Теория вероятности и ее применение

XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2021

Теория вероятности и ее применение

Тюленева А.А. 1
1МБОУ СОШ 15
Саркисова Г.А. 1
1МБОУ СОШ 15
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность данного исследования связана с научными открытиями теории вероятности, с применением этих методов в практических задачах, которые могут встречаться в таких науках как экономика, физика, химия, генетика и другие технические науки.

Новизна работ в основном связана с применением методов теории вероятности в решении практических задач.

Цель исследования – познакомить учащегося с основами теории вероятности с теоретическими и практическими, в том числе и для решения сложных задач.

В соответствии с поставленной целью исследовательского проекта решаются следующие задачи:

Выяснить основные понятия теории вероятностей и формулы нахождения вероятности событий

Научиться рациональным способом решать задачи

Создать сборник задач по теории вероятностей для подготовки к ЕГЭ

Практическая значимость. Вероятностные схемы широко применяются в физике, химии, генетике, экономике и технических науках. Поэтому все эти задачи рассмотрены в данном сборнике задач по теории вероятности для ЕГЭ.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Возникновение данной науки связано с желанием людей разбогатеть в игры в кости и казино. В данных играх возникло два основных вопроса, которыми и заинтересовались великие ученые - математики:

- Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?

- Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?

Таким образом, азарт и жажда разбогатеть дали толчок возникновению новой чрезвычайно существенной математической дисциплины: теории вероятностей. В разработке ее основ принимали участие математики такого масштаба, как Паскаль и Ферма, Гюйгенс (1629—1695), который написал тракта «О расчетах при азартных играх», Яков Бернулли (1654—1705), Муавр (1667—1754), Лаплас (1749— 1827), Гаусс (1777—1855) и Пуассон (1781—1840). В наше время теория вероятности используется почти во всех отраслях знаний: в статистике, синоптике (прогноз погоды), биологии, экономике, технологии, строительстве и других научных направлениях. [1]

Первые задачи вероятностного характера возникли в различных азартных играх — костях, картах и других азартных играх (см. рисунок 1).

Рисунок 1 – Азартные игры и теория вероятности

Французский каноник XIII века Ришар де Фурниваль правильно подсчитал все возможные суммы очков после броска трёх костей и указал число способов, которыми может получиться каждая из этих сумм. Это число способов можно рассматривать как первую числовую меру ожидаемого события, аналогичную вероятности. [1]

В XVII веке начало формироваться отчётливое представление о проблематике теории вероятностей и появились первые математические (комбинаторные) методы решения вероятностных задач. Основателями математической теории вероятностей стали Блез Паскаль и Пьер Ферма (см. рисунок 2).

Рисунок 2 – Блез Паскаль и Пьер Ферма

Блез Паскаль в своих трудах далеко продвинул применение комбинаторных методов, которые систематизировал в своей книге «Трактат об арифметическом треугольнике» (1665). Опираясь на вероятностный подход, Паскаль даже доказывал (в посмертно опубликованных заметках), что быть верующим выгоднее, чем атеистом.

На книгу Гюйгенса опирались появившиеся в начале XVIII века трактаты Пьера де Монмора «Опыт исследования азартных игр» (опубликован в 1708 и переиздан с дополнениями в 1713 году) и Якоба Бернулли «Искусство предположений» (опубликован уже после смерти учёного, в том же 1713 году). Последний имел для теории вероятностей особенно большое значение.

В XIX веке число работ по теории вероятностей продолжало расти, были даже компрометирующие науку попытки распространить её методы далеко за разумные пределы — например, на область морали, психологии, юриспруденции и даже богословия. В частности, валлийский философ Ричард Прайс, а следом за ним и Лаплас, считали возможным рассчитать по формулам Байеса вероятность предстоящего восхода Солнца, Пуассон пытался провести вероятностный анализ справедливости судебных приговоров и достоверности показаний свидетелей. Философ Дж. С. Милль в 1843 году, указав на подобные спекулятивные применения, назвал исчисление вероятностей «позором математики». Эта и другие оценки свидетельствовали о недостаточной строгости обоснования теории вероятностей.

Математический аппарат теории вероятностей тем временем продолжал совершенствоваться. Основной сферой её применения в тот период была математическая обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности, а также расчёты рисков в страховом деле и других статистических параметров.[2]

В XIX, XX и XXI столетиях теория вероятностей проникает сначала в науку (астрономию, физику, биологию), потом в практику (сельское хозяйство, промышленность, медицину), и наконец, после изобретения компьютеров, в повседневную жизнь любого человека, пользующегося современными средствами получения и передачи информации.[2]

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Теория вероятности появилась как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат конкретные закономерности. Теория вероятности исследует данные закономерности.

