Построение прямых в полярных системах координат и кривых второго порядка,заданных в параметрической форме

XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2021

Построение прямых в полярных системах координат и кривых второго порядка,заданных в параметрической форме

Волков С.Г. 1
1МБОУ "Лицей №159"
Бутакова В.И. 1
1МБОУ "Лицей №159"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Наши знания никогда не могут иметь конца,

именно потому, что предмет познания бесконечен.

Блез Паскаль

Без кривых немыслимы различные области наук, техники и даже повседневная жизнь. С помощью кривых описываются траектории ракет, горные тропы и орбиты планет. Кривые позволяют изучать спрос и предложение, вероятности, рост населения, колебания биржевых котировок, рассчитывать платежи по ипотеке.

В системах автоматизированного проектирования (САПР) используются кривые различных видов. Чем выше математическая сложность кривых, тем реалистичнее выглядят изображаемые объекты. Полученные чертежи двухмерных или трехмерных объектов можно отпечатать на бумаге или использовать в анимации, моделирующей виртуальную реальность. Логистические кривые играют очень важную роль в науке. Они описывают рост величин с течением времени, когда переход от малых значений к большим происходит быстро. Логистическая кривая по форме напоминает букву S. Этому же закону подчиняется и рост населения, зависящий от текущей численности населения и доступных ресурсов. Если население растет, объем ресурсов снижается, что вызывает прекращение роста населения, и в какой-то момент его численность, выражаемая функцией объема ресурсов, стабилизируется. Логистическая функция применятся в изучении роста опухолей. Для этого определяется размер опухоли и ее коэффициент роста, а также рассматривается эффект от химиотерапии. На основе полученных данных строится уравнение кривой, описывающей рост опухоли у пациента. Аналогичным образом логистическая функция используется для анализа эпидемий и распространения инфекционных заболеваний, в частности сезонного гриппа: медики предсказывают процент заболевших, чтобы грамотно распределить ресурсы для лечения пациентов.

Кривыми второго порядка называются кривые, заданные уравнением второй степени, т.е.

Цель проекта: изучить кривые первого и второго порядков, их свойства; узнать о применении кривых в окружающем нас мире; принцип построения линий высших порядков.

Проблема исследования: Как построить график с изменяющимся параметром, для дальнейшего его изучения? Необходимо найти удобный (сравнительно простой, наглядный, доступный) способ построения графиков элементарных функций и уравнений степеней выше второй с двумя переменными.

Гипотеза исследования построена на предположении о том, что кривые линии, в том числе и кривые второго порядка, имеют достаточно широкое распространение в архитектуре, экономике, медицине, статистике, в проектировании и многих других науках. Для решения поставленной проблемы, возможно, для построения графиков уравнений высших порядков ввести новые переменные, или новую систему координат, или и то и другое одновременно.

Задачи исследования:

Определить в математике понятие кривой, а также понятие кривой второго порядка;

Выполнить опыты, заключающиеся в получении графика кривой;

Изучить канонический вид, свойства и графики кривых;

создать алгоритмы построения графиков функций,

Построение кривых второго порядка в домашних условиях.

Методы исследования:

1. Поисковый

2. Анализ

3. Дедуктивный метод.

Объект исследования: кривые первого и второго порядков и их свойства, ее возможности для построений графиков функций и исследования их.

Предмет исследования: кривые второго порядка, заданные в параметрической форме.

Актуальность исследования: данная тема очень актуальна, так как, выбирая профессию инженера, ученик сталкивается с множеством вопросов, например, одним из них: «Где мы можем применить знания математики?» Исследования в данной области приводят к выводу о том, что математика имеет большое практическое применение в науках, которые окружают наш мир. При изучении темы графиков функций возникла необходимость построения графиков функций, заданных в параметрической форме.

Практическая значимость: материал моей исследовательской работы поможет красочно и доступно продемонстрировать учащимся практическое применение свойств замечательных кривых, научить строить кривые при помощи несложных школьных инструментов и подручного материала.

Продукт проекта: мультимедийная презентация, творческий проект с построением кривых.

Кривые в жизни

В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота). Спиральные формы представлены от эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики. Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа. Действительно, стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе.

Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства растений. Даже пауки спиралеобразно плетут паутину, закручивая нити по спирали вокруг центра. Природа любит повторения, в ее творениях использованы одни и те же принципы.

Спирали, присутствующие в структуре произведений искусства, в узорах, реже

- в архитектуре: закручивающаяся спиралью лестница, шпили соборов и даже небоскребы по всему миру.

Спирали в технике

Спираль Архимеда широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали)- использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов. Винт Архимеда стал прообразом шнека («улитки») - устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность - винтовой ротор в обычной мясорубке. Примером применения в технике архимедовой спирали также является самоцентрирующийся патрон. Спираль Архимеда заслуживает особого внимания при обучении компьютерной графике.

Практическая часть

Задача 1

Рассмотрим в декартовой прямоугольной системе координат параметрические уравнения кривой

Задача 2

Спираль Архимеда - плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O . Спираль Архимеда можно задать в полярных координатах уравнением , если ∈ [0, ∞).

