XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Метатель «блинчиков» - устройство на базе конструктора LEGO Mindstorms EV3

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Софин А.Е. 1Столопов Ю.М. 1Сузин Я.В. 1Цаур Р.Е. 1

---

1Школа интеллектуального развития "Мистер Брейн"

Попова Е.Е. 1

---

1Школа интеллектуального развития "Мистер Брейн"

Работа в формате PDF

2.4 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Игра в блинчики известна на протяжении нескольких тысяч лет [5] — о том, как заставить камушки подпрыгивать на поверхности водоема, писали еще во II веке нашей эры, а первые научные объяснения этого явления появились в XVIII столетии. Развлечения и спортивные игры часто становятся предметом научных исследований. В последнее время интерес к физике этого процесса возрос — понимание механизма подпрыгивания твердых тел над поверхностью жидкости важно для разработки летательных и плавательных аппаратов, а также военных приспособлений. Например, во время Второй мировой войны британский инженер Барнс Уоллес разработал прыгающую авиационную бомбу, которая перед взрывом несколько раз отскакивала от поверхности водоема, приближаясь к цели.

C появление роботов, человек все чаще старается передать ему сложные процессы для выполнения. Нередко мы испытываем робота, проверяем его способности. Так и в игре «Блинчики» актуально понимание возможностей роботов.

Цель: разработать на базе конструктора LEGO Mindstorms EV3 модель пускового устройства для метания «блинчиков», провести игру и оценить результативность робота в сравнении с человеком.

Задачи:

Узнать подробнее об игре «Блинчики»;

Изучить, какие законы физики выполняются при игре «Блинчики»;

Рассмотреть существующие примеры устройств для метания «блинчиков»;

разработать модель робота для игры «Блинчики»;

провести первые эксперименты и итоговую игру, проанализировать результаты.

Гипотеза: если точность выполнения однотипных задач роботами в большинстве случаев выше, чем у человека, то и наш робот на базе конструктора LEGO Mindstorms EV3 покажет лучший результат, чем был у нас.

В качестве источников мы использовали информационный сайт wikipedia, интернет журналы: www.stoneskipping.com, https://nplus1.ru/news, https://www.techcult.ru. При оформлении проекта мы брали идеи из большой книги «LEGO Идеи: новая жизнь старых деталей» [1], при конструировании движимых частей проекта нам помогли книги и методические пособия о простых и сложных механических передачах, подробно о зубчатых передачах [2, 3], при создании программ мы руководствовались учебными пособиями по образовательной робототехнике [4].

Глава 1. История игры «Блинчики»

Искусство пускания "блинчиков" известно, по крайней мере, с античных времен [6]. Древние греки нередко развлекались, запуская в море найденные на берегу ракушки, камни и глиняные черепки. О состязаниях по бросанию ракушек, называвшихся "эпистокистос" (от греч. остакиа - ракушка), упоминает греческий лексикограф Юлий Поллукс (II век н. э.). Победителем считался тот, чья ракушка подпрыгнет наибольшее число раз.

В Средние века традиция бросать камешки, судя по всему, не прерывалась. Так, в Англии с XII века стала популярной игра "ducks and drakes" (утки и селезни), суть которой заключалась в бросании вдоль поверхности воды камней или устричных раковин. Когда раковина подпрыгивала первый раз, говорили "утка", второй раз - "селезень" и так далее.

В Америке игру в "блинчики", называемую стоунскиппинг (stone skipping - подпрыгивание камешков), популяризировал чуть ли не сам Джордж Вашингтон, согласно легенде бросивший серебряный доллар в речку Потомак.

В XVI веке "блинчиками" заинтересовались военные - на этот раз в чисто практических целях. В 1578 году офицер британского флота Уильям Бурн (Bourne) впервые описал явление рикошета при стрельбе из артиллерийских орудий вдоль поверхности воды, что позволяло увеличить дальность полета снаряда в два-три раза.

И сегодня пускание "блинчиков" - вполне серьезный вид спорта, имеющий массу поклонников во всем мире [7]. Существует даже Североамериканская ассоциация стоунскиппинга (NASSA; не путайте с NASA, National Aeronautics and Space Administration - "Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства"), основанная в 1989 году с целью проведения ежегодных всемирных чемпионатов по бросанию камешков. Лучший результат получен в 2003 года, когда камешек Курта Стайнера подскочил 40 раз.

