XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение систем линейных уравнений с помощью Excel
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность темы. Решение систем уравнений важно не только в плане содержания курса математики; они используются в физике, химии, при решении технических, инженерных задач, при работе с моделями экономических, социальных, биологических и прочих явлений и процессов. Учащиеся школ, начиная с 7 класса, знакомятся с системами уравнений. Есть разные методы решения таких задач. Школьники часто испытывают трудности в поиске корней. Для оптимизации процесса поиска корней можно воспользоваться Excel.
Цель работы: создать файл с формулами для решения систем линейных уравнений.
Задачи:
Познакомиться с различными методами решения систем линейных уравнений с 3 и более неизвестными.
Познакомиться с программой Microsoft Excel.
Решить системы с помощью Excel.
Объект исследования: система линейных алгебраических уравнений.
Предмет исследования: методы и способы решения систем линейных уравнений.
Гипотеза: мы предполагаем, что существует простой способ, позволяющий решать системы линейных уравнений с любым количеством неизвестных, который будет доступен всем, даже незнакомым с понятиями линейной алгебры.
Методы исследования: теоретический анализ литературы, формализация, индукция, классификация, описание, моделирование, сравнение.
Структура работы: проектная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников, приложения.
Глава 1. Аналитические методы решения системой линейных алгебраических уравнений
1.1 Метод Крамера
Метод Крамера – способ решения систем линейных алгебраических уравнений, где количество неизвестных переменных равняется числу уравнений, в которой основной определитель не равен нулю [7].
|
(1) |
В данной системе (1): x1, x2, …, xn- неизвестные переменные, aij, i = 1, 2, . . ., n; j = 1, 2, . . ., n - числовые коэффициенты, b1, b2, ..., bn - свободные члены. Решение данной СЛАУ (Системой линейных алгебраических уравнения, далее мы будем использовать данное сокращение для удобства) — набор значений x1, x2, . . ., xn в них все уравнения системы являются тождественными. Запишем систему в матричном виде:
|
(2) |
|
|
(3) |
|
|
, |
(4) |
Где (2) – это основная матрица системы, в которой её элементы – это коэффициенты при неизвестных аргументов; B - это матрица столбец свободных членов; X - это матрица столбец неизвестных аргументов
После того как мы найдём неизвестные переменные x1, x2, . . ., xn, матрица X становится решением системы уравнений.
Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы: Определитель квадратной матрицы A = || a i j ||, i = 1, 2, . . ., n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения:
|
(6) |
Имеем в виду, что не равно q
Приступаем к нахождению неизвестной переменной х1.
Умножаем обе части первого уравнения системы на А11 (), обе части второго уравнения на А21 и т.д. Мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А. Складываем все левые части уравнения, сгруппировав, и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:
|
(10) |
Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:
|
= |
(11) |
Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.
Формулы для нахождения неизвестных:
|
, , , |
(13) |
Пример решения системы рассмотрен в Приложении А.
1.2 Метод обратной матрицы
Суть метода обратной матрицы состоит в умножении обратной матрицы коэффициентов системы линейных уравнений на вектор свободных членов [4].
Обратная матрица обозначается . Понятие обычно используется только для квадратных матриц. Если определитель матрицы равен нулю, то обратной матрицы для данной системы не существует. Матрица является обратной матрице A, если выполняется равенство: В данной формуле E – это единичная величина
Формула нахождения алгебраического дополнения:
|
(14) |
В данной формуле – минор.
Формула нахождения обратной матрицы:
|
(15) |
Здесь - матрица, составленная из алгебраических дополнений.
В процессе решения у нас возникает необходимость умножения матрицы A на вектор-столбец B. Чтобы найти произведение, необходимо умножать по правилу «строка на столбец». Результатом умножения является вектор столбец.
|
(16) |
Таким образом, результатом операции умножения матрицы порядка на матрицу порядка является матрица порядка . Пример решения можно увидеть в Приложении Б.
1.3 Метод Гаусса
Метод Гаусса – способ решения систем линейных алгебраических уравнений, где отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность; можно решать системы уравнений, где: количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных; количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных; определитель равен нулю. результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций [5,6].
Расширенная матрица – матрица, которая образуется с помощью добавления в качестве (n+1) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение T.
|
(18) |
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса:
Проверяем, что определитель матрицы не равен нулю
a11 не равен нулю - всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы.
Исключаем переменную x1 из всех уравнений систему, начиная со второго.
Прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на , прибавим к третьему уравнению первое умноженное на и т.д.
