Красота и последовательность задачи ЕГЭ по математике

XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке. Летняя площадка 2021

Красота и последовательность задачи ЕГЭ по математике

Панкова Ю.А. 1
1МБОУ СОШ №15
Саркисова Г.А. 1
1МБОУ СОШ №15
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение.

“Много из математики не остается в

памяти, но когда поймешь ее, тогда

легко при случае вспомнить забытое”

Остроградский Михаил Васильевич

Актуальность данного исследования – экономическую задачу ввели в экзамен ЕГЭ «Профиль по математике» только с 2015 года. Она стала называться заданием номер 17 и по своей сложности находится на одном уровне с заданиями на параметры и теорию чисел.

Такая статистика решения экономической задачи объясняется и сложностью задания и просто тем, что такой темы просто нет в наших учебниках по алгебре. Конечно, на различных сайтах и в математической литературе можно найти решения таких задач, но зачастую либо они содержат много лишней информации, либо они решены непонятным для меня способом. Поэтому решение задачи № 17 остается актуальным для учащихся и преподавателей.

Новизна работ – применение математических методов при решении экономических (финансовых) задач.

Цель исследования – подготовить учащихся к пониманию и решению экономических (финансовых) задач.

В соответствии с поставленной целью исследовательского проекта решаются следующие задачи:

- изучить теоретические темы и вопросы экономики и финансов;

- рассмотреть на практике те задачи, которые встречаются в ЕГЭ;

- применить на практике решение задач помощью программного пакета MS Excel.

Практическая значимость заключается в практическом применении экономических, математических и финансовых знаний при решении задач.

2. Базовая теория для решения экономических и финансовых задач.

В практических финансовых и коммерческих операциях суммы денег обязательно связываются с некоторыми конкретными моментами или интервалами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность поступлений денежных средств или их выплат.

В финансовых вычислениях фактор времени обязательно учитывается в качестве одного из важнейших элементов. Его учет осуществляется с помощью начисления процентов.

Под процентными деньгами или, кратко, процентами в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, помещении денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигаций и т.д.

В какой бы форме не выступали проценты, это всегда конкретное проявление такой экономической категории, как ссудный процент. При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки - отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. в отдельные (обычно равноотстоящие) моменты времени (дискретные проценты), причем, в качестве периодов начисления принимают год, полугодие, квартал, месяц. Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев удобно применять непрерывные проценты. Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денег в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы.

В практике существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором - сложными процентными ставками. В финансовой математике применяют два вида формул: сложные и простые проценты – рассмотрим их.

Простые проценты – это метод начисления, при котором сумма процентов определяется в течение всего периода, исходя из первоначальной величины долга, независимо от количества периодов начисления и их длительности. Простые проценты начисляются по формуле 1.

, (1)

Где – конечная сумма, полученная вкладчиком (кредитором) по истечению периода;

– первоначальная (исходная) сумма вклада (долга);

– корректирующий показатель;

– период, в течение которого происходило начисление (в днях);

– количество дней в году (360 или 365 дней (в зависимости от метода определения Т));

– норма доходности (ставка процентов по вкладам). [3]

Сложные проценты – метод расчета процентов, при котором начисления происходят на первоначальную сумму вклада (долга) и на прирост вклада (долга), т.е. сумму процентов, начисленных после первого периода начисления, которая увеличивается с каждым периодом начисления.

Суть сложных процентов в том, что происходит начисление процента на процент. Сложные проценты вычисляются по формуле 2.

, (2)

Где – конечная сумма, полученная вкладчиком (кредитором) по истечению периода;

– первоначальная (исходная) сумма вклада (долга);

– корректирующий показатель;

– норма доходности (ставка процентов по вкладам);

– период начисления в годах.

В некоторых случаях применяются комплексный метод сложных и простых процентов, имеющий смешанную ставку и вычисляющийся по формуле 3.

, (3)

где – конечная сумма, полученная вкладчиком (кредитором) по истечению периода;

– первоначальная (исходная) сумма вклада (долга);

– корректирующий показатель;

– норма доходности (ставка процентов по вкладам);

– целое число лет в течение срока вклада;

– остаток периода в годах.

