XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Визуальное Python-моделирование орбит для построения перспективных группировок космических аппаратов
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Цель работы заключается в определении необходимого количества космических аппаратов (КА), один из которых постоянно находится в зените над заданной точкой.
Такое расположение КА является самым выгодным для решения многих задач, потому что информационный поток и луч, радиоволны или оптические сигналы, проходят через атмосферу Земли по самому короткому пути. Значит, информация меньше всего искажается от возмущения атмосферой.
Для экваториальных орбит решение этой задачи известно. Необходимо вывести спутник на геостационарную орбиту (ГСО). Для не экваториальных орбит задача не тривиальна, потому что центр тяготения должен находиться в плоскости траектории в соответствии с первым законом Кеплера. Необходимо рассмотреть движение КА относительно вращающейся Земли, то есть построить орбитальную трассу. Точность моделирования движения спутника требует получать большие массивы данных, обрабатывать которые удобно графическим способом. В связи с этим было предложено решить задачу на языке программирования Python. Это алгоритмический язык высокого уровня, специально предназначенный для моделирования сложных процессов с удобным для пользователя представлением результатов.
Для ускорения отладки программы сначала было выполнено моделирование орбиты и трассы известного КА «Молния». После подключения к транслятору Python графического модуля была проверена правильность работы простейшей программы, которую потом решено было постепенно наращивать.
Визуальное отображение результатов моделирования трассы КА было главным требованием к программе. На основе визуальных результатов была выполнена обработка больших массивов данных для построения перспективных орбитальных группировок КА, находящихся в зените над заданной областью Земли. Определено минимальное количество КА для постоянного выполнения поставленной задачи.
Моделирование круговой орбиты КА
Первый шаг – моделирование простейшей круговой орбиты. В качестве простейшего программного продукта был составлен код для визуального отображения результатов моделирования круговой орбиты КА. Круговая орбита была задана параметрически: ; . В этих формулах r – удаление КА от центра тяготения, - угол, который изменяется от 0 до 360 градусов. Шаг 1 градус выбран только для удобства отладки программы и уменьшения времени моделирования одного витка. В дальнейшем этот шаг будет уменьшен. Целью такого простейшего моделирование стало получение первого блока программы с исправлением типичных методических и алгоритмических ошибок: порядок выполнения арифметических операторов, градусная и радианная мера, масштабирование изображения, удобное расположение диалоговых окон и т.д.
Для примера на рис.1 показан отладочный вариант программы. Визуальное отображение результата сразу позволило найти программную ошибку – в тригонометрических функциях аргумент нужно задавать в радианах, а не в градусах. При градусном аргументе точки располагаются на окружности не равномерно, как это видно в левой части рисунка. После перехода к радианной мере точки стали располагаться на окружности равномерно, что показано в правой части рисунка.
Рис.1. Первый шаг отладки программы – круговая орбита КА
Моделирование эллиптической орбиты КА
Второй шаг разработки программы был связан с переходом к эллиптической орбите. Сразу же были введены реальные исходные данные, найденные для спутника связи «Молния»: наклонение 62,8 градуса, высота апогея 39448000 м, высота перигея 933000 м, эксцентриситет 0,725. Для построения эллиптической орбиты достаточно было дополнить разработанную ранее программу для круговой орбиты блоком расчёта удаления r КА от центра Земли. Если для окружности параметр r, то для эллипса удалённость определяется из уравнения. Так как угол был уже задан в предыдущей программе пошаговым изменением за один оборот по орбите, то была применена формула для построения эллипса через фокальный параметр p и эксцентриситет e. Вот эта формула: . Начальное значение угла было задано нулевое, то есть , поэтому эллиптическая орбита начинает моделироваться от точки перигея. Это так, потому что косинус нуля принимает максимальное значение 1, знаменатель будет максимальным, а дробь минимальной. Параметр p для эллиптическое орбиты КА «Молния» был вычислен по формуле Его значение равно p=45819210 м. На рис.2 показан результат визуального моделирования эллиптической орбиты КА «Молния».
