0 имеет бесконечно много решений в целых числах, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством целых чисел (т.е. могут быть занулированы целыми числами) и описываются формулой: x_n = b_n, y_n = -a_n, где n - “номер” решения.

Диофантовые уравнения 2 порядка 

Диофантовым уравнением 2 порядка с двумя переменными x и y называем уравнение вида Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey = F, где A, B, C, D, E, F, x, y из множества целых чисел, при этом хотя бы одно из чисел A, B, C отлично от нуля. 

Основные методы решения диофантовых уравнений 2 порядка: 

Метод разложения на множители. 

Метод группировки. 

Метод ”бесконечного спуска”. 

Если в уравнении отсутствует член, содержащий x² или y², т.е. либо А, либо С равны нулю, но при этом B не равно нулю, то такое уравнение решается методом выделения целой части. 

Глава 4. Задачи с альтернативным условием 

Стоит выделить задачи, условие которых сформулировано так, что при составлении уравнений системы возникает альтернатива: уравнение меняет свой вид в зависимости от интерпретации условия, в подобных случаях в решении рассматриваются всевозможные случаи.  

 В других разделах математики задачи с альтернативным условием не так уж редки, к таким относятся: исследование подмодульное выражение, логарифмических и показательных функций и другие. Каждая из подобных задач требует рассмотрения всех возможных вариантов, и лишь после того, как все возможности будут исследованы, находится решение и записывается ответ. В этом ключе задачи на составление уравнений не являются исключением.

Глава 5. Задачи на оптимизацию 

Задачи на оптимизацию — это уже настоящие исследовательские задачи, очень близкие по смыслу (но не по методам решения) к задачам с параметром. Сложность таких задач заключается в том, что не всегда есть готовые методы решения, и задача может потребовать своего подхода. Успех в решении таких задач заключается в систематическом тренинге. 

Решение любой текстовой задачи складывается из нескольких основных этапов: 

Подробный разбор условия задачи для четкого понимания сути описанного в задаче процесса; 

Выбор переменных, количество которых должно быть достаточным для то, чтобы составить уравнения и неравенства. Если переменных оказалось больше, чем число уравнений, но при этом все было сделано верно, то “лишние” переменные взаимно уничтожатся или сократятся. Иногда в процессе решения требуется найти не сами переменные по отдельности, а их комбинацию; 

Формализация или составление уравнений и неравенств. При этом важно обращать внимание на единицы измерения - они должны быть одинаковыми для всех одноименных величин; 

Решение полученного уравнения, неравенства или системы; 

Интерпретация полученного результата и непосредственно сам ответ на вопрос задачи.

Примеры решения задач на оптимизацию

Приведем примеры наиболее часто встречающихся задач на оптимизацию.

Пример 1. 

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. При этом один за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. 

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условия ежедневно сможет произвести завод? 

Решение. 

Для формализации условия подобных задач введем следующие обозначения и выражения. 

r  - продолжительность рабочего дня; 

n - количество рабочих, занятых по добыче конкретного металла; 

p - масса металла, добываемого одним рабочим в час (производительность); 

r*n - человеко-часы; 

r*n*p - масса металла, добываемого на шахте в день. 

На основе данных задачи составим таблицу: 

Таким образом, требуется распределить рабочих в каждой шахте так, чтобы произвести наибольшее количество сплава. Вводим переменные: для первой шахты x - количество рабочих, которые добывают Al, тогда (60 - х) - количество рабочих, добывающих Ni. Для второй шахты: y -  количество рабочих, которые добывают Al, тогда (260 – y) - количество рабочих, добывающих Ni. Дополненная таблица имеет вид:
 

Так как для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля, то масса алюминия в сплаве в 2 раза больше массы никеля, то есть: 

10 х + 15 у = 2 * (3500 - 15 х - 10 у), 

40 х + 35 у = 7000. 

Откуда: 

х = 175 – 7/8 у (1.1), 

или: 

у = 200 – 8/7 х. 

Учтем ограничения на переменные:

В системе (1) произошло сужение исходных (заданных в условии задачи) ограничений на переменную у, что позволило определить максимальное значение у. В системе (2) такого сужения исходных ограничений на переменную х не произошло. 

Составим функцию f (x, y), которая задает значения массы сплава. Для этого заметим, что масса сплава (на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля) в 3 раза больше массы никеля, следовательно: f (x, y) = 3*(3500 – 15x – 10y).

Подставим (1.1) вместо х: f (y) = 3*(875 + 25/8 y).

Подставляем y_max = 200: f (200) = 4500.

Комментарий. Отношение масс металлов в сплаве позволяет составить уравнение, которое впоследствии разрешается относительно одной из переменных. Какую именно переменную выражать через другую, определяем из факта суждения исходных ограничений на переменную, который следует из решения систем ограничений. Так, в вышеописанной задаче для функции f (x, y) переменная ч была заменена на выражение от у.

При составлении функции f (x, y) снова используется информация из условия задачи об отношениях масс в сплаве, но теперь уже значение f (x, y) считается как количество всех частей в этом отношении.

Пример 2.

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется y² человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом в области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение.

