XIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Это - третья небылица о случае, который подсказал Декарту идею координат.

Виды систем координат

В 5 классе мы познакомились с координатным лучом. Точка, лежащая на луче, имеет одну координату, выраженную положительным числом.

После изучения отрицательных чисел координатный луч превратился в координатную прямую (ось). Она может располагаться как горизонтально, так и вертикально. Точка на этой прямой также имеет одну координату, которая выражена любым рациональным числом.

Созданная Декартом система координат позволяет определить положение точки на плоскости. Это возможно, потому что взята не одна, а две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке О(0), которая является началом отсчета для каждой из них.

П рямые, образующие систему координат называются координатными осями: горизонтальная – ось абсцисс (ось Ох), вертикальная – ось ординат (ось Оy).

Существует еще и трехмерная система координат, все точки которой имеют три координаты. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

Координаты в жизни человека.

2.1 Координаты в повседневной жизни

Мы живем в поселке Новоселезнёво. Таких поселков, как наш, в России очень много. А что нужно знать, чтобы отыскать человека в такой огромной стране. Конечно, адрес! Название города, улицы, номер дома, квартиры – это наши координаты. Они есть у каждого человека.

Дети очень любят играть. Наверное, нет такого ребенка, который бы не любил «Морской бой». А это самая настоящая координатная плоскость. Играя в эту игру, мы учимся правильно находить и называть координаты точек (А5, Ж6).

В нашей школе есть ребята, которые увлекаются игрой в шахматы. Шахматная доска тоже представляет собой координатную плоскость.

И дети, и взрослые любят посещать театр. Как в большом зрительном зале отыскать свое место? Нужно внимательно посмотреть на билет: в нем указаны две координаты Вашего места – ряд и номер места в этом ряду. Тоже получаем координатную плоскость.

Отыскивать свое место нам приходится не только в театре. При поездке в междугороднем автобусе, поезде, самолете также у каждого - свое место. И даже в классе у каждого ученика.

Чтобы узнать, какое значение имеют координаты в жизни взрослого человека, мы провели анкетирование старшеклассников. Были заданы два вопроса:

1.В каких областях наук, кроме математики, встречаются координаты?

2.Людям каких профессий требуется умение находить координаты?

Результаты опроса показали, что координаты встречаются в девяти научных областях (не считая математики): физика, география, история, химия, астрономия, мореплавание, картография, геология, археология. Также, старшеклассники считают, что людям 21 профессии (помимо учителя математики) требуется умение находить координаты: моряк, астроном, географ, почтальон, врач, картограф, летчик, археолог, водитель, пожарный, военный, экономист, инженер, архитектор, геолог, биолог, таксист, пилот, физик, скалолаз, космонавт.

Координаты в географии

Форма Земли подобна сфере. Как определить точку на поверхности этой сферы? Самый распространенный способ, чтобы найти точку на поверхности Земли (глобуса), общеизвестен - с помощью географических координат, называемых широтой и долготой. Эти координатные величины измеряются в градусах и представляют собой угловые расстояния, рассчитываемые от центра Земли до её поверхности относительно экватора по вертикали (у широты) и относительно нулевого меридиана по горизонтали (у долготы). Сначала пишется широта, потом долгота.

Широта и долгота измеряются в градусах, но градусы могут быть разделены на меньшие части: минуты и секунды. Градусом географической широты является 1/180 часть меридиана. Градусом географической долготы является 1/360 часть экватора. Каждый градус разделён на 60 частей, названные минутами, и каждая минута разделена на 60 частей, названные секундами. Поэтому, мы можем разделить широту и долготу на очень маленькие части.

Мне стало любопытно, и я решила определить географические координаты административного центра нашего региона – города Тюмень. Я получила следующие данные:57⁰северной широты и 65⁰восточной долготы. В интернет источниках я нашла более точные данные: 57 градусов9 минут 41 секунда северной широты и 65 градусов31 минута30 секунд восточной долготы (57° 9' 41" N, 65° 31' 30" E). Координаты центра нашего района – села Казанское 55° 38' 41" с.ш., 69° 14' 5" в.д. Поселок Новоселезнёво, в котором мы живем, имеет координаты 55° 40' 3" с.ш., 69° 11' 57" в.д.

Точные географические координаты помогают мореплавателям определять свое местоположение, спасателям вовремя прибыть на место и оказать первую помощь, военным спланировать тактику боя с наименьшими потерями. От точных сведений разведгрупп о координатах противника также зависел результат сражений в годы Великой Отечественной войны, в которой наш народ одержал Победу 76 лет назад, в 1945 году.

