Вычисление площади нестандартных сечений выпуклых и невыпуклых многогранников

XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2021

Вычисление площади нестандартных сечений выпуклых и невыпуклых многогранников

Макарова В.Е. 1Иванова К.С. 1
1МБОУ "Лицей №159"
Бутакова В.И. 1
1МБОУ "Лицей №159"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Портфолио проекта

Название проекта: «Вычисление площади нестандартных сечений выпуклых и невыпуклых многогранников»

Фамилия, имя, отчество разработчиков проекта: Макарова Валерия Евгеньевна, Иванова Кристина Сергеевна

Класс: 10 «Б» специализированный класс инженерно-технологического направления

Название, номер учебного учреждения, где выполняется проект: МБОУ «Лицей №159»

Предметная область: математика, технология

Время разработки проекта: май 2020 – апрель 2021

Проблема: задачи на построение сечений повышенной сложности встречаются на профильном экзамене по математике, но на базовом уровнематематики эти темы не изучаются вовсе. Это способствует неравенству условий подготовки к экзамену учеников из специализированных и непрофильных классов.

Актуальность исследования: данная тема очень актуальна, так как выбирая профессию инженера, ученику необходимо иметь достаточно прочные знания по алгебре и геометрии. Решая стереометрические задачи повышенной сложности, ученики развивают пространственное воображение, повышают уровень математической культуры. Построение выпуклых многогранников разнообразной формы всегда вызывало особые затруднения, особенно если невыпуклые многогранники имеют множество различных граней и неправильную форму.

Цель работы: построение 3Dмоделей выпуклых и невыпуклых многогранников, нахождение площадей нестандартных сечений.

Задачи работы:

Изучить научную литературу по данной проблеме;

Ознакомиться с методами построения сечений;

Систематизировать виды сечений;

Построение 3D моделей выпуклых и невыпуклых многогранников;

Создание методического пособия по теме исследования;

Решение задач по теме исследования на построение сечений и нахождение их площади

Тип работы: поисковый, исследовательский.

Используемые технологии:конструирование, 3Dмоделирование.

Форма продукта проекта: презентация, научно-исследовательская работа, модели.

Содержание:

Портфолио проекта

Методы построения сечений в многогранниках

Сечения многогранников

Задачи по теме исследования

Изображения многоугольников

Построение простого выпуклого многогранника

Заключение

15.Исследование проекта: исследование принципа создания 3D моделей, а также технологии их выполнения.

16.Область применения результата проекта:геометрия, архитектура, дизайн, технология

Методы построения сечений в многогранниках

Метод следов. Если плоскость (ABC) пересекает плоскость (DBC), то прямую BC называют следом плоскости (ABC) на прямую (DBC). Метод следов состоит из 3 пунктов:

Строится линия пересечения секущей плоскости с плоскостью основания многогранника.

Находим точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника.

Проводится построение искомого сечения

Метод внутреннего проектирования, или метод вспомогательных сечений (метод вспомогательных плоскостей). При котором строятся различные дополнительные вспомогательные плоскости.

Комбинированный метод.

Координатный метод построения сечений. Суть комбинированного метода построения сечений, состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксонометрическим методом.

Также возможен такой метод:

Проводятся прямые, лежащие через точки, находящиеся в одной плоскости.Проводится поиск отрезков пересечения плоскости с гранями многогранника (ищется точка пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с плоскостью принадлежащей одной грани. Параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.)

Кроме того, имеются следующие методы построения многогранников:

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой.

построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым.

построение сечения многогранника плоскостью, проходящую через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости.

построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Актуальность исследования: Знание и понимание стереометрии опирается не столько на теоретические основы, представленные в учебной литературе, сколько на способность учащегося видеть и правильно представлять пространственную фигуру. Одним из главных средств достижения целей образования средствами геометрии являются задачи на построение сечений многогранников и круглых тел. Решение задач на построение сечений имеет мощный развивающий потенциал, сечения пространственных тел представлено в задачах ЕГЭ по математике.