Далее начисляется период начисления в годах по формуле 4.

, (4)

Где – период начисления в годах;

– целое число лет в течение срока вклада;

– остаток периода в годах.

Начисление смешанных процентов дает более точный результат, в то время как при сложных процентах итог приближенный. [3]

В итоге можно сделать вывод, что и простые и сложные проценты применяют в расчете вкладов, кредитов и рассрочек.

3. Банковские задачи на кредиты с аннуитетными платежами.

Аннуитетный платеж — это сумма всего долга и всех процентов, деленная на срок кредита. В результате каждый месяц человек, который взял данный кредит, платит банку одну и ту же сумму.

Задача 1.

Клиент взял 864000 рублей в кредит. Срок кредита составляет три года. Ставка по кредиту 20% годовых (в конце периода банк начисляет 20%, т.е. увеличивает долг на 20%, после чего клиент производит выплату). По договору клиент должен платить каждый год одну и ту же сумму х рублей. Какую сумму (х) клиенту нужно платить каждый год?

Решение.

1-й способ. Заполним таблицу по строкам слева направо, учитывая, что выплата каждый год одинакова (аннуитетные платежи). Она будет состоять из погашения долга по кредиту и долга по процентам.

Год

Долг в начале периода

Начисленные проценты

Регулярная выплата

Выплата по долгу

1

364000

0,2 * 364000 = 72800

х

х – 72800

2

364000 – (х - 72800) = 436800 – х

0,2 * (436800 – х) = 87360 – 0,2х

х

х – (87360 – 0,2х) = 1,2х – 87360

3

436800 – х – (1,2х – 87360) = 524160 – 2,2х

0,2 * (524160 – 2,2х) = 104832 – 0,44х

х

х – (104832 – 0,44х) = 1,44х - 104832

За три года клиент отдает весь долг, значит, сумма выплат по долгу должна составлять 364 000 рублей, можем составить уравнение:

х – 72800 + 1,2х – 87360 + 1,44х - 104832 = 364000

3,64х = 628992

х = 628992 : 3,64

х = 172800

2-й способ. Можно рассуждать иначе, заполняя таблицу с первой строки слева направо, записывая остаток долга по кредиту на конец каждого периода.

Год

Долг в начале периода, тыс. руб.

Долг на конец года, тыс. руб.

Регулярная выплата, тыс. руб.

Остаток долга после выплаты, тыс. руб.

1

3,64

3,64 * 1,2

х

3,64 * 1,2 – х

2

3,64 * 1,2 – х

1,2 * (3,64 * 1,2 – х)

х

1,2 * (3,64 * 1,2 – х) – х

3

1,2 * (3,64 * 1,2 – х) – х

1,2 * (1,2 * (3,64 * 1,2 – х) – х)

х

1,2 * (1,2 * (3,64 * 1,2 – х) – х) – х

По истечению трех лет клиент должен выплатить всю сумму, т.е. остаток долга будет равен нулю, можно составить уравнение:

1,2 * (1,2 * (3,64 * 1,2 – х) – х) – х = 0

3,64 * 1,23 – 1,22 х – 1,2х – х = 0

3,64 * 1,23 = 1,22 х + 1,2х + х

4 * 1,23 = х(1,22 + 1,2 + 1)

3,64 * 1,23 = х * 3,64

х = 1,23

х = 1,728

Ответ: 172800 руб. [7]

4. Банковские задачи на кредиты с дифференцированными платежами.

Дифференцированный платеж — это долг, деленный на срок кредита, и проценты, накидывающиеся каждый месяц из расчета для того, чтобы узнать, сколько человек еще должен банку. В результате в первые месяцы кредита платеж намного больше, чем в последние его месяцы.

Задача 2.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 1,5 млн рублей?

Решение.

По условию задачи в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то есть выплата в счет погашения долга в каждый период одна и та же, равная (дифференцированные платежи), где n — количество периодов (лет) выплаты кредита. Заполним таблицу с первой строки слева направо.

