XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математические кривые: роза Гвидо Гранди, спираль Архимеда и их практическое применение.
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Математик, так же, как и художник или поэт, создаёт узоры»
Г. Харди
Математика - это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы, описывает процессы, происходящие в окружающем нас мире. Законы математики и решения математических задач приложены ко всем областям человеческой деятельности. Линии занимают особое положение в математике. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные, инженерные задачи в различных отраслях жизни. Меня заинтересовали кривые, заданные в полярных координатах. Среди них можно назвать спираль Архимеда, логарифмическую спираль, кардиоиду, лемнискату, астроиду, розы Гвидо Гранди. Больше других мое внимание привлекла математическая кривая, похожая на цветок - полярная роза или роза Гвидо Гранди, спираль Архимеда.
Я заинтересовался розами и спиралями, которые радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы – они предопределены специальными математическими зависимостями. Постарался понять и изучить замечательные кривые. Затем я использовал полученные знания на практике.
В проекте рассматриваются кривые линии с правильными и плавными очертаниями, внешне похожими на очертание цветка, которые впервые с математической точки зрения были описаны итальянским учёным Гранди Гвидо, их называют «семейство кривых».
Также в проекте рассматривается спираль Архимеда, это одно из величайших открытий, которое произошло в третьем веке до нашей эры, но не потеряло свою актуальность и в XXI веке.
Математика – очень интересная и увлекательная наука. Благодаря своей универсальности она стала использоваться в естественных, гуманитарных науках и во всех сферах жизни человека. Так, например, мы встречаемся с кривыми, которые не кажутся нам безобразными, а совсем наоборот, они привлекают наше внимание своими изящными формами и удивительными свойствами.
Я приобрел не только новые знания, но и применил их на практике. На основании этого я создал макеты кривых Гвидо и спирали Архимеда.
Глава 1. Замечательные кривые
«Из ничего – все».
Г. Гвидо
Глава 1.1 Знакомство с биографией Гранди Луиджи Гвидо
Г ранди Луиджи Гвидо (1671-1742). Итальянский монах, священник, философ, математик и инженер.
Гранди родился 1 октября 1671 года, в Кремоне Италия и окрещён Луиджи. Получил образование в Иезуистком колледже. В 1687 году он поступил послушником в приют монахов в Фарраре и принял имя Гвидо. В 1693 году он был отправлен ы монастырь Святого Григория великого, чтобы завершить свои исследования в философии и теологии в рамках подготовки к священству. Был назначен представителем философии и теологии в монастыре во Флоренции в 1694 году. Похоже, что именно в этот период его жизни он проявил интерес к математике. Он проводил свои исследования в частном порядке и был назначен профессором философии в монастыре Святого Григория в 1700 году. Он также делал успехи в теоретической и практической механике. Его исследования в области гидравлики вызвали значительный интерес со стороны правительств стран Центральной Италии. В 1701 Гранди опубликовал результаты исследования конических локсодромий. Он выступил в качестве соавтора в издании первого флорентийского издания трудов Галилея. К 1707 году Гранди заработал такую репутацию в области математики, что был назначен математиком великого герцога Тосканского, Козимо III Медичи. В 1709 году он посетил Англию, где был избран членом Королевского общества. Пизанский университет присвоил ему звание профессора математики в 1714 году. Именно там он умер 4 июля 1742 года. В математике Гранди известен его работой «Flores geometrici» (цветы геометрии) 1728, изучавшей розы-кривые, которые имеют форму лепестков цветка.
Глава 1.2. Стихотворение посвящённое розам Гранди
Полярная ночь холодна и морозна,
Укутавшись в плед изо льда и ветров,
Розы вычерчивает осторожно,
Чтобы шипы не острить мягкотой.
Желтый свет лампы, термометра след,
Холода не было, трещины нет.
Роза прекрасна, синяя тень,
Циркуля холод, угла единица,
Что ж мне по ночам-то не спится?