Данная тема очень актуальна, так как выбирая профессию инженера, ученику необходимо иметь достаточно хорошие знания по алгебре и геометрии. Решая стереометрические задачи повышенной сложности, ученики развивают пространственное воображение, повышают уровень математической культуры. Построение выпуклых многогранников разнообразной формы всегда вызывало особые затруднения, особенно если невыпуклые многогранники имеют множество различных граней.

Проблема исследования: задачи на построение сечений повышенной сложности встречаются на профильном экзамене по математике, но на базовом уровне математики эти темы не изучаются вовсе. Это способствует неравенству условий подготовки к экзамену учеников из специализированных и непрофильных классов.

Цель работы: построение 3D моделей выпуклых и невыпуклых

многогранников, нахождение площадей нестандартных сечений.

Задачи работы:

изучить научную литературу по данной проблеме;

ознакомиться с методами построения сечений;

систематизировать виды сечений;

построение 3D моделей выпуклых и невыпуклых многогранников;

создание методического пособия по теме исследования;

решение задач по теме исследования на построение сечений и нахождение их площади

Сечения многогранников

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью, и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.  

Важные факты и теоремы, необходимые для построения сечений:  

Определение: две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если через две прямые нельзя провести одну плоскость, то такие прямые скрещиваются.  

Теорема о параллельности трех прямых: если ,  , то и .  

Определение: прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.  

Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна некоторой прямой из этой плоскости.  

Определение: две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.  

Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.  

Если две плоскости пересекаются, то их линия пересечения — прямая.  

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны.

Рисунок 1

Аксиома1: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и причем только одна.

Аксиома 2: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома 3: если 2 плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом:

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Задачи по теме исследования

Задача №1

Дан параллелепипед. Точки X, Y, Z лежат на трех смежных гранях (AADD, ADCB’, CBBC соответственно). Построить сечение параллелепипеда (XYZ) методом следов.

Рисунок 4

Опускаем перпендикуляры их точек X, Y, Z на грань ABCD, эти перпендикуляры параллельны между собой (то есть ).

Через точки X1 и Y1 можно провести прямую, так как они расположены на одной грани ABCD.

Прямая XY пересекает прямую X1Y1 в точке Q.

Через точки Z1 и Y1 можно провести прямую, так как они расположены на одной грани ABCD.

Прямая YZ пересекает прямую Y1Z1 в точке S.

С помощь (3) и (5) получаем след QS.

Продлеваем ребро DA, так что это прямая пересекла след QS в точке Т.

Соединим точки ХТ и продлим эту прямую, чтоб она пересекла ребра AA’ в точке U и ребро AD в точке N.

Продлим ребро CB, так чтоб оно пересекло след QS в точке V.

Проведем через точки V и Z прямую, так чтоб эта прямая пересекла ребра ВВ’ в точке W и ребро С’В’ в точке Н.

Соединим точки N и U (пересекая точку Х), точки U и W, точки W и H (пересекая точку Z), точки H и N (пересекая точку Y).

Получаем HNUW — искомое сечение.

Ответ: HNUW — искомое сечение

Рисунок 5

Задача №2

Дан куб. Ребро куба равно a. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через середины ребер АА1, AD и A1B1.

Рисунок 8

Обозначим названные в условии середины ребер соответственно через M, P, K.

Продлим отрезок MK до его пересечения в точках T и E с продолжениями ребер BB1 и BA.

Продлим ребро ВС.

Через точки E и P проведем прямую до ее пересечения в точке S с продолжением ребра BC.

Проведем прямую через точки S и T.

Соединив точки K, M, P, L, F, H, получаем сечение куба в виде многоугольника.

Так как противоположные стороны этого многоугольника лежат на пересечении параллельных граней плоскостью сечения, то они параллельны.

Рассмотрим ∆КТВ и ∆КА1М:

∠ТКВ=А1КМ (вертикальные)

КА1М=КВТ (накрест лежащие)

ВК=КА1 (по условию)

(по стороне и двум прилежащим углам).

Аналогично 1

Рассмотрим ∆АРЕ и ∆РDL:

АРЕLPD (вертикальные)

LDPPAE (накрест лежащие)

AP=PD (по условию)

(по стороне и двум прилежащим углам).