На основе данных задачи составим таблицу:

 Так как требуется распределить рабочих в каждой шахте так, чтобы произвести наибольшее количество сплава, то вводим переменные: для первой шахты х – количество рабочих, которые добывают Al, тогда (50 – х) – количество рабочих, добывающие Ni. Для второй шахты: y – количество рабочих, которые добывают Al, тогда (50 – y) – количество рабочих, добывающих Ni. Дополняем таблицу:

Так как во второй области для добычи ч кг алюминия в день требуется x² человеко-часов труда, то вид зависимости между человеко-часами и массой добываемого в день металла имеет вид (r*n)² = r*n*p или . Учитывая это, получаем окончательный вид таблицы:

Так как для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля, то масса никеля в сплаве в 2 раза больше массы алюминия, то есть:

(2.1)

Составим функцию которая задает значения массы сплава. Масса сплава в 3 раза больше массы алюминия, следовательно:

.

Подставим (2.1) вместо x:

Чтобы узнать наибольшее значение составленной функции, воспользуемся аппаратом математического анализа. Найдем производную

Наибольшее значение функция принимает в точках экстремума, в которых производная равна нулю:

Определим знаки производной слева и справа от у = 10:

Следовательно, у = 10 – точка максимума, а значит f (10) = 90 – наибольшее значение функции. Таким образом, завод при указанных условиях может производить не более 90 кг.

Пример 3.

В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется х² человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у² человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

Решение.

На основе данных задачи составим таблицу:

Так как алюминий и никель взаимозаменяемы и в первой области в час добывается больше алюминия, то логичным будет направить всех рабочих первой области на добычу алюминия. Теперь надо оптимально распределить рабочих во второй области. Пусть х – количество рабочих, которые добывают алюминий, тогда (90 – х) – количество рабочих, добывающих никель. Вид зависимости между человеко-часами и массой добываемого в день металла имеет вид (r*n)² = r*n*p или . Исходя из этого, дополним таблицу:

Составим функцию f(x):

Для нахождения ее наибольшего значения найдем нули производной:

= 0,

Откуда х = 45.

Следовательно, х = 45 – точка максимума, а значит f (45) = 165 – наибольшее значение функции. Таким образом, завод при указанных условиях может производить максимум 165 кг.

Алгоритмы решения

Сформулируем алгоритмы решения рассмотренных выше задач.

Примечание. Переменные вводятся для количества рабочих, добывающих тот или иной металл.

Анализусловия:

Производительностьзаданадлядвухобъектов(область,шахта).

Вусловиизаданоотношениемассметалловвсплаве.

Вводятсядвепеременные.

Находитсямассакаждогометалла,добываемоговденьдлякаждогообъекта.

Суммируютсямассыкаждогометалла,добытоговденьнадвухобъектах.

Составляетсяуравнение,связывающеепеременные,сучетомотношениямассметалловвсплаве.

Составляется функция массы сплава (функция двух переменных), в которойучитываетсясуммарноеколичествочастей,входящихвсплавметаллов.

Исследуются ограничения на переменные: в функции сплава остается та переменная, для которой произошло сужение области ее значений. Определяется еемаксимальноезначениеивычисляетсянаибольшеезначениефункциимассысплава.

Анализусловия:

Производительностьзаданатолькодляодногообъекта(область,шахта).

Длявторогообъектазадаетсязависимостьмассыдобытогометаллавденьотчеловеко-часовтруда.

Вусловиизаданоотношениемассметалловвсплаве.

Вводятсядвепеременные.

Находитсямассадобытоговденьтогометалла,длякоторогозаданапроизводительность.

Для металла, чья производительность не указана, его добытая в день массаопределяетсяизеезависимостиотчеловеко-часов.

Суммируются массы каждого металла, добытого в день на двух объектах;

Составляетсяуравнение,связывающеепеременные,сучетомотношениямасс металлов в сплаве. Из этого равенства выражается «удобная» переменная.

Составляетсяфункциямассысплава(функциядвухпеременных),вкоторой учитывается суммарное количество частей, входящих в сплав металлов. Подставляемвфункциювыражениедля«удобной» переменной,темсамымполучаемфункциюодногопеременного.

Находитсямаксимумфункциимассысплаваспомощьюаппаратапроизводной,затемвычисляетсянаибольшеезначениефункциимассысплава.

Анализусловия:

Производительностьзаданатолькодляодногообъекта(область,шахта).

Длявторогообъектазадаетсязависимостьмассыдобытогометаллавденьотчеловеко-часовтруда.

Вусловииуказано,чтометаллывзаимозаменяемы.

Для объекта,в котором задана производительность металла,определяетсябольшаяпроизводительностьивсерабочиеэтогообъектанаправляютсянадобычуэтогометалла.Тоестьвэтомобъектедобываетсятолькоодинметалл.

Вводитсяпеременнаядлявторогообъектаимассадобытогометаллаопределяетсяиззависимостиотчеловеко-часов.

Суммируютсямассыкаждогометалла,добытоговденьнадвухобъектах.

Составляетсяфункциямассысплава(функцияодногопеременного).

Находитсямаксимумфункциимассысплаваспомощьюаппаратапроизводной,затемвычисляетсянаибольшеезначениефункциимассысплава.

Список литературы 

https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2015/06/27/diofant-i-diofantovy-uravneniya. 

https://docplayer.ru/69788997-Referat-diofantovy-uravneniya-elektivnyy-kurs-zadanie-19-profilnogo-urovnya-ege-po-matematike-olimpiadnye-zadachi-v-celyh-chislah.html. 

https://docplayer.ru/187981722-Metodika-obucheniya-resheniyu-zadach-na-optimizaciyu-vo-vtoroy-chasti-ege-profilnogo-urovnya.html.