Решение систем линейных уравнений с помощью Excel

XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Решение систем линейных уравнений с помощью Excel

Морозов Д.И. 1
1МБОУ Лицей 4
Молева Н.А. 1
1ФГБОУ ВО "ВГУ"
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

Актуальность темы. Решение систем уравнений важно не только в плане содержания курса математики; они используются в физике, химии, при решении технических, инженерных задач, при работе с моделями экономических, социальных, биологических и прочих явлений и процессов. Учащиеся школ, начиная с 7 класса, знакомятся с системами уравнений. Есть разные методы решения таких задач. Школьники часто испытывают трудности в поиске корней. Для оптимизации процесса поиска корней можно воспользоваться Excel.

Цель работы: создать файл с формулами для решения систем линейных уравнений.

Задачи:

Познакомиться с различными методами решения систем линейных уравнений с 3 и более неизвестными.

Познакомиться с программой Microsoft Excel.

Решить системы с помощью Excel.

Объект исследования: система линейных алгебраических уравнений.

Предмет исследования: методы и способы решения систем линейных уравнений.

Гипотеза: мы предполагаем, что существует простой способ, позволяющий решать системы линейных уравнений с любым количеством неизвестных, который будет доступен всем, даже незнакомым с понятиями линейной алгебры.

Методы исследования: теоретический анализ литературы, формализация, индукция, классификация, описание, моделирование, сравнение.

Структура работы: проектная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников, приложения.

Глава 1. Аналитические методы решения системой линейных алгебраических уравнений

1.1 Метод Крамера

Метод Крамера – способ решения систем линейных алгебраических уравнений, где количество неизвестных переменных равняется числу уравнений, в которой основной определитель не равен нулю [7].

 

(1)

В данной системе (1): x1, x2, …, xn- неизвестные переменные, aij, i = 1, 2, . . ., n; j = 1, 2, . . ., n - числовые коэффициенты, b1, b2, ..., bn - свободные члены. Решение данной СЛАУ (Системой линейных алгебраических уравнения, далее мы будем использовать данное сокращение для удобства) — набор значений x1, x2, . . ., xn в них все уравнения системы являются тождественными. Запишем систему в матричном виде:

 

(2)

 

(3)

,

(4)

Где (2) – это основная матрица системы, в которой её элементы – это коэффициенты при неизвестных аргументов; B - это матрица столбец свободных членов; X - это матрица столбец неизвестных аргументов

После того как мы найдём неизвестные переменные x1, x2, . . ., xn, матрица X становится решением системы уравнений.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы: Определитель квадратной матрицы A = || a i j ||, i = 1, 2, . . ., n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения:

 

(6)

Имеем в виду, что не равно q

Приступаем к нахождению неизвестной переменной х1.

Умножаем обе части первого уравнения системы на А11 (), обе части второго уравнения на А21 и т.д. Мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А. Складываем все левые части уравнения, сгруппировав, и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

 

(10)

Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

=

(11)

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

Формулы для нахождения неизвестных:

, , ,

(13)

Пример решения системы рассмотрен в Приложении А.

1.2 Метод обратной матрицы

Суть метода обратной матрицы состоит в умножении обратной матрицы коэффициентов системы линейных уравнений на вектор свободных членов [4].

Обратная матрица обозначается . Понятие обычно используется только для квадратных матриц. Если определитель матрицы равен нулю, то обратной матрицы для данной системы не существует. Матрица является обратной матрице A, если выполняется равенство: В данной формуле E – это единичная величина

Формула нахождения алгебраического дополнения:

 

(14)

В данной формуле – минор.

Формула нахождения обратной матрицы:

 

(15)

Здесь - матрица, составленная из алгебраических дополнений.

В процессе решения у нас возникает необходимость умножения матрицы A на вектор-столбец B. Чтобы найти произведение, необходимо умножать по правилу «строка на столбец». Результатом умножения является вектор столбец.

 

(16)

Таким образом, результатом операции умножения матрицы порядка на матрицу порядка является матрица порядка . Пример решения можно увидеть в Приложении Б.

1.3 Метод Гаусса

Метод Гаусса – способ решения систем линейных алгебраических уравнений, где отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность; можно решать системы уравнений, где: количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных; количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных; определитель равен нулю. результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций [5,6].

Расширенная матрица – матрица, которая образуется с помощью добавления в качестве (n+1) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение T.

 

(18)

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса:

Проверяем, что определитель матрицы не равен нулю

a11 не равен нулю - всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы.

Исключаем переменную x1 из всех уравнений систему, начиная со второго.

Прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на и т.д.

После выполнения действий матрица будет иметь следующий вид:

 

(19)

В котором:

 

(20)

 

(21)

Далее делаем аналогично с нижними тремя уравнениями

Считается, что a22(1) не равна нулю. Исключаем неизвестную переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего: к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на ; к четвертому прибавляем второе, которое умножено на    и т.д.

После выполнения этих действий, СЛАУ будет иметь следующий вид:

,

(22)

В котором:

 

(23)

 

(24)

Соответственно переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего. Далее приступаем к исключению неизвестной x3, действуя по аналоги с предыдущим образцом:

 

(25)

После того как система обретает такой вид, можно решить матрицу обратным ходом метода Гаусса: Вычисляем xnиз последнего уравнения как xn= ;

С помощью полученного xnнаходим xn-1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x1 из первого уравнения. Решение системы этим методом приведено в Приложении В.

Глава 2. Решение систем уравнений с помощью Excel

2.1 Метод Крамера

Для решения рассмотрим следующую систему:

Составляем 2 таблицы: A – из коэффициентов уравнений и B – из свободных членов. Таблицы для данной системы приведены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Таблицы A и B.

Составляем ещё три таблицы. Каждая из них копия матрицы A, но с изменением по очереди одного из столбцов на таблицу B. У первой таблицы – первый столбик, у второй таблицы – второй и т.д. Пример составления таблиц показан на рисунке 2.

Рисунок 2 – Дополнительные таблицы с изменениями.

Необходимо найти определитель для каждой из таблиц. Система уравнений будет решаться в случае если каждый из определителей будет не равен нулю. Для расчёта нам потребуется функция: МОПРЕД. Синтаксис: =МОПРЕД(массив)[2]. Введение данной функции показано на рисунке 3

Рисунок 3 – Используем функцию МОПРЕД.

В функцию МОПРЕД вписываем массив: открываем скобочку, выделяем первую ячейку преобразованной матрицы, далее выделяем всю остальную часть данной матрицы и закрываем скобочку. После нажимаем Ctrl+Shift+Enter [1]. Если мы просто нажмем Enter, то вместо матрицы вставиться только значение в одну ячейку.

Делаем аналогично с другими таблицами и основной матрицей и получаем значения. После мы получаем определители, это можно увидеть на рисунке 5.

Рисунок 4 – Получение значения определителя.

Ищем корни уравнения, разделив поочерёдно каждое полученное значения таблицы на число, полученное из основной матрицы в нашем случае на -30. Далее мы получаем ответ, представленный на рисунке 6.

Рисунок 5 – Получение неизвестных переменных.

Таким образом, решение системы уравнений, используя метод Крамера и функцию =МОПРЕД [2], взятой n+1 раз, и последующих по этому методу делений получено в столбце H.

2.2 Метод обратной матрицы

Для решения рассмотрим следующую систему:

Составляем таблицы: A из коэффициентов, а B из свободных членов.

Рисунок 6 – Таблицы A и B.

Находим обратную матрицу. Используем функцию: МОБР. =МОБР(массив). Выделяем область, равную по размеру исходной матрице. И пишем в 1 ячейке МОБР. Получаем значения обратной матрицы на рисунке 8.

Рисунок 7 – Использование функции МОБР.

Умножаем обратную матрицу на матрицу B. Для расчёта возьмем функцию: МУМНОЖ: =МУМНОЖ (Массив 1; Массив 2).

Рисунок 8 – Использование функции МУМНОЖ

2.3 Метод Гаусса

Для решения рассмотрим следующую систему:

Составляем две таблицы: A из коэффициентов уравнений и B из свободных членов. Таблицы для данной системы можно увидеть на рисунке.

Рисунок 9 – Таблица коэффициентов

Начнем приводить матрицу к трапециевидному виду []. Первую строчку переписываем без изменений. Далее выполняем действия по формуле: =B7-B6*$B$7/$B$6. Формула составлена для данного расположения. В формуле видно, что из значений ячейки 7 строки (2 уравнение системы) вычитаем значение из стоки номер 6, умноженное на специальный коэффициент [3]. Как видно из формулы, часть ячеек записаны со значком «$», таким образом мы ставим абсолютную адресацию на ячейку [1]. После того, как мы вставили формулу, то протягиваем ее функционал на всю строку. Полученный результат работы формулы приведен на рисунке

Рисунок 10 – Начало работы прямого хода

Аналогично работаем с третьим уравнением системы. Формула изменений в этом случае имеет вид =B8-B6*$B$8/$B$6. Промежуточный вариант преобразований представлен на рисунке. Таким образом мы получил столбец с нулевыми коэффициентами.