В этом стихотворении красной нитью проходит тема о розах Гвидо Гранди. В мире существует большое разнообразие видов цветов и их форм. Итальянский геометр Гвидо Гранди (1671-1742), описал кривые линии с правильными плавными очертаниями. Они были похожи на цветок. Их правильное очертание не каприз природы, они предопределены математическими зависимостями.
Эти зависимости были показаны в самой природе, ведь в большинстве случаев абрис листа или цветка представляет собой кривую, симметричную относительно оси. Свои прекрасные цветы Гвидо Гранди собрал в одну из книг и назвал её «Цветник роз».
Глава 1.3. Теория построения роз (уравнение кривой)
Рассмотрим кривые, которые называются розами Гранди Гвидо. На первом рисунке мы видим кривую, состоящую из трех лепестков, на втором рисунке кривая состоит из четырёх лепестков, на третьем рисунке из пяти, на четвёртом из семи на пятом из восьми.
Семейство роз в полярной системе координат описываются уравнением:
r = a*sin*k*фили r =a*cos*k*ф
r – это полярный радиус,
ф – это полярный угол,
a,k – это положительные постоянные, где a>0 , K>0 .
Так, как синус и косинус являются ограниченными функциями ,
kф / 1 , | cos*k*ф | < 1 ,то
| a*sin*k*ф | < a , (ограничена по модулю «а») , соответственно
| a*cos*k*ф | < a , (ограничена по модулю «а»), а значит, что вся кривая располагается внутри круга радиуса «а» , аналогично окружность радиусом «а» можно расписать вокруг остальных роз.
Силу периодичности тригометричных функций sin*k*ф и cos* k*ф, роза состоит из одинаковых лепестков симметричных относительно радиуса внутри которой они располагаются. И так геометрический смысл параметра «а» заключается в том, что это величина радиуса окружности, внутри которой располагается данная роза. Рассмотрим параметр «k» , если «k ∈ N» , то при «k» - нечёт. => k (роза содержит «k» лепестков). Если же «k» - чётн. => 2 k (то лепестки розы удваиваются в 2 раза).
Например: для розы, состоящей из трех лепестков k=3, четырех лепестков k=2, пяти лепестков k=5, семи лепестков k=7, восьми лепестков k=4.
(Смотреть приложение № 1)
Приложение №1
Глава 1.4. Теория построения роз внахлёст (уравнение кривой)
Если «k» число дробное, равное k=m/n ,где m и n – взаимно простые числа то, роза состоит из лепестков которые лежат внахлёст. (смотреть приложение № 2).
На первом рисунке роза, состоящая из пяти лепестков, на втором роза, состоящая из восьми лепестков. Если m и n – нечетные числа, то роза состоит из «m» лепестков. Если же m или n – чётные числа, то роза состоит из «2 m» лепестков.
И в первом и во втором случае радиус окружности, внутри которой, лежит роза, равен параметру «а».
Приложение №2
Глава 1.5. Применение полярных координат в жизни
В фотографии
Вертикальные линии после того, как к ним применен фильтр (переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную), стали расходиться из центральной точки.
На бирже
Необычный формат биржевых графиков предложил в 1990-е годы российский математик Владимир Иванович Елисеев Р –цена сделки Ф – время её совершения Используя такую систему координат, относительно просто связать градусы и время (в году 365 дней, в окружности – 360 градусов).
В военном деле
Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y), геодезической (широта, долгота).
У пчел
Пчелы используют полярные координаты для обмена информацией об источниках пищи. Найдя новый источник пищи, пчела-разведчица возвращается в улей и исполняет танец, на языке которого рассказывает, где находится клумба. Причём всё это похоже на двухлепестковую розу. Таким образом, пчела-разведчица сообщает другим пчелам полярные координаты нового источника пищи.
В медицине
Компьютерная томография сердца в системе полярных координат.
В системах идентификации человека
Результат преобразования кольца радужной оболочки из декартовой системы координат в полярную.
В различных областях науки и техники
Измерительный проектор предназначен для измерения различных параметров в прямоугольной и полярной системах координат. Применяется в измерительных лабораториях и цехах предприятий точного приборостроения, машиностроения, микроэлектроники, в инструментальном производстве, а также в лабораториях НИИ.