Глава 2. Следование законам физики в игре «Блинчики»

2.1 Угол броска и угол наклона «блинчика»

В повседневной жизни нас повсюду окружают отражающие поверхности. Это и зеркала, и лужи, и витрины магазинов (Рисунок 2.1.1, Приложение) [8]. Свет отражается от этих поверхностей, благодаря чему ты можешь увидеть в них своё отражение.

Существует закон отражения света:

1. Лучи — падающий и отражённый, а также перпендикуляр к отражающей поверхности, проведённый в точку падения, лежат в одной плоскости.

2. Угол отражения равен углу падения (Рисунок 2.1.2, Приложение) [9]. Углом падения называется угол между падающим лучом и перпендикуляром к поверхности. Углом отражения называется угол между отражённым лучом и перпендикуляром к поверхности.

Этот закон относится не только к световой волне. Он также работает и с предметами. Угол падения (угол наклона) «блинчика» на воду равен углу, на который он отскочит от водной поверхности. Оптимальный угол падения камня на водную поверхность равен примерно 20 [10] (Рисунок 2.1.3, Приложение). Чтобы он прилетел к поверхности воды под таким градусом, его нужно бросить тоже под таким градусом (Рисунок 2.1.4, Приложение).

2.2 Вращение «блинчика»

Любители пускания "блинчиков" знают: при броске нужно закрутить камень, заставив вращаться вокруг оси, перпендикулярной его плоскости [6]. Вращение придает телу большую стабильность, оно стремится сохранить направление оси своего вращения в силу "гироскопического эффекта". С ним знаком любой ребенок, хотя бы раз игравший с волчком: волчок не падает, только когда быстро крутится.

2.3 Из какого материала «блинчик»

Камень должен быть плоским и крупным, но достаточно легким [6]. Невольно напрашивается мысль, что лучше всего взять круглый камень. Однако руководитель NASSA Колеман-МакГи с этим не согласен: "Одна из лучших форм - правильный треугольник или пятиугольник размером с ладонь". Он даже разработал и запатентовал "фирменную" пятиугольную модель камня, названную им Эко-Камнем (EcoStone). Камень изготовлен из экологически чистых сортов глины - чтобы занятия стоунскиппингом не привели к загрязнению водоемов. Лидерик Боке никак не комментирует советы экс-рекордсмена, но явно предпочитает иметь дело с камешками круглой формы.

Однако, подобрав подходящий камень и запустив его с достаточно большой скоростью, вы вряд ли добьетесь впечатляющих результатов даже после многочисленных тренировок. Дело в том, что после первого же удара о поверхность воды камешек изменит ориентацию в пространстве и в следующий раз ударится уже не плоской частью, а, скажем, ребром. Это резко изменит баланс сил в пользу силы тяжести, и камень скоропостижно утонет, не оправдав возложенных на него надежд. Увеличив скорость камня, вы лишь усилите вероятность его быстрой дестабилизации.

2.4 Водная поверхность

Основные закономерности силы отталкивания воды можно выяснить в ходе простого опыта [6]. Если медленно опускать ладонь в воду параллельно ее поверхности, то практически никакого сопротивления не почувствуется. Вода, как и положено жидкости, плавно расступится, пропуская руку вглубь. А если резко опустить ладонь в воду, почувствуется удар о ее поверхность; при этом сама вода "разобьется" на брызги. Если ударить по воде ребром ладони - сила толчка заметно уменьшится. Таким образом, сила отталкивания тем больше, чем быстрее взаимодействует предмет с водой (то есть чем больше скорость полета камня или опускания руки) и чем больше площадь поверхности предмета, контактирующая с ней. А именно, отталкивание прямо пропорционально квадрату скорости, умноженной на площадь контакта. Все дело в том, что при быстром ударе молекулы жидкости не успевают "расступиться" и пропустить предмет, и чем он больше, тем труднее им это сделать. В результате жидкость как бы "твердеет", приобретая свойства твердого тела - упругость, хрупкость и способность создавать реакцию опоры, которая здесь выступает в роли силы отталкивания.

