Представьте себе самолет: крылья, фюзеляж, хвостовое оперение, все это вместе – настоящий огромный, необъятный, целый самолет. А можно сделать модель самолета, маленькую, но все как взаправду, те же крылья и т.д., но компактный. Так же и математическая модель. Есть текстовая задача, громоздкая, на нее можно так посмотреть, прочесть, но не совсем понять, и уж тем более не ясно как решать ее. А что если сделать из большой словесной задачи ее маленькую модель, математическую модель? Что значит математическую? Значит, используя правила и законы математической записи, переделать текст в логически верное представление при помощи цифр и арифметических знаков. Итак, математическая модель – это представление реальной ситуации с помощью математического языка.

Человек издавна использует моделирование для исследования объектов, процессов, явлений в различных областях. Результаты этих исследований служат для определения и улучшения характеристик реальных объектов и процессов; для понимания сути явлений и выработки умения приспосабливаться или управлять ими; для конструирования новых объектов или модернизации старых. Моделирование помогает человеку принимать обоснованные и продуманные решения, предвидеть последствия своей деятельности.

Актуальность темы:

Сейчас, когда в стране происходит чуть ли не всеобщая компьютеризация, от специалистов различных профессий приходится слышать высказывания: "Вот внедрим у себя компьютер, тогда все задачи сразу же будут решены". Эта точка зрения совершенно не верна, сами по себе компьютеры без математических моделей тех или иных процессов ничего сделать не смогут.

Применение компьютера в качестве нового динамичного, развивающего средства обучения — главная отличительная особенность компьютерного моделирования. Для осуществления математических расчётов и моделирования, как в практической, так и в научной деятельности, используются различные компьютерные программы. Наиболее широко распространены электронные таблицы и такие программы для работы с ними, как MS Excel и OpenOffice.org Calc. Данные программы являются многофункциональными и в то же время довольно простыми для изучения. Хотя на самом деле, в данных программ легко начать работать, а уметь использовать все возможности не так просто. Поэтому целью данной работы является

-изучение теоретических основ информационного моделирования

-создание различных математических моделей и исследование их поведения с помощью электронных таблиц.

В данной работе я попытаюсь обосновать необходимость моделирования, в том числе математического мне как будущему выпускнику.

Исходя из цели работы, были определены следующие задачи:

- Рассмотреть математические модели задач

- Строить компьютерные модели математических задач из курса основной школы в среде электронных таблиц.

- Показать как может помочь компьютерное моделирование будущему выпускнику при подготовке к ГИА по математике

1. Теоретические основы информационного моделирования

Слово «модель» произошло от латинского слова «modulus», означает «мера», «образец». Его первоначальное значение было связано со строительным искусством и почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью.

Модель в широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Моделирование - это исследование какого либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей. Это использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов.

На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах используются различного рода знаковые, абстрактные модели, в экспериментальных - предметные модели.

При исследовании сложное реальное явление заменяется некоторой упрощенной копией или схемой, иногда такая копия служит лишь только для того чтобы запомнить и при следующей встрече узнать нужное явление. Иногда построенная схема отражает какие - то существенные черты, позволяет разобраться в механизме явления, дает возможность предсказать его изменение. Одному и тому же явлению могут соответствовать разные модели.

2.Моделирование в школьном курсе информатики

В школьном курсе информатики начальное представление о компьютерном математическом моделировании ученики получают в рамках базового курса. В старших классах математическое моделирование может глубоко изучаться в общеобразовательном курсе для классов физико-математического профиля, а также в рамках специализированного элективного курса, в дополнительных занятиях при подготовка к ГИА.

Основными формами обучения компьютерному математическому моделированию в старших классах являются лекционные, лабораторные и зачетные занятия. Обычно работа по созданию и подготовке к изучению каждой новой модели занимает 1-2 урока. В ходе изложения материала ставятся задачи, которые в дальнейшем должны быть решены учащимися самостоятельно, в общих чертах намечаются пути их решения. Формулируются вопросы, ответы на которые должны быть получены при выполнении заданий. Указывается дополнительная литература, позволяющая получить вспомогательные сведения для более успешного выполнения заданий.

