Название проекта: «О движении в математике»

Фамилия, имя, отчество разработчика проекта: Дьячук Савелий Евгеньевич

Класс: 9 «Б» специализированный класс инженерно-технологического направления

Название, номер учебного учреждения, где выполняется проект: МБОУ «Лицей № 159»

Предметная область: математика

Время разработки проекта: май 2020 – апрель 2021

Проблема: многие задачи на движение, а также задачи, содержащие различные преобразования пространства, сложно решить аналитическим путем. «Преобразования пространства» – тема, которая вызывает некоторые затруднения

Актуальность исследования: данная тема очень актуальна, так как на профильном экзамене по математике и на различных олимпиадах такие задачи встречаются очень часто, а вот тема «Преобразования пространства» изучается достаточно мало в школьном курсе математики,поэтому данная тема вызывает определенные затруднения у учащихся.

Цель работы: решение задач повышенной сложности на движение и создание 3D моделей, которые получаются вращением и движением параболы.

Объект исследования: процесс движения в математике.

Предмет исследования: свойства движения, оптическое свойство параболы, кривые второго порядка и поверхности второго порядка.

Задачи работы:

Изучить научную литературу по данной проблеме;

Систематизировать виды движений в пространстве;

Рассмотреть задачи профильного уровня математики из ЕГЭ, а также олимпиадные задачи по теме исследования;

3. Создать и разработать модели кривых второго порядка, получаемых движением параболы;

4. Объяснить с точки зрения физики и математики принцип работы оптического свойства параболы на созданных 3D моделях (математические чипсы, параболическая тарелка).

5. Доказать тот факт, что движение объектов, основанное на математических законах и принципах, применяется в технике, инженерном проектировании, физике, астрономии.

6. Доказать неразрывную и очень тесную связь между такими смежными науками как геометрия, проектирование, физика и астрономия.

Тип работы: поисковый, исследовательский

Используемые технологии: мультимедиа, 3D моделирование\печать

Форма продукта проекта: презентация, научно-исследовательская работа, 3D модели

16. Исследование проекта: созданные на 3D принтере математические модели, показывают и доказывают принцип работы оптического свойство параболы на практике.

17. Область применения результата проекта: математика и смежные с ней науки, такие как: инженерное проектирование, техника, физика, астрономия.

Введение

Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны. Вот например, доказывая равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией: две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине. Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам.

Актуальность исследования: задачи на движение, а также задачи, содержащие различные преобразования пространства, достаточно мало изучаются в школьном курсе математики, даже на профильном уровне, однако задачи таких видов ежегодно содержатся в заданиях ОГЭ и ЕГЭ. Таким образом, выбранная тема актуальна и перспективна. Тем важнее данное исследование.

Проблема: многие задачи на движение, а также задачи, содержащие различные преобразования пространства, сложно решить аналитическим путем. Как мы можем показать наглядность движения? Какие модели мы можем сделать, показывающие ряд движений и определяющие основные свойства математических функций, их графиков?

Гипотеза: математические модели, созданные на 3D принтере, показывают, как работает оптическое свойство параболы на практике.

Цель: решение задач повышенной сложности на движение и создание 3D моделей, которые получаются вращением и движением параболы.

Объект исследования: процесс движения в математике.

Предмет исследования: свойства движения, оптическое свойство параболы, кривые второго порядка и поверхности второго порядка.

Задачи:

изучить научную литературу по данной проблеме;

систематизировать виды движений в пространстве;

рассмотреть задачи профильного уровня математики из ЕГЭ, а также олимпиадные задачи по теме исследования;

создать и разработать модели кривых второго порядка, получаемых движением параболы;

объяснить с точки зрения физики и математики принцип работы оптического свойства параболы на созданных 3D моделях (математические чипсы, параболическая тарелка);

доказать тот факт, что движение объектов, основанное на математических законах и принципах, применяется в технике, инженерном проектировании, физике, астрономии;

доказать неразрывную и очень тесную связь между такими смежными науками как геометрия, проектирование, физика и астрономия.

