XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Альтернативные методы решения задач на построение

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Гнатко И.В. 1

---

1МБОУ "Лицей №159"

Бутакова В.И. 1

---

1МБОУ "Лицей №159"

Работа в формате PDF

1.6 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Название проекта: «Альтернативные методы решения задач на построение»

Фамилия, имя, отчество разработчика проекта: Гнатко Илья Витальевич

Класс: 10 «Б» специализированный класс инженерно-технологического направления

Название, номер учебного учреждения, где выполняется проект: МБОУ «Лицей №159»

Предметная область: геометрия

Время разработки проекта: сентябрь 2020 - сентябрь 2021

Проблема исследования: альтернативные методы решения задач на построение не изучаются в школьном курсе математики, в то время, как на олимпиадах по геометрии такие методы решения задач встречаются очень часто.

8. Цель работы: изучить альтернативные методы решения задач на построение и научиться применять их на практике с наименьшими временными затратами.

9. Задачи работы:

Изучить теоретические основы следующих методов: симметрии, подобия, поворота, геометрических мест точек, параллельного переноса, гомотетии, а также метод вспомогательной окружности;

Обобщить и систематизировать различные приемы решения планиметрических задач;

Выяснить практическое применение альтернативных методов решения в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах;

Анализ учебников по геометрии основной школы 7-9 классов;

Создание творческих проектов по теме исследования.

Тип работы: поисковый

Используемые технологии: мультимедиа

Форма продукта проекта: презентация, научно-исследовательская работа

12.Содержание:

Введение

Основные теоретические сведения

Метод подобия

Метод симметрии

Метод параллельного переноса

Метод поворота

Метод гомотетии или подобия

Метод вспомогательной окружности

Анализ учебников по геометрии основной школы

Заключение

Приложение. Творческие работы по теме исследования

13. Актуальность исследования:

1. Данная тема является дополнением изученных тем в курсе геометрии.

2. Применение опыта решения геометрических задач на построение помогает повысить уровень логической культуры.

3. Задачи на построение вырабатывают и помогают лучше представить конкретную геометрическую фигуру и дополнительные элементы. Изучение данной темы поможет подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах и при подготовке к ОГЭ.

14. Исследование проекта: творческие работы (Приложение)

Введение

Стремительные изменения в науке, технике и производстве предъявляют новые требования к математической подготовке компетентного, конкурентоспособного выпускника. Проблема формирования конструктивно-геометрических умений и навыков учащихся является важным фактором, способствующим развитию человека, его готовности к непрерывному образованию и профессиональной деятельности как в технической, так и любой другой сфере.

Актуальность выбранной темы объясняется тем, что как только ученики начинают выполнять геометрические построения, возникает много вопросов о том, какие существуют способы решения и какие существуют методы доказательства данной задачи, и очень немаловажный вопрос о том, сколько решений может иметь задача. Задачи на построение вырабатывают и помогают лучше представить конкретную геометрическую фигуру и дополнительные элементы. Все это помогает развивать пространственное мышление школьников. Также геометрические задачи на построение способны повысить уровень логического мышления, интуиции, внимания, целеустремленности, изобретательности, дисциплинированности и трудолюбия.

Исходя из вышесказанного, проблема исследования состоит в следующем: альтернативные методы решения задач на построение либо совсем не изучаются в школьном курсе математики, либо часов, выделенных на изучение данной темы сравнительно мало, по сравнению с другими. В то время, как на олимпиадах по геометрии такие методы решения задач встречаются очень часто.

Цели научно-исследовательской работы: изучить альтернативные методы решения задач на построение и научиться применять их на практике с наименьшими временными затратами.

Задачи научно-исследовательской работы:

Изучить теоретические основы следующих методов: симметрии, подобия, поворота, геометрических мест точек, параллельного переноса, гомотетии, а также метод вспомогательной окружности;

Обобщить и систематизировать различные приемы решения планиметрических задач;

Выяснить практическое применение альтернативных методов решения в задачах по геометрии школьного курса и в конкурсных задачах; 

Анализ учебников по геометрии основной школы 7-9 классов;

Создание творческих проектов по теме исследования.

Тип работы: поисковый

Используемые технологии: мультимедиа

Форма продукта проекта: презентация, научно-исследовательская работа, творческие проекты (приложение).

Некоторые геометрические задачи можно решать несколькими способами. Но в разных случаях решения будут разные по коэффициенту сложности. Геометрические преобразования значительно упрощают целый ряд геометрических задач на доказательство, вычисление и построение.

