XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Красота математики во фракталах
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В многообразии окружающего мира есть похожие объекты: кроны деревьев, облака, береговая линия моря и пойма рек.
Что в них общего? Неровности!
Несколько столетий математика рассматривала лишь прямолинейные объекты или круглые, подчиняющиеся законам «Евклидовой геометрии». Но как описать «неровности»?
В математике есть похожие на природные объекты фигуры. И только сначала мне казалось, что все это не похоже и в них нет ничего общего.
Благодаря знакомству с фракталами мой взгляд на мир и математику изменился.
Гипотеза исследования.
Есть известное выражение: «Книга природы написана языком математики» (Галилео Галилей). Научиться находить общее в окружающем мире: природе, спецэффектах кинематографа и компьютерных играх, искусстве и медицине. Какими понятиями математики описываются эти объекты?
Проблемы исследования
На уроках мы учимся считать и решать задачи. Можно ли рассматривать и описывать красоты природы через математику?
Как придумали компьютерную графику в кино и играх. Что общего в них с математикой.
Фракталы не изучаются в школьной программе, надо было искать информацию в книгах и интернете.
Цель исследования
Научиться строить фракталы в PAINT.
Создавать модели фракталов.
Выяснить их применение в жизни.
Задачи исследования
Изучить историю фракталов.
Рассмотреть фракталы в природе.
Придумать алгоритм построения фракталов в программе PAINT.
Изготовить 3D модели фрактала.
Печать модели фрактала на 3D принтере.
Объект исследования
Фракталы в природе
Фракталы в искусстве и медицине.
Фракталы в математике
Методы исследования
Теоретические.
Наблюдение.
Практическое моделирование (изготовление моделей).
Обучение рисованию фракталов.
Глава 1. Фрактал
1.1. Фрактал
Фрактал — это узор, составленный из одной и той же геометрической фигуры, которая повторяется бесконечное количество раз в любой его части и в более крупном, и в более мелком масштабе. Само подобная фигура по определению в Википедии.
Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Первое моё знакомство произошло еще во 2 классе, на занятиях кружка «Математика. Логика». Мы рисовали в графической тетради Анны Вельтман «Математика – это красиво!» фрактал «треугольник Серпинского». Я захотела больше узнать об этих фигурах. Треугольник Серпинского получаем из равностороннего треугольника, разбивая каждую сторону на 3 части и вырезая центральный равносторонний треугольник. Повторять этот процесс можно бесконечно. Наш треугольник будет постепенно исчезать, но не исчезнет. Тогда же знакомство с фракталами продолжилось. Это были известные фракталы «Ковер Серпинского» и «Снежинка Коха».
В книге «Атлас математики» о геометрии фракталов пишут, что традиционная геометрия не может быть применена к чрезвычайно неправильным геометрическим формам, как например, к форме какого-нибудь скалистого побережья.
Но Мандельброт говорил, что «нужно думать не о том, что мы видим, а о том, как мы видим». Можно сказать, что фрактал — это узор, который повторяет сам себя в разных масштабах до бесконечно малого или бесконечно большого. Он рождается не просто повторением форм, а скорее повторением процесса, который применяется к форме. Бесконечная цепочка само построения.
Развитие компьютерных технологий дало толчок новым поискам в математике. Компьютерные игры и компьютерные спецэффекты в фильмах так же требовали новых подходов и тогда фрактальная геометрия, геометрия само подобных фигур оказала неоценимую помощь: Построение эффектов из подобных элементов, вырастающих в большое событие.
1.2.Фракталывприроде
Наблюдая за облаками и рассматривая деревья, стала находить фрактальные формы. Само подобные окружают нас по всюду.
Облака вполне само подобная фигура.
А эта капуста сорта Романеско завораживает, как вселенная.
Глядя на карту со спутника, мы вновь видим фрактал в очертаниях реки.
Побережья на карте.
Невозможно точно посчитать протяженность границ государств с береговой линией, так как протяженность границы будет зависеть от масштаба измерений. При более крупном масштабе протяженность будет больше.
Скалы и побережья.
Деревья с корневой системой.
1.3. Фракталывискусствеимедицине
Оказалось, фрактальная геометрия нашла свое применение и в искусстве.
Во времена существования ордена Тамплиеров по всей Европе получил широкое распространение готический стиль архитектуры — воплощение геометрии и фрактальных узоров в камне.
Хокусай «Волна и гора Фудсе, виднеющаяся среди волн» (Британский музей, Лондон).
Восточные узоры яркий пример фрактальных форм. Паттерн (паттерн понимается в этом плане как повторяющийся шаблон или образец) — узора, как элемент фрактала выстраивает фрактальную форму орнамента.