(.)H и (.)F являются серединами сторон B1C1 и CC1 соответственно.

Рассмотрим ∆HC1F:

По теореме Пифагора:

2 2 2

Ответ:

Рисунок 9

Задача №3

Пусть О и О’ – две противоположные вершины куба. Соединим отрезками прямых середины шести ребер куба, не содержащих ни одну из вершин О и О’. Доказать, что все точки, делящие пополам указанные ребра куба, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного шестиугольника.

Рисунок 10

Пусть О и О’ – противоположные концы диагонали куба.

А, В и С – концы ребер, исходящих из вершины О, A’, B’ и С’ – концы ребер, исходящих из вершины О’, так что ОА О’A и так далее.

L, M’, N, L’, M и N’ – середины ребер BC, CA’, AB, BC’, CA и AB’.

OM, ON’, OL, OM’, ON, OL’, OM, ON’, OL, OM’, ON, OL’ равны, потому что все грани куба представляют собой конгруэнтные квадраты, а эти отрезки соединяют в каждой грани одну из вершин с серединами двух сторон, исходящих из противоположной вершины.

Таким образом, точки M, N’, L, M’, N, L’ лежат на поверхности двух сфер одного и того же радиуса с центрами в вершинах куба О и О’ и, следовательно, располагаются в одной плоскости, перпендикулярной отрезку ОО’, образуя в ней вершины шестиугольника, вписанного в окружность, по которой пересекаются обе сферы.

MN’ – средняя линия в треугольнике BAC’ и равна половине диагонали грани ACOB’.

Аналогично равны остальные стороны шестиугольника => шестиугольник MLNMLN’ – правильный.

Ответ: доказано, что все точки, делящие пополам указанные ребра куба, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного шестиугольника.

Рисунок 11

Задача №4

Пусть РАВС — тетраэдр. Начертите его сечение плоскостью а = (МЕК), если точки М и Е лежат на медианах PH и CF треугольников соответственно РАВ и РВС, а точка К — середина ребра PC.

Рисунок 12

EK пересекает грань CAB в точке N, при этом точка N принадлежит плоскости САВ.

КN пересекает ВР в точке Q.

QM пересекает АВ в точке Т.

QT пересекает AР в точке Z.

Последовательно соединив точки N, K, Z, T получаем сечение NKZT.

Рисунок 13

Задача №5

ABCDA’B’C’D’ — куб. Начертите его сечение плоскостью а = (РМК), если точки М, Р и К — середины ребер соответственно АВ, ВС и DD’.

Рисунок 14

Соединим точки Р и М и продлим эту прямую до пересечения с продолжением ребра DA в точке Е.

Продлим прямую MP до пересечения с продолжением ребра DC в точке F.

Соединим точки F и K, точку пресечения этой прямой с ребром CC’ назовем точкой Q.

Соединим точку К и точку Е, где прямая КЕ пересечет ребро AA’ в точке N.

Соединив точки М, Р, Q, K, N получим исходное сечение МРQKN.

Рисунок 15

Ответ:МРQKN – исходное сечение

Задача №6

SABCD– четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD, а две боковые грани SAB и SAD представляют собой прямоугольные треугольники с прямым углом A. Проведите плоскость α через точку пересечения диагоналей основания параллельно грани SBC. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если SA=AB=a.

Рисунок 16

AC пересекает BD. Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Заметим, что так как

Проведем в плоскости SAC прямую .

Т.к. O – середина AC, то по теореме Фалеса K – середина SA.

Через точку K в плоскости SAB – середина AB.

Плоскость, проходящая через прямые OK и KM, и будет искомой плоскостью.

Так как то α пересечет плоскость SCD по прямой (если то что невозможно из-за их параллельности).

KMNP – искомое сечение, причем трапеция.

Так как точки K, M, N, P – середины отрезков SA, AB, CD, SD соответственно, то

По теореме о трех перпендикулярах SBBCKMMNKMNP – прямоугольная трапеция.