2.3 Координаты в астрономии

Астрономия - одна из самых древних наук, наряду с медициной и геометрией. Древние люди вели наблюдения за движением звезд с чисто практическими целями. По их движению они научились определять время необходимое для отправления религиозных церемоний и для земледелия, а также ориентироваться на местности.

Для определения положения планет и звёзд на небесной сфере, а также для чтения карт, астрономы и астрологи используют две координаты – склонение планеты и её долготу.

Долгота – это горизонтальная координата планеты, которая измеряется в градусах, и в астрологии отсчитывается вдоль эклиптики от 0 градусов Овна (точки весеннего равноденствия) по ходу знаков Зодиака. Вертикальная координата планеты называется склонением и измеряется в градусах к северу или к югу от небесного экватора в геоцентрических картах и от эклиптики в гелиоцентрических картах. Склонение Солнца, например, изменяется приблизительно от +23°26′ градусов к северу от небесного экватора до -23°26′ градусов к югу, и ограничено примерно 47 градусами по вертикали. Почти вся активность планет в склонении ограничена этими же пределами.

Координаты в математике

Чаще других наук декартова система координат используется в математике.

3.1 Создание «рисунков» в прямоугольной системе координат

Н а координатной плоскости интересно строить рисунки, используя построение графов по координатам.  Нужно сначала нарисовать рисунок, а затем его перенести на координатную плоскость, но при этом плавные соединения должны быть в виде отрезков. Нарисуем нескольких животных нашего района.

Рыбка: (-10; 1), (- 7; 4), (- 7; 7), (- 3; 9), (0; 9), (5; 5), (3; 4), (4; 2), (8; 2), (12; 8), (11; 2), (14; - 3), (8; 0), (3; - 4), (1; - 6), (- 2; - 4),

(- 4; - 7), (- 6; - 4), (- 8; - 2), (- 10; 1).

Лиса: 

(- 2; 1), (- 1; 2), (5; 2), (5; 3), (7; 4), (8; 6),(8; 4), (9; 3), (11; 2), (9; 2), (8; 1), (7; 1), ( 7; - 1), (8; - 2),

(9; -2), (9; -3), (7; -3), (6; -2), (5; 0), (- 1; - 2), (- 1;- 3), (0;- 3), (0; - 4), (- 3;-4), (- 3; - 2), (- 2; - 1), (- 3; - 1), (- 5; - 2), (- 10; - 2), (- 12; - 1), (- 10; 0), (- 2; - 1).

Утка:(3; 0), (1; 2), (-1; 2), (3; 5), (1; 7), (-3; 6),

(-5; 7), (-3; 4), (-6; 3), (-3; 3), (-5; 2),(-5; -2), (-2; -3), (-4; -4), (1; -4), (3; -3), (6; 1), (3; 0). Глаз: (-1; 5).

Все эти рисунки были построены в программе GeoGebra. GeoGebra— это бесплатная, динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, в одном удобном для использования пакете.

Далее предлагаем построить «рисунки» по координатам.

Настольная лампа:(0; 0), (- 3; 0), (- 3; - 1), (4; - 1), (4; 0), (1; 0), (6; 6), (0; 10), (1; 11), (- 2; 13), (- 3; 12), (- 7; 12), (0; 5), (0; 9), (5; 6), (0; 0).

Петух: (0; -4), (- 4; -2), (- 6;2), (- 6;3), (- 8;4), (- 6;5), (- 6;7), (- 5;8), (- 5;7), (- 4; 8), (- 4;7),

(- 3;8), (- 3;7), (- 2;7), (- 3;6), (- 3;3), (2;2), (5;3), (7;8), (7;6), (9; 7), (8; 5), (10; 6), (9; 4), (10; 4), (5; - 2), (2; - 3), (0; - 4), (1; - 7), (- 1; - 7), (0; - 4). Глаз (- 5; - 5)

Звезда: (-9;2), (-3;3), (0;8), (3;3), (9;2), (5;-3), (6;-9), (0;-7), (-6;-9), (-5;-3), (-9;2).

Такая «игра» позволяет отрабатывать навыки работы с координатной плоскостью, а именно отмечать точки по заданным координатам.

Изучив интернет ресурсы, мы сделали подборку таких задач.(Приложение 2)

3.2 Задачи в координатах с использованием краеведческого материала

Создавая рисунки в прямоугольной системе координат, первой я нарисовала рыбу, т.к. она является символом нашего Казанского района, который в этом 2021 году отмечает свой 90-летний юбилей.

В связи с этим мы решили составить задания в координатной плоскости, используя данные о моей малой Родине.

