XII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
3д моделирование для легкого понимания многогранников детьми
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I. ВВЕДЕНИЕ
Любая геометрическая задача начинается с рисунка - и уже на этом этапе у многих школьников возникают трудности. Академик А. Д. Александров говорил, что в геометрии важно развивать пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление. Пространственное воображение - это умение мысленно моделировать и «представлять» различные проекты или конструкции, видеть их внутренним зрением в цвете и деталях.
В школьном курсе математики раздел многогранники один самых необычных. Сделать освоение предмета понятным и простым можно используя предметы или наглядные пособия. В процессе самостоятельного изготовления моделей многогранников, образ создается по частям, с ним легко производить манипуляции, все свойства легко познаются и прочно закрепляются в памяти.
Моё увлечение многогранниками началось случайно, с знакомства с конструктором немецкого педагога Фридриха Фребеля, суть которого собирать из горошин и палочек разнообразные объёмные фигуры (рис.1). Я заменил горох шариками из пластилина (рис.2). Конструируя мне стало интересно, что будет если конструкции видоизменять. Так я начал моделировать из цветного картона и создавать трехмерные модели в программах SKETCHUP чтобы понять преобразование фигур.
Мною было проведено исследование среди учеников 6-ых классов (рис 4), в результате которого сделан вывод о необходимости более подробного изучения не только правильных, но и звездчатых многогранников, а также создания моделей этих геометрических тел различными методами, используя современные технологии. Мною установлено, что сверстникам не известно о существовании удивительных звездчатых многогранников. Данная тема не освещается на уроках в школьной программе при изучении тем о многогранниках. Также была проведена демонстрация конструктора среди учеников 2-ых классов (рис 28), показавшая заинтересованность младших школьников многогранниками и быстрое освоение предложного материала в игровой форме.
Актуальность в важности изучения правильных и звездчатых многогранников и развитии пространственного воображения.
Цель работы: установить доступный и увлекательный способ освоения правильных многогранников школьниками.
Гипотеза: можно учиться, играя.
Я считаю, можно определить легкий способ восприятия правильных многогранников школьниками. Например, создать обучающую игру, конструктор, мобильное приложение и выстроить всё действия вокруг многогранников с целью популяризации и расширения знаний о них.
Задачи данного проекта:
Изучить Платоновы тела и звездчатые многогранники;
Познакомиться с историей изучения многогранников;
Изучить использование многогранников в повседневной жизни;
Выяснить, на каком уровне изучается данная тема в школе;
Изготовить картонные модели многогранников,
Изготовить многогранники в программе SCHETCH UP;
Вести рубрики «геометрические миниатюры» в «в контакте»;
Изучить методики преподавания математики;
Изготовить компьютерную игру на базе UNITY 3D;
Изготовить обучающий конструктор;
Изготовить мобильное приложение;
Провести опрос среди школьников.
Занимаясь моделированием, я расширял свои знания и решил делиться полученной информацией, публикуя статьи на странице Вконтакте «Уроки математики» (https://vk.com/club193339512) в рубриках Геометрические миниатюры и Интересные задачи. Я рассказывал об истории многогранников, тайнах, применении (рис 3). Мне хотелось познакомить сверстников с многогранниками раньше, чем начнется изучение в школе в 10-11 классах.
Практическая значимость. В исследовательской работе проведена практическая разработка алгоритмов создания трехмерных объектов, изготовлены модели многогранников, обучающая компьютерная игра, обучающий конструктор. Ведется разработка мобильного приложения в HTML – редакторе для Android с целью популяризации и увлечения школьников многогранниками. Продукт проекта возможно применить в качестве обучающего наглядного материала на уроках геометрии, истории, изобразительного искусства.
Научная новизна отличается новаторством в исследуемой тематике и применении современных технологий в простой и увлекательной форме для расширения и популяризации представлений о видах и формах правильных и звездчатых многогранниках.
Основная часть.
1. Из истории правильных многогранников.
Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их модели можно найти на резных каменных шарах, периода позднего неолита, в Шотландии. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников (рис 5). В музеях хранятся игрушки и предметы неизвестного назначения, изготовленные в форме правильных многогранников. Например, в одесском археологическом музее хранится икосаэдр, изготовленный примерно в I веке до нашей эры(рис 6), в Галло –римском музее - Римский додекаэдр (рис 7).