Год

Долг в начале периода, млн руб.

Начисленные проценты, млн руб.

Выплата по долгу, млн руб.

Регулярная выплата, млн руб.

1

1

0,1

 

0,1 + +

2

1 –

0,1 * (1 – ) = = 0,1

 

0,1 – + = 0,1 +

3

1 –

0,1 * (1 – ) = = 0,1 –

 

0,1 – + = 0,1 +

n

1 –

0,1 * (1 – ) = 0,1 –

 

0,1 – + = 0,1 +

По условию задачи общая сумма выплат после его погашения равнялась 1,5 млн рублей, что составляет 1 млн рублей выплат по кредиту и 0,5 млн рублей выплат по процентам, поэтому можем составить уравнение относительно суммы выплат начисленных процентов:

0,1 + (0,1 – ) + (0,1 – ) + … + (0,1 – ) = 0,5

Левая часть уравнения представляет собой сумму

арифметической прогрессии:

* n = 0,5

0,1n – 0,05n + 0,05 = 0,5

0,05n = 0,45

n = 9

Ответ: 9 лет. [7]

5. Банковские задачи на вклады.

Вклад – это денежные средства в российской или иностранной валюте, размещаемые клиентами банка (вкладчиками) на счетах с целью хранения и получения дохода. Получаемый доход по вкладу выплачивается в денежной форме в виде процентов, а вложенные средства возвращаются вкладчику по его первому требованию в порядке, предусмотренном для вклада данного вида федеральным законом и соответствующим договором.

Задача 3.

В январе 2014 года ставка по депозиту в банке составила х% годовых, тогда как в январе 2015 года — у% годовых, причем х + у = 20%, В январе 2014 года клиент открыл счет в банке, положив на него некоторую сумму. В январе 2015 года, по прошествии года с того момента, клиент снял со счета десятую часть этой суммы. Найдите значение х, при котором сумма на счету клиента з январе 2016 года станет максимально возможной.

Решение.

Пусть в январе 2014 года клиент положил на счет

S руб. Составим таблицу.

Время

Оставшаяся сумма, руб.

Январь 2015 года

S + 0,01xS

Снял десятую часть

S + 0,01xS – 0,1S = 0,9S + 0,01xS

Январь 2016

0,9S + 0,01xS + 0,01y * (0,9S + 0,01xS)

Преобразуем выражение 0,9S + 0,01хS + 0,01у(0,9S + 0,01хS) = (0,9S + 0,01хS)(1 + 0,01у), где у=20–х. Имеем: (0,9S + 0,01хS)(1 + 0,01(20–х)).

Раскроем скобки и получим квадратичную функцию от х: f(х) = –0,0001Sх2 + 0,003Sх + 1,08S.

Данная функция принимает наибольшее значение в вершине параболы хверш= – , то есть хверш= – = = 15

Ответ: 15. [7]

6. Задачи на ценные бумаги (акции).

Задача 4.

Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение.

Пусть у первого брокера было А акций, а у второго В акций.

А  В 3640

После подорожания акции на к %, стоимость акции увеличилась в в раз, где

Тогда выручка от продажи акций первым брокером составила 0,75Ав, а вторым брокером 0,8Вв. Выручка второго брокера составила 240 % выручки первого брокера (построим систему уравнений).

В результате расчетов получаем:

Вв 3465

Ав 1540

Ответ: 37,5%

7. Задача на оптимизацию ресурсов.

Задача 5.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га. Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свеклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Вся площадь: 10 га

Решение.

Для решения построим таблицу с данными.

Таблица 4 – Данные по задаче в таблице

Составим функцию полного дохода (она же целевая функция)

Заметим, что x+kx=10, т.е. где

Возьмем производную данной функции.

Значит функция убывает во всей области определения, то есть принимает свое наибольшее значение при k=0. Это означает, что всё первое поле нужно засадить картофелем, при этом доход будет 2500000× 10 = 25 млн рублей.

Таблица 5 – Данные по результатам

Из второй таблицы видно, что свекла имеет, как большую урожайность, так и большую цену за центнер, следовательно, второе поле нужно засадить свеклой. При этом доход будет 500×8000× 10 = 40 млн рублей. Полный доход составляет 25 млн + 40 млн = 65 млн рублей.

