XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Золотое сечение вокруг нас
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Цель работы: доказать присутствия золотого сечения в окружающем нас мире: в живописи, в скульптуре, в архитектуре района, в живой природе, в человеческом теле.
Задачи:
1. Изучить теоретические сведения по теме «Золотое сечение».
2. Исследовать присутствие золотого сечения в окружающей жизни.
3. Исследовать размеры комнатных растений, размеры тела человека, архитектуру района и определить пропорции золотого сечения.
4. Проанализировать полученные результаты, подготовить сообщение и презентацию по данному вопросу.
Актуальность:
1) пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре и в других сферах окружающей нас жизни означает соблюдение определённых соотношений между отдельными частями и является непременным условием гармонии и красоты;
2) всеобщий характер исследуемого материала;
3) богатая и увлекательная история исследуемого материала;
4) значение математики во всех областях окружающей нас жизни
Гипотеза: пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре и в других сферах окружающей нас жизни означает соблюдение определённых соотношений между отдельными частями и является непременным условием гармонии и красоты.
Золотые руки, золотое сердце, золотое сечение…
Если первые два понятия понимают все, то понимание третьего – «Золотого сечения» - вызывает у большинства из нас затруднения. А ведь этот термин употребляется в самом обыкновенном учебнике математики за 6 класс!
Когда знакомишься более подробно с дополнительной литературой по этому вопросу, то убеждаешься, что «Золотое сечение» присутствует всюду: в природе, в технике, в архитектуре, в живописи, в пропорциях человеческого тела и так далее.
Основная часть
1. Определение Золотого сечения
Золотым сечением и даже «божественной пропорцией» назвали математики древности и средневековья такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. Это отношение обозначают буквой φ = 0,618 .
а : b = b : c или с : b = b : а
2. История Золотого сечения
Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.
Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий — свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. Высшую гармонию «золотого сечения» или «божественной пропорции» будут проповедовать Леонардо да Винчи (сам термин был введен им в 15 веке) и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» — это одно и то же.
Деление отрезка в среднем и крайнем отношении часто использовалось в искусстве, что дало повод математику 16в., другу известного художника Леонардо да Винчи, монаху Луке Пачоли назвать такое деление отрезка божественной, великолепной пропорцией. По поводу этой пропорции он употреблял много хвалебных слов, но в истории утвердилось два варианта: золотая пропорция или золотое сечение.
Древние греки считали, что прямоугольники, у которых стороны относятся как 5:8 (стороны образуют "золотое сечение") имеют наиболее приятную форму. Они приписывали "золотому сечению" магические свойства и использовали при расчетах. Правильное соотношение размеров возводимых древними греками дворцов и храмов придавало этим зданиям ту необыкновенную красоту, которая и сегодня восхищает нас. "Пропорция" с древнегреческого означает соизмеримый, имеющий правильное соотношение частей.
С историей золотого сечения связано имя итальянского математика Леонардо Фибоначчи. Ряд чисел0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34= 0,617, а 34 : 55= 0,618. Это отношение обозначается символом , в честь древнегреческого скульптора Фидия. Только это отношение - 0,618 : 0,382 - дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, искусстве, неизменно приходили к ряду Фибоначчи как арифметическому выражению закона золотого деления.
3 . Золотое сечение в математике
3.1. Золотойтреугольник — это равнобедренный треугольник, в котором две боковые (равные) стороны находятся в золотой пропорции с основанием АВ:АС = 0,618. Нетрудно определить углы золотоготреугольника (36°,72°,72°). Золотыетреугольники можно увидеть в развёртках звёздчатых форм додекаэдра и икосаэдра, в вершинах пентаграммы, в десятиугольнике.
3 .2. Золотой прямоугольник. В «Золотом прямоугольнике» отношение длины к его ширине дает число 0,618. Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон.
3.3. Золотой пятиугольник.
Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник. Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.
Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению a / c ≈ 5 / 8 ≈ 0,618.
Паркет, тротуарная плитка, мозайки и т.п. может выкладываться элементами, которые имеют вид пятиугольников.
Государственный знак качества СССР имеет форму пятиугольника с выпуклыми сторонами.
Пентагон — здание Министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.
Пентаграмма или пятиконечная звезда всегда привлекает внимание людей совершенством формы и считается амулетом здоровья. В наши дни пятиконечная звезда красуется на флагах и гербах многих стран.
3.4. Золотая спираль. Золотой прямоугольник, у которого отношение ширины к длине равно 0,618, обладает многими интересными свойствами. Если от золотого прямоугольника АВСD отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получится золотой прямоугольник. Если этот процесс продолжить, то получатся «вращающиеся квадраты». Когда соединим их вершины плавной кривой, то получим золотую спираль.