Ответ:

Рисунок 17

Задача №7

ABCDA’B’C’D’ — куб с ребром а. Точка Р — середина А’В’, точка К — середина СС’; точка D — середина AM. Постройте сечение куба плоскостью РМК.

Рисунок 18

Опустим проекцию точки Р на DA’, которая совпадает с вершиной A’.

РА перпендикулярно D’A’.

МА’ принадлежит плоскости DAA’.

MA’ пересекает DD в точке Z.

KZ принадлежит плоскости CC’D’.

Р ассмотрим ∆MZD и ∆MA’A:

∠ZDM= ∠A’AM=90 ∆MZD ∆MA’A (по двум углам) ⇒

ZMD – общий

Точка Z делит DD’ в отношении:⇒KZBA’∥CDKB’∥ZA

Соединив последовательно точки, мы получим ZABK – искомое сечение.

Ответ: ZA’BK – искомое сечение

Рисунок 19

Задача №8

Дан куб ABCDA’B’C’D’. Диагонали основания AC и BD пересекаются в точке O. Найдите сечение куба плоскостью α, проходящей через точку A перпендикулярно прямойAO.

Рисунок 20

Если AOα, то AO перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости α.

Проведем в плоскости AACC AQ⊥A’O. Они пересекутся в точке Q.

Через точку Q проведем еще одну прямую перпендикулярно A’O.

Проведем через точку Q прямую RS⊥A’O.

По теореме о трех перпендикулярах A’O⊥BD как наклонная (A1A⊥(ABC), AO⊥BD – проекция), то .

Проведем прямые AR и AS. Они могут пересечь либо сами ребра DD’ и BB’, либо их продолжения. Т.к. от этого зависит вид сечения, определим расположение точек R и S:

Обозначим ребро куба за a. Тогда

Рассмотрим прямоугольный △AAO:

Так как AQ⊥A’O, то по свойству прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора получаем

Так как , то .

Аналогично

Заметим, что с коэффициентом подобия

Аналогично .

Получили линии пересечения плоскостей AA’D’ и AA’B’ с плоскостью α – прямые AM и AP.

Так как то плоскость α пересечет их по параллельным прямым⇒ в плоскости DD’C’ через точку M нужно провести прямую, параллельную AP.

Так как M и P – середины DD’ и BB’, то .

сечение куба плоскостью α – это AMC’P.

Ответ: AMC’P – искомое сечение

Рисунок 21

Задача №9

Дана правильная треугольная пирамида SABC с вершиной S. Проведите плоскость через середину ребра AC и точки пересечения медиан граней ASB и CSB. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью, если AB=21, AS=12 .

Рисунок 22

Пусть, K – середина AC.

SX и AL – медианы грани ASB.

CL, SY – медианы грани CSB.

AL пересекает SX в точке М.

CL пересекает SY в точке N.

SO – высота пирамиды.

Так как пирамида правильная, то ∆SXY – равнобедренный.

(по свойству медианы) ⇒.

Прямая, проходящая через точку K и параллельная MN– это AC ⇒сечением является равнобедренный ∆ALC.

Рисунок 23

LK пересекает SO в точке Н.

по теореме о трех перпендикулярах HK⊥AC как наклонная , как проекция). Следовательно, и LK⊥AC.

Рисунок 24

Рассмотрим ∆SKB:

(по теореме Пифагора)

.

По теореме косинусов для ∆KLB:

KL2

Ответ:

Рисунок 25

Задача №10

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD’, в основании которого лежит квадрат ABCD. На ребрах BB’, CC’, DD’ отмечены точки M, N, K соответственно так, что = , = , = . Найдите отношение отрезков, на которые делит плоскость MNK диагональ AC.

Рисунок 26

О бозначим ребро основания за a, а боковое ребро за b.

Рисунок 27

Найдем положение точек R и T, в которых плоскость пересекает ребра AB и AD соответственно:

Продлим отрезки NK и CD до пересечения в точке Q.

Рассмотрим ∆KDQи ∆QCN:

NQC-общий

(по условию) (по двум углам)

Аналогично из

Из (3) и (4)Соединив точки Q и O, получим точки пересечения плоскости с ребрами AB и AD.