 

Оглавление

Общие свойства движения

Свойство 1 (сохранение прямолинейности)

При движении три точки, лежащие на прямой, переходят в три точки, лежащие на прямой, причем точка, лежащая между двумя другими, переходит в точку, лежащую между образами двух других точек (сохраняется порядок их взаимного расположения).

Доказательство. Из планиметрии известно, что три точки A, B, C лежат на прямой тогда и только тогда, когда одна из них, например точка B, лежит между двумя другими - точками A и C, т.е. когда выполняется равенство

При движении расстояния сохраняются, а значит, соответствующее равенство выполняется и для точек

Таким образом, точки лежат на одной прямой и именно точка B’ лежит между A’ и C’. Из данного свойства следуют также еще несколько свойств:

Свойство 2. Образом отрезка при движении является отрезок.

Свойство 3. Образом прямой при движении является прямая, а образом луча - луч.

Свойство 4. При движении образом треугольника является равный ему треугольник, образом плоскости - плоскость, причем параллельные плоскости отображаются на параллельные плоскости, образом полуплоскости - полуплоскость.

Свойство 5. При движении образом тетраэдра является тетраэдр, образом пространства - все пространство, образом полупространства - полупространство.

Свойство 6. При движении углы сохраняются, т.е. всякий угол отображается на угол того же вида и той же величины. Аналогичное верно и для двугранных углов.

Сначала я рассмотрю все основные виды движений, а затем сведу их в единую систему.

Параллельный перенос

Параллельным переносом, или, короче, переносом фигуры, называется такое ее отображение, при котором все ее точки смещаются в одном и том же направлении на равные расстояния (рис.3), т.е. при переносе каждым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X’ и Y’, что

Основное свойство переноса: Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т.е.

Отсюда выходит, что параллельный перенос есть движение, сохраняющее направление и наоборот, движение, сохраняющее направление, есть параллельный перенос.

Из этих утверждений также вытекает, что композиция параллельных переносов есть параллельный перенос.

Параллельный перенос фигуры задается указанием одной пары соответствующих точек. Например, если указано, в какую точку A’ переходит данная точка A, то этот перенос задан вектором AA’, и это означает, что все точки смещаются на один и тот же вектор, т.е. для всех точек Х.

Центральная симметрия

Определение 1. Точки A и A’ называются симметричными относительно точки О, если точки A, A’, O лежат на одной прямой и OX = OX’. Точка О считается симметричной сама себе (относительно О).

Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.

Как частный случай, фигура может быть симметрична сама себе относительно некоей точки О. Тогда эта точка О называется центром симметрии фигуры, а фигура - центрально-симметричной.

Определение 2. Центральной симметрией фигуры относительно О называется такое отображение этой фигуры, которое сопоставляет каждой ее точке точку, симметричную относительно О.

Основное свойство: Центральная симметрия сохраняет расстояние, а направление изменяет на противоположное. Иначе говоря, любым двум точкам X и Y фигуры F соответствуют такие точки X’ и Y’, что

Доказательство: Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X’ и Y’. Тогда, как ясно из определения центральной симметрии,

Вместе с тем

Поэтому имеем:

Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия.

Центральная симметрия фигуры задается указанием одной пары существующих точек: если точка А отображается на А’, то центр симметрии - это середина отрезка AA’.

Зеркальная симметрия (отражение в плоскости)

Определение 1. Точки A и A’ называются симметричными относительно плоскости , если отрезок AA’ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости  считается симметричной самой себе относительно этой плоскости.

Две фигуры F и F’ называются симметричными относительно данной плоскости, если они состоят из точек, попарно симметричных относительно этой плоскости, т.е. если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей точка в другой фигуре.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости , а плоскость  - плоскостью симметрии.

Определение 2. Отображение фигуры, при котором каждой ее точке соответствует точка, симметричная ей относительно данной плоскости, называется отражением фигуры в этой плоскости (или зеркальной симметрией).

Теорема 1. Отражение в плоскости сохраняет расстояния и, стало быть, является движением.