Теперь нам нужно получить еще одно нулевое значение в 3-м уравнении. Будем вычитать из него 2-е с коэффициентом, полученным делением значений столбца С. В этом случае формула имеет вид: =C13-C12*$C$13/$C$12.

Аналогично убираем и верхние коэффициенты, чтобы осталась только диагональ. На рисунке показан результат работы всех операций.

Рисунок 13 – Приведение матрицы к диагональному виду

Теперь нормализуем матрицу, для этого поделим значения всей строки на диагональные элементы. В результате получаем, что по диагонали у нас находятся единицы, а в столбце E значения вектора B [4,5]. Таким образом, мы получаем единичную матрицу (рисунок)

Рисунок 14 – Результат нормализации

Из рисунка видно, что столбец E, а это вектор B, является решением системы.

Заключение

По результатам работы можно сделать следующие выводы:

Методы решения систем линейных уравнений подходят для случая, когда количество уравнений и неизвестных совпадают.

В случае вырожденной системы можно использовать только метод Гаусса.

Наиболее простым для расчетов является метод Крамера.

Использование программы Excel позволяет быстро решать такие системы с помощью готовых функций.

Если в методе Гаусса не заниматься анализом коэффициентов, то все промежуточные значения будут дробными.

Так как для решения задач в Excel нужно каждый раз настраивать формулы, что может составить сложности для тех, кто не знаком с понятиями линейной алгебры, то следующим этапом работы будет создание приложения на Python, чтобы пользователю оставалось только ввести необходимые коэффициенты.

Список литературы

Айзек, М.П. Графики, формулы, анализ данных в Excel / М.П. Айзек, М.В. Финков. – СПб. : Наука и техника, 2019. – 384 с.

Александер, М. Формулы в Microsoft Excel 2016 / М. Александер, Д. Куслейка. – СПб. : Диалектика, 2017. – 784 с.

Демидович Б.П., Основы вычислительной математики/ Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Наука, 1966. – 644 с.(Гаусс

Ильин В.А., Линейная алгебра: Учеб. Для вузов/ В.А. Ильин, Э.Г. Позняк —М. Наука. Физматлит, 1999 — 296 с.

Пирумов О.Г., Численные методы : учебное пособие [Электронный ресурс] / О. Г. Пирумов. – М. : Изд-во МАИ, 1998. - 188 с.

Тынкевич, М. А., Введение в численный анализ : учеб. пособие / М. А. Тынкевич, А. Г. Пимонов ; КузГТУ. – Кемерово, 2017. – 176 с

Шипачёв В.С., Высшая математика/ В.С. Шипачёв – М. «Высшая школа» , 1985 – 480 с. (Крамер)

Приложение А

Решить систему методом Крамера.

Найдём определитель матрицы:

Вычислим определитель , для этого заменим первый столбец в основной матрице на столбец свободных членов B = , получим:

Вычислим определитель , для этого заменим второй столбец в основной матрице на столбец свободных членов B = , получим:

Вычислим определитель , для этого заменим третий столбец в основной матрице на столбец свободных членов B = , получим:

Ответ: x=2; y=0; z=1

Приложение Б

Решить систему методом обратной матрицы.

Вычислим главный определитель системы:

Соответственно матрица невырожденная и обратная матрица к ней существует.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы:

Ответ: x = 5; y = -1; z = 1

Приложение В

Рассмотрим решение систем уравнения методом Гаусса:

Запишем вспомогательную матрицу:

Домножим первое уравнение системы на -2:

Сложим первое уравнение со вторым:

Таким образом мы получили первый нулевой коэффициент во втором уравнении. Сделаем аналогично для третьего. Нам нужно первое уравнение разделить на -2 (именно на это число происходило домножение), а затем умножить на -3. Также мы можем сразу на -3 разделить второе уравнение. В результате получим:

Сложим первое и третье уравнение:

Сделаем все коэффициенты положительными, разделив первое на -3, а третье

на -1:

Чтобы получить в последнем уравнении ещё один нулевой элемент, произведем умножение второго уравнения на -3:

Сложим второе и третье уравнения:

Приведём матрицу к окончательному виду:

Перейдём к выполнению обратного хода. Для этого перепишем нашу систему уравнений с коэффициентами матрицы после элементарных преобразований:

Сразу видно, что мы нашли два неизвестных: y=2, z=3. Подставим эти значения в первое уравнение и найдём неизвестную x:

, x=1

Ответ: x=1, y=2, z=3

Просмотров работы: 654