Теория вероятностей занимается изучением событий, наступление которых достоверно неизвестно. Она позволяет судить о степени вероятности наступления одних событий по сравнению с другими.

Событием назовем всякий возможный факт, который

в результате опыта может произойти или не произойти.

Различают три вида событий:

1) невозможное – событие, которое в результате опыта

произойти не может;

2) достоверное – событие, которое в результате опыта

произойдет обязательно;

3) случайное – событие, которое в результате опыта

может произойти, а может не произойти.( Основное понятие теории вероятностей)

Вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов: 

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных исходов, а m — количество благоприятных исходов.

Равновозможными называются события, имеющие одинаковую возможность для их появления. Полная группа событий – это совокупность единственно возможных событий при данном испытании.

Пример:

Выпадение «орла» или «решки» при одном бросании монеты.

Два случайных события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу событий. Событие, противоположное событию A, обозначают Ā. [3]

Пример № 1. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.

Решение: Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна 1 − 0,19 = 0,81.

Свойства:

Вероятность достоверного события равна единице

Вероятность невозможного события равна нулю

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A)≤1

События называют независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события называют зависимыми.

Пример №2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение: Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий: 0,94·0,94 = 0,8836.

События называют несовместными, если наступление одного из них исключает появление других событий в данном опыте. В противном случае события называют совместными.

Пример №3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Суммой (объединением) двух событий А и В называют событие, заключающееся в том, что происходит по крайней мере одно из событий А и В.

Теорема о сложении вероятностей.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: P(A + B) = P(A) + P(B)

Теорема о сложении вероятностей 2.

Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A*B)

Если случайные события A1, A2,..., An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

 P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1. Такие события используются при решении задач на полную вероятность.

Произведением (пересечением) событий А и В называют событие, заключающееся в том, что происходят оба события и А, и В.

Теорема об умножении вероятностей.

Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле: P(AB)=P(A)P(B)

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

Разберем подробно все виды задач по теории вероятности, которые могут встречаться в ЕГЭ.

Задача 1. На борту самолета 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Волков высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру Волкову достанется удобное место, если всего в самолете 300 мест.

Решение:

В самолете 12 + 18 = 30 мест, удобных для Волкова. Всего в самолете 300 мест. Пример такого места представлен на рисунке 3.

Рисунок 3 – Место в самолете с запасным выходом

Поэтому нам необходимо количество удобных мест для Волкова и таких же высоких пассажиров разделить на общее количество мест в самолете. Поэтому вероятность того, что пассажир Волков получит удобное мест, равна 30 : 300 = 0,1.

Ответ: 0,1

Задача 2. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение:

Проработав год, чайник может либо сломаться на второй год, либо благополучно служить и после 2 лет работы. Рассмотрим эти случайные события более подробно:

P(А) – чайник прослужит больше года, но меньше двух;

P(B) – чайник прослужит более двух лет;

P(C) – чайник прослужит ровно два года.

Так как эти три события несовместны (не могут произойти одновременно), то вероятность суммы этих событий равна сумме вероятностей каждого из них:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

Вероятность события A требуется найти по условию задачи. Вероятность события B дана и равна P(B)=0,87. Вероятность события C равна нулю, так как связана с тем, что чайник должен выйти из строя точно в определенный час, минуту, секунду и т.д. (можно продолжать сколько угодно до долей секунды). Сумма всех трех вероятностей равна 0,93, так как P(A+B+C) – это вероятность возникновения или события А, или события B, или события C.

Представим решение данной задачи графически (см. рисунок 4)

Рисунок 4 – События поломки электрического чайника

Проведем расчёт вероятности поломки электрического чайника:

P(A)=P-P(B)=0,93-0,87=0,06.

Ответ: 0,06

Задача 3. Говорят, что в старину каждый десятый на Руси был Иван, в каждый двадцатый Петр. Если это верно, то кого было больше: Иванов Петровичей или Петров Ивановичей?

Решение:

Подсчитаем вероятности двух событий:

P(A) - случайно выбранного мужчину зовут Иван Петрович

P(B) - мужчину зовут Петр Иванович

Произведем расчет вероятности, что каждого мужчину зовут либо Иван, либо Петр – так как каждое случайное событие стремится к успешному выполнению, то числитель будет равен 1. Для этого:

P(A)=1/10=0.1 – это вероятность первого случайного события.

P(B)=1/20=0.05 – это вероятность второго случайного события.