После выполнения действий матрица будет иметь следующий вид:
|
(19) |
В котором:
|
(20) |
|
|
(21) |
Далее делаем аналогично с нижними тремя уравнениями
Считается, что a22(1) не равна нулю. Исключаем неизвестную переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего: к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на ; к четвертому прибавляем второе, которое умножено на и т.д.
После выполнения этих действий, СЛАУ будет иметь следующий вид:
|
, |
(22) |
В котором:
|
(23) |
|
|
(24) |
Соответственно переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего. Далее приступаем к исключению неизвестной x3, действуя по аналоги с предыдущим образцом:
|
(25) |
После того как система обретает такой вид, можно решить матрицу обратным ходом метода Гаусса: Вычисляем xnиз последнего уравнения как xn= ;
С помощью полученного xnнаходим xn-1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x1 из первого уравнения. Решение системы этим методом приведено в Приложении В.
Глава 2. Решение систем уравнений с помощью Excel
2.1 Метод Крамера
Для решения рассмотрим следующую систему:
Составляем 2 таблицы: A – из коэффициентов уравнений и B – из свободных членов. Таблицы для данной системы приведены на рисунке 1.
Рисунок 1 – Таблицы A и B.
Составляем ещё три таблицы. Каждая из них копия матрицы A, но с изменением по очереди одного из столбцов на таблицу B. У первой таблицы – первый столбик, у второй таблицы – второй и т.д. Пример составления таблиц показан на рисунке 2.
Рисунок 2 – Дополнительные таблицы с изменениями.
Необходимо найти определитель для каждой из таблиц. Система уравнений будет решаться в случае если каждый из определителей будет не равен нулю. Для расчёта нам потребуется функция: МОПРЕД. Синтаксис: =МОПРЕД(массив)[2]. Введение данной функции показано на рисунке 3
Рисунок 3 – Используем функцию МОПРЕД.
В функцию МОПРЕД вписываем массив: открываем скобочку, выделяем первую ячейку преобразованной матрицы, далее выделяем всю остальную часть данной матрицы и закрываем скобочку. После нажимаем Ctrl+Shift+Enter [1]. Если мы просто нажмем Enter, то вместо матрицы вставиться только значение в одну ячейку.
Делаем аналогично с другими таблицами и основной матрицей и получаем значения. После мы получаем определители, это можно увидеть на рисунке 5.
Рисунок 4 – Получение значения определителя.
Ищем корни уравнения, разделив поочерёдно каждое полученное значения таблицы на число, полученное из основной матрицы в нашем случае на -30. Далее мы получаем ответ, представленный на рисунке 6.
Рисунок 5 – Получение неизвестных переменных.
Таким образом, решение системы уравнений, используя метод Крамера и функцию =МОПРЕД [2], взятой n+1 раз, и последующих по этому методу делений получено в столбце H.
2.2 Метод обратной матрицы
Для решения рассмотрим следующую систему:
Составляем таблицы: A из коэффициентов, а B из свободных членов.
Рисунок 6 – Таблицы A и B.
Находим обратную матрицу. Используем функцию: МОБР. =МОБР(массив). Выделяем область, равную по размеру исходной матрице. И пишем в 1 ячейке МОБР. Получаем значения обратной матрицы на рисунке 8.
Рисунок 7 – Использование функции МОБР.
Умножаем обратную матрицу на матрицу B. Для расчёта возьмем функцию: МУМНОЖ: =МУМНОЖ (Массив 1; Массив 2).
Рисунок 8 – Использование функции МУМНОЖ
2.3 Метод Гаусса
Для решения рассмотрим следующую систему:
Составляем две таблицы: A из коэффициентов уравнений и B из свободных членов. Таблицы для данной системы можно увидеть на рисунке.
Рисунок 9 – Таблица коэффициентов
Начнем приводить матрицу к трапециевидному виду []. Первую строчку переписываем без изменений. Далее выполняем действия по формуле: =B7-B6*$B$7/$B$6. Формула составлена для данного расположения. В формуле видно, что из значений ячейки 7 строки (2 уравнение системы) вычитаем значение из стоки номер 6, умноженное на специальный коэффициент [3]. Как видно из формулы, часть ячеек записаны со значком «$», таким образом мы ставим абсолютную адресацию на ячейку [1]. После того, как мы вставили формулу, то протягиваем ее функционал на всю строку. Полученный результат работы формулы приведен на рисунке
Рисунок 10 – Начало работы прямого хода
Аналогично работаем с третьим уравнением системы. Формула изменений в этом случае имеет вид =B8-B6*$B$8/$B$6. Промежуточный вариант преобразований представлен на рисунке. Таким образом мы получил столбец с нулевыми коэффициентами.