Глава 1.6. Виды роз
В последние годы методы математического моделирования активно используются при создании архитектурных форм.
(Смотреть приложение №3 ,№4 ,№5 ,№6 ,№7)
Приложение № 3 Приложение № 4
Приложение № 5 Приложение № 6
Приложение №7
Глава 2. Архимедова спираль
«Спираль – застывшая в танце прямая».
Г лава 2.1. Знакомство с биографией Архимеда
Архимед является выдающимся древнегреческим математиком, инженером и изобретаем своего времени. Родился он в 287 году до н.э. в городе Сиракузы на Сицилии. Отец Фидий был физиком и математиком, находящийся при дворе.
Архимед получил превосходное образование, но он понимал, что всё-таки ему недостаёт теоретических знаний, которые были даны ранее. Поэтому проводил в Александрийской библиотеке всё своё свободное время. После окончания учёбы стал работать при дворе – астрономом, создал планетарий. Так как в то время было модно изучать астрономию, то все считали, что Солнце и Луна вращаются вокруг Земли, но только Архимед предположил, что именно все планеты кружатся вокруг Солнца. Помимо этого он изучал механику, физику и математику свои труды он изложил в своих работах «О равновесии плоских фигур», далее последовало сочинение «Об изменении круга».
У ученого много открытий, который он посветил своей родине. Ему удалось воссоздать целую рычагово-блочных механизмом, которые позволяют перевозить тяжелые грузы намного быстрее.
Так же у Архимеда существуют множество работ связанных с алгеброй, геометрией, арифметикой. Разработал всесторонний метод вычисления площадей разнообразных фигур. Создал теорию об уравновешивании равных тел.
Глава 2.2.Спираль
Спираль - это винтообразная кривая, которая огибает условный центр или ось, постепенно удаляясь приближаясь к оси. Спираль-плоская кривая линия. Спиральные формы часто встречаются в природе : галактики, водовороты, и смерчи, раковины моллюсков , папиллярные линии пальцев, двойная спираль молекулы ДНК.
Существует множество видов спиралей и все они очень интересны и красивы.
Виды спиралей:
1.Плоская спираль:
1) Архимедова спираль,
2) Спираль Ферма,
3) Гиперболическая спираль,
4) Логарифмическая спираль,
5) Спираль Фиббоначчи и золотя спираль,
6) Спираль Корню.
2.Трехмерная спираль:
1) Сферическая спираль.
Мы рассмотрим самый распространённый вид спирали (Архимедова).
Глава 2.3. Теория построения Архимедовой спирали
Это плоская кривая, которая в полярной системе координат описывается очень простым уравнением: r=ф
Изобразим полярную систему координат, точка «О» - полюс, r- полярная ось, при ф=0, r=0.
Мы получим координаты полюса, затем по мере увеличения «ф» увеличится «r», то есть увеличится расстояние от точек кривой до полюса. Получаем кривую, которая называется спиралью Архимеда. При этом, если ф>0 (принимает только положительные значения ) мы получаем правую спираль. В другой полярной системе изобразим левую спираль. Левая спираль выглядит следующим образом ф<0 (принимает только отрицательные значения) и мы получаем левую спираль. Проведем луч «А». Пусть луч «ОА» вращается вокруг точки «О». Зафиксируем точку «М», которая на начальном этапе совпадает с точкой «О». Пусть точка «М» равномерно движется вдоль луча «ОА», который вращается вокруг оси «О». Траектория движения точки «М» при этом описывает кривую, которая называется спиралью Архимеда.(Смотреть приложение №8)
Приложение №8.
Глава 2.4. Применение спирали в жизни
Применение в технике
Спираль Архимеда в настоящее время широко используется в технике. Одно из изобретений ученого - винт (прообраз объемной спирали) - использовалось как механизм для передачи воды в оросительные каналы из низколежащих водоемов.