Французский писатель Пьер Вариньон (1654–1722) назвал эту спираль логарифмической. Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющий свою форму при увеличении размеров. Это свойство объясняет причину частого появления золотой спирали в природе.
4. Золотое сечение вокруг нас
4.1. Золотое сечение в природе.
В живой природе широко распространены формы, основанные на «пентагональной» симметрии (морские звезды, морские ежи, цветы). Пяти-лепестковыми являются цветы кувшинки, шиповника, боярышника, гвоздики, груши, черемухи, яблони, земляники и многих других.
Также можно встретить золотую пропорцию в разрезе яблока (пентаграмма).
Оказывается, пентаграмму никто не изобретал, её только скопировали с натуры. Вид пятиконечной звезды имеют пятилепестковые цветы плодовых деревьев и кустарников, морские звезды. Те и другие создания природы человек наблюдает уже тысячи лет. Этим и удивительна связь природы и математики.
П риглядимся к цикорию. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции.
Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами: один из них может быть вписан в прямоугольник золотого сечения, другой — в прямоугольник с модулем 1,272 (корень золотой пропорции).
4.2. Золотое сечение в архитектуре.
В архитектуре Древнего Египта по правилам золотой пропорции была построена пирамида Хеопса. Глядя на творение строителей, можно увидеть треугольник с прямым углом, один катет которого является высотой, второй – половиной длины основания. Если взять отношение гипотенузы к меньшей стороне, получим идеальное значение 1,61950.
Яркий представитель Золотой пропорции из древней Греции – Парфенон, который возведен в 5 веке до нашей эры. Если взять отношение его высоты к ширине, получится практически идеальное число 0,618.
4.3. Золотое сечение в искусстве.
П ростейшие пропорции в искусстве - примерное деление пространства на 3 части по вертикали и горизонтали. В случае с картинами или фотографиями на линиях и особенно в точках их пересечений располагаются композиционно значимые элементы. На живописном полотне существуют четыре точки повышенного внимания. Зрительные центры расположены на расстоянии 3/8 и 5/8 от краев любой картины и фотографии.
Е щё в эпоху Возрождения живописцы открыли, что любая картина имеет определённые точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина, — горизонтальный или вертикальный.
Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение. Пропорции Золотого сечения в произведении Леонардо Да Винчи — «Тайной вечере». Соответствующие прямоугольники в картине — «золотые». Было так же определено, что больше всего внимания смотря на прямоугольный рисунок п ридается центральной части, образованной точками, которые делят этот рисунок в золотой пропорции.
Композиция всемирно известного портрета «Моны Лизы дель Джокондо» построена с учётом Золотой пропорции.
Х удожники знали, что человеческое тело тоже соответствует этому закону. Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя Дорифора, изваянная Поликтетом в V веке до н.э. Эта статуя считается наилучшим примером для анализа пропорций идеального человеческого тела, установленных античными греческими скульпторами, и напрямую связана с Золотым сечением =0,618…
Венера Милосская, статуя богини Афродиты и эталон женской красоты, является одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства — также построена на пропорциях золотого сечения.
4.4. Золотое сечение в логотипах.
Неудивительно, что можно найти использование золотого сечения во многих современных проектах, в частности, дизайне. Некоторые из самых известных в мире брендов, которые использовали золотое сечение для совершенствования своих логотипов: Apple, TOYOTA.
5. Исследования
5.1. Исследование № 1 «Золотое сечение в пропорциях человеческого тела».
На первом этапе нашего исследования, я решил выяснить, каким образом золотое сечение выражается в пропорциях человеческого тела. Произвёл измерения у 5 одноклассников и пришёл к выводу, что человеческое тело делится в пропорции золотого сечения линией пояса, т.е. деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Если принять центром человеческого тела точку пупа и найти отношение расстояния от макушки до пупа на расстояние от пупа до ступней, то рост человека эквивалентен числу 0,618.
|
№ п/п |
Рост |
Расстояние от пупа до ступней |
φ |
|
180 |
114 |
0,633 |
|
|
174 |
110 |
0,632 |
|
|
172 |
110 |
0,639 |
|
|
162 |
100 |
0,617 |
|
|
172 |
110 |
0,639 |
|
|
Среднее |
172 |
109 |
0,633 |
Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца). Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.
Несколько основных золотых пропорции нашего тела:
расстояние от кончиков пальцев до запястья до локтя равно 1:1,618;
расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1,618;
расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1,618;
расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1,618;
расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1,618;
расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1,618;
расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1,618.
М олекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема (1 ангстрем — одна стомиллионная доля сантиметра).
21 и 34 — это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.
5.2. Исследование № 2 «Золотое сечение в живой природе».
И зучая комнатные растения, измерил расстояния между отростками бегонии, и нашел отношение, оно приближённо равно 0,618, т.е. подчиняется золотой пропорции. Данные измерений и вычислений:
Р асхождение всего лишь в 0,017.
Проще всего объяснить гармонию золотого сечения можно на примере обычного куриного яйца, точнее на удалении всех точек скорлупы от центра тяжести. Именно форма оболочки, а не её прочность, обеспечила выживаемость птиц столь долгое время и в любых условиях.
Если измерить длину и ширину куриного яйца и найти соотношение: ширины к длине, то видно, что не все исследуемые яйца дают такое соотношение, а только некоторые из них.
|
«Ширина» |
«Длина» |
Отношение |
|
|
4,0 |
5,9 |
0,67 |
|
|
3,75 |
5,7 |
0,65 |
|
|
3,8 |
5,7 |
0,66 |
|
|
4,3 |
6,1 |
0,7 |
|
|
4,1 |
5,9 |
0,69 |
|
|
Среднее значение |
3,99 |
5,86 |
0,681 |
5.3. Исследование № 3 «Золотое сечение в архитектуре села Самбург».
Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.
В поисках «Золотого сечения» я совершил экскурсию по нашему селу. Конечно же, в первую очередь красоту и гармонию я искал в своей родной школе, так как большее время дня мы проводим тут. И выяснил что, срез крыльца МБОУ «ШИСОО» с. Самбург представляет «золотой прямоугольник». В архитектуре села Самбург нашёл здания, которые соответствуют «золотому сечению» - ДК «Полярная звезда», храм.
5.4. Исследование № 4 «Золотое сечение в государственной символике».
Российский флаг получил пропорцию 2:3 11 декабря 1992 года. Современные флаги обычно имеют прямоугольную форму, но различные соотношения ширины и длины. Соотношение ширины флага к длине флага обозначается пропорционально (ширина/длина). Производители флагов стремятся к наиболее популярным и удобным стандартам пропорций: 2:3; 3:5.
Ф лагЯмало-Ненецкогоавтономногоокруга. Прямоугольное полотнище яркого сине - голубого цвета. Отношение ширины к длине 2:3. От нижнего края на расстоянии одной седьмой части флага проходит бело - сине - красный горизонтальный рисунок.
Флаг Пуровского района: прямоугольное синее (голубое) полотнище с соотношением сторон два к трём, на фоне которого — жёлтая (золотистая) полоса с одиннадцатью расположенными углом вверх квадратами в цвет полотнища, сопровождаемая тонкой отвлечённой белой каймой, и в центре верхней части флага — жёлтый (золотой) песец с хвостом в виде жёлто-белого пламени.
Флаг села Самбург: прямоугольное полотнище синего цвета с отношением ширины к длине 2:3 вдоль нижнего края которого проходит белая полоса с шириной в 1/4 ширины полотнища.
Заключение
Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.
Из всего сказанного можно сделать выводы:
во-первых, золотое сечение – это один из основополагающих принципов природы;
во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе. Человек – венец творения природы…
Я взял за основу своей работы материал школьного учебника и постарался проверить на практике те примеры золотого сечения, которые в нём приводятся. Меня очень заинтересовала эта тема, и сейчас непринужденно своим взглядом везде ищу эту «божественную пропорцию». В ходе работы над этим проектом я приобрёл не только много новых знаний, но и научился проводить простейшие исследования, наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать гипотезы и делать выводы. Думаю, что мне это пригодится не только при дальнейшем изучении математики и при изучении других наук, но и в жизни.
Список используемых источников:
https://studopedia.org/9-125452.html
https://botana.biz/prepod/matematika/onzmtkt4.html
Приложение 1
Золотое сечение
Есть пропорция точная,
Красоты проявление,
По закону Источника.
Видим мы повторение
И в природе, и в Космосе.
Золотого сечения
Гармоничные росписи.
И ракушечка малая,
И большая галактика,
Закрутились спиралями.
Так похоже, не правда ли?
В человека строении
И пропорции бабочки
Золотое сечение
Глаз повсюду нам радует!
Математика чистая —
Стройный ряд Фибоначчи —
Помогает нам числами
Мысль Творца обозначить.
И закон размножения,
И фракталов ветвление —
К жизни прикосновение —
Золотое сечение.
Гармонично бывает
Человека творение,
Если он соблюдает
Золотое сечение.
Бога нам откровение —
Золотое сечение
И программа творения
В цифровом выражении.