Рис.2. Второй шаг отладки программы – эллиптическая орбита КА
Система отсчёта времени движения КА
Третий шаг в разработке программы связан с введением отсчёта времени. До сих пор работа проводилась в системе координат без учёта продолжительности движения КА по орбите. По второму закону Кеплера, то есть закону площадей, движение КА в апогее замедляется. С точки зрения моделирования это означает, что КА «прыгает» по выбранным точкам с шагом в 1 градус, но находится в этих точках различное время. В перигее это время минимально, потому что скорость движения максимальна, а апогее – наоборот. Решать сложное транстендентное уравнение для времени движения КА по участку эллиптической орбиты сложно и долго, поэтому был предложен упрощённый метод, разработанный в статье Э.Д.Папиашвили [2]. Этим методом пользовался И.В.Усатый для построения необычной трассы КА, но не применяя при этом визуальный режим, работая на языке программирования «Си» [3]. Суть этого метода заключается в определении площади эллипса орбиты и сопоставлении её с периодом T обращения спутника. Площадь эллипса равна , где a и b – большая и малая полуоси эллипса соответственно. Большая полуось вычисляется в программе по известной формуле через высоты апогея и перигея и радиус Земли . Радиус Земли R3=6371210 м. Малая полуось вычисляется по своей формуле , где для фокального параметра было применено выражение Площадь эллипса была сопоставлена периоду обращения КА по орбите . Гравитационный параметр Земли . Продолжительность нахождения КА в моделируемой точке сопоставляется с площадью сектора, сначала это был 1 градус. Так как после отладки программы шаг изменения угла можно выбирать любым, очень малым, лишь бы программа работала реально не очень долго, то предполагалось, что удалённость r тоже изменяется ступенчато. Тогда площадь сектора эллипса приблизительно равна площади сектора круга . Из пропорции получилась формула для определения продолжительности нахождения КА в заданной точке моделирования . Для проверки правильности полученного результата массив данных о времени нахождения КА «Молния» в моделируемых точках был представлен графически в отдельном окне экрана.
Для учёта вращения Земли при построении трассы КА надо будет знать угловой поворот географической системы координат. Для этого необходимо выполнить суммирование продолжительностей нахождения КА во всех предыдущих точках . Программа была дополнена оператором суммирования, и результат тоже был представлен в отдельном окне экрана.
На рис.3 представлено моделирование времени движения КА по орбите. Для повышения иллюстративности результата эксцентриситет орбиты КА «Молния» е=0,725 был искусственно увеличен до е=0,95. Конечно, реально такая орбита не может быть реализована, потому что КА врежется в Землю. Но для отладки программы вытянутый эллипс намного удобнее из-за резкого различия времени движения КА в перигее (быстрое движение) и апогее (медленное движение)
Рис.3. Третий шаг отладки программы – моделирование времени
Для учёта времени движения КА по эллиптической орбите был выбран отсчёт от точки перигея. Это означает, что секундомер включается в момент прохождения аппаратом перигея орбиты, и фиксирует две величины времени. Первая величина – продолжительность нахождения КА в текущей моделируемой точке орбиты. Пикообразный график её изменения показан слева от эллипса. Резкий пик означает, что КА надолго зависает в точке апогея, но очень быстро проскакивает точку перигея, что полностью соответствует второму закону Кеплера (закону площадей). Вторая величина – время движения КА от точки перигея до текущей точки эллиптической орбиты. Её график показан в левой верхней части экрана. Эта величина вычисляется на основе предыдущих значений. Она нужна для учёта вращения Земли, для вычисления угла поворота планеты к моменту прохождения аппаратом текущей точки орбиты с началом отсчёта времени от точки перигея. Верхний график – это следствие нижнего графика. Накопление времени происходит очень быстро в апогее (средняя часть графика), потому что там КА находится намного дольше, чем в перигее.
Учёт наклонения плоскости орбиты
Четвёртый шаг в составлении программы – поворот плоскости орбиты КА относительно экватора на величину наклонения i. Сначала до сих пор предполагалось, что орбита лежит в плоскости экватора, поэтому z=0. Из математического справочника были взяты формулы для пересчёта исходных координат КА в новые, в повёрнутой системе координат. После учёта наклонения орбиты получаются координаты точек, моделируемых в повёрнутой декартовой системе
Удалённость r от центра тяготения, то есть от центра Земли уже определена. Угол поворота от перигея задаётся по-прежнему, пока с шагом 1 градус от 0 до 360 градусов. Наклонение i плоскости орбиты КА к плоскости Экватора Земли задано, для КА «Молния» оно равно i=62,8 градуса. Получение новых массивов трёх координат моделируемых точек с точки зрения программирования затруднений не вызывает. На рис.4 слева от эллипса показано изменение трёх прямоугольных декартовых координат в инерциальной системе координат, то есть без вращения Земли. Для удобства анализа графики сдвинуты по вертикальной оси. Координата x1 сначала убывает, а потом возвращается к исходному значения. Координата y1 изменяется гармонически в противофазе с координатой x1. Координата z1 показывает подъём КА над плоскостью Экватора Земли, а затем возвращение обратно.