Основные теоретические сведения

Метод подобия

Во многих случаях бывает удобно строить не искомую фигуру, а начать с построения фигуры, ей подобной, после чего нетрудно перейти к требуемой. В этом случае данные для построения фигуры разделяются на два класса: одни дают возможность построить фигуру, подобную искомой, а другие служат для того, чтобы от этой фигуры перейти к требуемой. Этот прием особенно удобен в тех случаях, когда только одна из данных величин определяет какой-нибудь линейный элемент искомой фигуры, а все другие представляют собой углы или отношения сторон. Например, если для построения треугольника даны два угла или угол и отношение сторон, заключающих этот угол, или отношение трех сторон и, кроме того, один линейный элемент: сторона, высота, медиана, биссектриса, радиус вписанной или описанной окружности и т.д., то вначале, не обращая внимания на данный линейный элемент, строят фигуру, подобную искомой, а потом, вводя требуемую линию, переходят к искомой фигуре. Метод подобия успешно применяется при решении задач на вписывание одних. В своей работе я привожу решения задач на построение с использованием метода симметрии, метода параллельного переноса, метода поворота и метода подобия, а также метода гомотетии и геометрических мест точек.

1.2 Метод симметрии и спрямления

Может случиться, что фигура, которую требуется построить, имеет точки, симметричные относительно некоторой прямой или точки. В таком случае целесообразно выполнить преобразование симметрии относительно этой прямой и отрезки, которые можно уложить на одной прямой.

Проиллюстрируем метод симметрии на следующих примерах.

Пример 1. Дан угол АВС и точка О внутри него. Провести через точку О прямую, отрезок которой заключенный между сторонами угла, делился в точке О пополам.

Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и MN-искомая прямая (рис.).

Примем точку О за центр симметрии. Тогда точки М и N симметричны относительно точки О. Пусть прямая АВ симметрична АВ относительно точки О. Так как точка М симметрична точке N, лежащей на прямой АВ, то прямая АВ должна пройти через точку М. Таким

образом, точка М должна быть точкой пересечения прямых ВС и АВ.

Построение.

1. Строим прямую АВ, симметричную прямой АВ относительно центра О (для этого находим точку А, симметричную точке А, и В, симметричную В относительно точки О).

2. Находим точку пересечения М прямых ВС и АВ и соединяем её с точкой О. Получим искомую прямую MN.

Доказательство вытекает из анализа и построения , поэтому его опустим.

Исследование.

Из анализа и построения можно сделать вывод о том, что задача всегда имеет только одно решение.

Пример 2.Даны три прямые a, b и c. Построить отрезок АВ, перпендикулярный прямой c, с серединой на этой прямой и концами на прямых а и b.

Решение.

Анализ. Допустим, что задача решена. Тогда концы искомого отрезка АВ симметричны относительно прямой с (рис.). Поэтому, если подвергнуть преобразованию симметрии прямую а относительно прямой с, то она перейдет в прямую а, проходящую через точку В. Таким образом, точка В получается в пересечении прямой b и прямой а.

Построение.

1. Возьмем любые три прямые а, b, c.

2. Построим образ а прямой а относительно прямой с.

3. Прямые а и b пересекаются в точке В.

4. Проводим через точку В прямую, перпендикулярную прямой с. Она пересечет прямую а в точке А. Отрезок АВ - искомый.

Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача всегда имеет единственное решение.

Метод параллельного переноса

Метод параллельного переноса состоит в том, что отдельные части искомой фигуры переносятся параллельно с целью получения новой фигуры, допускающей известное построение. Уяснить этот метод поможет следующий пример.

Пример 3. Построить трапецию по основаниям и диагоналям.

Решение.

Анализ. Допустим задача решена и трапеция ABCD построена(рис.).

Перенесем диагональ BD параллельно так, чтобы её вершина В совпадала с вершиной С. Теперь у треугольника АСD₁ известны все стороны: две из них равны диагоналям трапеции, а

третья- сумме оснований. Отсюда получается следующее построение.

Построение.

1. По данным задачи строим сначала треугольник ACD₁.

2. Строим точку D (AD- известное основание трапеции).

3. Через точку С проводим прямую, параллельную СD₁. Они пересекутся в точке В.

Трапеция АВСD имеет заданные основания и диагонали.

Доказательство следует из анализа и построения.