Спираль Архимеда и последовательность Фибоначчи:
Спираль Архимеда имеет тесную связь с последовательностью Фибоначчи. Данный закон математики описывает принцип спирали Архимеда и золотого сечения. Их тесную связь можно наблюдать у многих явлений и элементов природы - в устройстве раковины моллюсков, соцветий подсолнуха и суккулентных растений, фрактальной капусты и сосновых шишек, человека и целых галактик.
Спираль Архимеда в природе:
В природе спираль проявляется в трех основных формах: застывшей (раковины улитки), расширяющейся (изображения спиральных галактик) или сжимающейся (подобие водоворота). Спиральные формы представлены от эволюционных глубин (молекулы ДНК) до законов диалектики. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни». Спираль близка к кругу - самой идеальной форме из всех, что создала природа . Стихийные и природные элементы, имеющие форму спирали, очень распространены в природе. Это спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройства растений.
Глава 2.5. Виды Спиралей
Виды спирали, которые встречаются в природе:
(Смотреть приложение №9,№10,№11)
Приложение №9 Приложение №10
Приложение №11.
Глава 2.6. Практическая часть
Прежде чем сделать вывод о «Замечательных кривых: розах и спиралях», предлагаю рассмотреть социологический опрос. Цель опроса: выяснить насколько хорошо учащиеся знают замечательные кривые.
Опрос проводился среди кадет 10 «а» класса Проводился опрос следующим образом: Участникам предоставлялось 3 вопроса. Также им предлагалось два варианта ответа «да» или «нет».
Вопросы:
1.Знакомы ли вы с понятием «замечательные кривые»?
2.Знаете ли вы как строить Архимедову спираль?
3.Знаете ли вы как строить розы Гранди Гвидо?
Приложение №12
Вопрос №1 «да» 64,71% , «нет» 35,29%, Вопрос №2 «да» 31,25% , «нет» 68,75%
Вопрос №3 «да» 12,5% , «нет» 87,5%.
Вывод: Исходя из результатов опроса, можно сделать вывод, что кадеты 10«а» класса хорошо знакомы с понятием «Замечательные кривые», но плохо знают, как строить кривые розы и спирали.
Заключение
Из всей работы можно сделать вывод, что спирали и розы занимают важную и значимую роль в нашей жизни. Без них было бы невозможно существование многих растений, животных, космических галактик. Так же без знания таких фигур люди не смогли бы воспроизводить данную красоту в архитектуре, ландшафтном дизайне и любой другой своей деятельности.
Проведя исследование на данную тему, я узнал много интересного связанного с математическими расчётами, спиралями, розами, об их значениях и проявлениях в природе и деятельности человека. Научился делать построение некоторых фигур, и в итоге пришёл к выводу, что всё всегда связано с окружающим нас миром, и ничего не возникает из ниоткуда.
В жизни всегда было и будет множество великих математиков, открывающих нам огромный мир чисел, формул и построений, но мы не должны забывать про наш удивительный и невероятный мир, полный чудес и еще множеств нерешенных задач.
Данная работа позволила по-новому, с точки зрения математики, посмотреть на красоту окружающего мира, понять, что математика-прикладная наука, позволяющая описать эту красоту. Я рассмотрел много видов и форм роз и спиралей, которые дают фантазию для их применения. Также с точки зрения математики были созданы макеты цветов по данной технологии.
Список использованной литературы
1.http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_58_12909.pdf
2. http://matematikaiskusstvo.ru/rosesgrandy.html
3. http://grandkid.ru/rozy/
4. https://gvidograndi.jimdo.com/
5. Хабиб, З., Сакаи, М., 2005. Спиральные переходные кривые и их приложения. Scientiae Mathematicae Japonicae 61, 195 – 206.
6. Харари, Г., Таль, А., 2011. «Естественная 3D спираль». Компьютерная Графика Форум, 237 – 246
7. Г. Аракелян, 2014. «Математика и история золотого сечения»
8. М.Я. Выгодский, М.: ACT: Астрель, 2006. — 991 с. «Справочник по высшей математике»