Названия правильных многогранников пришли из Греции. Их открытие приписывается Пифагору. Греческий математик Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое доказательство, что их ровно пять, но в мировую историю математики правильные многогранники вошли как Платоновы тела. Ведь именно Платон наделил невероятным мистическим смыслом эти фигуры: огонь соотносился с тетраэдром; воздух - с октаэдром; земля – с гексаэдром; вода – с икосаэдром; додекаэдр соответствовал Вселенной (рис 8).
Различные учёные оставили свой след в изучении многогранников. Леонардо да Винчи мастерил каркасы правильных тел, создал рисунки многогранников для книги Лука Пачолли «О божественной пропорции» 1509 г (рис 9). Альбрехт Дюрер показал, как можно построить из бумаги правильный и полуправильный многогранник, вырезав из бумаги его развертку поверхности и сложив ее по соответственным ребрам (рис10).
Идеи Платона о связи правильных многогранников с устройством мира нашли своё продолжение. В 80-х годах инженеры В. Макаров и В. Морозов высказали интересную научную гипотезу: ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, которое оказывает активное воздействие природные процессы, идущие на планете. Силовое поле лучей этого кристалла, формируют икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции, вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра (рис 11). Доказано, что вдоль них находятся многие залежи полезных ископаемых. Здесь же располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций, наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.
2. Почему эти пять геометрических тел называют - правильные многогранники?
Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в книге «Начал» и доказал, что не существует других правильных многогранников. Многогранник называется правильным, если:
он выпуклый;
все его грани являются равными правильными многоугольниками;
в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.
Существует пять правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Название каждого правильного многогранника связано с числом его граней.
Правильных многогранников, грани которых многоугольники с числом сторон больших пяти, не существует.
3. Основные характеристики. Формула Эйлера.
Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением: Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», то есть Г + В = Р + 2 (рис 13).
Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
Из истории звёздчатых многогранников.
Под очевидным влиянием идей Платона, философы и ученые стали предполагать, что небеса сделаны из пятого элемента «эфира». Эту традицию можно увидеть в иллюстрациях к работе немецкого астронома Иоганна Кеплера Mysterium Cosmographicum, изданной в 1596 году, где космос изображен в форме додекаэдра (рис 12). Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие «звезды Кеплера» (рис 13), правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) (рис 14), и способа их получения – стеллацию (от лат. Stella – звезда, звездчатая форма) (рис15).
Звездчатые фигуры знали в античные времена. Их изображения встречаются в мозаиках. (рис16). Но столетиями математики не признавали их как многогранники из-за того, что их стороны пересекаются. А малый звездчатый додекаэдр называли «Кеплеровским животным» из-за неподчинения формуле Эйлера. Сам Кеплер называл его «ежик» (рис 17).
Основные формы звёздчатых многогранников.
Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней многогранника через рёбра до их следующего пересечения.
Правильный звёздчатый многогранник (Платоново тело) – многогранник, грани которого - равные правильные многоугольники. Например, октаэдр, у него все 8 граней это равносторонние треугольники.
Полуправильный звёздчатый многогранник – многогранники, грани которого – могут быть разные правильные многоугольники. Например, кубооктаэдр, у него грани это 8 равносторонних треугольников и 6 квадратов.
Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур (рис 18).
Основные формы.
Звёздчатый октаэдр.
Существует только одна звёздчатая форма октаэдра «Звёздчатый октаэдр». Изучением этого многогранника занимался сам Леонардо Да Винчи, а затем его работы перенял И. Кеплер. Назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная, по сути она является соединением двух тетраэдров (рис19).
Звёздчатые формы додекаэдра.
Додекаэдр – многоугольник, у которого 12 граней. Додекаэдр является Платоновым тело, грани додекаэдра правильные пятиугольники Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр, большой звёздчатый додекаэдр. Любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением Платоновых тел, а образует новый многогранник (рис 20).
Звёздчатые формы икосаэдра.
Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, среди них есть большой икосаэдр, который является телом Кеплера – Пуансо (рис21).
Первая звёздчатая форма — малый триамбический икосаэдр. Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров.
Звёздчатые формы кубооктаэдра.