Теперь нам нужно получить еще одно нулевое значение в 3-м уравнении. Будем вычитать из него 2-е с коэффициентом, полученным делением значений столбца С. В этом случае формула имеет вид: =C13-C12*$C$13/$C$12.
Аналогично убираем и верхние коэффициенты, чтобы осталась только диагональ. На рисунке показан результат работы всех операций.
Рисунок 13 – Приведение матрицы к диагональному виду
Теперь нормализуем матрицу, для этого поделим значения всей строки на диагональные элементы. В результате получаем, что по диагонали у нас находятся единицы, а в столбце E значения вектора B [4,5]. Таким образом, мы получаем единичную матрицу (рисунок)
Рисунок 14 – Результат нормализации
Из рисунка видно, что столбец E, а это вектор B, является решением системы.
Заключение
По результатам работы можно сделать следующие выводы:
Методы решения систем линейных уравнений подходят для случая, когда количество уравнений и неизвестных совпадают.
В случае вырожденной системы можно использовать только метод Гаусса.
Наиболее простым для расчетов является метод Крамера.
Использование программы Excel позволяет быстро решать такие системы с помощью готовых функций.
Если в методе Гаусса не заниматься анализом коэффициентов, то все промежуточные значения будут дробными.
Так как для решения задач в Excel нужно каждый раз настраивать формулы, что может составить сложности для тех, кто не знаком с понятиями линейной алгебры, то следующим этапом работы будет создание приложения на Python, чтобы пользователю оставалось только ввести необходимые коэффициенты.
Список литературы
Айзек, М.П. Графики, формулы, анализ данных в Excel / М.П. Айзек, М.В. Финков. – СПб. : Наука и техника, 2019. – 384 с.
Александер, М. Формулы в Microsoft Excel 2016 / М. Александер, Д. Куслейка. – СПб. : Диалектика, 2017. – 784 с.
Демидович Б.П., Основы вычислительной математики/ Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Наука, 1966. – 644 с.(Гаусс
Ильин В.А., Линейная алгебра: Учеб. Для вузов/ В.А. Ильин, Э.Г. Позняк —М. Наука. Физматлит, 1999 — 296 с.
Пирумов О.Г., Численные методы : учебное пособие [Электронный ресурс] / О. Г. Пирумов. – М. : Изд-во МАИ, 1998. - 188 с.
Тынкевич, М. А., Введение в численный анализ : учеб. пособие / М. А. Тынкевич, А. Г. Пимонов ; КузГТУ. – Кемерово, 2017. – 176 с
Шипачёв В.С., Высшая математика/ В.С. Шипачёв – М. «Высшая школа» , 1985 – 480 с. (Крамер)
Приложение А
Решить систему методом Крамера.
Найдём определитель матрицы:
Вычислим определитель , для этого заменим первый столбец в основной матрице на столбец свободных членов B = , получим:
Вычислим определитель , для этого заменим второй столбец в основной матрице на столбец свободных членов B = , получим:
Вычислим определитель , для этого заменим третий столбец в основной матрице на столбец свободных членов B = , получим:
Ответ: x=2; y=0; z=1
Приложение Б
Решить систему методом обратной матрицы.
Вычислим главный определитель системы:
Соответственно матрица невырожденная и обратная матрица к ней существует.
Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы:
Ответ: x = 5; y = -1; z = 1
Приложение В
Рассмотрим решение систем уравнения методом Гаусса:
Запишем вспомогательную матрицу:
Домножим первое уравнение системы на -2:
Сложим первое уравнение со вторым:
Таким образом мы получили первый нулевой коэффициент во втором уравнении. Сделаем аналогично для третьего. Нам нужно первое уравнение разделить на -2 (именно на это число происходило домножение), а затем умножить на -3. Также мы можем сразу на -3 разделить второе уравнение. В результате получим:
Сложим первое и третье уравнение:
Сделаем все коэффициенты положительными, разделив первое на -3, а третье
на -1:
Чтобы получить в последнем уравнении ещё один нулевой элемент, произведем умножение второго уравнения на -3:
Сложим второе и третье уравнения:
Приведём матрицу к окончательному виду:
Перейдём к выполнению обратного хода. Для этого перепишем нашу систему уравнений с коэффициентами матрицы после элементарных преобразований:
Сразу видно, что мы нашли два неизвестных: y=2, z=3. Подставим эти значения в первое уравнение и найдём неизвестную x:
, x=1
Ответ: x=1, y=2, z=3