После завершения обсуждения очередной модели учащиеся имеют в своем распоряжении необходимые теоретические сведения и набор заданий для дальнейшей работы. В ходе подготовки к выполнению задания учащиеся выбирают подходящий метод решения, с помощью какого-либо известного частного решения тестируют разработанную программу. В случае вполне возможных затруднений при выполнении заданий дается консультация, делается предложение более детально проработать указанные разделы в литературных источниках.

Обучение моделированию с помощью метода учебных проектов может быть реализовано на разных уровнях. Первый — проблемное изложение процесса выполнения проекта, которое ведет учитель. Второй — выполнение проекта учащимися под руководством учителя. Третий — самостоятельное выполнение учащимися учебного исследовательского проекта.

Результаты работы должны быть представлены в численном виде, в виде графиков, диаграмм. По окончанию расчетов и получению результатов проводится их анализ, сравнение с известными фактами из теории, подтверждается достоверность и проводится содержательная интерпретация, что в дальнейшем отражается в письменном отчете.

Существенный вопрос — каким инструментарием пользоваться в школьном курсе информатики для математического моделирования? Компьютерная реализация моделей может быть осуществлена:

с помощью табличного процессора (как правило, MS Excel);

путем создания программ на традиционных языках программирования  (Паскаль, Бейсик и др.), а также на их современных версиях  (Delphi, Visual
Basic for Application и т.п.);

с помощью специальных пакетов прикладных программ  для  решения  математических  задач (MathCAD и т.п.).

3. Создание простых математических моделей с помощью электронных таблиц

Электронные таблицы (или табличные процессоры) - это прикладные программы, предназначенные для проведения табличных расчётов. Данное средство информационных технологий, позволяет решать целый комплекс задач, и прежде всего, выполнение вычислений. Многие расчёты выполняются в табличной форме, особенно в области делопроизводства: многочисленные расчётные ведомости, сметы расходов и т. д. Кроме того, в табличной форме удобно выполнять решение численными методами целого ряда математических задач. Электронные таблицы (ЭТ) являются удобным инструментом для автоматизации таких вычислений. Решения многих вычислительных задач на компьютере, которые раньше можно было осуществить только путём программирования, стало возможным осуществлять с помощью электронных таблиц. Использование математических формул в ЭТ позволяет представить взаимосвязь между различными параметрами некоторой реальной системы. Основное свойство ЭТ — мгновенный пересчёт значений рассчитываемых показателей при изменении входящих данных. Благодаря этому свойству, таблица представляет собой удобный инструмент для организации численного эксперимента.

4.Построение прототипов компьютерных моделей задач, взятых из открытого банка по математике

Модернизация в системе школьного образования предполагает использование индивидуально-ориентированного подхода к учащимся в обучении. Одной из главных задач школы – научить самостоятельно учиться и учиться с желанием роста. Использование современных технологий создает дополнительные возможности для повышения мотивации, а, следовательно, эффективности обучения.

По данным исследования (приложение №1) , использование межпредметных связей на уроке информатики при изучении базового курса значительно повышают познавательный интерес учащихся. Большой интерес у учащихся вызывают обобщающие уроки математика – информатика: "Графический способ решения систем уравнений в среде Microsoft Excel" (9 класс), "Решение неравенств с одной переменной" (8 класс), "Решение уравнений" (9 класс), "Решение квадратных уравнений" (8 класс), "Графики функций и их свойства" (9 класс), "Вычисление периметра, длины окружности, площади плоских фигур, поверхности и объема тел", "Циклические алгоритмы. Построение графиков тригонометрических функций" (10 класс). Например, тема «Квадратные уравнения» и «Квадратичные функции» изучается параллельно на уроке математики. Учащиеся имеют базовые знания по решению квадратных уравнений и по построению квадратичных функций, полученные на уроках математики. Такие уроки используются в тех случаях, когда знание материала одних предметов необходимо для понимания сущности процесса, явления при изучении другого предмета.

Учебные предметы в известном смысле начинают помогать друг другу. В данной работе я решила показать как может помочь компьютерное моделирование будущему выпускнику при подготовке к ГИА по математике. По данным опроса (приложение №1) у большинства учащихся возникают трудности при построение графиков, решения систем уравнений, нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, исследовании функций. Исследовав решения этих задач на компьютере с помощью электронного приложения, я обнаружила, что некоторые задачи легко воспринимаются если сперва представить его компьютерную модель.