Исследование. Задача будет иметь решение только в том случае, когда будет построен треугольник АСD₁. ААСD₁ можно построить ,если

d₁-d₂<a+b<d₁+d₂ (1), где a, b- основания трапеции , d₁ и d₂ - диагонали трапеции. Причем, AD₁ =a+b, AC=d₁ , CD₁=d₂. Условие (1) вытекает из неравенства треугольников.

Метод поворота

Метод поворота при в решении задач на построение состоит в том, что отдельные элементы фигуры поворачиваются с целью получения новой фигуры, построение которой известно. Приведем пример, иллюстрирующий применение этого метода.

Пример 4: Даны три параллельные прямые a, b и с. Построить равносторонний треугольник АВС, вершины А, В, С которого лежат на данных прямых.

Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и АВС - искомый (рис.1).

Рис. 1

Так как АВ=АС и ВАС=60⁰, то точка В переходит в точку С при повороте вокруг точки А на угол 60⁰ или на угол -60⁰ (ибо ВАС=+60⁰ или -60⁰). Пусть, например, точка В переходит в точку С при повороте вокруг точки А на угол +60⁰. Точка В лежит на прямой b. Поэтому точка С, получающаяся из нее поворотом вокруг точки А на угол +60⁰ должна лежать на прямой b, получающейся из прямой b поворотом вокруг точки А на угол +60⁰. Кроме того, точка С лежит, по условию, на прямой с. Поэтому точка С есть точка пересечения прямых b и с.

Рис.2

Аналогично, если точка В переходит в точку С при повороте на угол -60⁰ вокруг точки А (рис.2), то С есть точка пересечения прямой с и прямой b, получающейся из прямой b поворотом вокруг точки А на угол -60⁰.

Построение.

1) Выберем точку А на прямой а произвольно.

2) Построим прямую b, получающуюся из прямой b поворотом вокруг точки А на угол +60⁰(рис. 1).

3) В пересечении прямых b и с получаем точку С.

4) Третья вершина искомого треугольника АВС получается из точки С поворотом вокруг точки А на угол -60⁰.

Другое построение мы получим, заменяя поворот вокруг точки А на угол +60⁰ поворотом вокруг той же точки на угол -60⁰ (рис.2).

Доказательство. При повороте вокруг точки А на угол -60⁰ прямая b переходит в прямую b (рис.1). Следовательно, точка С прямой b переходит при этом же повороте в точку, лежащую на прямой b. Иначе говоря, точка В лежит на прямой b. Далее по определению поворота , мы имеем: ВАС=60⁰, АС=АВ. Поэтому АВС - равнобедренный с углом 60⁰ при вершине; следовательно, он -равносторонний. Точно так же доказывается, что равносторонним является и изображенный на рис.2 треугольник.

Исследование. Прямая b (рис.1) не параллельна прямой b , т.к. угол между прямыми b и b равен 60⁰ по свойству поворота. Поэтому прямая b пересечет прямую с, параллельную прямой b, в некоторой точке С. Следовательно, АВС всегда существует. Также всегда существует и изображенный на рисунке треугольник. Поэтому при выбранной точке А задача всегда имеет два решения.(Точка А может быть выбрана на прямой а произвольно).

Метод гомотетии или подобия

Методом гомотетии как правило решаются задачи, в которых необходимо построить фигуру, в которой заданы величины углов, отношения отрезков и по крайней мере один линейный элемент.

Метод подобия в решении задач на построение состоит в следующем.

Некоторые задачи при отбрасывании в них одного из условий (линейного элемента) становятся неопределенными, допускают бесчисленное множество решений. Но эти решения дают фигуры, подобные искомой. В этом случае, построив одну из таких фигур, преобразованием подобия (гомотетии) получают искомую.

Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 5: Дан угол АВС и точка М внутри этого угла. Построить окружность S, касающуюся сторон угла и проходящую через точку М.

Решение.

Анализ. Предположим, что задача решена и S- искомая окружность (рис.). Произведём гомотетию с центром в точке В и каким-либо коэффициентом гомотетии k. При этом окружность S перейдет в окружность R, также вписанную в угол АВС, но уже, вообще говоря, не проходящую через точку М; если зафиксировать где-либо на биссектрисе угла АВС центр Q окружности R, то мы сможем её построить. Окружность S пока указана быть не может (ибо мы не знаем коэффициента k гомотетии, переводящего окружность S в окружность R); мы знаем только, что окружность S проходит через точку М. Рассматриваемая гомотетия переводит точку М окружности S в точку N окружности R, лежащую на прямой ВМ; эту точку можно найти (как точку пересечения прямой ВМ с окружностью R). Далее, радиус ОМ окружности S гомотетичен радиусу QN окружности R; следовательно, ОМ QN(по свойству гомотетии). Поэтому центр О искомой окружности S можно найти как точку пересечения биссектрисы BQ угла АВС и прямой МО, параллельной NQ.