Теорема 2. Движение, при котором все точки некоторой плоскости неподвижны, является отражением в этой плоскости или тождественным отображением.

Зеркальная симметрия задается указанием одной пары соответствующих точек, не лежащих в плоскости симметрии: плоскость симметрии проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, перпендикулярно к нему.

Поворот вокруг прямой

Для более четкого представления о повороте вокруг прямой следует вспомнить поворот на плоскости около данной точки. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении (рис.6). Перейдем теперь к повороту в пространстве.

Поворотом фигуры вокруг прямой a на угол  называется такое отображение, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой a, происходит поворот вокруг точки ее пересечения с прямой a на один и тот же угол  в одном и том же направлении . Прямая a называется осью поворота, а угол  - углом поворота.

Отсюда видим, что поворот всегда задается осью, углом и направлением поворота.

Теорема 1. Поворот вокруг прямой сохраняет расстояния, т.е. является движением.

Теорема 2. Если движение пространства имеет множеством своих неподвижных точек прямую, то оно является поворотом вокруг этой прямой.

Вывод формул поворота вокруг осей координат

Координаты точки при повороте относительно одной из осей Ox/Oy/Oz можно вычислить по следующей формуле:

Поворот относительно Ox:

;

Поворот относительно Oy:

;

Поворот относительно Oz:

;

Где – координаты образов движимых точек, ,

– координаты движимой точки (прообраза)

Докажем формулу для поворота относительно оси Ox: , ,

Подставим вместо и получим:

Подставим вместо и получим:

Вращение относительно других осей координат доказывается аналогично.

Фигуры вращения

Фигура называется фигурой вращения, если существует такая прямая, любой поворот вокруг которой совмещает фигуру саму с собой, другими словами, отображает ее саму на себя. Такая прямая называется осью вращения фигуры. Простейшие тела вращения: шар, прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус.

Осевая симметрия

Частным случаем поворота вокруг прямой является поворот на 180. При повороте вокруг прямой a на 180 каждая точка A переходит в такую точку A’, что прямая a перпендикулярна отрезку AA’ и пересекает его в середине. Про такие точки A и A’ говорят, что они симметричны относительно оси a. Поэтому поворот на 180 вокруг прямой является называется осевой симметрией в пространстве.

Неподвижные точки движений пространства

Важной характеристикой движения пространства является множество его неподвижных точек. Здесь могут представиться лишь следующие пять случаев:

У движения неподвижных точек нет (нетождественный параллельный перенос).

Движение имеет лишь одну неподвижную точку (центральная симметрия).

Множество неподвижных точек движения пространства является прямой (поворот вокруг прямой).

Множество неподвижных точек движения пространства является плоскостью (зеркальная симметрия).

Множество неподвижных точек движения пространства является всем пространством (тождественное движение).

Данная классификация очень удобна, так как представляет все виды движения как единую систему.

Основные теоремы о задании движений пространства

Теорема 1. Пусть в пространстве даны два равных треугольника ABC и A’B’C’. Тогда существуют два и только два таких движения пространства, которые переводят A в A’, B в B’, C в C’. Каждое из этих движений получается из другого с помощью композиции его с отражением в плоскости A’B’C’.

Теорема 2. Пусть в пространстве заданы два равных тетраэдра ABCD и A’B’C’D’. Тогда существует единственное движение пространства , такое, что  (A) = A’,  (B) = B’,  (C) = C’,  (D) = D’.,

Два рода движений

Следует также знать, что все движения подразделяются на два рода в зависимости от того, непрерывны они или нет. Для лучшего понимания сущности этого разделения введу понятие базиса и его ориентации.

Базисы и их ориентация

Базисом в пространстве называется любая тройка векторов, непараллельных одновременно никакой плоскости.

Тройка базисных векторов называется правой (левой), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки. Если имеются две правые (левые) тройки векторов, говорят, что эти тройки ориентированы одинаково. Если одна тройка является правой, а вторая - левой, то они ориентированы противоположно.

