Численные методы вычисления площадей фигур сложной формы

XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2021

Численные методы вычисления площадей фигур сложной формы

Фирстова А.Д. 1
1МБОУ "Лицей №159"
Бутакова В.И. 1
1МБОУ "Лицей№159"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Название проекта: «Численные методы вычисления площадей фигур сложной формы»

Фамилия, имя, отчество разработчика проекта: Фирстова Анастасия Дмитриевна

Класс: 10 «Б» специализированный класс инженерно-технологического направления

Название, номер учебного учреждения, где выполняется проект: МБОУ «Лицей №159»

Предметная область: геометрия

Время разработки проекта: сентябрь 2020-апрель 2021

Проблема исследования: при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ многие учащиеся затрудняются найти площадь выпуклого и невыпуклого многоугольника сложной формы.

8. Цель работы: исследовать различные способы вычисления площадей фигур, сравнить полученные результаты.

9. Задачи работы:

1. изучить литературу по исследуемой теме;

2. отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

3. найти различные методы и приёмы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.

4. изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания.

5. измерение с помощью методов взвешивания площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения

6. провести сравнительный анализ "плюсов" и "минусов" найденных способов.

7. провести опрос среди учащихся 10 «Б» класса по выявлению математических знаний о вычислении площадей фигур;

8. Поиск интересных задач на нахождение площади фигуры.

9. проанализировать и систематизировать полученную информацию.

10.Объектом исследования: являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

1) метод взвешивания;

2) использование клетчатой бумаги;

3) применение точных формул.

11.Предметом исследования: является площадь фигур произвольной формы.

12. Тип работы: поисковый

13.Используемые технологии: мультимедиа

14.Форма продукта проекта: презентация, научно-исследовательская работа

15.Содержание:

Введение

Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге

Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника

Четыре способа вычисления площади невыпуклого многоугольника.

Вычисление площади невыпуклого многоугольника координатным способом

Первый способ – введение дополнительных координатных осей. Координатный способ

Второй способ – стандартный, разбиение на прямоугольники

Метод взвешивания

Вычисление площади кленового листа

1. Разбиение

2. Дополнение до прямоугольника

3. Формула Пика.

4. Метод взвешивания. Для проведения взвешивания взяли лист бумаги SvetoCopy.

Заключение

Список литературы и Интернет-ресурсов

Приложение А

Приложение В

16. Актуальность исследования: необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников.

17. Исследование проекта и сравнение методов измерения площадей фигур произвольной формы.

Введение

Работа посвящена исследованию и сравнению методов измерения площадей фигур произвольной формы.

Актуальность и практическая значимость исследования.

В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. С проблемой вычисления площади фигур я столкнулась при решении различных задач, суть которых сводилась к тому, что требовалось найти площадь различных многоугольников, которые мы не рассматривали на уроках математики. Ведь до 10 класса мы знакомимся только с формулами для вычисления площади квадрата, прямоугольника и прямоугольного треугольника. Так как на уроке мы обычно выполняем решение в тетради, то я обратила внимание, что вычислить площадь того же квадрата помогают клетки, изображенные в тетради. Просматривая различную информацию в интернете, я натолкнулась на формулу, которая позволяет вычислить площадь фигуры, но только не по клеткам, а по их узлам. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников. Впоследствии мне захотелось узнать, есть ли другие способы для вычисления площади различных фигур на клетчатой бумаге, какой из них проще, менее затратен по времени.

Гипотеза: площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Цель работы: исследовать различные способы вычисления площадей фигур, сравнить полученные результаты.

Задачи исследования:

1. изучить литературу по исследуемой теме;

2. отобрать интересную и понятную информацию для исследования;

3. найти различные методы и приёмы вычисления площади фигур на клетчатой бумаге.

4. изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания.

5. измерение с помощью методов взвешивания площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения

6. провести сравнительный анализ "плюсов" и "минусов" найденных способов.

7. провести опрос среди учащихся 10 «Б» класса по выявлению математических знаний о вычислении площадей фигур;

8. Поиск интересных задач на нахождение площади фигуры.

9. проанализировать и систематизировать полученную информацию.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

1) метод взвешивания;

2) использование клетчатой бумаги;

3) применение точных формул.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

Проблема исследования: при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ многие учащиеся затрудняются найти площадь выпуклого и невыпуклого многоугольника сложной формы.

Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге.

При изучении вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге я заметила, что все задачи строятся на понятии узла. Узел напоминает узел в рыболовной сетке - пересечение горизонтальных и вертикальных линий. Все задачи достаточно разнообразны и занимательны, они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.

Рисунок 1. Фотография рыбацкой сетки.

Рассмотрим вычисление площади одной и той же фигуры тремя способами и сравним результат вычисления.

Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника.

Разбиение. Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки. Тогда площадь фигуры можно сосчитать по формуле:

Рисунок 2

Дополнение до прямоугольника. Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Получим, что площадь фигуры равна:

Рисунок 3

Формула Пика. Любая фигура изображенная на листе бумаги делит его на внутреннюю область и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника. Нас интересуют внутренние узлы и узлы, которые лежат на границе многоугольника. Тогда формула выглядит так , где В - количество внутренних узлов, а Г - количество узлов на границе многоугольника. Эта формула получила название формула Пика в честь австрийского математика Георга Пика которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге. Используя рисунок получаем

Рисунок 4

Вычисляя площадь выпуклого многоугольника тремя способами, я получила один и тот же результат.