Таким образом, чем больше начальная скорость камня, тем лучше он станет отскакивать от поверхности воды. Чтобы "блинчик" подпрыгнул хотя бы раз, его скорость должна превышать некоторое критическое значение, необходимое для преодоления силы тяжести. Оно определяется из равенства силы тяжести и вертикальной составляющей силы отталкивания (Рисунок 2.4.1, Приложение).

Глава 3. Примеры устройств в мире для метания «блинчиков»

Физики из Китая под руководством Кун Чжао (Kun Zhao) из Пекинского электромеханического института построили теоретическую модель игры в блинчики, описав движение твердого диска, бросаемого на поверхность жидкости, и проверили ее в лабораторных условиях [5]. В качестве камня авторы рассмотрели твердый диск постоянного радиуса и толщины, который поступательно движется у поверхности воды и вращается вокруг своей оси (Рисунок 3.1, Приложение). В результате физики установили, что диск подпрыгивает, когда подъемная гидродинамическая сила сообщает ему ускорение выше критического — примерно вчетверо больше ускорения свободного падения. В свою очередь, величина этой силы пропорциональна квадрату скорости тела и синусу угла между плоскостью диска и горизонталью, что делает эти параметры ключевыми для создания «блинчиков». Кроме того, выяснилось, что отклонение скорости диска от первоначального направления определяется комбинацией эффекта Магнуса и гироскопического эффекта, причем первый механизм доминирует при медленном вращении диска (менее 18 оборотов в секунду), а второй — при быстром. Авторы отмечают, что теоретические расчеты практически совпали с экспериментальными измерениями, что делает разработанную модель потенциально пригодной для дальнейшего использования — например, в аэрокосмической, морской или военной инженерии.

Бывший инженер NASA, а ныне популяризатор науки и влогер Марк Робер сконструировал робота «Skippa» [11]. Это устройство не ставит рекорды, но хорошо демонстрирует подрастающему поколению все тонкости данного явления. Робот «Скиппа» - это декорированный ящик с метательным механизмом наверху (Рисунок 3.2, Приложение). Все самое интересное скрыто в деталях. Например, чтобы не вредить экологии региона, а заодно и показать детям азы работы с минералами, инженер сделал комплект дисков из необожженной глины. Они безвредно растворяются в воде в течение часа, зато имеют примерно одинаковый вес и размеры, что важно для калибровки робота.

Постройка робота постоянно сопровождалась прикладными экспериментами, которые Робер записывал на видео. Как выбрать оптимальный угол броска камня, с какой силой должна разгибаться пружина, от чего зависит количество прыжков камня и т.д. Он использовал как известные исследования по баллистике подобных снарядов, так и проводил свои измерения, чтобы наглядно показать – «исследование и разработка» идут рука об руку в создании новых сложных машин. Результат, если честно, удручает. Робот Скиппа исправно, аккуратно и наглядно метает камни, но не далеко и не эффективно, выдавая всего от 3 до 16 прыжков за бросок. Для сравнения, текущий мировой рекорд – более 80 прыжков! Зато детишки довольны и каникулы на озере прошли не зря.

Глава 4. Создание и демонстрация устройства на базе конструктора LEGO Mindstorms EV3 Метатель «блинчиков»

Наша идея сконструировать устройство, которое сможет правильно бросить предмет, чтобы он сделал несколько прыжков по воде, возникла в городе Сочи в этом году, когда мы после выступления на очном этапе Международного конкурса Российской Академии Естествознания «Старт в науке» пробовали соревновались в игре «Блинчики» на берегу Черного моря. Результаты нашей игры в «блинчики» на берегу черного моря мы записали в таблицу (Таблица 4.1). Каждый из нас бросал камень по 10 раз, успешной попуткой считалось попадание камня в воду, балл «блинчику» засчитывался, если он сделал по воде хотябы 1 прыжок.

Таблица 4.1 Результаты игры в «блинчики» нашей командой на берегу Черного моря

Мы бросали камни по разным углом, с разной скоростью, очень стараясь сделать идеальный бросок. Наш результат: меньше половины «блинчиков» сделали прыжок по воде – всего 13 из 40, в среднем на человека 3 из 10.