Два рода движения

Движения первого рода - такие движения, которые сохраняют ориентацию базисов некоей фигуры. Они могут быть реализованы непрерывными движениями.

Движения второго рода - такие движения, которые изменяют ориентацию базисов на противоположную. Они не могут быть реализованы непрерывными движениями.

Примерами движений первого рода являются перенос и поворот вокруг прямой, а движениями второго рода - центральная и зеркальная симметрии.

Композицией любого числа движений первого рода является движение первого рода.

Композиция четного числа движений второго рода есть движение 1 рода, а композиция нечетного числа движений 2 рода - движение 2 рода.

Некоторые распространенные композиции.

Рассмотрим теперь некоторые комбинации движений, используемые достаточно часто, но не уделяя им особого внимания.

Композиции отражений в плоскости

Теорема 1. Движение пространства первого рода представимо в виде композиции двух или четырех отражений в плоскости.

Движение пространства второго вида есть либо отражение в плоскости, либо представимо в виде композиции трех отражений в плоскости.

Движение параболы и оптическое свойство параболы. Параболическая тарелка

Парабола — это геометрическое место точек, равноудалённых от прямой (называемой директрисой) и от не лежащей на директрисе точки (называемой фокусом).

Оптическое свойство параболы: если в фокусе параболы поместить точечный источник света (лампочку) и включить его, то лучи, отразившись от параболы, пойдут параллельно оси симметрии параболы, причём передний фронт будет перпендикулярен оси.

Верно и обратное — если на параболу падает поток лучей, параллельных оси симметрии, то, отразившись от параболы, лучи придут в фокус; причём придут одновременно, если передний фронт потока лучей перпендикулярен оси.

Другими словами, оптическое свойство параболы:

лучи, вышедшие из фокуса параболы, отразившись от неё, пойдут параллельно оси симметрии;

лучи, пришедшие параллельно оси симметрии параболы, отразившись от неё, придут в фокус.
При вращении параболы вокруг её оси симметрии получается параболоид вращения — поверхность второго порядка.

При любом сечении параболоида плоскостями, проходящими через ось симметрии, получаются равные параболы с общим фокусом, поэтому параболоид тоже обладает оптическим свойством. Если поместить излучатель в фокус, то лучи, отразившись от поверхности, пойдут параллельно оси вращения. А если на параболоид падают лучи, параллельные его оси, то после отражения все они собираются в фокусе.

Оптическое свойство — принципиальная основа параболических антенн. Антенны могут вращаться, пример — параболические антенны в аэропортах, по форме являющиеся «ломтиками» огромных параболоидов; они и передают, и принимают сигнал. Антенны могут быть неподвижными. К последнему типу относятся бытовые спутниковые телевизионные антенны («тарелки»): их нацеливают на спутник‐ретранслятор, находящийся высоко над Землёй на геостационарной орбите, после чего их положение фиксируется. Поскольку спутник находится далеко от поверхности, приходящие от него лучи в точке приёма антенной можно считать параллельными. В фокусе спутниковой антенны находится приёмник, от которого сигнал по кабелю отправляется к телевизору.

Эта же идея применяется при создании прожекторов железнодорожных локомотивов, фар автомобилей, её можно использовать даже для приготовления еды в полевых условиях.

Оптическое свойство параболы «знает» и мир живой природы. Например, некоторые северные цветы, живущие в условиях короткого лета и недостатка солнечных лучей, раскрывают лепестки в форме параболоида, чтобы «сердцу» цветка было теплее.

Параболоид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве

Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

– эллиптический параболоид

- гиперболический параболоид

Сечения параболоида вертикальными (параллельными оси OZ) плоскостями произвольного положения — параболы.

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями x и у, для параболоида вращения эти пересечения — окружности, когда такое пересечение существует.

Пересечения для гиперболического параболоида — гиперболы.

В частных случаях пересечения, сечением может оказаться прямая или пара пересекающихся прямых или вырождаться в одну точку (для эллиптического параболоида).

Эллиптический параболоид можно описать как семейство параллельных парабол с ветвями, направленными вверх, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вверх (см. рисунок).