В ыполнив рисунок по точкам в координатной плоскости, Вы узнаете, какое животное, обитающее в Казанском районе, занесено в Красную книгу Тюменской области: (1;7); (0;10); (-1;11); (-2;10); (0;7); (-2;5); (-7;3); (-8;0); (9;1); (-9;0); (-7;-2); (-2;-2); (-3;-1); (-4;-1); (-1;3); (0;-2); (1;-2); (0;0); (0;3); (1;4); (2;4); (3;5); (2;6); (1;9); (0;10); глаз (1;6). Ответ: Заяц-русак

й	е	2	н	м	ь	я
и	б	1	ю	ы	1	у
-2	-1	0	1	2	3	4
с	т	-1	о	в	а	3
9	к	-2	р	ш		г
е	л	-3	ч	8	д	5

И з букв соответствующих координат Вы узнаете ответы на следующие вопросы:

Год основания Казанского района: (3; 1), (-2; -2), (4; -1), (3; 1) Ответ: 1931, 10 июня

Область, в составе которой был образован Казанский район: (4; 1), (1; -2), (3; -1), (-1; -3), (3;2), (-2; -1), (-1; -2), (3; -1), (4; 2) Ответ: Уральская

Область, в состав которой вошел Казанский район 7 декабря 1934 года: (1;-1), (2;2), (-2; -1), (-1; -2), (3;-1), (4; 2) Ответ: Омская

В состав какой, образованной в это время, области был передан Казанский район 14 августа 1944 года: (-1;-1), (1; 1), (2; 2), (1; 2), (-2; 1), (-1;-2), (1;-1), (-2;2) Ответ: Тюменской

Год образования Новоселезневского сельсовета: (3; 1), (-2;-2), (2;-3), (2;-3)

Ответ: 1988, 10 мая

Ближайший город: (-2; 1), (2; -2), (-2; 1), (2; 2) Ответ: Ишим

Год преобразования рабочего поселка Казанское в село и образования Казанского сельсовета: (3; 1), (-2;-2), (-2;-2),(3; 1) Ответ: 1991, 21 ноября

Обитатель водоемов Казанского района, занесенный в Красную книгу Тюменской области: (-1; 1), (1;-1), (-1; 1), (1;-2), (3;-2), (1;-1), (-1; 1), (2; 1),(-1;-2), (1; 2), (1;-1), (2;-1), (-1; 2), (1; 2), (1; 2), (2, 1), (-2; 2)

Ответ: Бобр обыкновенный (речной)

Решите уравнение: (х – 5)(х – 4) = 0. Записав корни в порядке возрастания без пробелов и запятых, Вы узнаете, сколько памятников федерального и областного значения расположено в Казанском районе. Ответ: 45

По данным таблицы численности населения Казанского района с 2009 по 2014 год составить график изменения численности населения в этот период.

Год	2009 г.	2010 г.	2011 г.	2012 г.	2013 г.	2014 г.
Численность населения	22 137	22 490	22 472	22 240	22 129	21 973

Выполнив рисунок по точкам в координатной плоскости, Вы узнаете, какое хищное млекопитающее можно встретить в Казанском районе:(-9; 5), (-7;5), (-6; 6), (-5; 6), (-4; 7),

(-4; 6), (-1; 3), (8; 3), (10; 1), (10; -4), (9; -5), (9; -1), (7; -7), (5; -7), (6; -6), (6; -4), (5; -2), (5; -1), (3; -2), (0; -1), (- 3;-2), (- 3;-7), (- 5;-7), (-4; -6), (-4; -1), (-6; 3), (-9; 4), (-9; 5). Глаз: (-6; 5) Ответ: Волк

3.3 Решение геометрических задач методом координат

Введение координат позволяет определить положение точки с помощью чисел – координат этой точки. Метод координат дает возможность записывать геометрические фигуры на языке арифметики, указывая координаты точек этих фигур, или же на языке алгебры с помощью уравнений, решениями которых являются координаты точек данных фигур. Это позволяет применять алгебраические методы при решении геометрических задач и, наоборот, исследовать уравнения с помощью обращения к их графической интерпретации. Суть метода координат на плоскости и в пространстве заключается в следующем. Ввести систему координат удобным образом (исходя их свойств заданной фигуры). Записать условие задачи в координатах, определив во введенной системе координат, координаты точек и/или векторов.

Если на плоскости введена система координат, то решение многих вопросов существенно упрощается. Например, можно находить расстояние dмежду двумя точками с известными координатами А₁(х₁; у₁), А₂(х₂; у₂) не выполняя измерений, а с помощью простой формулы:

Используя формулу расстояния, можно решать геометрические задачи на вычисления и доказательства, а также составлять уравнения кривых, свойства которых описываются с помощью расстояния.