Четыре способа вычисления площади невыпуклого многоугольника.

Способ разбиения не подходит для данной фигуры, т.к. невозможно разбить ее на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Дополнение до прямоугольника. Достраивая многоугольник до прямоугольника, и отсекая лишние части, найдем площадь фигуры

Рисунок 5

Формула Пика. При подсчете внутренних узлов многоугольника и узлов, лежащих на границе получим, что И опять я получила один и тот же результат.

Рисунок 6

Вычисление площади кольца по формуле Пика. А если взять не многоугольник, а, например, кольцо и перенести его на клетчатую бумагу? Понятно, что первый и второй способы не удастся использовать. Применим формулу Пика и сравним полученный результат с результатом, полученным используя формулу для вычисления площади круга.

Возьмем кольцо, которое построим с помощью двух окружностей с радиусами Вычислим площадь кольца с помощью формулы Пика:

Рисунок 7

Вычислим площадь кольца по формуле площади круга, округлив число π до единиц Округлим теперь π до десятых А если округлить число π до сотых, то получим:

Сравнив результаты можно сделать вывод, что существует погрешность в вычислении площади по формуле Пика и чем точнее число π, тем она больше. Следовательно, данную формулу можно применять только для вычисления площадей многоугольников.

Вычисление площади невыпуклого многоугольника координатным способом

Вычислим площадь данного невыпуклого многоугольника (звездочки) очень необычным способом – путем введения дополнительных осей координат (назовем этот метод координатный), а проверку сделаем вторым способом (стандартным) разбиением на прямоугольники.

Первый способ – введение дополнительных координатных осей. Координатный способ.

+

Ответ:

Второй способ – стандартный, разбиение на прямоугольники.

+

Ответ:

Метод взвешивания

Метод измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого точно известна, вырезать его и определить на весах его массу . На такую же бумагу перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу . Затем, пользуясь правилом пропорции – , вычислить искомую площадь. Тогда .

Вычисление площади кленового листа

Для решения задачи была взят фотография кленового листа.

Рисунок 9. Фотография кленового листа.

1 Разбиение.

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была разбита (разрезана) на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники.

Рисунок 10

После чего произведен расчет площади каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Тогда общая площадь листа будет равна:

общая =

2. Дополнение до прямоугольника.

Окантовка листа была перенесена на лист бумаги и была дополнена до прямоугольника.

Рисунок 11

После чего произведен расчет площади общего прямоугольника и каждого прямоугольника и прямоугольного треугольника в . Общий прямоугольник имеет размеры на , т. е. его площадь прямоугольника составляет

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

3. Формула Пика.

Окантовка листа была перенесена на миллиметровую бумагу.

Рисунок 12. Разбиение листа клена на узлы.

Тогда по формуле

4. Метод взвешивания. Для проведения взвешивания взяли лист бумаги SvetoCopy.

По ее плотности определили вес бумаги при помощи таблицы и путем взвешивания. Результаты сошлись. Вес одного листа бумаги Размеры листа А4 равны , т.е. площадь одного листа равна

Рисунок 13. Таблицы для более точного измерения массы листа по его плотности.

Для определения погрешности вычислений вырезали в качестве эталонов несколько геометрических фигур (прямоугольник (эталон 1) и квадрат (эталон 2), площадь которых можно сравнить вычислив ее по формуле. Прямоугольник имеет размеры: 7 см на 5 см, а квадрат: 5см на 5см.

Количественной характеристикой точности является погрешность измерения. Если известно точное значение некоторой величины и ее приближенное значение то предельной абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина , а предельной относительной погрешностью – величина . Однако на практике точные значения измеряемой величины неизвестны, а приближенное значение заключено в некоторых пределах .

В этом случае считают, что

Наименование образца

Площадь по формуле,

Взвешивание

Погрешность измерения ∆

Масса, мг

Площадь,

Эталон 1

35

250

31,185

1,908

Эталон 2

25

170

21,2

1,9

Лист А4

623,7

4800

598,8

12,474

Лист клена

132

1100

137,214

2,607

Таким образом после взвешивания величина площади листа клена составляет 137,214 с погрешностью измерения 2,6 .

5. Метод Монте-Карло

Самыми экстравагантными методами вычислений являются способы, основанные на использовании случайных чисел. Вычислительные методы, использующие датчик случайных чисел, получили название методов Монте-Карло по названию города, где расположена знаменитая рулетка, которую можно рассматривать как «генератор» случайных чисел.

Фигуру, площадь которой нужно найти, поместим в прямоугольник. Будем наугад (как говорят математики, случайным образом) бросать точки в этот прямоугольник. Естественно предположить, что, чем большую площадь в прямоугольнике занимает фигура, тем чаще в нее будут попадать точки. Если представить себе, например, прямоугольный дворик и в нем детскую площадку, то во время снегопада количество снежинок, попавших на детскую площадку, пропорционально ее площади. Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, наугад выбранных внутри прямоугольника, доля точек, содержащихся в данной фигуре, приближенно равна отношению площади этой фигуры к площади прямоугольника.