Кубооктаэдр имеет 4 звёздчатые формы, удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра (рис 22).
Звёздчатые формы икосододекаэдра.
Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм, первая из которых есть соединение икосаэдра и додекаэдра. Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильными треугольниками (рис23).
ТРЕХМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
1.Алгоритм создания моделей правильных многогранников.
Раздел геометрии о фигурах в пространстве называется стереометрия. Если поверхность многогранника разрезать по некоторым рёбрам, а затем развернуть её на плоскости, то получится фигура, которую называют развёрткой многогранника.
Прежде, чем начать делать объемную фигуру, нужно знать, как она выглядит в пространственном измерении: сколько она имеет граней, вершин, ребер. Для того чтобы было легче представить фигуру, ее нужно изобразить на плоскости (рис 24). Выяснив, из каких элементов состоит фигура, и как они между собой связаны, нужно сделать развертку фигуры на бумаге, с учетом соединительных элементов. Следующий этап - вырезание полученной заготовки и сбор. Таким образом, можно моделировать разнообразные тела.
Алгоритм сбора куба:
Разметить на тетрадном листе шаблона -грани куба – квадрата.
С помощью полученного шаблона, на листе бумаги, из которого будет изготовлен куб, делается раскладка.
Произвольная разметка соединительных элементов.
Вырезание полученной заготовки и последовательное соединение элементов (рис 25).
Алгоритм сборки икосаэдра:
На тетрадном листе сделать шаблон одной из граней икосаэдра (равносторонний треугольник) и вырезать его.
С помощью полученного шаблона на листе бумаги, из которого будет изготовлен икосаэдр, сделать раскладку.
Произвольно дорисовать соединительные элементы, вырезать полученную заготовку.
Последовательно, друг за другом, склеить между собой с помощью соединительных элементов грани икосаэдра (рис 26).
Звездчатые многогранники удивительные фигуры - у них интересные развертки (рис23)! Мною была изготовлена многочисленная коллекция многогранников из картона по разверткам (рис 26).
2. Алгоритм создания трехмерных моделей в Google SketchUP.
Можно делать модели из картона, но быстрее, удобнее, точнее в современных компьютерных программах. SketchUp – программа для моделирования трёхмерных объектов. В ней легко добавлять детали, менять текстуры, размеры моделей, с огромной точностью, а также размещать готовые модели на сервисе Google Earth, делиться ими с другими людьми, разместив на сайте 3D Warehouse или распечатав копии.
Для наглядности я создал модель куба.
Алгоритм создания модели в SketchUp
открываем Google Sketchup.
Создаем нужную модель: рисуем квадрат с помощью инструмента «Прямоугольник»
вытягиваем его вверх инструментом «Вдавить-вытянуть».
Экспортируем модель куба в файл с расширением *.dae (Файл — Экспорт — 3D модель).
Открываем экспортированный ранее файл в программе Pepakura Designer.
Создаем развертку. (Чтобы получить развертку модели нужно нажать на кнопку «Unfold». Если настройки по умолчанию нас устраивают, нажимаем «Ok» и получаем развертку модели).
Сохраняем получившуюся развертку в формате *.pdo (Файл — Сохранить).
Этот самый простой пример дает общее представление о процессе создания 3D моделей и их развертках (рис 26).
Демонстрация продукта проекта. Проведение исследования
Мною было проведено два исследования. Первое сопровождалось ознакомительной лекцией о многогранниках и картонными моделями из моей коллекции. Так же я рассказал об истории их открытия. Исследование проводилось среди учеников 6-ых классов в МБОУ гимназии 12.
Цель этого исследования:
узнать знакомы ли сверстники с многогранниками (Платоновыми телами и звездчатыми многогранниками);
помогли ли продемонстрированные картонные модели в понимании их;
интересна ли им тема многогранников, несмотря на опережение материала учебной программы.
Я провел анкетирование. До демонстрации картонных моделей многогранников задавались вопросы:
слышали ли вы о многогранниках?
интересна ли вам тема многогранников?
видели ли вы какие-либо виды многогранников до лекции?
заинтересовали ли картонные модели в дальнейшем изучении многогранников?