Ответ: 65 млн рублей. [4]

8. Решение экономических задач при помощи компьютерных программ.

Решим данные задачи при помощи компьютерных программ MS Excel.

Задача 1 на простые проценты.На счет в банке в течении пяти лет в конце каждого года будут вноситься суммы в размере 500 руб., на которые будут начисляться проценты по ставке 30%. Определить сумму, которую банк выплатит владельцу счета. [6]

Введем первоначальные данные во вкладку Excelи выполним решение задачи.

Рисунок 18 – Решение задача 1 при помощи функции БС()

Результат расчета представлен на рисунке 19.

Рисунок 19 – Результат расчета примера 2

Ответ: Сумма взноса будет равна 6330,17 рублей.

Задача 2 на сложные проценты. Дана сумма размещения вклада в банк, которая равна 1 млн. рублей под ставку процента 0,05% в день. Необходимо вычислить какая сумма будет находиться на счете через месяц. Расчет произвести по методу сложных процентов.

Решение.

Введем данные как представлено на рисунке 20 и произведем расчет по следующим формулам.

Рисунок 20 – Расчет сложных процентов по задаче 1

Сделайте вывод по данной задаче и ответьте на следующий вопрос: Стоит ли вкладывать денежные средства под такой процент?

Выполните самостоятельно расчет суммы под 3% годовых. Как изменится формула?

Задача 3 на сложные проценты. Пусть первоначальная сумма вклада равна 25 тысяч рублей, годовая ставка = 15%, срок вклада 12 месяцев. Капитализация проводится ежемесячно в конце периода. Необходимо вычислить сумму на конец всего периода.

Решение. Решение данной задачи можно выполнять тремя способами.

Способ 1. Вычисление сложного процента при помощи таблицы с формулами.

Рисунок 21– Способ 1 решения задачи

Способ 2.Вычисление с помощью формулы наращенных процентов.

Для вычисления сложного процента данным способом применяют функцию СТЕПЕНЬ().

Формула расчета будет выглядеть следующим образом =B4*СТЕПЕНЬ(1+B1/12;12)

Способ 2 решения данной задачи представлен на рисунке 22.

Рисунок 22– Способ 2 решения задачи

Способ 3. Вычисление решения задачи при помощи функции БС(), который представлен на рисунке 23.

Для расчета наращенного процента значение ПЛТ=0.

Рисунок 23– Способ 3 решения задачи

В результате получаем следующую будущую сумму, которая равна 133756, 25 рублей. [6]

9. Заключение.

В данной работе рассмотрены основные методы решения задач на кредит, вклады и оптимизацию, а также рассмотрена теория и решение практических задач при помощи компьютера. Тема работы очень актуальна, так как все рассматриваемые задачи взяты из материалов по подготовке к ЕГЭ по математике «Профиль». Надеюсь, что данная работа будет полезна учащимся 10-11 класса, а также преподавателям математики.

10. Список использованной литературы.

Мерзляк, А.Г. ЕГЭ. Математика. Новый полный справочник для подготовки к ЕГЭ / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. - М.: АСТ, 2017. - 560 c.

Ященко, И.В. ЕГЭ. Математика. Большой сборник тематических заданий для подготовки к единому государственному экзамену. Профильный уровень / И.В. Ященко. - М.: АСТ, 2021. - 160 c.

Простые и сложные проценты // URL: https://trey.pro/base/56-prostye-i-slozhnye-procenty.html

50 экономических задач // URL: http://rcio.pav.obr55.ru/files/2020/03/50-экономических-задач.pdf

Харина Т.В. Решение задач на банковские проценты // URL: file:///C:/Users/User/Desktop/Харина-Т.В..pdf

Простые и сложные проценты в MS excel// URL: https://webinvestor.pro/prostye-i-slozhnye-procenty/

7. ЕГЭ-2021. Математика. Сборник заданий: 500 заданий с ответами. В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина

Просмотров работы: 39