Формула Пика

XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Формула Пика

Горбунов Ф.А. 1
1Автономная некоммерческая организация Общеобразовательная организация «ШКОЛА «ПРЕЗИДЕНТ»
Смирнова А.Г. 1
1Автономная некоммерческая организация Общеобразовательная организация «ШКОЛА «ПРЕЗИДЕНТ»,
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

АННОТАЦИЯ

Название проекта: «Формула Пика»

Автор и исполнитель проекта: Горбунов Фёдор Александрович

Научный руководитель: Смирнова Анна Геннадьевна

Цель проекта: создать интерактивный плакат, демонстрирующий применение теоремы Пика.

Задачи проекта:

Изучить биографию Г. Пика, доказательство теоремы Пика.

Изучить и научиться применять формулы нахождения площадей основных геометрических фигур.

Сравнить уровень сложности решения задач на нахождение площадей фигур на квадратной решётке с помощью традиционных формул и теоремы Пика.

Найти и решить задачи из ОГЭ и ЕГЭ с помощью формулы Пика.

Найти и решить задачи на нахождения площадей фигур из других источников более сложного содержания.

Создать плакат.

Показать применение формулы Пика 9 классам и другим ученикам школы.

Краткое описание проекта:

Подготовительный этап:

Повторил тему: «Площадь прямоугольника, квадрата, прямоугольного треугольника». Изучил биографию Георга Пика. Изучил формулу Пика, её доказательство и применение. Изучил формулы площадей основных геометрических фигур. Решил задачи на нахождение фигур на квадратной решётке.

Поисковый (аналитический) этап:

С помощью сайтов «РЕШУ ОГЭ» и «СДАМ ГИА» создал банк задач на нахождение площадей фигур на квадратной решётке. Решил эти задачи с помощью теоремы Пика. Сравнил решение, предложенное на сайте, со своим. Сделал выводы. Решил более сложные задачи. Создал электронную версию плаката по применению теоремы Пика. Напечатал плакат. Выступил перед учащимися 9, 11 классов.

Выводы: Формула Пика позволяет решать задачи на нахождение площадей фигур на квадратной решётке и затрачивать на их решение гораздо меньше времени, чем с помощью других формул и приёмов. Формулу Пика можно использовать для проверки ответа, полученного другим способом. Формула может помочь на ОГЭ ребятам, забывшим формы площадей геометрических фигур.

ВВЕДЕНИЕ

К 6 классу мы научились находить площади прямоугольника и квадрата, в одном из учебников 5 класса мне встретилась формула для нахождения площади прямоугольного треугольника. Этого мне показалось мало, ведь я давно интересуюсь геометрией и знаю множество геометрических фигур. В учебнике геометрии я нашёл формулы для вычисления различных многоугольников. Некоторые из них я смог применить на практике. Не все формулы мне понятны, не говоря уже об их доказательствах. Но желание найти площадь геометрических фигур, решить задачи, используя знания, которыми я обладаю, подтолкнули меня к отысканию другого, возможно универсального способа. От учителя математики я узнал о формуле Пика. Меня заинтересовал этот способ нахождения площадей.

Я решил узнать больше о теореме Пика, её авторе и научиться решать задачи.

Оказалось, что эта тема весьма актуальна, ведь многие задачи, входящие в ОГЭ и ЕГЭ по математике можно решить, используя формулу Пика, и это решение зачастую будет более простым, чем с применением формул. Мне этот факт особенно понравился. Я решил поделиться этим «лайфхаком» с ребятами, которые готовятся к экзамену. Возможно, кому-то из них пригодится это знание. Итак, я поставил перед собой цель: «создать интерактивный плакат, демонстрирующий применение теоремы Пика». Для достижения поставленной цели мне необходимо решить ряд задач:

Изучить биографию Г. Пика, теорему Пика и её доказательство.

Изучить формулы площадей основных многоугольников, свойства площадей.

Сравнить уровень сложности решения задач на нахождение площадей фигур на квадратной решётке с помощью традиционных формул и теоремы Пика.

Решить задачи из ОГЭ и ЕГЭ с помощью теоремы Пика.

Создать интерактивный плакат.

Показать применение формулы Пика 9, 11 классам и не только.

Итогом моей работы является интерактивный плакат.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Георг Александр Пик (1859–1942)

Родился Георг Пик в еврейской семье. Мать его — Йозефа Шляйзингер (Josefa Schleisinger), отец — Адольф Йозеф Пик (Adolf Josef Pick) — возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), затем он пошел в четвертый класс гимназии (Leopoldstaedter Communal Gymnasium). В 1875 г. он сдал выпускные экзамены и мог поступать в университет.

Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Уже в следующем году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, окончил в 1879 г. университет, получив возможность преподавать оба эти предмета. В 1877 году из Дрезденской Высшей технической школы (Technische Hochschule) переехал Лео Кёнигсбергерг, который занял кафедру в венском университете. Он стал руководителем Пика, и 16 апреля 1880 г. Пик защитил докторскую диссертацию “О классе абелевых интегралов” (Über Eine Klasse abelscher Integrale). Вторым экзаменатором на защите был Эмиль Вейра.

После получения докторской степени Пик был назначен помощником Эрнста Маха в пражском университете Карла-Фердинанда. Мах переехал из Гарца, где он был профессором математики, в Прагу в 1867 году, чтобы занять там кафедру физики. Он, как и Пик, учился в университете в Вене и, к тому времени как Пик стал его помощником, считался одним из ведущих европейских ученых. Пик теперь хотел читать лекции в Праге, и для того чтобы получить на это право, он должен был написать специальную работу (habilitation thesis). Он это сделал достаточно быстро, написав Über die Integration hyperelliptischer Differentiale durch Logarithmen, после чего в 1881 году получил право читать лекции в Праге.

За исключением академического 1884-85 года, который Пик провел в Лейпцигском университете, учась у Кляйна, он оставался в Праге до конца своей карьеры. В 1888 г. он был назначен экстраординарным профессором математики, затем — ординарным профессором (полным профессором) в 1892 году в немецком университете в Праге. Круг его математических интересов был чрезвычайно широк, и 67 его работ посвящены многим темам, таким как линейная алгебра, теория инвариантов, интегральное исчисление, теория потенциала, функциональный анализ и геометрия. Тем не менее, более половины его работ связаны с функциями комплексного переменного, дифференциальными уравнениями и дифференциальной геометрией. Такие термины как матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, и лемма Шварца — Пика используются иногда и сегодня. Он больше всего известен, однако, своей теоремой Пика, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года Geometrisches zur Zahlenlehre, опубликованной в Праге в Sitzungber, Lotos, Naturwissen Zeitschrift.

В немецком университете в Праге Пик стал деканом философского факультета в 1900-01 гг. Он руководил докторскими диссертациями около 20 студентов, наиболее известен из которых Чарльз Левнер, работавший под руководством Пика и получивший докторскую степень за результаты по геометрической теории функций в 1917 г. Существует еще один аспект жизни Пика, который заслуживает внимания. В 1910 г. он был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Эйнштейна в университет. Пик был движущей силой этого назначения, и Эйнштейн был принят на кафедру математической физики в Немецком университете в Праге в 1911 г. Он занимал этот пост до 1913 г., и все эти годы он и Пик были близкими друзьями. Мало того что они имели общие научные интересы, но они также оба страстно увлекались музыкой. Пик, который играл в квартете, ввел Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги. На самом деле, в квартет Пика входили четыре профессора университета, в том числе Камилло Кернер, профессор машиностроения.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 г., он получил звание почетного профессора и вернулся в Вену, город, в котором он родился. Тем не менее, в 1938 г. он вернулся в Прагу после аншлюса 12 марта, когда немецкие войска вошли в Австрию. В конце сентября 1938 г. правительство Праги попросили отдать Германии все районы Чехии и Моравии, население которых на 50 или более процентов составляли немцы. Лидеры Чехословакии ушли в отставку, но не согласились на это, однако те, кто пришел им на смену, отдали эти регионы Германии. Гитлеровская армия вторглась в Прагу 14 марта 1939 г., и Гитлер оставил здесь своего представителя для того, чтобы управлять страной. Пик был избран членом Чешской академии наук и искусств, но после того как нацисты пришли в Прагу, он был исключен из академии. Нацисты создали лагерь Терезиенштадт в Северной Богемии 24 ноября 1941 г. для размещения престарелых, привилегированных и знаменитых евреев. Из около 144 000 евреев, отправленных в Терезиенштадт, около четверти там умерло, и около 60% были направлены в Освенцим и другие лагеря смерти. Пика отправили в Терезиенштадт 13 июля 1942 г., и он умер там две недели спустя в возрасте 82 лет.

Теорема Пика:

Пусть L - число целочисленных точек внутри многоугольника, B- количество целочисленных точек на его границе, S — его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S=L+B/2-1

Для многоугольника на рисунке L=23(желтые точки), B=7(синие точки), значит S=23+3,5-1=25,5 клеток

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны X и Y . Имеем в этом случае:

L=(X-1)(Y-1)

B=2X+2Y

S=XY-X-Y+1+X+Y-1=XY

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, II осям координат

Такой треугольник получается при разрезании прямоугольника по диагонали

Пусть на диагонали лежит С точек.