Построение.

1) Строим произвольную окружность R, вписанную в угол АВС; центр этой окружности обозначим через Q.

2) Пусть N - точка пересечения окружности R и прямой ВМ.

3) Точка О - точка пересечения биссектрисы угла АВС и прямой МО, параллельной прямой NQ.

4) Окружность S с центром О и радиусом ОМ и будет искомой.

Доказательство.Гомотетия с центром В и коэффициентом переводит окружность R окружность S, проходящую через точку М и, так же как и окружность R, вписанную в угол АВС, т.е. в искомую окружность. Радиусу NQ окружности R гомотетичен радиус МО окружности S; поэтому МОNQ и центр S - это есть точка пересечения прямой МОNQ и биссектрисы угла АВС. (Центр О окружности S принадлежит биссектрисе угла АВС, т.к. окружность S касается сторон угла).

Исследование. Прямая МВ пересекает окружность R в двух точках N и N₁. Используя в нашем построении одну или другую из этих точек, мы получим две окружности S и S₁, удовлетворяющих условию задачи. (Окружность S₁ на рис. ). Таким образом, задача имеет два решения.

1.6 Метод вспомогательной окружности

Суть метода заключается в том, что при решении планиметрических задач, когда требуется установить связь между данными и искомыми величинами, нередко полезно около треугольника или четырехугольника описать окружность, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.

Анализ решения достаточно большого круга задач показывает, что использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче.

Целесообразность применения метода зависит от этих признаков. А они основаны на теоремах и их следствиях, изучаемых в курсе геометрии 8, 9 классов.

Перечислим основные теоремы:

1) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

2) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

3) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

4) Угол, с вершиной внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых расположена внутри этого угла, а другая – внутри угла, вертикального к данному.

5) Угол, вершина которого расположена вне круга, а каждая из сторон пересекает окружность в двух точках, измеряется полуразностью дуг, заключенного внутри угла.

6) Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри этого угла.

7) В любой треугольник можно вписать окружность и притом единственную.

Около любого треугольника можно описать единственную окружность.

Из всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность, центр которой – точка пересечения диагоналей.

Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобочная.

В процессе изучения метода вспомогательной окружности необходимо научиться выделять и использовать те признаки, наличие которых в задаче приводит к построению вспомогательной окружности и с ее помощью устанавливать связи между необходимыми объектами и величинами, определенными условием задачи. Тем более, что задачи на использование метода вспомогательной окружности, частые гости на ЕГЭ и на экзаменах за курс основной школы.

Вот эти признаки:

1) Если дан правильный треугольник, то можно провести окружность с центром в любой из его вершин и радиусом, равным длине его стороны, либо описать около него окружность, которая разобьется вершинами треугольника на равные дуги по 120⁰ каждая.

2) Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы, а радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе этого треугольника.

3) Если удается установить, что суммы противоположных углов выпуклого четырехугольника равны, то вокруг него описывается окружность.

4) Если дан квадрат ,прямоугольник или равнобедренная трапеция, то вокруг них описывается окружность.

5) Пусть около треугольника АВС описана окружность с центром О. Если точки О и С лежат по одну сторону от прямой АВ, то согласно свойству вписанного и центрального углов; если же эти точки лежат по разные стороны от АВ, то . Обратно, если: 1) точки О и С лежат по одну сторону от АВ, и или 2) точки О и С лежат по разные стороны от АВ, и , то точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС.

6) При определенных условиях окружность можно описать и около четырехугольника. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 180⁰, а углы ABD и ACD, опирающиеся на одну и туже дугу, равны (рис. 1). Верно и обратное предложение.

Точки A, B, C, D лежат на одной окружности, если: 1) ABCD – выпуклый четырехугольник и сумма его противоположных углов равна 180⁰ или 2) точки В и С лежат по одну сторону от прямой AD и (то есть отрезок AD виден из точек В и С под равными углами).

1.7. Метод геометрических мест точек

Следует запомнить, что любая задача на определение геометрического места точек состоит из двух частей: прямого утверждения (все точки, имеющие заданное свойство, принадлежат некоторой линии или области на плоскости) и обратного утверждения (любая точка найденной линии, области имеет заданное свойство).

