XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Введение в сферическую геометрию. Соответствие между сферической геометрией и планиметрией.
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Проблема
В одной из игре «Что? Где? Когда?» был задан вопрос: «Сумма углов какого треугольника равна 181˚37’26’’?». Тогда я очень заинтересовалась этой темой, ведь в школе мы учили, что всегда сумма углов треугольника будет равна 180˚. Конечно, я не учла, что существуют разные геометрии, соответственно и разные правила. Заинтересовавшись вопросом, я узнала что существует такая странная неевклидова геометрия - сферическая. Эта тема меня сразу же увлекла, ведь я решила посвятить будущую профессию изучению космоса, астрономии, а именно здесь сферическая геометрия - неотъемлемая часть. И тем не менее пока даже на уроках геометрии в школе нам не приходилось с ней сталкиваться, поэтому не все представляют себе, что она изучает и для чего нужна. Да, в 11 классе в программе этой теме уделено время, но очень мало для ясного понимания, т.к. рассматриваются только основные понятия, и совсем не уделяется внимание фигурам на сфере, хотя в ЕГЭ встречаются вопросы, касаемые сферы и шара.
Актуальность
В программе школьного курса геометрии изучению сферы отводится очень мало времени, при этом рассматриваются только основные понятия, и совсем не уделяется внимание фигурам на сфере. В настоящее время сферическая геометрия особенно широкое применение находит в астрономии, геодезии, навигации и картографии.
Гипотеза: 1)некоторые свойства сферического треугольника совпадут со свойствами Евклидова треугольника
Цель: целью настоящего исследования является изучение понятий и фактов сферической геометрии треугольника и сравнение их с обычной евклидовой геометрией треугольника.
Задачи:
Для достижения цели исследования мне необходимо было решить ряд задач:
Изучить основные понятия сферической геометрии треугольника.
Проанализировать и сравнить понятия сферической евклидовой геометрии треугольника
Доказать ряд теорем евклидовой геометрии треугольника (в том числе, теорему синусов и косинусов) для сферического треугольника и сравнить их с теоремами неевклидовой геометрии.
На основе полученных знаний решить задачи по теме сферической геометрии.
Разработать памятку сравнения сферической и неевклидовой геометрии.
Разработать удобную памятку, содержащую всю необходимую теорию для ЕГЭ, сжатый материал школьного раздела геометрии сферы.
Объект исследования - понятие сферической геометрии.
Предмет исследования - определения и теоремы сферической геометрии треугольника.
Продукт – памятка сравнения двух геометрий; памятка для подготовки к ЕГЭ по математике базового (13 и 16 задание) и профильного уровней по теме «Сфера и шар».
Методы исследования - аналогия и сравнительный анализ сферического и евклидового треугольника.
Структура работы обусловлена целью исследования. Работа состоит из двух частей: в первой приводится общая теория о сфере, понятие сферического треугольника, сферические теоремы синусов и косинусов, двойственная теорема косинусов
Во второй части работы я рассмотрела решения задач на применение рассмотренных теорем, а также задачи практического характера. Разработала памятки по выбранной теме.
Практическая значимость: проект будет полезен в первую очередь ученикам, которые выбрали для себя физико-математический профиль, т.к. на первом курсе технических факультетов начинается изучение сферической геометрии, а также остальным учащимся, ведь, как в профильном, так и базовом уровне (13 и 16 задания) экзамена по математике встречается понятие сферы.