В качестве примера, иллюстрирующего применение метода координат для решения геометрических задач, рассмотрим несколько задач на доказательство.

Задача 1. Доказать, что диагонали прямоугольника равны (свойство диагоналей прямоугольника)

С вяжем систему координат с прямоугольником ABCD так, как показано на рисунке. Тогда вершины имеют следующие координаты: A(0;0), B(0; b), C(a; b), D(a; 0)

Используя формулу расстояния, найдем длины диагоналей: АС = ), BD= ). Из этого следует, что диагонали прямоугольника равны. Что и требовалось доказать.

Задача 2. Докажите признак равнобедренного треугольника: Если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный

С вяжем систему координат с треугольником ABC так, как показано на рисунке. Тогда вершины имеют следующие координаты: A(-а;0), B(0; b), C(a; 0).

Используя формулу расстояния, найдем длины сторон:

АВ = ), BС= ).

Т.к. в треугольнике две стороны равны, то по определению треугольник – равнобедренный. Что и требовалось доказать.

Задача 3. Докажите, что суммы квадратов расстояний от любой точки плоскости до противоположных вершин прямоугольника равны (т.е. для прямоугольника ABCD и любой точки М справедливо равенство MA² + MC² = MB² +MD²)

Свяжем систему координат с прямоугольником ABCD так, как показано на рисунке. Тогда вершины имеют следующие координаты: A(0;0), B(0; b), C(a; b), D(a; 0). Точка М(х; у).

Используя формулу расстояния, найдем суммы квадратов соответствующих расстояний:

MA² + MC² = х² + у² +(а – х)² + (b – у)², MB² +MD² = х² + у² +(а – х)² + (b – у)²

Т.е. MA² + MC² = MB² +MD², что и требовалось доказать.

Задача 4. Докажите, что треугольник с вершинами в точках А(2; 2), В(1; 5), С(3; 3) является прямоугольным.

Используя формулу расстояния, найдем длины сторон: АВ = , ВС= , АС =

Т.к. АВ² = АС² + ВС², то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВС – прямоугольный. Что и требовалось доказать.

Заключение

Подводя итоги выполненной работы, мы пришли к выводу, что наша гипотеза получила подтверждение. В результате опроса старшеклассников мы узнали, что как минимум в 10 областях наук требуется умение находить координаты. Оказалось, что представители 22 профессий также должны уметь определять координаты. Более глубокий анализ различных областей наук также подтвердил наше предположение.

Таким образом, мы убедились, что умение правильно определять координаты пригодится не только на уроках математики, но и в жизни.

Кроме того, в данной работе метод координат был рассмотрен как способ решения конкретных геометрических задач на доказательство. И, несмотря на то, что этот метод, как и многие другие не является универсальным, иногда он позволяет упростить решение задач. Я планирую более детально рассмотреть вопрос «Решение геометрических задач методом координат» и порешать не только задачи на доказательство, но и на вычисление, используя формулы расстояния между точками, координат середины отрезка и другие.

Ценность данного проекта состоит в том, что была проведена большая работа, в ходе которой были изучены литература и Интернет-ресурсы не только по истории возникновения координат, но и по истории родного края. По данным краеведческого материала составлены математические задания по теме координатная плоскость. В результате проделанной работы я больше узнала не только о координатах, но и о своем районе.

Приложение 1

Рене Декарт (1596 – 1650), французский математик.

Приложение 2

«Рисунки» по координатам

Собачка: (- 7; 1), (- 8; 5), (- 7; 7), (- 5; 7), (- 6; 5), (- 5; 2), (1; 2), (3; 4), (2; 6), (1; 5),

(1; 6), (2; 7), (4; 6), (6; 7), (8; 7), (6; 6), (6; 5), (7; 4), (7; 3), (9; 4), (8; 2), (6; 1), (4; - 6), (1; - 6),

(2; -2), (- 4; - 2), (- 5; - 6), (- 8; - 6), (- 7; 1). Глаз (6; 3).

Бабочка: (1; 7), (1; 8), (2; 8), (2; 7), (11; 8), (11; -3), (7; -3), (7; -12), (2;-9), (2; -10),

(1; -10), (1; - 9), (- 4; - 12), (- 4; - 3), (- 8; - 3), (- 8; 8), (1; 7).

Усы (1; 8), (- 2; 11) и (2; 8), (2; 11).