В работе представлены компьютерные модели математических задач с помощью приложения Excel. Ученик, который хотя бы один раз представил динамичное поведение данной зависимости с помощью диаграмм, графиков, таблиц будет иметь представление о этапах решения данной задачи и без компьютера, у неё появится желание решать данную задачу и на уроках математики. Хорошо построенная модель доступнее для исследования. Например, огромные формулы зависимости T(t) = T₀ + bt + at² , где t — время в минутах, T₀ = 1380 К, а = −15 К/мин², b= 165 .Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор, если известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Здесь при решении первый раз без модели не обойтись.

Разберём несколько задач.

Задача 1. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены (тыс. руб.) задаeтся формулой q=100-10p Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q p Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение.

Рисунок 1-Задача№1

1. Постановка задачи. Определите наибольшую цену , при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб

Описание задачи. Зависимость объeма спроса q(единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены p(тыс. руб.) задаeтся формулой q=100-10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=qp

Цель моделирования. Определить наибольшую цену , при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала.

Информационная модель. Установим причинно - следственные связи между переменными описывающими объект. r(p)=qp -формула вычисления выручки.Определим входные и выходные данные: q=100-10p -зависимость объeма спроса q(единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены p (тыс. руб.), 240 тыс. руб - наибольшую цену p,

Цель моделирования: Определить наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы.

3. Формализация.

Задача сводится к решению неравенства

r(p)≥240

r (p)=qp=(100-10p)p=100p-10p²

4. Выбор метода решения.На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы.

5. Реализация модели.По графику данной функции легко заметим что наибольшая абсцисса среди точек (4;240) и .(6;240) является решением.

Задача 2

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T₀ + bt + at² , где t — время в минутах, T₀ = 1380 К, а = −15 К/мин², b= 165 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Рисунок 2-Задача №2

 1. Постановка задачи. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор

Описание задачи.

Зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: T(t) = T₀ + bt + at² , где t — время в минутах, T₀ = 1380 К, а = −15 К/мин², b= 165 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Цель моделирования: определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала. Установим причинно - при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Определим входные и выходные данные: T₀ = 1380 К, а = −15 К/мин², b= 165 К/мин.

3. Формализация.

Задача сводится к решению систем уравнений

у=1380+165t-15t²

У=1800

4. Выбор метода решения.На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы.

5. Реализация модели.

Через 4 минуты после включения прибор нагреется до 1800 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 4 минуты.

Задача 3

Дана ариф­ме­ти­че­ская прогрессия:-4;-2;0 Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти её членов.

1. Постановка задачи. Най­ди­те сумму пер­вых де­ся­ти членов арифметической прогрессии.

Описание задачи. Известны первые три члена прогрессии

Цель моделирования : получить таблицу значений

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала. На данном этапе учащиеся вспомнить нахождение разности арифметической прогрессии.

3. Формализация. Решение данной задачи удобно представить в виде таблицы значений, используя относительные ссылки и функцию сумма

4. Выбор метода решения. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы.

5. Реализация модели.

Решение.Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии:d=a₂-a₁₌(-2)-(-4)=2

 Рисунок 3-Задача №3

Задача 4Выписаны пер­вые не­сколь­ко чле­нов ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: −87 ; −76; −65; … Най­ди­те пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

Решение.

1. Постановка задачи. Най­ди­те пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

Описание задачи.

Известны первые три члена прогрессии

Цель моделирования: получить таблицу значений и выделить первый положительный член

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала. На данном этапе учащиеся вспомнить нахождение разности арифметической прогрессии.

3. Формализация. Решение данной задачи удобно представить виде таблицы значений, используя относительные ссылки.

4. Выбор метода решения. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы.

5. Реализация модели.