Основная часть
Введение в сферическую геометрию
Вернусь к вопросу: «Сумма углов какого треугольника равна 181˚37’26’’?». Ответ: Бермудского треугольника (рис. 1). Почему? Потому что он расположен на сфере! Наша Земля имеет форму шара, приплюснутого с полюсов. Современная наука дает название такому телу – геоид. Хотя в переводе с греческого «геоид» переводится, как «нечто, похожее на форму Земли», тем не менее, это остается фактом. Геоид с шаром приближается довольно неплохо. Поэтому, для удобства изучения сферической геометрии, форму нашей планеты принимают за шар, сферу. Вторая оговорка, которую стоит иметь ввиду, в случае работы с сравнительно небольшим участком земли (относительно площади всей поверхности Земли), достаточно плоской геометрии из-за незначительной кривизны. Однако, если речь идет о чем-то глобальном, то дело уже становится существенным и тогда удобно рассматривать сферу, как некий аналог плоскости. Другой подход заключается в том, что можно сказать, что у нас есть пространство и в нем находятся сферы, а все, что находится на сфере, находится в самом обычном традиционном евклидовом пространстве, где существуют законы евклидовой стереометрии.
Рис.1
Поэтому мы будем проводить аналогию между этими геометриями (сферической и планиметрией). Например, точки сферы будут сопоставляться, как точки «плоскости».
Возникает вопрос: что же такое прямые и отрезки на сфере? «Прямая» на сфере – это большой круг, окружность, которая проходит через диаметрально противоположные точки, или сечение сферы плоскостью проходящее через ее центр (экватор и меридианы, важно: не стоит путать с тропиками, они не проходят через диаметрально противоположные точки).
Вот основные аксиомы о прямых в сферической геометрии.
Через две точки, не являющимися диаметрально противоположными, проходит только одна прямая.
Любые две прямые пересекаются в 2 – х диаметрально противоположных точках.
Последнее порождает такую удивительную фигуру, как двуугольник. Это фигура, напоминающая «дольку», состоящая из двух углов.
Из практики, на плоскую карту положить сферу без искажений невозможно. Ведь то, что является прямой на плоскости, на сфере – кривая. Почему? Виной этому, например сумма углов треугольника. В пространстве существуют другие поверхности, где внутренняя геометрия – евклидова. В пример приведу конус, цилиндр. В них локальные фигуры похожи на плоскость, чего нельзя сказать о сфере. В частности, когда мы пытаемся ее изобразить, то получается, допустим, что «прямые» перестают быть прямыми. Обычно также жертвуют тем, что площади будут искажаться. Так Гренландия окажется больше Австралии (!), что, конечно, ложно.
Еще одна особенность сферы, о которой мы порой не задумываемся, находясь на земле. Представьте: мы находимся в неизвестной местности, не понимаем наше расположение и, конечно, хотим определить его, т.е. наши координаты. Что мы можем сделать? Созерцать звезды!
Первым делом нужно определить направление на север (на компас лучше не ориентироваться, ведь северный географический и северный магнитный полюс – разные вещи), поэтому ищем Полярную звезду. Полярная звезда располагается в ручке ковша Малой Медведицы и находится в направлении севера с небольшим отклонением. Она светит ярче других светил, поэтому более заметна. Отмечу, что так таковой небесной сферы не существует, однако, для удобства наблюдения звезд, необходимо было их проецировать на некоторую дугу, которая и внемлет точки нашего наблюдения. Земля вертится вокруг своей оси, следовательно изображения звезд тоже движутся для земного наблюдателя, а вот Полярная звезда, из – за расположения в северном центре покоится.
При изучении сферической геометрии и использовании ее в расчетах на Земле и в космосе сразу возникает интересный вопрос: Как посчитать расстояние между двумя точками на сфере? (К этому вопросу я еще вернусь позднее)
Теперь можно вводить базовые понятия сферической геометрии. Во-первых что такое сфера? Сферой называется множество точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром. Плоскость, проходящая через центр сферы, называется диаметральной плоскостью. Диаметральная плоскость пересекает сферу по большой окружности .Любая плоскость, которая не проходит через центр сферы, пересекает сферу по малой окружности.
Сферическим расстоянием между двумя точками сферы называется длина кратчайшей из дуг большой окружности, проведенной через эти точки (рис.2).