Далее применяя теорему умножения вероятностей, произведем расчет. Вероятность быть Иваном Петровичем для жившего в старину россиянина равна: 0,1*0,05=0,005. Мы перемножили вероятности того, что наш древнерусский житель – Иван и что его отца зовут Петр. А вероятность оказаться Петром Ивановичем точно такая же: 0,05*0,1=0,005.

Ответ: 0,005 – это значит, что при смене комбинаций, количество мужчин с именами Иван и Петр одинаково.

Задача 4. Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй- два. Вероятность застрять с грузом снега при подъёме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25- для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

Решение:

Вероятность для первого грузовика благополучно одолеть горку 1-0,2 = 0,8. Для второго 1-0,25 = 0,75.

Поскольку первый грузовик должен сделать 3 рейса, а второй – два, грузовики ни разу не застрянут на горке с вероятностью 0,8* 0,75* 0,8*0,75*0,8 = 0,36*0,8 = 0,288 – в данном случае опять применятся формула умножения вероятностей, но при этом учитывается, что грузовик первый едет три раза, а второй два раза.

Ответ: 0,288

Задача 5. Мини-пекарня продает пирожки с мясом, однако в среднем 2 пирожка из 10 оказываются без мяса. Покупатель купил 2 пирожка. Найдите вероятность того, что, хотя бы в одном из них найдется мясо.

Решение:

Для того, чтобы решить данную задачу необходимо нарисовать схему возможных исходов (см. рисунок 5):

Рисунок 5 – Возможные исходы при покупке двух пирожков

Благоприятные исходы в этой задаче – когда мясо будет только в первом пирожке, только во втором или в обоих. Не подходит только случай, когда оба пирожка окажутся без начинки – но для этого случая все равно вычисляем вероятность: 0,2*0,2 = 0,04.

После того, как вычислили случай без начинки, вычислим вероятность благоприятных исходов (что, хотя бы один из пирожков с мясом или в обоих случаях есть начинка): 1- 0,04 = 0,96.

Ответ: 0,96

Задача 6. Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит, в период экономического роста равна 0,04, а в период экономического кризиса 0,2. Вероятность начала экономического кризиса оценивается в 0,45. Чему равна вероятность того, что клиент не вернет кредит?

Решение:

Для того, чтобы решить данную задачу необходимо нарисовать схему возможных исходов (см. рисунок 6).

Рисунок 6 – Возможные исходы для клиента банка

По условию задачи, экономический кризис начнется с вероятностью 0,45. С вероятностью 0,55 будет экономический рост – это первый исход, вторым исходом будет связана конкретно с клиентом банка.

Вероятность того, что клиент не вернет кредит, равна 0,55*0,04+0,45*0,2=0.112. Для решения данной задачи воспользовались формулой суммой вероятностей и перемножением. Однако следует учесть те исходы, когда клиент при любом раскладе возвращает кредит – при экономическом кризисе – 0,96; при экономическом кризисе – 0,8. Но по условию задачи эти исходы нам не интересны, поэтому их мы в расчете не учитываем.

Ответ: 0,112.

Задача 7. Склад оборудован двумя датчиками сигнализации различной конструкции, которые подают звуковой сигнал, если в помещение проникает посторонний. Вероятность выхода из строя в течение года для первого датчика равна 0,1 и второго 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы один датчик сигнализации останется исправным.

Решение:

Для того, чтобы решить данную задачу необходимо нарисовать схему возможных исходов (см. рисунок 7).

Рисунок 7 – Возможные неблагоприятные исходы для датчика

Нам подходят все исходы, кроме одного - когда в течение года сломались оба датчика. Вероятность этого неблагоприятного для нас исхода равна 0,1*0,2=0,02.

Вероятность благоприятного исхода (хотя бы один датчик сработал) равна 1-0,02=0,98 – для этого следует учитывать, что два датчика не работают вообще.

Ответ: 0,98

Задача 8. По статистике, только 10% из тех, кто создаёт свой первый бизнес, достигают успеха. Из тех, кто вторично открывает свое дело, успеха достигают 90%. При этом только 8% из тех, у кого первый бизнес оказался неудачным, готовы стартовать еще раз. Найдите вероятность сознания успешного бизнеса с первой или второй попытки.

Решение:

Для того, чтобы решить данную задачу необходимо нарисовать схему возможных исходов (см. рисунок 8).

Рисунок 8 – Благоприятные исходы

Проведем расчеты благоприятных исходов. Вероятность достичь успеха в бизнесе с первой попытки равна 0,1. Вероятность достижения успеха со второй попытки равна 90%(0,9). Но эту вторую попытку еще надо рискнуть сделать, и на это способны только 8%(0,08) из тех, у кого не получилось с первого раза – но как и для первого раза, во второй раз используем благоприятные исходы: 10% (0,1)- удачно; 90%(0,9) - неудачно.