Задача 3

Гипоциклоида - кривая, совпадающая с траекторией точки M окружности радиуса a, которая катится без скольжения по окружности оставаясь внутри нее (в начальный момент точка M находится в точке с координатой (b, 0)). Уравнение гипоциклоиды:

Задача 4

Построить линию, заданную уравнением в полярных координатах

Найдём область определения функции:

Найдём график функции: Область определения нашей функции: ]

Промежуток аргумента:

Находим вершины лепестков:

При

Следует отметить, что длину лепестка легко сразу усмотреть из уравнения –

так как синус ограничен: то максимальное значение «эр» заведомо не превзойдёт двух.

Задача 5

Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах

 Промежуток аргумента:

Далее делаем нарезку по  (60 градусов):

 область определения:    

Вычисляем угловые координаты, которые равны серединам отрезков области определения:

Задача 6

Построить кривую, заданную параметрически

Как видно из уравнения кривой, при t = 0 и при t = 2 имеем одну и ту же координату (x, y), равную (0, 0). Значит, (0, 0) - точка самопересечения кривой. Определим значения x и y для разных значений t (t ∈ (−∞, ∞)) и построим кривую.

Задача 7

Построить кривую, заданную параметрически.

Определим значения x и y для разных значений t. Так как sin и cos периодические функции с периодом 2π, то t ∈ [0, 2π). Построим кривую.

Задача 8

Логарифмическая спираль - плоская кривая, траектория точки M, которая движется вдоль луча OV со скоростью пропорциональной расстоянию OM, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Логарифмическую спираль можно задать в полярных координатах уравнением . Различают спирали: ,

b)

Построение спирали Архимеда в домашних условиях

Построение спирали Архимеда циркулем

Построение параболы при помощи сгибаний

Этап 1. Приготовим лист бумаги формата А4 и отметим точку F. Эта точка должна быть отличной от центра листа, так как показано на рисунке.

Этап 2. Соединим любую точку, лежащую на большей стороне листа с точкой F.

Этап 3. Мы видим, что при данных действиях образуется парабола. Обводим ее карандашом.

Построение эллипса с помощью сгибаний

Этап 1. Вырежем из листа бумаги круг, на нем отметим точку F, отличную от центра круга.

Этап 2. Каждую точку, лежащую на круге соединим с точкой F. Проделаем это со всем кругом.

Этап 3. Мы видим, что при данных действиях образуется эллипс. Обводим его карандашом.

Построение параболы с помощью нити и треугольника

Для того, чтобы нарисовать параболу, потребуется линейка, треугольник, нить, длиной, равной большему катету треугольника, и кнопка.

Этап 1. Один конец нити следует прикрепить на листе бумаги, а другой – к вершине меньшего угла треугольника. Карандашом (любым пишущим предметом) натянуть нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету.

Этап 2. Перемещаем треугольник влево, прижимая к его катету карандаш (любой пишущий предмет) так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш (любой пишущий предмет) начертил на бумаге параболу.

Построение циклоиды

Для того, чтобы нарисовать циклоиду, потребуется деревянная рейка, листы бумаги, стержень от ручки, магнит, скотч.

Этап 1.К магниту с помощью скотча приклеим стержень от ручки.

Этап 2.Прокатить получившуюся конструкцию вдоль деревянной рейки.

В результате вращения, мы получим циклоиду.

Заключение

Математика — это искусство

называть разные вещи

одним и тем же именем.

Анри Пуанкаре

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется интерес человека к замечательным кривым, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей.

Впрочем, кривые - отнюдь не только объект научных исследований. Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью, но и большой практической ценностью. Кривые имеют непосредственное отношение к окружающему нас миру. Они проявляются в частности в природе, науке, архитектуре.

Итогом работы можно считать успешное достижение поставленной цели: изучить кривые первого и второго порядков, их свойства; узнать о применении кривых в окружающем нас мире.

Так что же такое кривая линия? С помощью проведенных опытов я сделал вывод: кривая есть след движущейся точки. Такой точкой в приведенных примерах является острие карандаша, острый край куска мела и т. д.

В своей работе я показал различные способы получения кривых:

построение графиков уравнений в декартовых координатах;

вычерчивание траектории точки, используя свойства;

проведение сечения геометрических тел плоскостью.

Я выяснил, что наиболее точное построение кривых можно выполнить с помощью графика.

Список использованной литературы

Википедия https://ru.wikipedia.org/

Графики функций. Справочник. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И.,1979 г.

Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г.

Математический энциклопедический словарь. М., «Советская энциклопедия, 1988. Математика. Справочник школьника. Филологическое общество «СЛОВО». М., 1995.

Математическая энциклопедия. Главный редактор И.М. Виноградов, т.3 - М.: «Советская энциклопедия», 1982

Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. 7-9 кл.: учебн. для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2015.

Смышляев В. К. «О математике и математиках».Йошкар-Ола. Марийское книжное издательство, 1977.

Шарыгин, Н.Ф. Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений / Н.Ф.Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2012. – 192 с.

https://ru.wikipedia.org/

http://www.pm298.ru/reshenie/giperb.php

http://mathemlib.ru

http://mathematics.ru/courses/stereometry/content/chapter5/section/paragraph3/theory.html#.Vsou1fAV2lR

http://www.phisiki.com/

http://hijos.ru/

http://sernam.ru/book_e_math.php?id=57

http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/KONICHESKIE_SECHENIYA.html

Просмотров работы: 48