XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Построение прямых в полярных системах координат и кривых второго порядка,заданных в параметрической форме

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Волков С.Г. 1

---

1МБОУ "Лицей №159"

Бутакова В.И. 1

---

1МБОУ "Лицей №159"

Работа в формате PDF

2.4 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Наши знания никогда не могут иметь конца,

именно потому, что предмет познания бесконечен.

Блез Паскаль

Без кривых немыслимы различные области наук, техники и даже повседневная жизнь. С помощью кривых описываются траектории ракет, горные тропы и орбиты планет. Кривые позволяют изучать спрос и предложение, вероятности, рост населения, колебания биржевых котировок, рассчитывать платежи по ипотеке.

В системах автоматизированного проектирования (САПР) используются кривые различных видов. Чем выше математическая сложность кривых, тем реалистичнее выглядят изображаемые объекты. Полученные чертежи двухмерных или трехмерных объектов можно отпечатать на бумаге или использовать в анимации, моделирующей виртуальную реальность. Логистические кривые играют очень важную роль в науке. Они описывают рост величин с течением времени, когда переход от малых значений к большим происходит быстро. Логистическая кривая по форме напоминает букву S. Этому же закону подчиняется и рост населения, зависящий от текущей численности населения и доступных ресурсов. Если население растет, объем ресурсов снижается, что вызывает прекращение роста населения, и в какой-то момент его численность, выражаемая функцией объема ресурсов, стабилизируется. Логистическая функция применятся в изучении роста опухолей. Для этого определяется размер опухоли и ее коэффициент роста, а также рассматривается эффект от химиотерапии. На основе полученных данных строится уравнение кривой, описывающей рост опухоли у пациента. Аналогичным образом логистическая функция используется для анализа эпидемий и распространения инфекционных заболеваний, в частности сезонного гриппа: медики предсказывают процент заболевших, чтобы грамотно распределить ресурсы для лечения пациентов.

Кривыми второго порядка называются кривые, заданные уравнением второй степени, т.е.

Цель проекта: изучить кривые первого и второго порядков, их свойства; узнать о применении кривых в окружающем нас мире; принцип построения линий высших порядков.

Проблема исследования: Как построить график с изменяющимся параметром, для дальнейшего его изучения? Необходимо найти удобный (сравнительно простой, наглядный, доступный) способ построения графиков элементарных функций и уравнений степеней выше второй с двумя переменными.

Гипотеза исследования построена на предположении о том, что кривые линии, в том числе и кривые второго порядка, имеют достаточно широкое распространение в архитектуре, экономике, медицине, статистике, в проектировании и многих других науках. Для решения поставленной проблемы, возможно, для построения графиков уравнений высших порядков ввести новые переменные, или новую систему координат, или и то и другое одновременно.

Задачи исследования:

Определить в математике понятие кривой, а также понятие кривой второго порядка;

Выполнить опыты, заключающиеся в получении графика кривой;

Изучить канонический вид, свойства и графики кривых;

создать алгоритмы построения графиков функций,

Построение кривых второго порядка в домашних условиях.

Методы исследования:

1. Поисковый

2. Анализ

3. Дедуктивный метод.

Объект исследования: кривые первого и второго порядков и их свойства, ее возможности для построений графиков функций и исследования их.

Предмет исследования: кривые второго порядка, заданные в параметрической форме.

Актуальность исследования: данная тема очень актуальна, так как, выбирая профессию инженера, ученик сталкивается с множеством вопросов, например, одним из них: «Где мы можем применить знания математики?» Исследования в данной области приводят к выводу о том, что математика имеет большое практическое применение в науках, которые окружают наш мир. При изучении темы графиков функций возникла необходимость построения графиков функций, заданных в параметрической форме.

Практическая значимость: материал моей исследовательской работы поможет красочно и доступно продемонстрировать учащимся практическое применение свойств замечательных кривых, научить строить кривые при помощи несложных школьных инструментов и подручного материала.

Продукт проекта: мультимедийная презентация, творческий проект с построением кривых.

Кривые в жизни

В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота). Спиральные формы представлены от эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики. Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа. Действительно, стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе.

Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства растений. Даже пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра. Природа любит повторения, в ее творениях использованы одни и те же принципы.

Спирали, присутствующие в структуре произведений искусства, в узорах, реже

- в архитектуре: закручивающаяся спиралью лестница, шпили соборов и даже небоскребы по всему миру.

Спирали в технике

Спираль Архимеда широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали)- использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека («улитки») - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. Спираль Архимеда заслуживает особого внимания при обучении компьютерной графике.

Практическая часть

Задача 1

Рассмотрим в декартовой прямоугольной системе координат параметрические уравнения кривой

Задача 2

Спираль Архимеда - плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O . Спираль Архимеда можно задать в полярных координатах уравнением , если ∈ [0, ∞).

Задача 3

Гипоциклоида - кривая, совпадающая с траекторией точки M окружности радиуса a, которая катится без скольжения по окружности оставаясь внутри нее (в начальный момент точка M находится в точке с координатой (b, 0)). Уравнение гипоциклоиды:

Задача 4

Построить линию, заданную уравнением в полярных координатах

Найдём область определения функции:

Найдём график функции: Область определения нашей функции: ]

Промежуток аргумента:

Находим вершины лепестков:

При

Следует отметить, что длину лепестка легко сразу усмотреть из уравнения –

так как синус ограничен: то максимальное значение «эр» заведомо не превзойдёт двух.

Задача 5

Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах

 Промежуток аргумента:

Далее делаем нарезку по  (60 градусов):

 область определения:    

Вычисляем угловые координаты, которые равны серединам отрезков области определения:

Задача 6

Построить кривую, заданную параметрически

Как видно из уравнения кривой, при t = 0 и при t = 2 имеем одну и ту же координату (x, y), равную (0, 0). Значит, (0, 0) - точка самопересечения кривой. Определим значения x и y для разных значений t (t ∈ (−∞, ∞)) и построим кривую.

Задача 7

Построить кривую, заданную параметрически.

Определим значения x и y для разных значений t. Так как sin и cos периодические функции с периодом 2π, то t ∈ [0, 2π). Построим кривую.

Задача 8

Логарифмическая спираль - плоская кривая, траектория точки M, которая движется вдоль луча OV со скоростью пропорциональной расстоянию OM, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Логарифмическую спираль можно задать в полярных координатах уравнением . Различают спирали: ,

b)

Построение спирали Архимеда в домашних условиях