Решение задач методом ГМТ заключается в следующем:

А) задача формулируется так, чтобы ее решение сводилось к нахождению фигуры, удовлетворяющей одному или нескольким условиям.

Б) Если условие одно, то решением задачи будет соответствующее ГМТ. Если же условий несколько, то, отбросив одно из них, мы получим новую задачу, решением которой будет одно или несколько ГМТ. Это ГМТ обыкновенно является известным и легко строится.

В) После этого, приняв во внимание отброшенное условие и отбросив какое-либо другое условие, получим новое ГМТ.

Г) Точки, являющиеся решением задачи (т.е. удовлетворяющие всем ее условиям), должны принадлежать как первому, так и второму ГМТ. Значит, они должны принадлежать их пересечению.

Задача будет иметь решение или нет в зависимости от того, будут или нет ГМТ иметь общие точки. Она будет иметь столько решений, сколько имеется точек пересечения.

Анализ учебников по геометрии основной школы

1) Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов [7]

а) 7 класс: содержит четыре главы. Тема “Задачи на построение” изучается в конце главы 2 “Треугольники”. В этом параграфе содержатся пункты “Окружность”, “Построения циркулем и линейкой” и “Примеры задач на построение”. Основываясь на том, что учащиеся умеют с 5 и 6 класса выполнять основные построения с помощью циркуля и линейки, в теме рассматриваются задачи на построение такие как: построение отрезка, равного данному; построение угла, равного данному; построение биссектрисы угла, перпендикулярных прямых и середины отрезка. Схема, по которой решаются задачи на построение, не вводится. Основная цель главы 2 – отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки (см. Приложение 1).

В главе 3 “Параллельные прямые” рассматривается построение параллельных прямых с помощью чертежного треугольника и линейки, а также с помощью циркуля и линейки по заданной прямой и точке (в форме задачи).

В главе 4 “Соотношения между сторонами и углами треугольника” рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам и по трем сторонам. Данная глава содержит целый блок задач на построение для самостоятельного решения, который состоит в основном из задач на построение различных треугольников по различным элементам.

В конце 7 класса также имеется блок задач на построение, перед которым описывается схема, по которой решают задачи на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. Приводится пример.

б) 8 класс: содержит пять глав. В главе 5 “Четырехугольники” после изучения многоугольника, параллелограмма и трапеции вводится блок задач на построение параллелограмма и трапеции по различным элементам. Перед этим еще раз идет повторение схемы решения задач на построение. В этой же главе после изучения прямоугольника, ромба и квадрата предлагается решить задачи на их построение.

В главе 7 “Подобные треугольники” рассматриваются задача на построение треугольника, при решении которой применяется метод подобия (в данном случае треугольников), в качестве практического приложения подобия треугольников. Также приводится ряд задач на построение треугольников по данным отношениям для самостоятельного решения. Основная цель главы 7 – сформировать понятие подобных треугольников, выработать умение применять признаки подобия треугольников, сформировать аппарат решения прямоугольных треугольников (см. Приложение 1).

В начале главы 8 “Окружность” в пункте “Касательная к окружности” решается задача о проведении касательной к окружности через данную точку. Говорится о том, что решение подобных задач основано на теореме (признаке касательной). Также в главе изучаются четыре замечательные точки треугольника. Задачи на построение (касательной к окружности, серединного перпендикуляра к отрезку) содержит каждый пункт главы. Основная цель главы 8 – дать учащимся систематизированные сведения об окружности и ее свойствах, вписанной и описанной окружностях (см. Приложение 1).

В конце 8 класса в разделе задач повышенной трудности встречается задача на построение равнобедренной трапеции по основаниям и диагоналям. А также построения встречаются в задачах на повторение.

в) 9 класс: содержит четыре главы. В главе 12 “Длина окружности и площадь круга” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается построение правильных многоугольников. Предлагается с помощью циркуля и линейки вписать в окружность различные правильные многоугольники. Также построения встречаются в задачах не повторение. Основная цель главы 12 – расширить и систематизировать знания учащихся об окружностях и многоугольниках (см. Приложение 1).

В главе 13 “Движения” изучаются симметрии, поворот и параллельный перенос. В конце главы содержатся задачи на построение, решение которых основано на изученном материале. Основная цель главы 13 – познакомить с понятием движения на плоскости: симметриями, параллельным переносом, поворотом (см. Приложение 1).