. Получаем: P= 0,1+0,9*0,08*0,9=0,1648 - вероятность создания успешного бизнеса с первой или второй попытки. Для данного расчёта использовали формулу суммы вероятностей случайных событий.

Ответ:0,1648

Задача 9. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Для решения данной задачи, необходимо помнить, что Петя мог переложить 3 монеты в другой карман так, чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, следующими вариантами, представленные в таблице 1.

Таблица 1 – Варианты вероятностей

1 вариант

     

5 рублей

10 рублей

10 рублей

2 вариант

     

10 рублей

5 рублей

10 рублей

3 вариант

     

10 рублей

10 рублей

5 рублей

2.Рассчитаем все три варианта вероятности. Для первой вероятности:

Данное выражение было получено так. Изначально всего 6 монет, две из них пятирублевые, следовательно, с вероятностью 2/6 выбирается первая пятирублевая монета. После этого в кармане остается 5 монет и вероятность выбора десятирублевой составляет 4/5. Затем, остается 4 монеты и 3 из них десятирублевые, поэтому последний множитель 3/4. По аналогии определяются вероятности для второго и третьего вариантов:

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих несовместных событий:

P=P1+P2+P3

P= 0.2+0.2+0.2=0.6

Ответ: 0.6 – это вероятность того, что, хотя бы в разных карманах будут лежать пятирублевые монеты.

Задача 10. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

Решение:

Решить данную задачу можно без применения формул комбинаторики.

Пусть одна из девочек заняла место за круглым столом. Тогда за столом остаётся 8 свободных мест. Вторая девочка может занять место слева или справа от первой, то есть благоприятных исходов два. Значит, вероятность того, что обе девочки сидят рядом, равна 2/8=1/4

Ответ: 0,25

Задача 11. В классе 26 человек, среди них два друга- Андрей и Сергей. Класс случайным образом разбивают на 2 группы по 13 человек. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Решение:

Пусть Андрей первым занял место в группе (неважно, в какой). И кроме него осталось еще 25 человек, среди которых его друг Сергей. Сколько у Сергея шансов оказаться в той же группе, что и Андрей?

В группе должно быть 13 человек, то есть Андрей и еще 12. Значит, вероятность того, что Сергей окажется в той же группе, что и Андрей, равна 12/25=0,48.

Ответ: 0,48

Задача 12. Монету бросают 10 раз. Во сколько раз событие "Орел выпадает ровно 8 раз" более вероятно, чем событие "Орел выпадет ровно 9 раз"?

Решение:

Начнем с числа возможных исходов. Если мы бросаем монету, возможных исходов два - орел или решка (см. рисунок 9).

Рисунок 9 – Орел и решка при первом броске

Бросим монету два раза. И вот уже 4 возможных исхода, которые представлены в таблице 2.

       

Решка-решка

Решка-орел

Орел-решка

Орел-орел

Это значит, что, каждый следующий бросок монеты увеличивает число возможных исходов в 2 раза (орел или решка). Для 10 бросков монеты количество возможных исходов, очевидно, равно 210. По определению, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Каждый следующий бросок монеты увеличивает число возможных исходов в 2 раза (орел или решка). Для 10 бросков монеты количество возможных исходов, очевидно, равно 210 . По определению, вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Рассмотрим случай, когда орел выпадет ровно 9 раз из 10 бросков монеты. Это значит, что решка выпала 1 раз. Это могло произойти при первом броске, при втором, при третьем... и, наконец, при десятом, всего 10 благоприятных исходов. Вероятность выпадения решки равно 1 раз из 10 бросков Р1= 10/210.

Теперь случай, когда орел выпал ровно 8 раз из 10 бросков монеты. Значит, решка выпала ровно 2 раза. Пронумеруем броски: 1, 2, 3...10. Решка могла выпасть ы первый и во второй раз. Обозначим эту комбинацию 12. Могла также выпасть в первый и третий раз, в первый и четвертый... Эти комбинации обозначаем как 13, 14... Пронумеруем таким образом все благоприятные исходы.

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1 10

23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 2 10

34, 35, 36, 37, 38, 39, 3 10

45, 46, 47, 48, 49, 4 10

56, 57, 58, 69, 5 10

67, 68, 69, 6 10

78, 79, 7 10

89, 8 10

9 10

Количество благоприятных исходов равно 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45.

Тогда Р2=45/210.