Рис. 2
В случае когда точки А и В диаметрально противоположны, через них можно провести бесконечно много больших окружностей, но все они будут иметь одинаковую длину.
Также в отличие от обычной геометрии любые две сферические прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках - на сфере отсутствует само понятие параллельности. Другое существенное отличие прямой на сфере от прямой на плоскости заключается в том, что сферическая прямая замкнута, двигаясь по ней в одну сторону, мы в конце концов вернемся в исходную точку, то есть точка не разбивает сферическую прямую на две части, подобные лучам обычной прямой.
Если две точки А и В принадлежат большой окружности, то длина меньшей из её двух дуг, соединяющих эти точки, принимается за сферическое расстояние между А и В. Самую меньшую дугу естественно считать сферическим отрезком АВ. Диаметрально противоположные точки соединены бесконечным числом сферических отрезков - больших полуокружностей.
Сферическое расстояние АВ выражается через радианную меру а центрального угла АОВ и радиус сферы R: по известной формуле для длины дуги, оно равно Ra. Если принять радиус сферы за единицу длины, то сферическое расстояние окажется равным угловой величине a соответствующей дуги.
Для сферического расстояния выполняются аксиомы расстояния:
|АВ|>0, причем |АВ|=0 в том случае, когда А = В.
Для любых точек А и В |АВ|=|ВА|.
Для любых точек А, В, С |АС|<|АВ|+|ВС|.
Любая точка С сферического отрезка АВ разбивает его на два, и сумма их сферических длин, как и в планиметрии, равна длине всего отрезка, или АОС + СОВ = АОВ. А для любой точки D вне отрезка имеет место «сферическое неравенство треугольника»: сумма сферических расстояний от D до А и от D до В больше АВ, или AOD + DOB - АОВ. Здесь существует полное соответствие между сферической и плоской геометриями.
Неравенство треугольника - одно из основополагающих свойств в геометрии на сфере. Именно благодаря ему, точно так же, как и в планиметрии, сферический отрезок короче любой сферической ломаной, а значит, и любой кривой на сфере, соединяющей его концы. Вслед за определением сферического расстояния на сферу переносят и почти все понятия плоской геометрии, потому что из можно выразить через расстояния на плоскости.
Определим теперь углы на сфере. Рассмотрим две сферические прямые а и b (рис. 3). Они разбивают сферу на четыре двуугольника подобно тому, как пересекающиеся прямые на плоскости разбивают её на четыре плоских угла. Каждому из двуугольников отвечает один из двугранных углов, образуемых диаметральными плоскостями, содержащими а и Ь.
Рис. 3
Угол между сферическими прямыми - большими окружностями - определяется как угол между их плоскостями, или, что то же самое, как угол между касательными к этим окружностям в точке их пересечения. Величиной этого двугранного угла и измеряется, по определению, угол при вершине двуугольника. А угол между сферическими прямыми равен меньшему из углов образуемых ими двуугольников.
Хочу обратить внимание на соответствие, которое возникает между понятиями в геометрии на сфере и в стереометрии. Точкам сферы сопоставляется лучи, которые проведены в неё из центра О сферы, а любой фигуре на сфере - объединение всех пересекающих её лучей с общим началом в О. Сферической прямой отвечает содержащая её диаметральная плоскость, сферическому отрезку - плоский угол, двуугольнику - двугранный угол, сферической окружности - коническая поверхность, ось которой проходит через полюсы окружности. Равным сферическим фигурам соответствуют равные фигуры из лучей, движениям сферы - движения пространства, переводящие сферу в себя. Геометрические величины также находят себе пары: например, длина сферического отрезка - величина соответствующего плоского угла.
Разветвление: уравнение сферы в координатах в пространстве
Рис. 4. Сфера с центром в точке
Выведем уравнение сферы радиуса с центром в точке (рис. 13).
Пусть произвольная точка лежит на сфере. Тогда, по определению сферы, . С другой стороны, расстояние между точками в координатах равно:
.