Мы задались задачей по возвращению в Тюмень сконструировать устройство для метания «блинчиков». Многие говорят, что точность выполнения задач роботом намного выше, чем человеком. Мы решили это проверить.

Конструирование модели

Мы подробно изучили физические основы игры «Блинчики» и были очень удивлены. Важным оказалось выполнение 3 условий, необходимых для победы в этой игре: угол броска «блинчика» должен быть около 20, «блинчик» должен быстро вращаться, «блинчик» должен быть из определенного материала и определенной формы. Учитывая эти условия, а также, учитывая размер будущей модели, мы поставили перед собой ряд задач в конструкции робота:

Модель должна иметь механизм для изменения угла броска «блинчика» от 0до 20

В качестве механизма подъемы мы использовали червячную передачу (передаточное число 8/1 показывает увеличение усилия от мотора в 24 раза при уменьшении скорости вращения в 24 раза [4]). Червячная передача сильная, прочная и может удерживать тяжелую конструкцию для вращения и запуска «блинчиков». Червячная передача будет изменять угол наклона этой конструкции от 0 до 20 (Рисунок 4.1.1, Приложение). Угол наклона конструкции мы измеряли с помощью транспортира, для этого мы сначала научились чертить углы и измерять их в тетради. Для движения механизма мы не стали использовать мотор, устанавливаем нужный угол наклона модели в ручную.

Разработать механизм ускорения блинчика перед броском.

Мы рассмотрели несколько механизмов для броска «блинчика»: механизм удержания «блинчика» с помощью рычага и резинки, катапульту, механизм удара по «блинчику» рычагом, механизм раскручивания до внезапной преграды. Мы выбрали последний механизм: раскрутить «блинчик» и резко остановить вращающуюся основу. В этом варианте мы предположили, что «блинчик» приобретет высокую скорость и в момент резкого торможения основы слетит с неё по инерции с максимально приобретенной скоростью.

Ине́рция (от лат. inertia — покой, бездеятельность, постоянство, неизменность) — свойство тела оставаться в некоторых, называемых инерциальными [12], системах отсчёта в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения в отсутствие внешних воздействий, а также препятствовать изменению своей скорости (как по модулю, так и по направлению) при наличии внешних сил за счёт своей инертной массы. Количественно соотношение между воздействием на тело и изменением его движения даётся формулой второго закона Ньютона: a=F/m, a-ускорение F-сила, приложенная на тело m-масса тела.

Для увеличения скорости вращения мы сконструировали повышающую зубчатую передачу (Рисунок 4.1.2, Приложение). Передаточное число такой передачи 8/40=1/5 показывает, что усилие уменьшается в 5 раз при увеличении скорости вращения в 5 раз. Вращение осуществляет большой мотор, подключенный к порту А.

Разработать механизм для закручивания «блинчика» перед броском.

«Блинчик» должен вращаться как юла, тогда он будет стабилен относительно горизонтали в момент соприкосновения с поверхностью воды. Мы решили вращательное движение к «блинчику» передать от того же большого мотора, который закручивает рычаг для достижения максимальной скорости броска. Для этого мы составили длинную зубчатую передачу из 18 шестерней и передали движение от мотора через эти шестерни к площадке, где устанавливаются «блинчики» (Рисунок 4.1.3, Приложение). Вращение осуществляет большой мотор, подключенный к порту А.

Модель должна иметь большую и массивную опору с центром масс примерно в центре вращения.

Мы подробно изучили 3 основных понятия, особенно важных для нашей модели при запуске: центр масс, равновесие и симметрия. Следуюя законам физики наша модель будет работать стабильно и мы сможем избежать сильных колебаний.

Центр тяжести существует у любого тела. [133] Центр масс отличается от центра тяжести тем, что имеет смысл для любого тела или механической системы, а центр тяжести — только для твердого тела, находящегося в однородном гравитационном поле. При движении тела (механической системы) его центр масс движется так же, как двигалась бы под действием равнодействующей внешних сил материальная точка, имеющая массу, равную массе тела (системы). Таким образом, наша модель совершает механическое движение- вращение, и в этот момент важно, чтобы центр масс нашей модели был в центре вращения, иначе колебания приведут к нестабильности работы устройства.