2) А.В. Погорелов [5]

а) 7 класс: содержит пять параграфов. В §1 “Основные свойства простейших геометрических фигур” рассматривается, как построить параллельные прямые с помощью угольника и линейки. В §2 “Смежные и вертикальные углы” рассматривается, как построить перпендикулярные прямые с помощью угольника и линейки. §5 “Геометрические построения” содержит пункт “Что такое задачи на построение”, где рассказывается о чертежных инструментах и о том, что значит решить задачу на построение. Схема решения не вводится. В следующих пунктах рассматриваются задачи на построение треугольника с данными сторонами; угла, равного данному; биссектрисы угла; деление отрезка пополам; построение перпендикуляра к прямой. Далее идут пункты “Геометрическое место точек”, в котором вводится определение ГМТ и Теорема о ГМТ, равноудаленных от двух данных точек; а также “Метод геометрических мест”, который раскрывает сущность данного метода. В конце параграфа приводится ряд задач на построение для самостоятельного решения. В основном это задачи на построение треугольника и окружности по данным элементам и задачи на ГМТ. Основная цель §5 – решать простейшие задачи на построение с помощью циркуля и линейки (см. Приложение 1).

б) 8 класс: содержит пять параграфов. В конце §6 “Четырехугольники” содержится задача на построении четвертого пропорционального отрезка. Также содержится ряд задач на построение параллелограмма, ромба и трапеции по данным элементам. Основная цель §6 – дать учащимся систематизированные сведения о четырехугольниках и их свойствах (см. Приложение 1). В §9 “Движение” изучаются геометрические преобразования: центральная и осевая симметрии, поворот, параллельный перенос. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель §9 – познакомить учащихся с примерами геометрических преобразований (см. Приложение 1).

в) 9 класс: в §11 “Подобие фигур” изучаются геометрические преобразования: подобие и гомотетия. В конце параграфа приведены задачи на построение, решение которых основано на методах данных преобразований. Основная цель §11 – усвоить признаки подобия треугольников и отработать навыки их применения (см. Приложение 1). В §13 “Многоугольники” рассматриваются построения некоторых правильных многоугольников. В конце имеется пара задач: вписать в окружность n-угольник и описать около окружности правильный n -угольник. Основная цель §13 – расширить и систематизировать сведения о многоугольниках и окружностях (см. Приложение 1).

3) А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик [6]

а) 7 класс: содержит три главы. В главе 1 “Начала геометрии” в §5 “Окружность и круг” содержится пункт “Построения циркулем и линейкой”, в котором рассказывается о чертежных инструментах, с помощью которых выполняются задачи на построение. Тут же приводится задача на построение треугольника, стороны которого равны сторонам данного треугольника. Приводится построение, доказательство и исследование, но на общей схеме внимание не заостряется. §6 “Углы” содержит пункт “Построение угла, равного данному, циркулем и линейкой”. Для самостоятельного решения задач нет. В §7 “Действия над углами” рассматривается задача на построение биссектрисы угла, которая решает еще две задачи: в данной точке прямой провести перпендикуляр к ней, построить прямой угол. Также параграф содержит пункт “Задача о делении угла на равные части циркулем и линейкой”, в котором рассказывается о неразрешимости задачи о трисекции угла. Основная цель главы 1 – рассказать о задачах систематического курса геометрии и заложить основу для его построения (см. Приложение 1).

В главе 2 “Треугольники” в §10 “Признаки равенства треугольников” рассматривается задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними. В §11 “Серединный перпендикуляр” первыми пунктами идут задачи о делении отрезка пополам и о построении перпендикуляра к данной прямой через данную точку, не лежащую на данной прямой. В конце параграфа содержится несколько задач на построение. Основная цель главы 2 – развить навыки решения задач на построение с помощью циркуля и линейки, начать знакомство с симметриями фигур (см. Приложение 1).

В главе 3 “Параллельность” в §13 “Параллельные прямые” изучается, как строить параллельные прямые с помощью угольника и линейки. В §14 “Аксиома параллельности” рассматривается задача о построении треугольника по стороне и двум прилежащем к ней углам.