Приравнивая это к и возводя в квадрат, приходим к формуле, напоминающей уравнение окружности:
.
Это и есть уравнение сферы.
Соответственно, шар задается не уравнением, а неравенством:
.
Соответствие между аксиоматикой сферической геометрии и планиметрии.
В предыдущем пункте были введены, то есть определены важнейшие понятия сферической геометрии (расстояние между двумя точками сферы и сферической прямой). Снова отмечу, что в планиметрии понятие прямой не определяется - это первичное понятие геометрии плоскости. Несмотря на это, требуется чтобы для прямых выполнялись на плоскости некоторые аксиомы. Так какие же из них будут справедливы в сферической геометрии - для сферических прямых?
Аксиома, гласящая, что каждая прямая есть множество точек, в сферической геометрии выполняется - большие окружности суть множества точек. Однако уже со следующей аксиомой: для любых двух точек А и В существует единственная содержащая эти точки прямая - дело обстоит сложнее. Если точки А и В сферы не являются диаметрально противоположными, то это предложение верно, но для диаметрально противоположных точек А и В существует бесконечно много сферических прямых, содержащих эти точки: пересечение сферы с любой плоскостью, содержащей диаметр АВ, даст такую прямую. Можно сказать, что эта аксиома почти выполняется на сфере. Оговорка почти приводит к следующим следствиям.
1.Любые две различные прямые на сфере пересекаются в диаметрально противоположных точках сферы.
Как следствие: в сферической геометрии нет содержательного понятия параллельности - нет различных параллельных прямых. Разумеется, не выполняется и аксиома параллельных, а следовательно, не имеет смысла говорить и о параллельных переносах.
В планиметрии одна из трех различных точек, принадлежащих одной прямой, лежит между двумя другими (если, скажем, точка В лежит между А и С, то это означает, что |АВ| + |ВС| = |АС|, тогда точка В принадлежит отрезку АС). В сферической геометрии такое понятие «лежать между» определить нельзя: например, если точки А, В и С лежат на большой окружности и разделены дугами градусной меры 120° (см. рис. 5), то ни про одну из них нельзя сказать, что она лежит между двумя другими. Грубо говоря, это объясняется тем, что в планиметрии точка разбивает прямую на два «отдельных» множества - открытых луча, а на сфере это неверно. Таким образом, об аксиомах порядка на сферических прямых говорить не приходится.
Рис. 5
Одна из аксиом планиметрии гласит: всякая прямая разбивает плоскость на две открытые полуплоскости - два непустых множества, таких, что для точек А и В, принадлежащих разным множествам, отрезок АВ пересекает данную прямую, а если А и В принадлежат одному множеству, то АВ не пересекает прямую.
Легко видеть, что утверждение верно и в сферической геометрии: большая окружность разбивает сферу на две открытые полусферы, причем выполнены соответствующие требования.
Проанализировав все планиметрические аксиомы, я выяснила, что некоторые из аксиом выполняются и в сферической геометрии, другие же приходится отбросить.
Сферическую геометрию можно рассматривать как модель геометрии, в которой некоторые обычные аксиомы геометрии не справедливы, то есть как простейшую модель неевклидовой геометрии.
Нужно отметить, что говоря о моделях геометрии, подразумевают некоторое множество точек, вместе с совокупностью выделенных подмножеств этого множества, называемых прямыми. Геометрические модели возникают при изучении геометрических свойств окружающего реального мира; при этом абстрагируются от всяких физических и прочих не геометрических свойств. Так, при изучении геометрии поверхности Земли на сравнительно небольших, «плоских», участках возникла обычная, так называемая евклидова геометрия (планиметрия).
Сферический треугольник
Очень важная часть сферической геометрии – тема «Сферический треугольник». Этот простейший сферический многоугольник представляет особый интерес. Сферический треугольник -- геометрическая фигура на поверхности сферы, образованная пересечением трёх больших окружностей (рис. 6.).