Механи́ческое равнове́сие [14] — состояние механической системы, при котором сумма векторов всех сил, действующих на каждую её частицу, равна нулю и сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно любой произвольно взятой оси вращения, также равна нулю. В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета либо движется равномерно прямолинейно. В нашем случае равновесие это стабильная работа устройства без колебаний.

Симметрия в физике понимается как инвариантность (неизменность) физической системы относительно тех или иных преобразований, которые осуществляются над ней. Сами преобразования – это элементы симметрии или просто симметрии. В нашей установке следование симметрии будет в момент установки «блинчика» на вращающийся рычаг: вес блинчика должен быть компенсирован любым элементом такого же веса с другой стороны рычага. Это важно, чтобы при вращении наше устройство не потеряло скорость.

В момент вращения модель должна прочно стоять на твердой поверхности. Для избежания колебаний и разболтанности при запуске мы сконструировали прочное массивное основание (Рисунок 4.1.4, Приложение. Конструкцию с моторами и вращающимся рычагом мы установили примерно над центром основания.

Создать ограниченную с 3 сторон площадку для установки «блинчика» перед броском (Рисунок 4.1.5, Приложение).

Разработать систему резкой остановки вращающегося рычага

Мы использовали средний мотор, который через повышающую передачу быстро поднимает рычаг и останавливает вращение рычага с «блинчиком», в этот момент блинчик слетает (Рисунок 4.1.6, Приложение). Средний мотор подключен к порту D.

4.2 Программирование модели

Для удобства запуска и резкой остановки вращения рычага с «блинчиком» мы использовали 2 датчика касания. Первый подключили к порту 1, второй - к порту 2.

При нажатии первого датчика запускается большой мотор, после нажатия второго датчика срабатывает система торможения: поднимается рычаг, и большой рычаг блокируется. В этот момент блинчик слетает.

4.3 Первый эксперимент, итоговая игра. Анализ результатов.

При проведении первого эксперимента мы столкнулись с проблемой: камни очень тяжелые для нашей модели и рычаг приходит в неравновесное положение, что мешает ему вращаться и набирать скорость. Поэтому в первом эксперименте в качестве «блинчиков» мы использовали любые предметы округлой формы: мячик, шарик, шестерни и колеса LEGO, монетки (Рисунок 4.3.1, Приложение). Первый эксперимент и итоговую игру мы проводили на твердой поверхности пола. Мы не стали сразу отправлять «блинчики» по воде, нужно было увидеть наш первый результат.

Первый эксперимент показал, что лучший для броска элемент – колесо LEGO. Оно лучше лежит на рычаге и чаще не слетает.

Мы провели итоговую игру (Рисунок 4.3.2, Приложения): каждый участник запускал модель по 10 раз, в качестве блинчика мы использовали колесо LEGO. Попытка считалась успешной, если «блинчик удерживался на рычаге до остановки и слетал только после торможения рычага. Если «блинчик» подпрыгнул хотябы 1 раз после броска, то мы ставили балл за прыжок. Результаты игры представлены в Таблице 4.3.1.

Результат робота: из 40 попыток успешными оказались всего 7, из них всего 2 попытки привели к результату – «блинчик» совершил прыжок по поверхности пола.

В среднем один участник запустил устройство успешно 2 раза из 10 и получил желаемый результат 1 раз из 10. Мы получили очень низкий результат, поэтому мы в дальнейшем не стали проводить испытание нашего устройства на воде.

Если сравнить результаты первой игры в Сочи (см. выше Таблица 4.1) и итоговой игры с использованием пускового устройства, то можем сделать вывод, что лучший результат был получен не роботом, а людьми! Гипотеза не доказана, не всегда умная машина приводит к лучшему результату, иногда человек бывает более точен, силен, результативен.

Таблица 4.3.1 Результаты итоговой игры «Блинчики» с использованием установки на базе конструктора LEGO Mindstorms EV3

Мы проанализировали работу нашей пусковой установки и пришли к выводу, что существует несколько причин низкого результата:

основная проблема - большой вес вращающихся элементов, что приводит к неравновесию, колебаниям, потере скорости при вращении и преждевременному сбросу «блинчика»;

неравновесие рычага, что приводит к колебаниям при вращении и сбросу скорости;

недостаточная масса основы устройства, что приводит к колебаниям во время движения;

гладкая и широкая площадка для установки «блинчика»;

люфт деталей LEGO, что приводит к небольшим колебаниям и нестабильности устройства.