Поделив Р2 на Р1, получим, во сколько раз выпадение решки ровно 8 раз более вероятно, чем выпадение решки ровно 9 раз:

Р21=45/210 ÷10/210=4,5.

Ответ: 4,5.

Задача 13. Определите вероятность того, что в группе, состоящей из 23 человек, у двух людей будет совпадение дней рождения (число и месяц).

Решение:

Для решения данной задачи будем учитывать следующие условия:

В году 365 дней.

В группе нет людей, заведомо родившихся в один день (например, близнецов).

Рождаемость не зависит от дня недели или времени года.

Далее будем учитывать, что у людей в группе могут совпадать дни рождения.

Выберем наугад одного человека из группы и запомним его день рождения. Теперь выберем второго. Вероятность того, что его день рождения совпадает с днем рождения первого, равна 1/365, а вероятность несовпадения равна 1-1/365. Выбираем третьего. Вероятность того, что его день рождения совпадает с днем рождения первого или второго, равна 2/365, а вероятность противоположного события (несовпадения) равна 1-2/365.

Рассуждая аналогично, получим, что для 23-го человека в группе вероятность несовпадения его дня рождения со всеми предыдущими равна 1-22/365.

Тогда вероятность того, что все дни рождения различны:

Р=(1-1/365)*(1-2/365)*...*(1-22/365)=364*363*362*...*343/365²².

Подсчитаем вероятность того, что дни рождения совпадают:

Р1=1-Р=1-364/365*364/365*...*343/365=50,73%.

Вероятность того, что в группе из 23 человек хотя бы у двоих совпадут дни рождения, - больше половины.

Ответ: 50,73%

Задача 14. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет все три раза.

Решение:

Вероятность, что выпадет орел или решка равна ½ или 0,5.

Равновозможны 8 исходов эксперимента: орел-орел-орел, орел-решка-орел, решка-орел-орел, решка-решка-орел, орел-орел-решка, орел-решка-решка, решка-орел-решка, решка-решка-решка.

Орел выпадает все три раза в одном случае: орел-орел-орел. Поэтому вероятность того, что орел выпадет все 3 раза, равна 1/8 =0,125. Данное значение получается при помощи умножению вероятностей появления орла в каждом эксперименте, получаем: .

Ответ: 0,125

Задача 15. Экзамен проходит по следующей схеме: если некоторый билет уже был вытянут, то после ответа экзаменатор откладывает его в сторону. Студент выучил 20 билетов из 30. Когда ему выгоднее идти- первым или вторым, - чтобы вероятность вынуть выученный билет была больше?

Решение:

Итак, для решения будем учитывать следующие условия:

- Назовем билеты, которые студент выучил, «счастливыми».

- Если студент пошел отвечать первым, вероятность вытянуть «счастливый» билет равна 20/30=2/3.

Если идти отвечать вторым, возможны два случая:

Первый билет, который вытянул кто-то другой, был «счастливым», и тогда «счастливых» билетов теперь 19.

Первый билет не был «счастливым», и «счастливых» билетов так и осталось 20.

Нарисуем схему возможных исходов, как всегда делаем в подобных задачах (см. рисунок 10).

Рисунок 10 – Схема возможных исходов счастливых билетов

Вот наш студент идет отвечать вторым. Вероятность вытянуть «счастливый» билет равна 2/3*19/29+1/3*20/29=2/3(формулы суммы вероятности). Удивительный ответ! Та же самая вероятность! Значит, неважно, первым или вторым идти отвечать, если ты выучил 20 билетов из 30.

Ответ: 2/3

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам исследования можно сделать по трем вопросам следующие выводы.

В первом вопросе рассмотрен исторический процесс формирования теории вероятности как науки начиная от применения ее методов в азартных играх и заканчивая применением методов в научных сферах человеческой жизни.

Во втором вопросе представлены основные термины и понятия теории вероятности, представлены примеры решения задач.

В третьем вопросе более подробно рассмотрены практические задачи решения теории вероятности: начиная от простых задач и заканчивая задачами с применениями методов комбинаторики.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

История теории вероятности // URL: https://polit.ru/article/2014/02/07/ps_a_bufetov/

История теории вероятности // URL: https://online-matematika.ru/теория-вероятностей/история-предмета

Теория вероятности // URL: http://kvm.gubkin.ru/pub/inm/tv.pdf

Теория вероятности: базовые понятия // URL: http://www.mathprofi.ru/teorija_verojatnostei.html

Лекции по теории вероятности // https://mipt.ru/education/chair/mathematics/study/uchebniki/Л_ТВ_Горяйнов.pdf

ЕГЭ по математике // URL: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/

Просмотров работы: 847