б) 8 класс: содержит три главы. В главе 5 “Метрические соотношения в треугольнике” в § “Применение теоремы Пифагора” содержится пункт “Геометрическое место точек”, где объясняется, что значит, когда про фигуру говорят, что она является ГМТ, обладающих данным свойством. Также приводятся примеры, каким ГМТ являются биссектриса и серединный перпендикуляр. Параграф содержит такие задачи как, например, найти ГМТ, равноудаленных от прямой на данное расстояние; найти ГМТ, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

в) 9 класс: содержит две главы. В главе 7 “Многоугольники и окружности” в задачах для самостоятельного решения к §31 “Хорды и касательные” содержатся задача на нахождение ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом; задача на построение касательной к окружности из данной точки, общей касательной к двум окружностям. §33 “Правильные многоугольники” содержит пункт “Построение правильных многоугольников” с помощью циркуля и линейки. Также в нем рассказывается о том, что циркулем и линейкой могут быть построены не все правильные n -угольники, а только те, у которых n имеет определенное разложение. Предлагается решить задачи: вписать в окружность различные правильные n -угольники. В §35 “Площадь круга” рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга.

В главе 8 “Другие методы геометрии” в §36 “Метод координат” содержится пункт “Окружность Аполлония”, где решение задачи о ГМТ, отношение расстояний от которых до двух данных точек есть постоянная величина. В §40 “Виды движений” рассматриваются “Метод параллельного переноса”, “Метод симметрии” и “Метод поворота”. Приводятся примеры задач на построение, решение которых основано на данных методах. В задачах для самостоятельного решения к §40 содержатся задачи на отработку изученных методов, в том числе задачи на построение трапеции и треугольника по данным элементам. В §42 “Подобие” рассматривается “Метод подобия”. В качестве примера приводится задача на построение четвертого пропорционального отрезка. В задачах для самостоятельного решения к §42 содержатся задачи на отработку изученного метода, в том числе задачи на построение прямоугольного треугольника по отношению катетов к гипотенузе и по отношению катетов к периметру. А также задачи: построить квадрат, вписанный в треугольник, ромб, сегмент; построить сегмент, вписанный в равносторонний треугольник, квадрат, окружность. Основная цель главы 8 – познакомить учащихся с методами, отсутствовавшими в классической элементарной геометрии, но играющими в современной геометрии ведущую роль: методом координат, векторным методом, методом преобразований (см. Приложение 1).

4) А.П. Кисилев, Н.А. Рыбкин [8]

Учебник содержит пять глав и сборник задач по геометрии.

В главе 1 “Прямая линия” в §1 “Углы ” рассматривается построение перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки. §3 “Треугольники” содержит пункт “Геометрическое место”, где дается определение ГМТ, и приводятся примеры: что является ГМТ серединного перпендикуляра и биссектрисы. Далее следует § 4 “Основные задачи на построение”, где рассматриваются задачи на построение треугольника по трем его сторонам; угла, равного данному; биссектрисы угла; перпендикуляра к прямой из данной точки, лежащей и не лежащей на прямой; серединного перпендикуляра; задача о делении отрезка пополам; построение треугольника по основанию, углу, прилежащему к основанию, и сумме двух боковых сторон. После рассмотренных задач приводится схема решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование. В конце §4 имеется блок задач на построение для самостоятельного решения, который содержит задачи на построение суммы, разности углов; деление угла на n частей; построение различных треугольников по различным элементам; разделение данного отрезка на n равных частей; задачи на нахождение ГМТ, равноудаленных от двух данных точек, от трех вершин треугольника, от трех сторон треугольника и т.д. В §5 “Параллельные прямые” рассматривается построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки. §6 “Параллелограммы и трапеции” содержит пункт “Задачи на построение”, в котором рассматриваются методы параллельного переноса, симметрии и примеры задач. Также учащимся предлагается самостоятельно решить задачи на построение трапеций, четырехугольников и треугольников по различным данным элементам, основываясь на изученных методах. В конце главы 1 имеется ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.

В главе 3 “Подобные фигуры” в §4 “Подобие фигур произвольного вида” имеется пункт “Задачи на построение”, в котором рассматривается метод подобия, но задач на применение метода данный пункт не содержит. В §5 “Некоторые теоремы о пропорциональных отрезках” рассматривается задача о построении четвертого пропорционального отрезка. В §6 “Метрические соотношения между элементами треугольника и некоторых других фигур” рассматривается задача о построении отрезка, среднего пропорционального между двумя данными отрезками. §8 “Тригонометрические функции острого угла” содержит пункт “Построение угла по заданной величине одной из его тригонометрических функций”. В §9 “Понятие о приложении алгебры к геометрии” рассматривается задача о разделении отрезка в среднем и крайнем отношении, а затем следует пункт “Алгебраический способ решения геометрических задач”, который раскрывает алгебраический метод решения задач на построение. Следующим пунктом идет “Построение простейших формул” с помощью циркуля и линейки. В конце главы 3 содержится ряд задач на нахождение ГМТ и блок задач на построение.