Мы планируем усовершенствовать модель и исключить некоторые проблемы. Надеемся, что повторные эксперименты приведут к лучшему результату.

Заключение

Мы все любим играть. И нам кажется, что игры – это просто. На самом деле за каждой игрой скрывается тайный смысл. Он может быть психологический (проявление эмоций, взаимодействие с людьми), физический (выработка силы, ловкости, скорости), математический (усовершенствование счета), а может быть в области физики (понимание законов природы). Игра «Блинчики» уже давно…. Мы познакомились с работой некоторых устройств для игры «Блинчики», которые разработали специалисты в области физики. Они показывают отличный результат. Однако были созданы не столько для победы, сколько для анализа и поиска идеальных начальных условий при запуске «блинчика» для получения лучшего результата. В итоге, специалисты отмечают, что для победы в игре «Блинчики» нужно следовать основным задачам: угол наклона броска около 20, закручивание «блинчика» как волчок при запуске и правильный выбор «блинчика» - округлая приплюснутая форма и небольшой вес.

Идея создания устройства из LEGO по запуску «блинчиков» у нас возникла на берегу Черного моря в г.Сочи в этом году после участи в очном этапе Международного конкурса Российской Академии Естествознания «Старт в науке». Мы провели первую игру и получили результат: из 40 попыток 38 удачные (камень попал в воду) и 13 результативные (камень сделал хотябы 1 прыжок). По возвращению в Тюмень мы создали пусковое устройство на базе конструктора LEGO Mindstorms EV3 и провели итоговую игру «Блинчики» с использованием нашего робота. Результат оказался ниже, чем у нас в Сочи: из 40 попыток 7 удачные («блинчик» слетел с устройства вовремя) и 2 результативные («блинчик» сделал хотябы 1 прыжок).

Таким образом, гипотеза не доказана, не всегда умная машина приводит к лучшему результату, иногда человек бывает более точен, силен, результативен.

Мы проанализировали работу устройства и выделили ряд проблем, которые могли привести к низкому результату: большой вес вращающихся элементов, неравновесие рычага при вращении, недостаточная масса основы устройства, гладкая и широкая площадка для установки «блинчика», люфт деталей LEGO. Все это приводило к лишним колебаниям и нестабильному вращению установки. Мы планируем усовершенствовать модель и вновь провести игру «Блинчики».

Данный проект может быть использован на внеклассных занятиях по теме «Игры», а также на занятиях по робототехнике при изучении механических передач и умных роботизированных систем.

Список используемой литературы:

Курс «Лаборатория роботов», курс «Робототехнический Центр», Школа интеллектуального развития «Мистер Брейн», - Режим доступа - https://vk.com/mrbrain_tmn;

LEGO Книга идей: новая жизнь старых деталей: 181 удивительный механизм и устройство; [пер. с англ. А. Аревшатян]. – Москва, Издательство «Эсмо», 2015. - 200 с.;

Богданова С.М, Попова Е.Е. Благодаря механическим передачам Lego- конструкции оживают / С.М. Богданова, Е.Е. Попова// «Новые информационные технологии в нефтегазовой отрасли и образовании»: материалы VII Международной научно-технической конф. 2017 С. 160-163. Режим доступа- https://elibrary.ru/item.asp?id=30700400

Филиппов С.А. Робототехника для детей и родителей, - СПб.: Наука, 2013. 319с;

Интернет источники:

https://nplus1.ru/news/2021/05/01/skipping-stone

https://www.nkj.ru/archive/articles/5993/

www.stoneskipping.com

http://www.websurfmedia.com/wp-content/uploads/2016/11/37.-Reflective-Photography.jpg

Схема отражения. © ЯКласс.

https://www.youtube.com/watch?v=M0_U1FHwACk&list=RDCMUCY1kMZp36IQSyNx_9h4mpCg

https://www.techcult.ru/robots/5615-robot-dlya-brosaniya-blinchikov

https://ru.wikipedia.org/wiki/Инерция

Онлайн-школа Фоксфорд (foxford.ru)

Механическое равновесие - Википедия (wikipedia.org)

Приложение