Рис. 6
Первым его ввёл в геометрический обиход и исследовал Менелай из Александрии (I в.). Его труд «Сферика» стал вершиной достижений треков в сферической геометрии. Менелай перенёс на сферу евклидову теорию плоских треугольников и вчисле прочего получил условие, при котором три точки на сторонах сферического треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой. Интересно, что соответствующая теорема для плоскости в то время была уже широко известна, однако в историю геометрии она вошла именно как теорема Менелая.
Есть такие базовые вещи из школьной геометрии, как, например, признаки равенства треугольников (1-й, 2-й и 3-й). Так вот они работают и на сфере. А что происходит на плоскости, когда углы треугольников равны друг другу? На плоскости они подобны. А на сфере? Оказывается, в сферической геометрии такие треугольники также будут равны, ведь подобных треугольников здесь не существует.
Еще одной характеристикой треугольника на сфере будет дефект. Дефект – разница между настоящей суммой и эталонной (такой, как если бы она была, будь треугольник на плоскости). Пусть у нас есть треугольник, где сумма углов равна 270 градусов. На плоскости она составляла бы 180 градусов. А вот разность между суммой на сфере и плоскости и называется дефектом. Т.е.
ДЕФЕКТ = α + β + µ - 180˚
Снова обратимся к бермудскому треугольнику. Его дефект равен примерно 1,5˚. Треугольник не очень большой, следовательно, дефект тоже маленький.
Теорема: DABC∝k*SABC
Дефект треугольника пропорционален его площади (это работает и на плоскости, просто k=0).
Теперь рассмотрим многоугольник. Пусть m – n-угольник.
Dm = α + β + µ - 180˚(n-2)
Dm = k*Sm
Если m состоит из нескольких n-угольников (допустим m1 и m2)
Sm = Sm1 + Sm2 ⇒Dm = Dm1 + Dm2
S = α/360˚*4πR²
У двуугольника дефект соответственно равен 2α, т.к. в евклидовой геометрии сумма углов равна нулю.
Многие свойства сферического треугольника почти дословно повторяют свойства обычного треугольника. Среди них — неравенство треугольника, которое на языке трёхгранных углов гласит, что любой плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других.
Для сферических треугольников справедливы три известных в планиметрии признака равенства: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по трём сторонам.
На сфере справедлив ещё один признак равенства треугольников — по трём углам.
Подобных, но не равных между собой сферических треугольников не существует.
Понятно, что все планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их доказательствами остаются справедливыми на сфере. Так, множество точек, равноудалённых от концов отрезка, будет и на сфере перпендикурятной к нему прямой, проходящей через его середину, а отсюда следует, что серединные перпендикуляры к сторонам сферического треугольника АВС, биссектрисы внутренних углов, медианы и высоты имеют общую точку, точнее, две диаметрально противоположные общие точки Р и Р’, являющиеся полюсами его единственной описанной окружности. В стереометрии это означает, что около любого трёхгранного угла можно описать конус. Легко перенести на сферу и теорему о том, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.
Теоремы о пересечении высот и медиан тоже остаются верными, но их обычные доказательства в планиметрии прямо или косвенно используют параллельность, которой, как мы знаем, на сфере нет, и поэтому проще доказать их заново, на языке стереометрии.
Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует, что равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричным.
Сферическая тригонометрия.
Сферическая тригонометрия — математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферического треугольника.
Сферическая теорема синусов
Теорема. Синусы сторон сферического треугольника относятся как синусы противолежащих углов.
Пусть длины сторон сферического треугольника (рис. 14) равны а, b, с, а противолежащие им углы этого треугольника равны А, В, С соответственно, r- радиус сферы, тогда
Рис.8
Перейдем к теореме косинусов, которая гласит:
Косинус одной стороны сферического треугольника равняется произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними:
cos