В медицине так же знакомы с фракталами: системы кровообращения, легкие и нервная система, да и все живые организмы можно рассматривать как фрактальные формы. Это часто используется при математическом моделировании процессов в организме.
Легкие, математическая модель.
Система Кровообращения
1.4.Фракталывматематике
Фракталы бывают разных видов:
геометрические;
алгебраические;
стохастические;
Во фрактальной геометрии рассмотрено и описано много разных фракталов, с которыми я познакомилась.
Геометрические виды фракталов являются самыми наглядными и простыми в строении. Увидеть их может любой человек. Множество таких фракталов можно нарисовать на обычном листке бумаги в клетку. Примером являются: Треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Н-фрактал, Т-фрактал, Дракон, Кривая Леви, Дерево Пифагора.
«Снежинка Коха» стала основой фрактальных антенн, которые мы используем в мобильных устройствах. Благодаря такой форме антенны имеют компактный размер с широким диапазоном действия.
Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов, которая получается на основе разных алгебраических формул. Ярким примером является фрактал Мандельброта. В настоящее время их принято отображать в цвете. Получаются красивейшие необычные орнаменты, которые используют, например, в дизайне одежды.
Мне пока не понятно научное обоснование построения этих фракталов, но нарисовать их было интересно.
Мною нарисованные фракталы в PAINT:
Ковер Серпинского
Кривая Дракона.
Стохастические фракталы. Строятся путём хаотического изменения некоторых параметров. При этом получаются объекты, очень похожие на природные. Фракталы данного вида широко применяются в киноиндустрии. С помощью компьютерной графики создаются искусственные горы, облака, поверхности моря, планеты, береговые линии, несимметричные деревья
Глава 2. Экспериментальная часть
2.1. Создание 3D модели «Губки Менгера»
3D модели фракталов – «губка Менгера».
Выполнила 3 модели и из деревянных кубиков и пенопласта.
2.2. Печать на 3D принтере модели «кривой Леви»
Для печати на 3D принтере использовала программу https://www.tinkercad.com/
Получилась прекрасная рамка в форме «Кривой Леви».
2.3. Методика исследования
Теоретическая часть.
Изучала энциклопедию «Атлас математики», графические тетради «Математика – это красиво», «Большой роман о математике. История мира через призму математики» Микаэль Лонэ. Историю математики читали с руководителем, так как есть темы, с которыми мне еще предстоит познакомиться в старших классах. Изучили принципы построения фракталов.
Наблюдения.
Облака и деревья вокруг нас. Капусту обнаружила в магазине. Что касается систем кровообращения и других органов человека, помогал интернет.
2.4. Результаты рисования в PAINT
Прилагаю видеоролик рисования «Кривой Леви».
Алгоритм рисования:
Увеличить лист до максимальных размеров.
Начинать с самого маленького элемента фрактала.
Поворачивая и копируя каждый фрагмент, получаем через несколько шагов готовую фигуру.
2.5. Результаты исследования
Изучены разные виды фракталов.
Изготовлены 3D модели «губки Менгера».
Печать на 3D принтере «Кривой Леви».
Снято видео рисования «Кривой Леви».
Заключение
Математика — это не только числа, задачи, алгоритмы и решения. Это еще и красота окружающего нас мира, которая постоянно развивается. Человеку свойственно не только изучать окружающий мир и описывать его закономерности, но и видеть красоту в изученном.
Когда-то гончары Месопотамии, нанося геометрический орнамент на посуду, не задумывались о закономерностях. А спустя тысячелетия было доказано, что их всего 7 и не может быть больше.
Понимание фрактального устройства упростило многие сферы научных исследований. Удивительная особенность фракталов — повторение аналогичного паттерна в разных масштабах — позволяет нам, изучив малую часть какого-либо события или явления, предполагать об устройстве целого.
Это свойство позволило более точно рассчитывать площади неровных изломанных поверхностей. Например, географических, таких как береговые линии, облака, или биологических – внутренняя поверхность лёгких или нервных волокон.
Мандельброт показал, что новый взгляд на привычные вещи ведет к новым открытиям. И я верю, что мы еще узнаем много нового и интересного в математике.
Список использованной литературы
Анастасия Новых, АллатРа // – К.: Аллатра. – 2013.
Анна Вельтман, Математика — это красиво, графическая тетрадь (часть 1) // Манн, Иванов и Фербер. – 2015.
Анна Вельтман, Математика — это красиво, графическая тетрадь (часть 2) // Манн, Иванов и Фербер. – 2018.
Галынский М. С., Атлас математики, пер. Марчук Н. // Олма-Пресс Эклибрис. – 2004.
Микаэль Лонэ, Большой роман о математике. История мира через призму математики // Бомбора. – 2018.
Федер Е., Фракталы, пер. Данилова Ю. А. и Шукурова А. // – М.: Мир. – 1991.