Большинство (88 чел.) ничего не слышали о правильных и звездчатых многогранниках. Семеро слышали, но не видели. Несмотря на то, что большинству (90 чел.) тема многогранников интересна, двое не интересовались совсем. Любопытно, что после демонстрации моделей, все 92 человека заинтересовались изучением многогранников и просили научить их выполнять такие же картонные модели.
Делаю вывод, что тема многогранников сверстникам интересна. И картонное моделирование способно увлечь сверстников изучением многогранников.
Мне стало любопытно, почему двое не интересовались совсем. Оказалось, что модели им понравилась, но им не хотелось возиться с клеем, картоном, ножницами. Тогда я решил показать модели в 3D и способ их построения.
Цель второго исследования:
Понять помогают ли сверстникам фигуры в 3D понять многогранники и вызвали ли они интерес к дальнейшему изучению этой темы. Опрос проводился среди той же самой аудитории.
Мною задавались вопросы:
Понравились ли вам фигуры в 3D?
Помогли ли 3д модели в понимании многогранников?
Легчи ли понять многогранники с помощью моделей 3д?
Всем (92 чел.) тема многогранников интересна. Двоим, не захотевшим конструировать из картона понравились 3Dмодели. Они, как и большинство опрошенных (80 чел.), захотели научиться создавать такие модели. Любопытно, что девочки предпочли конструировать из картона, а мальчики проектировать в 3D.
Делаю вывод, что тема трехмерного проектирования многогранников сверстникам интересна. И трехмерное моделирование способно увлечь сверстников изучением многогранников.
Поиск доступного способа увлечения школьников многогранниками.
Создание игры на UNIT 3D.
Я задумался, как увлечь и мальчиков, и девочек темой многогранников, сделать их запоминание простым, понятным. Я искал способ и задумался о создании игры, в которой это станет возможным. Меня вдохновили идеи доктора педагогических наук, профессора Липецкого государственного педагогического университета Шмакова С.А. который с увлечением писал об ИГРЕ и описывал методики связаны с нею.
Он считал, что игра — универсальное педагогическое средство. Она действует не только на отдельные сферы психики (память, воображение и т.д.), но и на личность в целом, рождает, в основном, положительные чувства, комфортное состояние, оптимистическое мироощущение.
С.А. Шмаков считал игру, как феноменальную деятельность, выводящую ребенка за рамки его непосредственного опыта, любое место, занимаемое им в игре, уникально. В этом плане игра — стратегически тонко организованное культурное пространство развлечений ребенка, в котором он идет от развлечения к развитию. Он показывает игру как фактор, формирующий личность на всех возрастных этапах школьного возраста и за его пределами.
Поэтому я решил создать обучающую компьютерную игру на тему многогранников. По моей задумке, пользователь попадает в игровую среду -лабиринт. Цель игрока – гуляя в лабиринте, собирать встречающие многогранники. Все фигуры вращаются, что позволяет изучить их со всех сторон для легкого поиска ответов на вопросы, позволяющие присвоить фигуры. Всплывающие вопросы ориентированы на знание фигур: количество граней, вершин, ребер. Так же игрок получает поощрение в вид интерактивных монет. Есть табло для проверки формулы Эйлера.
Как показал опрос в результате демонстрации продукта, этот метод изучения многогранников интересен большинству школьников. Меня вдохновил успех игры и, с целью популяризации темы многогранники мною ведется разработка обучающего мобильного приложения на базе HTML- редактора для Android. Приложение вместит в себя подробную информацию о многогранниках, их свойствах, взаимосвязи с природой, архитектурой и искусством.
2. Разработка конструктора.
В процессе работы я заметил, что моя 8-ми летняя сестра, так же увлечена конструированием фигур, легко запоминает их названия. На новогодние праздники в парке нашего города были установлены украшения в виде звездчатых додекаэдров, так сестра увидела их первой (рис 27)! Это натолкнуло меня на поиск способа подачи информации и для младших школьников. Я решил изготовить экологичный и недорогой конструктор из фанеры и липучек (рис 28). Суть - собрать геометрическую объёмную фигуру из основных элементов тел Платона – треугольник, квадрат, пятиугольник, со сторонами 8 см. Элементы независимы и взаимозаменяемы. Легко монтируются в развертки. Себестоимость составила 736 рублей (изготовление фанерных заготовок в количестве 70 штук – 500 рублей на базе ЦМИТ «Новатор» и покупка текстильной липкой ленты – 236 руб.).