Если  , то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную вращением параболы вокруг её оси симметрии.

Гиперболический параболоид может быть образован движением параболы, ветви которой направлены вниз, по параболе, ветви которой направлены вверх.

Математические чипсы

Упакованные в цилиндрические тубусы чипсы, чтобы они меньше крошились, запекают на жарочных листах, придающих плоским заготовкам форму гиперболического параболоида — поверхности второго порядка.
Гиперболический параболоид изогнут, похож на седло, но при этом является линейчатой поверхностью! По определению, линейчатая поверхность может быть образована непрерывным движением прямой линии, называемой образующей.

Через каждую точку гиперболического параболоида, так же как и однополостного гиперболоида, проходят две прямые.

Свойство линейчатости можно наглядно продемонстрировать, используя чипсы, упакованные в тубусы.
Проделаем в крышке тубуса прямолинейную прорезь. Возьмем из стопки чипсов один ломтик и опустим его в тубус через полученную щель. Это можно сделать, не сломав ломтик, надо только опускать и поворачивать его так, чтобы в каждый момент времени через прорезь проходила образующая гиперболического параболоида.

Получение гиперболического прабалоида путем движением одной параболы по другой параболе. Три сечения гиперболического парабалоида

Гиперболический параболоид — поверхность, напоминающая седло. Она образуется при таком движении параболы с ветвями вниз, что её вершина скользит по другой, неподвижной параболе с ветвями вверх. Плоскости парабол в каждый момент времени перпендикулярны, оси параллельны.
При пересечении гиперболического параболоида с любой горизонтальной плоскостью получаются две гиперболы. Если плоскость проходит через центр седла, то гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых. (Если на эту плоскость спроецировать гиперболу из параллельного сечения, то прямые будут асимптотами гиперболы‐проекции.
Оказывается, гиперболический параболоид — линейчатая поверхность, она также может быть образована движением прямой линии!
Между двумя параллельными прямыми через равные расстояния пустим набор отрезков. Повернём прямые вокруг центрального отрезка в разные стороны. (При этом длины всех отрезков, кроме центрального, изменятся.) Так расположенные в пространстве отрезки лежат на гиперболическом параболоиде. Гауссова кривизна во всех точках гиперболического параболоида отрицательна. Такие поверхности называют седловыми из-за визуального сходства с седлом для верховой езды.

Задачи повышенной сложности по теме исследования

Задача 1. (Симметрия относительно плоскости)

Дана точка М (3;1;2). Найдите координаты точки F, симметричной точке М относительно плоскости

Построим прямую, которая будет параллельна плоскости ZOY. Зададим 2 точки К , T . Так как все три точки лежат в одной плоскости, то мы можем провести из точки М перпендикуляр к прямой КТ, который будет являться перпендикуляром к заданной плоскости. Обозначим координаты точки ;y;z). Найдем расстояние от точки M до заданной плоскости по формуле

Пусть прямая, проходящая через точку M и перпендикулярная прямой KT пересекает ее в точке О. Тогда мы можем сказать, что ,так как точка M симметрична точке F относительно данной плоскости.

Следовательно, можно составить систему уравнений:

Решим систему уравнений методом почленного сложения и вычитания обеих частей уравнения. К первому уравнению прибавляем третье уравнение. Из этой суммы вычитаем второе уравнение, умноженное на 2. Получим, что

Ответ: ; ; )

Задача 2. (Симметрия относительно плоскости)

Куб так расположен относительно прямоугольной системы координат Oxyz, что , B , C. Найти координаты вершин куба, симметричного данному относительно плоскости .