В главе 4 “Правильные многоугольники” в §1 “Правильные многоугольники” рассматривается задача: вписать в данный круг правильный десятиугольник и определить его сторону в зависимости от радиуса. Также далее в пункте “На сколько равных частей можно делить окружность с помощью циркуля и линейки?”, в котором дается указание, как разделить окружность на определенное равное количество частей (и вписать в окружность правильные многоугольники с таким числом сторон).

В главе 5 “Измерение площадей” в §1 “Площади многоугольников” рассматриваются задачи на построение треугольника (квадрата), равновеликого данному; квадрата, площадь которого равна сумме (разности) площадей двух данных квадратов; площадь которого относится к площади данного квадрата, как m :n ; разделить данный треугольник на m равновеликих частей прямыми, параллельными его стороне. В §2 “Площадь круга и его частей” приводится пункт, в котором рассказывается о неразрешимой задаче о квадратуре круга. В конце главы 5 содержится блок задач на построение.

В сборнике задач также имеются задачи на построение.

Вывод: В учебниках для 5-6 классов задачи на построение практически не рассматриваются как самостоятельные. Чаще всего это задания на построение фигур по заданным размерам. Процент заданий на построение из всех геометрических заданий: 5 класс – 39%, 6 класс – 34%. В целом картина кажется достаточно отрадной. Однако если учесть, что сам по себе геометрический материал в учебниках не превышает 13-16% от всего содержания учебника, то указанный процент заданий на построение падает до 4-6% [3].

Во всех учебниках по геометрии для 7-9 класса задачи на построение рассматриваются как самостоятельные в конце 7 класса. Осуществляются следующие элементарные построения: деление отрезка пополам; откладывание угла, равного данному; построение биссектрисы угла; построение перпендикуляра к прямой из данной точки, не лежащей на этой прямой. В качестве метода решения задач на построение в учебниках (кроме учебника [7]) рассматривается метод геометрического места точек. Схема решения приводится в учебниках [7], [8]. В учебнике [6] схема приводится без анализа. В учебнике [5] ее нет.

В 8-9 классах встречаются задания на построение фигур по некоторым заданным элементам. Произвольные треугольники и четырехугольники строятся по сторонам и углам. Четырехугольники особых видов (ромбы, квадраты, прямоугольники) – по сторонам и диагоналям. Рассматриваются приемы описывания и вписывания окружностей в треугольники и четырехугольники.

Алгебраический метод решения задач на построение приводится только в учебнике [8]. В учебнике [6] рассказывается о трисекции угла, квадратуре круга, окружности Аполлония.

В таблице приведен количественный анализ (процент заданий на построение) в учебниках:

Рассматривая учебники, можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение в 7 классе, причем рассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение. Однако к 9 классу процент геометрических заданий на построение резко падает. Быть может ситуация обусловлена тем, что к 9 классу у всех школьников уже развито логическое и пространственное мышление, сформированы графические умения и навыки, они легко и верно читают любой чертеж, не затрудняются с его интерпретацией, легко строят любой нужный чертеж по тексту задачи? Увы, ситуация совсем не такова. Так как задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучать те разделы математики, где самостоятельно сделанная и хорошо понятая графическая интерпретация является тем самым “лучом света в темном царстве”, которого так иногда не хватает школьнику при изучении математики.

Заключение

Выполнен анализ учебных программ, в ходе которого найдены сходства и различия по данной теме. Рассматривая учебники, можно отметить, что в них достаточно высок процент заданий на построение в 7 классе, причем рассматриваются стандартные и элементарные задачи на построение. Однако к 9 классу процент геометрических заданий на построение резко падает. Так как задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, то недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры. Эти недостатки не позволяют ученику эффективно изучать многие разделы математики.

Рассмотрены основные методы решения задач на построение. Отметим, что необходимо знакомить учащихся с самими методами и учить определять, каким из них можно решить предложенную задачу.

Кроме того, отметим, что:

1) необходимо уделять больше внимания изучению задач на построение, так как при грамотном использовании они являются мощным средством развития логического мышления учащихся;

2) геометрические задачи на построение не нужно рассматривать как что-то отдельное, независимое от остального курса геометрии. Процессы обучения решению задач и изучение геометрии неразрывно связаны. Причем связь эта должна быть двусторонней, то есть необходимо не только обучать решению задач на построение, используя ранее полученные знания, но и, наоборот, использовать конструктивные задачи при изучении геометрии.

Приложение. Творческие работы по теме исследования