3.Демонстрация конструктора младшим школьникам.
Данный конструктор был продемонстрирован ученикам 2-ых классов МБОУ гимназии 12 «Гармония» г. Липецк. Мною было опрошено 3 класса, из которых два гендерных в составе 86 человек (рис 28). Цель демонстрации: познакомить учеников младших классов с Платоновыми телами, установить заинтересованность учениками младших классов многогранниками.
В результате ознакомительной лекции о многогранниках, именно связь с природой впечатляла второклассников и помогала легко запоминать фигуры и их свойств. Конструируя, дети так и говорили: «Собираю вирус», «У меня алмаз, у него 8 ребер». Ребята с удовольствием искали ассоциации - увидели футбольный мяч в додекаэдре, крышу дома в тетраэдре. Собрав половину фигуры или часть, они пытались представить, как будет выглядеть фигура целиком, вращали и меняли элементы местами. Очевидно, включалось пространственное воображение!
Любопытно, что независимо от пола, второклассники предпочитали конструировать сообща, помогая и подсказывая друг другу, активно экспериментировали. Думаю, можно утверждать, что мой конструктор развивает не только пространственное воображение, логическое мышление, творчество, но и учит слаженной командной работе! Эксперимент считаю удачным.
V.Вывод.
Пространственное воображение - важнейший элемент развития ребенка. Именно оно позволяет решать всевозможные задачи наиболее креативным способом, что особо ценно в интеллектуальных и творческих профессиях. Занимаясь исследованием, я довольно скоро заметил, что развил пространственное воображение и мне легче представлять сложные фигуры.
На основе проделанной мною работы можно утверждать, что:
Возможно определить способ легкого и увлекательного освоения многогранников школьниками;
Возможно приобщить широкую возрастную аудиторию школьников;
Возможноразвивать пространственное воображение, логическое мышление, творчество.
Возможно сформировать у детей элементарные математические представления по темам;
Возможно познакомить детей с элементами построения из деталей конструктора;
Приобщать детей к совместному конструированию.
IV.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Я искал способы и методы простого и понятного донесения сложной информации школьникам. Взяв за основу идеи моего земляка, д. п. н, профессора Шмакова С.А., в результате проеденных мною исследований, я определил увлекательные и успешные способы привлечения ребят к изучению многогранников.
Согласно опросов, ребятам тема интересна и любопытна, но в результате непопулярности и скудной освещенности, остается вне их интересов.
Ознакомительные лекции, демонстрация наглядного материала из моей коллекции, апробация компьютерной игры, конструктора, чтение моей страницы в вк значительно увеличило число любителей многогранников и вдохновило нашего учителя математики к проведению «дня геометрии» 29.04.2021 года с обилием мастер- классов и лекций по теме. Количество докладчиков впечатляло: от нашего класса выступало сразу четыре ученика со своими творческими работами (рис 29). Мне понравилась возможность обмена информацией со старшеклассниками, ведь до этого считалось, что мы, шестиклассники слишком малы, чтобы понимать такие сложные фигуры - многогранники!
Скоро я завершу создание приложения и снова покажу его ребятам. Уверен, никто не останется равнодушным!
Проведенною работу считаю нужной, важной и результативной, поскольку подобных обучающих и мотивирующих к изучению многогранников игр, конструкторов и, в скором будущем приложений, нет!
V. Список литературы
1.Веннинджер М. Модели многогранников. — М.: Мир, 1974. — 236 с.
2.Гончар В. В. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8.
3.Волшебные грани — наборы для сборки моделей многогранников. — М.: Многогранники, 2012. — 20 с.
4.Сопов С.П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников. — Украинский геометрический сборник, выпуск 8, 1970. — С. 139-156.
5.И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. правильные и звездчатые многогранники. Москва, МЦНМО, 2010. - 135 с.
6.Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994. – 495
7.Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия.Учебное пособие для V – VI классов. – М: Мирос 1992.
8.Мир многогранников http://www.sch57.msk.ru:8101/collect/smogl.htm
9. История математики http://mschool.kubsu.ru/
10. Библиотека электронных учебных пособий http://www.ega-math.narod.ru/
11. Популярная математика http://www.uic.ssu.samara.ru/~nauka/index.htm
12. «В мире науки» http://www.mccme.ru/
13.Google SketchUP.