L=((X-1)(Y-1)-C+2)/2

B=X+Y+C-1

S=0,5XY-0,5X-0,5Y+0,5-0,5C+1+0,5X+0,5Y+0,5C-0,5-1

S=0,5XY-0,5X-0,5Y+0,5-0,5C+1+0,5X+0,5Y+0,5C-0,5-1

S=0,5XY

Произвольный треугольник можно получить, отрезав от прямоугольника прямоугольные треугольники и, возможно, прямоугольник.
Поскольку и для прямоугольника, и для треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Доказательство для многоугольника

Пусть многоугольник M и треугольник T имеют общую сторону. Предположим, что для M формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника, полученного из M добавлением T. Так как M и T имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через c и получим

LMT=LM+LT+(c-2) — число внутренних целочисленных точек нового многоугольника,

BMT=BM+BT-2(c-2)-2 — число граничных точек нового многоугольника.

Из этих равенств получаем

LM+LP=LMT-(c-2),BM+BP=BMT+2(c-2)+2 .

Так как мы предположили, что теорема верна для M и для T по отдельности, то

SMT=SM+ST=(LM+BM/2-1)+(LT+BT/2-1)=

=(LM+LT)+(BM+BT)/2-2=

= LMT-(c-2)+(BMT+2(c-2)+2)/2-2=

=LMT+BMT/2-1 .

Тем самым, формула Пика доказана.

формулы площадей основных фигур.

h

a

 

a

b

 

a

b

 

a

h

b

 

h

a

 

Сравнение способов дополнения фигуры до прямоугольника и формулы Пика

дополнение фигуры

формула Пика

 

S1 11

S1 11

S1 11

S 11

S1 11

S1=2x3:2x4=3x4=12(см2) S2=4x6=24(см2) S=24-12=12(см2)

S=12cм2

S=11+4:2-1=12(см2)

 

S 11

S3 11

S1 11

S1 11

S2 11

S1=2x3x2:2=6x2:2=12:2=6

S2=3x3:2=4,5 S3=2x2:2=2

S=5x5-(6+4, 5+2)=25-12,5=12,5

S=10+7:2-1=12,5

 

S 11

S1 11

S2 11

S1=4x1:2=2 S2=4x4:2=8

S=4x6-(8+2)=24-10=14

S=9+12:2-1=14

Сравнение способов разбиения фигуры на геометрические фигуры, формулы площадей которых известны и формулы Пика

разбиение фигуры

формула Пика

 

S1 11

S3

S2

S1=1x1=1(см2) S2=1x2:2=1(см2)

S3=1x2:2=1(см2) S=1+1+1=3

S=8:2-1=3(см2)

 

S3

S4

S2

S1

S1=(1+2):2x1=1,5S2=3x1:2=1,5

S3=1x1:2=0,5S4=1x2:2=1

S=1,5+1,5+0,5+1=4,5

S=2+7:2-1=4,5(cм2)

 

S 11

S1 11

S2 11

S1=4x1:2=2 S2=4x4:2=8

S=4x6-(8+2)=24-10=14

S=9+12:2-1=14

ПРОДУКТ ПРОЕКТА

Продуктом проекта стал плакат, который размещён в рекреации около кабинетов математики

ЭЛЕКТРОННАЯ ВЕРСИЯ ПЛАКАТА

(Электронную версию плаката см. приложение 2.)

Этапы создания плаката по теме: «Теорема Пика».

этап

действия

пр-ие

биография

Г.А. Пика

сбор информации из различных источников;

краткое изложение биографии, размещение файла на Яндекс Диске;

создание QR кода

 

теорема Пика

сбор информации из различных источников, выбор наиболее понятного доказательства;

размещения теоремы и доказательства на Яндекс Диске;

 

сравнение решений

разбор и решения наиболее показательного примера, иллюстрирующего целесообразность применения формулы Пика при нахождении площади фигуры на квадратной решётке;

создание таблицы сравнения двух способов;

пр. 3

примеры

решение примеров на нахождение площади из ОГЭ и ЕГЭ

выбор нескольких задач для плаката;

размещение задач на плакате;

размещения решения задач и на Яндекс Диске;

создание QR кодов

пр. 1

пр. 4

фон, графика

выбор фона плаката, удовлетворительного разрешения;

редактирование графики, текста, размещения информации, цвета и т. д.