Рассмотрим основание:

Рисунок 28

Р ассмотрим ∆OBR и∆OCQ:

COB-общий ∆OBR ∆OCQ

(по условию) (по двум углам).

Аналогично :

проведем прямую , G принадлежит AC.

Рисунок 29

∆ARG – прямоугольный и -равнобедренный

(по теореме Фалеса)

(по теореме Пифагора)

Из (2) и (3)

Р ассмотрим ∆AST и∆RSG:

(вертикальные)

(накрест лежащие при и секущей OQ)

Ответ:

Рисунок 30

Изображения многоугольников

Куб

Параллелепипед


Призма

Октаэдр

Тетраэдр

Звездчатый октаэдр

Выпуклый додекаэдр

Девятиугольный кристалл

Икосаэдр

 

Построение простого выпуклого многогранника

Подготовка к построению:

Трубочки;

Леска (не менее 0.5 мм в диаметре (для удобства сборки));

Для начала вам понадобится посчитать сколько лески понадобиться. Для удобства можно воспользоваться формулой:

Количество рёбер многогранника 2 длину трубочки запас ⇒6 (количество рёбер тетраэдра) 3,5 (длина одной трубочки) 2 60 см (запас) 100 см;

Длина одной трубочки: 3,5 (зависит от размера желаемой модели);

Сборка модели:

Возьмём 3 трубочки и леску;

Надеваем три трубочки на леску и продеваем через последнюю трубочку леску(начало) в противоположном направлении конца лески, затягиваем;

На этом этапе у вас должен треугольник;

Выравниваем концы лески, так чтоб они были равны;

Надеваем ещё две трубочки на леску и продеваем через последнюю трубочку второй конец лески, затягиваем;

Леску, которая находится при основании тетраэдра, продеваем через ребро того же основания, на неё нанизываем одну трубочку и другой конец лески продеваем в противоположном направлении первой, затягиваем.

Заключение

Геометрия полна приключений, потому что

за каждой задачей скрывается приключение мысли.

Решить задачу – это значит пережить приключение.

В. Произволов

Задачи на построение сечений многогранников являются неотъемлемой частью геометрии. Решение только этих математических задач включает в себя этапы анализа, построения, доказательства и исследования. Поэтому задачи на построение сечений многогранников играют важную роль в формировании пространственного, алгоритмического и логического мышления.Пространственное мышление играет важную роль в познании человеком окружающей действительности, в овладении им различными профессиями.

Во время выполнения работы мы изучили научную литературу по данной теме, которая помогла нам ознакомиться с методами нахождения и построения сечений в многогранниках. В нашей работе мы рассмотрели задачи повышенной сложности по теме исследования.

Мы самостоятельно изучили технологию построения 3D моделей с помощью интернет-ресурсов, которая включает в себя создание моделей многогранников с использованием коктейльных трубочек и лески.

В ходе работы мы выяснили, что наиболее эффективно при изучении вопросов, связанных с построением сечений, применение каркасных моделей, которые могут быть самостоятельно изготовлены, и на которых можно продемонстрировать реальное сечение с помощью подручных средств.

Таким образом, наши цели и задачи работы выполнены.

Список литературы

1. «Венгерские математические олимпиады» (Й. Кюршак, Д. Нейкомм, Д. Хайош, Я. Шурани)

2. «Математика профильный уровень опорные задачи по геометрии. Планиметрия. Стереометрия» (Е.В. Потоскуев)

3. «Сборник задач московских математических олимпиад» (Г.И. Зубелевич)

4. «Московские математические олимпиады» (Г.А. Гальперин, А.К. Толпыго)

5. http://novijmir.blogspot.com/2013/06/blog-post_11.html

6. https://svadba-inform.ru/doc1011_1_3920.html \

7. http://www.matznanie.ru/xbookM0001/index.html?go=part-063*page.htm

8. https://shkolkovo.net/catalog/zadachi_po_stereometrii/postroenie_sechenij

9. https://sites.google.com/site/polyhedrasection2014/postroenie-secenij/sloznye-secenia-metod-sledov

Просмотров работы: 46