14.Шмаков, Сталь Анатольевич. Ее величество - игра : Забавы, потехи, розыгрыши для детей, родителей, воспитателей / С. А. Шмаков. - М. : МИП NB Магистр", 1992. - 160 с.; 20 см.
15.Зверева, Е. Е. Магницкий и его «Арифметика» / Е. Е. Зверева, В. В. Маеренкова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2016. — № 6 (9). — С. 33-35
Приложение 1
Рис 1. Гороховый конструкторнемецкого педагога Фридриха Фребеля.
Рис.2 Мои работы конструирования по методу Фребеля. Попытки комбинировать картонное моделиривоние и каркасное.
Рис3. Фрагменты моих публикаций на математической странице в контакте.
Рис 4 Проведение исследования в параллели 6 классов на базе МБОУ гимназии 12. Отчет о мероприятии на странице в контакте. Результаты исследования.
Результаты анкетирования учеников 6-ых классов.
Рис 5. Резные каменные шары— артефакты из раскопок Великобритании. Наиболее древние относятся к позднему неолиту, самые поздние— к раннему железному веку. На некоторых нанесён довольно сложный резной орнамент.
Рис .6 Икосаэдр, изготовленный примерно в I веке до нашей эры.
Рис 7. Римский додекаэдр, найденный в Тонгерене (Бельгия), 375—450 гг. н. э. Хранится в Галло –римском музее.
Рис.8 Правильные тела втеории Платона. Огонь соотносился с тетраэдром; воздух –с октаэдром; земля – с гексаэдром; вода – с икосаэдром; додекаэдр соответствовал Вселенной.
Все многогранники Платона можно представить в виде комбинации правильных многоугольников
Рис 9. Леонардо да Винчи мастерил каркасы правильных тел. Он выполнил рисунки многогранников для книги Лука Пачолли «О божественной пропорции».
Рис 10 Альбрехт Дюрер показал, как можно построить из бумаги правильные многогранники, вырезав из бумаги развертки поверхностей и сложив их по соответственным ребрам.
Рис 11 Икосо - додекаэдровая структуру Земли.
Рис 12. Иллюстрации к работе Иоганна Кеплера Mysterium Cosmographicum, изданной в 1596 году, где космос изображен в форме додекаэдра.
Рис 13 теорема Эйлера
Рис.14 Звезда Кеплера.
Рис 14. Тела Кеплера- Пуансо. Звездчатые многогранники.
Рис 15 Принцип образования звездчатых многогранников, открытый Кеплером – стеллация (от лат. Stella – звезда, звездчатая форма)
Рис 16 Малый звездчатый додекаэдр работы Паоло Уччело. Рисунок находится на полу в Соборе Святого Марка в Венеции.
Рис.17 «Кеплеровское животное», «Ежик». Малый звездчатый додекаэдр
Рис 18. Снежинки— это звездчатые многогранники.
Рис 19 Звезда Кеплера. Звездчатый октаэдр.
Рис 20 Звездчатые формы додекаэдра
Додекаэдр Малый звездчатый додекаэдр Большой додекаэдр Большой звездчатый додекаэдр
Рис 21 Звездчатые формы икосаэдра
Икосаэдр Большой икосаэдр Соед.5 октаэдров Соед. 5 тетраэдров Соед. 10 тетраэдров
рис 22 Звездчатые формы кубооктаэдра.
Кубооктаэдр первая звезд. форма вторая звезд.ф третья звезд.ф. четвертая звезд.ф
Рис 23 Фрагмент разверток многогранников и их модели из моей коллекции
Рис 24 Пример изображения фигур на плоскости
Р ис 25 Фото этапов создания модели куба из картона.
Рис 26 фото этапов сборки икосаэдра из картона.
26. Скриншоты этапов по 3д моделированию в Google Sketchup.
Рис 27. Фото новогодних украшений в г. Липецк, изображение звездчатого додекаэдра.
Рис 28. Демонстрация конструктора ученикам 2-ых классов.
Рис 29. Скриншоты страницы «в контакте» гимназии 12 г. Липецка 29.04.2021 года с «Дня геометрии».