Определим раз­ность ариф­ме­ти­че­ской прогрессии: d=a₂ –a₁=-76-(-87)=11 

Нам же нужно найти пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии, т. е. нужно, чтобы вы­пол­ня­лось усло­вие a_k>0.Решим не­ра­вен­ство a_k>0:

Рисунок 4-Задача №4 

Значит а₉ — пер­вый по­ло­жи­тель­ный член этой прогрессии.

 a₉₌а₁₊8d=-87+8·11=1

Многие учащиеся испытывают затруднения при решении тригонометрических уравнений и неравенств, особенно при отборе корней уравнений на промежутках.Использование компьютера позволит более наглядно показать работу с тригонометрическими функциями , разнообразит задания, математическая модель поможет увидеть решение уравнений на определённом интервале.

Представим графический способ отбора корней.

а) Решите уравнение cos2x=1- cos ( -x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку - ; -)

Решение. 1. Постановка задачи. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку - ; -)

2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала.Используя знания формулы раздела тригонометрия из курса алгебры 10 класс, найдём корни уравнения.

3. Формализация

Так как cos 2x=1-2 sin² x, cos ( -x)=sin x, то 1-2 sin² x= 1- sin x, 2 sin² x-sin x=0,

sin x (2sin x -1) =0.

Корни уравнения: х=n, х=(-1)^k +Пk, nZ,kZ

4. Выбор метода решения.На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель. Заносим данные задачи в электронную таблицу, вводим формулы. Построим у=sin x ,У=0,5 , у=0 в одной системе координат.

5. Реализация модели.

Корни, принадлежащие промежутку - ; -) , отберем по графику y=sinx . Прямая y=0 (ось OX) пересекает график в единственной точке (-2П;0), абсцисса которой принадлежит промежутку - ; -).

Прямая у=0,5 пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежа - ; -) (см.рис.). Так как период функции у=sinx равен 2, то эти абсциссы равны, соответственно, -2=- и -2=-

Рисунок 5-Задача №5

В промежутке - ; -) содержатся три корня:-2 , - , - .

Заключение

В процессе написания работы была изучена литература, связанная с теоретическими основами моделирования. Дано определение понятию модели, приведена классификация различных моделей, исследованы основные возможности программ MS Excel . Также рассмотрены компьютерные модели математических задач, включённых в ГИА по математике и исследовано их поведения с помощью электронных таблиц.

Тема, освещённая в данной работе, актуальна, т.к. понятие модели – фундаментальное понятие информатики. Оно проходит через весь курс информатики, изучаемой в школе. В процессе познания окружающего мира человечество постоянно использует моделирование и формализацию. Очень часто формализованная модель выражается с помощью математических формул, т.е. математическая модель – одна из наиболее используемых.
Основной инструмент при создании и исследовании моделей – компьютер. Прикладные программы помогают быстро и надёжно исследовать созданные модели и представлять наглядный результат.

Данную работу можно использовать на уроках информатики, математики, также при проведении консультаций по подготовке к ГИА по математике. В работе представлены компьютерные модели лишь некоторых математических задач, которые я уже изучила на уроках математики. Я думаю, что база моделей задач к концу11-го класса увеличится.

Список литературы

1. Microsoft Excel. [Википедия] , /http://ru.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel

2. Макарова Н. В. Информатика. 7-9 класс. Базовый курс. Задачник по моделированию. – СПб.: Питер, 2007. – 176 с.

3. Образовательный портал для подготовки к экзамена.https://ege.sdamgia.ru/

4.Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Шеина Т.Ю. Информатика. 11 класс. Базовый уровень - М.: 2015 — 264 с

5.Табличный процессор. /http://ru.wikipedia.org/wiki/Табличный_ процессор

Приложение 1

Вопросы:

1.Как вы думаете межпредметная связь на уроке информатики повышает познавательный интерес учащихся или мешает ?

2.Назовите обобщающие темы уроков математика-информатика, которые вызывают у вас интерес.

3. Назовите какие трудности у вас возникают при изучении математики.

Ответы:

1.

2.

"Графический способ решения систем уравнений в среде Microsoft Excel" (9 класс), "Решение неравенств с одной переменной" (8 класс), "Решение уравнений" (9 класс), "Решение квадратных уравнений" (8 класс), "Графики функций и их свойства" (9 класс), "Вычисление периметра, длины окружности, площади плоских фигур, поверхности и объема тел", "Циклические алгоритмы. Построение графиков тригонометрических функций" (10 класс).

3.Трудности при построение графиков, решения систем уравнений, нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, исследовании функций.