Кот: (- 9; 0), (- 12; 2), (- 12; 5), (- 11; 6), (- 10; 5), (- 9; 6), (- 8; 5), (- 6; 5), (- 5; 4), (3; 4), (5; 2), (5; 0), (8; 0), (11; - 1), (11; -5), (- 9; -10), (- 1; -10), (- 1; - 8), (3; - 6), (8; -4), (8; - 3), (7; - 2), (5; - 2), (3; - 4), (- 5; - 4), (- 5; - 3), (- 9; - 3), (- 9;-2), (- 10; - 2), (- 10; - 1), (- 9; - 1), (- 9; 0).

Медведь: (-12; 0), (-10; 4), (-6; 6), (-3; 6), (-1; 7), (0; 7), (1; 6), (9; 0), (8; -1), (8;-3), (7; -4), (7; -5), (6; -6), (3; -6), (1; -5), (1; -4), (0; -5), (0; -6), (1;-6), (1; -7), (-2; -7), (-4; -2), (-5; -4),(-4; -4), (- 4; - 5), (- 7; - 5), (- 7; - 3), (- 8; - 4), (-8; -5), (- 7; - 6), (- 7; -7), (- 11; - 6), (- 11; - 4), (- 12; 0). Глаз (6; - 4). Ухо (4;- 3), (4; - 2), (5; - 1), (6; - 1). Челюсть (2; - 3), (2; - 5), (6; - 6).

Верблюд: (- 2; - 4), (- 2; - 7), (- 3; - 10), (- 2; - 11), (- 5; - 11), (- 4; - 10), (- 5; - 7), (- 5; - 4), (- 7; - 3), (- 10; 0), (- 10; 4), (- 11; 4), (- 11; 5), (- 10; 5), (- 10; 7), (- 8; 7), (- 7; 6), (- 7; 5), (- 6; 2), (- 2; 7), (0; 7), (1; 2), (2; 2), (4; 7), (6; 7), (8; 2), (10; 0), (10; - 7), (9; - 10), (9; - 11), (6; - 11),

(7; - 10), (7; - 7), (6; - 4), (- 2; - 4). Глаз (- 9; 5). Хвост (10; 0), (12; - 3).

Белка:(1;-4); (1;-6); (-4;-6); (-3;-5); (-1;-5); (-3;-4); (-3;-3); (-1;-1); (-1;0); (-3;0); (-3;-1);

(-4;-1); (-4;0); (-3;1); (-1;1);(-1;2); (-3;3); (-1;4); (0;6); (1;4); (1;2); (3;4); (6;5); (9;2); (9;0); (9;-4); (6;-4); (5;-1); (4;-1); (1;-4); глаз (-1;3).

Кошка:(7; -2); (7; -3); (5; -3); (5; -4); (1; -4); (1; -5); (-7; -5); (-8; -3); (-10;-3); (-11; -4);

(-11; -5); (-6; -7); (-4; -9); (-4; -11); (-12; -11); (-15; -6); (-15; -2); (-12; -1); (-10; -1); (-10;1);

(-6;3); (2;3); (3; 4); (5;4); (6;5); (6;4); (7;5); (7;4); (8;2); (8;1); (4; -1); (4; -2); (7; -2); глаз (6;2).

Слоник: (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2),

(- 4; 5), (0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3). (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; -8), (1; -5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9), (-3; -3), (-7; -3), (-7; -7), (-8; -7), (-8; -8), (-11; -8), (-10; -4), (-11; -1), (-14; - 3), (-12; -1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5). Глаза: (2; 4), (6; 4).

Сорока: (- 1; 2), (5; 6), (7; 13), (10; 11), (7; 5), (1; - 4), (- 2; -4), (-5; 0), (-3;0), (- 1; 2),

(- 2; 4), (- 5; 5), (- 7; 3), (- 11; 1), (- 6; 1), (- 7; 3), (- 5; 0), (- 6; 0), (- 10; -1), (- 7; 1),(- 6; 0). Крыло: (0; 0), (7; 3), (6; 1), (1; - 3), (0; 0), (1; - 4), (1; - 7); (- 1; - 4), (- 1; - 7). Глаз: (- 5; 3).

Список литературы

Факультативный курс по математике: Учеб. пособие для 7 – 9 кл.сред.шк./Сост. И.Л.Никольская – М.: Просвещение, 1991

Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

А.Д.Колесников. Край зело богатый/ Очерки истории Казанского района Тюменской области. – Омск, 2005.

География Тюменской области: Казанский район: монография/ А. Ю. Солодовников; Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Тюменский государственный университет. – Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2019.

Легенды об изобретении системыкоординат

https://school-science.ru/3/7/32272

Geogebra - бесплатное онлайн геометрическое приложение

https://www.math10.com/ru/geometria/geogebra/geogebra.html

Свободная энциклопедия (Википедия). https://ru.wikipedia.org