Рис.4. Переход к трёхмерной системе координат (наклонение орбиты)
Построение трассы КА в географических координатах
(методика, начало отладки программы)
В принципе, вполне реально представить три эти массива графически, но они не иллюстративны. Но эти массивы необходимы для заключительного пятого шага - построения трассы КА с учётом вращения Земли в географических координатах «широта-долгота»
Расчётные формулы взяты из справочника и статьи Э.Д.Папиашвили [2]. При повороте Земли за счёт её вращения вокруг своей оси не изменяется географическая широта. Но географическая долгота уменьшится на угол поворота Земли за время движения КА от точки перигея до текущей моделируемой точки орбиты. Именно уменьшится, а не увеличится, потому что за основу взяты прямые орбиты КА, когда для выведения используется скорость вращения Земли, аппарат запускается с запада на восток.
На рис.5 показан процесс отладки программы построения трассы КА.
Рис.5. Отладка программы – исправление ошибки разрыва линии
Траектория и трасса КА не может иметь разрыв. В этой программе разрыв получился из-за особенностей функции тангенса и обратной функции арктангенса. Разрыв получился для географической долготы. Устранение этого разрыва было выполнено введением двух условных операторов для учёта областей определения и областей значения функций тангенс и арктангенс.
fe = (math.atan(z_1/((x_1 ** 2 + y_1 ** 2)** 0.5))) * 180 / Number_Pi
lya = (math.atan(y_1 / x_1) - omz * sp_for_point[0]) * 180 / Number_Pi
if x_1 < 0:
lya += 180
if x_1 > 0 and y_1 < 0:
lya += 360
После исправления первой ошибки разрыв в линии исчез, но всё равно трасса получилась не такой, как у КА «Молния». На рис.6 показан результат отладки непрерывности линии трассы КА. Следующий шаг – поиск программной ошибки и приведение трассы в соответствие известной линии.
Рис.6. Отладка непрерывности, переход к отладке соответствия
Выводы
1. Визуальное программирование позволяет быстро создавать программные модули для моделирования движения КА по орбите.
2. Визуальный результат позволяет ускорить процесс отладки программы.
3. Визуальные программы позволяют проверить соответствие модели реальности, а потом перейти к синтезу новых космических орбит для решения практических задач современности.
Список литературы
Меньшиков В.А., Перминов А.Н., Урлич Ю.М. Глобальные проблемы человечества и космос. – М.: «Изд. МАКД», 2010. – 570 с.
Папиашвили Э.Д. 4-й курс, РУДН. Формирование орбиты космического аппарата для дистанционного зондирования вдоль земной параллели / Научно-методическое издание: Материалы XXXI конференции "Современные информационные технологии в образовании". Ред. группа: Алексеев М.Ю. и др. - Фонд новых технологий в образовании "БАЙТИК", ИТО-Троицк-Москва, 2-3 июля 2020. - 572 с. - ISBN 978-5-89513-468-9. - С.534-536.- Эл. ресурс: https://lk-ito.bytic.ru/uploads/files/materials.pdf
Усатый И.В. Компьютерное моделирование орбиты космического аппарата с необычной трассой / Д25 ХХ Школьные Харитоновские чтения. Межрегиональная олимпиада школьников "Будущие исследователи - будущее науки". Тезисы. Составили Константинова О.В., Селина М.Д., Яшнова В.В. - Саров: ФГУП "РФЯЦ-ВНИИЭФ", 2020. - 255 с. - Ил. - Секция 2 "Информатика". - С.54-56. - УДК 016. - ББК 72. - Д25.
Матрица поворота. – Электронный ресурс: https://ru.wikipedia.org
Приложение. Результат проверки статьи в системе «Антиплагиат» Text.ru с показателем 92,7%.