Определим параметры нашей модели. Обозначим для удобства дальнейших рассуждений данную фигуру буквой F.

Одним из параметров является площадь прямоугольника SP, содержащего фигуру F, другим – количество точек N, которые мы будем случайным образом выбирать внутри прямоугольника, третьим параметром является искомая площадь S фигуры F.

Теперь определим связи между параметрами модели. Если через M обозначить число тех наугад выбранных точек, которые содержатся в фигуре F, то площадь фигуры приближенно равна

К связям между параметрами модели следует отнести и математические соотношения, позволяющие определить, попала ли выбранная точка в фигуру F.

Эти соотношения будут отличать модели, построенные для различных фигур. Значит, фактически мы описываем не одну модель, а, скорее некоторый способ получения моделей. Для каждой конкретной фигуры будет получаться своя модель.

Сначала рассмотрим математическую модель для приближенного нахождения площади фигуры F1, т.е. ограниченной: графиком функции , прямыми x=0, x=6 и y=0.

На рис. 8. изображена рассматриваемая фигура F, заключенная в прямоугольник со сторонами 6 и 7. Таким образом, площадь прямоугольника SP , в который помещена фигура, равна 42.

Рисунок 14.

Выбрать точку – это значит задать ее координаты: числа x и y. Точка принадлежит прямоугольнику, если и . Если и , то точка попадает в фигуру F, иначе она вне фигуры. Это и есть математические соотношения, позволяющие для каждой точки определить, лежит ли она в F.

Фотография 1

Фотография 2

Сравнительный анализ способов нахождения площади многоугольника на клетчатой бумаге.

1. Разбиение. Этот способ прост в подсчёте площадей фигур, которые разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки. К ним относятся выпуклые многоугольники. К минусам можно отнести то, что в использовании этого способа приходится производить множество действий, а также невозможность подсчёта площади фигур, которые не разбиваются на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

2. Дополнение до прямоугольника. Этот способ так же прост в подсчёте при вычислении площади при небольшом количестве фигур, площадь которых необходимо отнять. Минусы этого способа - сложность подсчёта площади многоугольников необычной формы, большое количество фигур, площадь которых необходимо отнять, а также невозможность подсчёта площади фигур, не относящихся к многоугольникам.

3. Формула Пика. К плюсам я отнесла то, что легко вычисляется площадь многоугольника с необычной формой, в отличие от предыдущих способов, краткость формулы, а так же возможность вычисления приближенного значения площади местности по карте, представив ее в виде многоугольника, перенеся ее на клетку. Минусами этого способа считаю сложность вычисления площади фигуры с большим количеством узлов, а так же, если в фигуре есть «спорные» узлы (узлы, лежащие близко к стороне многоугольника). Вычисляя площадь фигур, не относящихся к многоугольникам, результат получается не точным.

4. Метод взвешивания. К минусам я отнесла, что можно вычислить площадь фигуры с помощью весов с большой погрешностью измерения и большей продолжительности времени измерения.

5.Метод Монте-Карло. Этот метод неординарный, но у него большая погрешность, чем больше точек выбранных случайным образом, тем точнее погрешность.

Заключение

Изучив различные источники, выяснилось, что существует различные способы вычисления фигур по клеткам, но для меня были интересны и понятны три: разбиение, дополнение до прямоугольника и вычисления по формуле Пика.

Моя гипотеза – о том, что если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то ее площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми, частично подтвердилась. Рассмотрев все три способа, я пришла к выводу, что не для всякой фигуры можно приметить каждый из них. У каждого из них есть свои плюсы и минусы. Все три способа можно применить только для выпуклых многоугольников, перенеся их на клетчатую поверхность. Формула Пика интересна своей простотой. И пусть она при вычислении площадей, не относящихся к многоугольникам, дает приближенное значение, можно легко оценить площадь той или иной территории на карте. Как показало исследование метод взвешивания является пригодным для приближенного нахождения площадей фигур сложной формы.

Список литературы и Интернет-ресурсов

1. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, под редакцией Ю.П. Юшкевича., издательство Наука., М., 1970г

3. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

4. https://ege.sdamgia.ru/

5. http://www.pppa.ru/additional/01geodesy/06/02topo.php

6. http://ru.wikihow.com http://knowledge.allbest.ru/mathematics/3c0b65635b3bd68b4c43b89521306d27_0 .html

7. http://argonavt.narod.ru/Kenpark.html

Приложение 1

Опрос сверстников о знании ими способов вычисления площадей плоских фигур.

Диаграмма 1

Диаграмма 2

Диаграмма 3

Приложение 2

Работы одноклассников по вычислению площади собственной ладони по формуле Пика.

Рисунок 14

105шт

Рисунок 15

102шт

Рисунок 16

138шт

Рисунок 17

Фотографии работ одноклассников по вычислению площади собственной ладони по формуле Пика.

Просмотров работы: 97