 

печать плаката

изготовление-печать плаката в школьной типографии

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы над проектом, я убедился в универсальности и простоте формулы Пика для нахождения площадей различных геометрических фигур. Оказалось, что задач на нахождение площадей фигур на квадратной решётке очень много в вариантах ОГЭ и ЕГЭ, было интересно их решить, являясь учеником 6 класса. Формула Пика облегчает и ускоряет нахождение площади многоугольников. Но и она имеет свои недостатки:

1. Чертёж должен быть очень четким (для подсчета узлов);

2. Формула применяется лишь в том случае, если многоугольник изображен на клетчатой бумаге;

3. Формула не имеет аналогов в пространстве.

Знания, которые я получил при работе над проектом, ещё больше подтолкнули меня к изучению интереснейшей науки - геометрия, я с нетерпением жду 7 класса. Наиболее трудоёмкой частью моей работы стал оформление решения задач и создание электронной версии плаката. Выяснилось, что формулы, графики, геометрические фигуры и математические термины на компьютере набираются достаточно долго и тяжело. Но я рад, что получил и этот опыт. Уверен, что мой плакат и выступление на научно-практической конференции школы помогут ребятам лучше подготовиться к экзаменам. Считаю задачи, поставленные перед собой вначале работы выполненными, цель достигнута. При работе над проектом, мне встретились другие задачи на квадратной решётке. На клетчатом листе можно играть, используя клетки, отгадывать кроссворды, судоку. Я планирую продолжить работать над этой темой и преумножить свои знания. Возможно, эта тема станет темой моей будущей проектной или исследовательской работы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Журнал «Квант» [Бумажный ресурс] // Материал №12, 1974 год.

Журнал «Квант» [Бумажный ресурс] //№4, 1977;

Рисс Е.А. Математика на клетчатой бумаге. – Библиотека «Кенгуру», выпуск №8, Санкт-Петербург, «Левша», 2009;

Геометрия на клетчатой бумаге. [Бумажный ресурс] // Материал – Смирнов В.А., Смирнова И.М., Москва, Издательство МЦНМО, 2009.

http://festival.1september.ru

http://www.mathege.ru

Сайт «Решу ОГЭ» [Электронный ресурс] // Материал https://math-oge.sdamgia.ru/

Сайт «Сдам ГИА» [Электронный ресурс] // Материал https://sdamgia.ru/

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1:

Задачи из ОГЭ и ЕГЭ на нахождение площади многоугольника.

(решение проведено с помощью теоремы Пика)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

S=7+8:2-1=10

Найдите площадь трапеции, изображенной на рисунке.

S=32+18:2-1=40

3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1см изображена трапеция. Найдите ее площадь.

S=5+12:2-1=10

4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

S=10+18:2-1=18

5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

S=15+12:2-1=20

6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

S=4+14:2-1=10

7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

S=7+16:2-1=14

8.На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ра­же­на фигура. Най­ди­те её площадь.

S=3+18:2-1=11

9.На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1x1 изоб­ра­же­на фигура. Най­ди­те её площадь.

S=0+22:2-1=10

10.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

S=7+20:2-1=16

11.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

S=36+14:2-1=42

12.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

S=11+16:2-1=18

13.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

S=24+10:2-1=28

14.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

S=5+8:2-1=8

15.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

S=19+4:2-1=20

16.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

S=11+4:2-1=12

17.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

S=31+12:2-1=36

18.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

S=13+8:2-1=16

19.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

S=36+14:2-1=42

20.На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

S=8+10:2-1=12

Приложение 2:

Приложение 3:

Найти площадь четырёхугольника, если длина стороны одной клетки равна 1 см

По формулам

геометрии

По формуле

Пика

 

                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   

=

=

=

=

=1²=1

=7²=49

S=49-3,5-7-2-2,5-1=3

 

S=L+B:2-1

B=4 L=31

S=31+4:2-1=3

Приложение 4:

№1. Найдите площадь многоугольника, если

длина стороны одной клетки равна 1см.

Решение №1.

7 2

Решение: S=2+7:2-1=4,5

№2. Найдите площадь многоугольника, если

длина стороны одной клетки равна 1см.

Решение №2.

6 3

Решение: S=3+6:2-1=5(

№3. Найдите площадь многоугольника, если

длина стороны одной клетки равна 1см.

Решение №3.

                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   

16 9

S=9+16:2-1=16)

№4. Найдите площадь многоугольника, если

длина стороны одной клетки равна 1см.

Решение №4.

                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   

16 19

S=19+16:2-1=26

Просмотров работы: 11