Найдем координаты точки Найдем длину ребра куба Тогда найдем координаты точек . Построим куб. Построим плоскость , значит плоскость проходит через ось , а на плоскости в пересечении c данной плоскостью и плоскости прямая , построим ее и соответственно плоскость Диагональ куба, вершина которого лежит в начале координат, а вторая вершина лежит на плоскости , а третья на плоскости принадлежит плоскости Тогда точка пересечения смещается на 1 единицу по оси Ox и будет иметь координаты а другая T . Так как плоскость – диагональное сечение, то при симметрии относительно данной плоскости, точки меняют значения абcцисс на значение ординат, а значение ординат на значение абcцисс. Тогда координаты точек принимают соответствующий вид:

,Задача 3. (Поворот)

Правильную треугольную призму ABCMNK повернули на 60°. Постройте образ призмы и найдите координаты вершин.

Пусть точка O – центроид треугольника ABC, а точка Q - точка пересечения . Найдем координаты точки Опустим из точки О перпендикуляр OP прямой AC. OQ A₁C₁, следовательно AB A₁C₁ . Аналогично AС B₁C₁ и CB A₁B₁ . Тогда найдем координату точки (BO = OA₁, так как поворот – движение), аналогично

Ответ:

Задача 4. (параллельный перенос)

Даны два правильных тетраэдра с ребрами длины , переводящихся один в другой при центральной симметрии. Пусть α – множество середин отрезков, концы которых принадлежат разным тетраэдрам. Найдите объем фигуры α.

Докажем, что перенос одного тетраэдра на вектор , а другого на вектор не изменят α: пусть AB – отрезок, соединяющий вершины разных тетраэдров, а точка С – середина AB, точки A₁ и B₁ – образы точек A и B соответственно. + = + + + = + + - = 0 Значит С – середина отрезка A₁B₁. (рис 1)

Тетраэдр можно вписать в куб с ребром 1. (Так как ребро тетраэдра будет являться диагональю стороны куба, то по теореме Пифагора сторона куба равна ) Параллельно перенесем оба тетраэдра так, что они будут вписаны в куб с ребром 1. (рис 2) Начертим искомую фигуру (выделена красным) – кубооктаэдр и найдем ее объем. Объем куба равен 1. Из объема куба вычтем 8 объемов прямоугольных тетраэдров – это и будет искомый объем кубооктаэдра. Найдем объем тетраэдра: . Соответственно объем кубооктаэдра равен Ответ:

Задача 5 – опорная задача (параллельное проектирование)

Даны две пересекающиеся плоскости, в одной из которых лежит произвольный треугольник площади S. Существует ли его параллельная проекция на вторую плоскость, имеющая ту же площадь S?

Построим плоскость, которая будет являться биссектрисой двугранного угла между двумя данными плоскостями. Таким образом, данный треугольник при отображении симметрично построенной плоскости отобразится в равный треугольник лежащий во второй плоскости. Треугольники равны, соответственно их площади равны.

Заключение

Владимир Игоревич Арнольд говорит,

что математика — это часть физики.

А я дополняю: физика — часть геометрии!

В XVII веке стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, при достижении второй космической скорости — по параболе, а при скорости, большей второй космической, — по гиперболе. Математическая составляющая движения тел, объектов в пространстве просматривается и в других, смежных с математикой науках, например, в астрономии – движение планет, систем, галактик, небесных тел, в проектировании – создание кривых второго порядка путем движения других кривых, в физике – кинематика, свойства математических тел/кривых.

В ходе выполнения работы, я убедился в том, что движение кривых второго порядка образует поверхности второго порядка.

В моей работе рассмотрены задачи повышенной сложности по теме исследования. Созданные на 3D принтере математические модели - параболическая тарелка и математические чипсы получены путем движения кривых второго порядка и образуют поверхности второго порядка. Также хотелось бы отметить, что параболическая тарелка показывает принцип работы оптического свойства параболы, которое применяется при изготовлении прожекторов, зеркальных телескопов, теле- и радио антенн.

Таким образом, моя гипотеза подтвердилась, цели и задачи работы выполнены.,

,Список использованной литературы

Е.В. Потоскуев, Л.И. Звавич «Геометрия», 11 класс

https://problems.ru

Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин «Математическая составляющая»

Е.В.Потоскуев «Математика, профильный уровень»

И.Ф.Шарыгин, В.И.Голубев «Факультативный курс по математике»