Алгоритм решения логических задач

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Буторин А.А. 1

---

1МАОУ "Ягринская гимназия №31"

Богданова О.В. 1

---

1МАОУ "Ягринская гимназия №31"

Работа в формате PDF

167.4 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

При подготовке к олимпиаде по математике я познакомился с различными видами логических задач. Меня очень заинтересовала данная тема. Ведь я уже давно занимаюсь шахматами, а шахматные и логические задачи имеют сходство.Любые математические упражнения являются отличной зарядкой для ума, а логические и шахматные задачи в особенности, ведь они:

учат терпеливости, усидчивости, самодисциплине;

развивают внимание и тренируют память;

вырабатывают навыки предугадывания возможных вариантов дальнейшего развития событий;

вынуждают продумывать стратегию своих действий с нацеленностью на победу;

приучают достигать поставленных целей.

Во взрослой жизни эти навыки обязательно пригодятся: логика позволяет найти объяснение многим явлениям, абстрактным понятиям, развитое логическое мышление дает возможность аргументировано отстаивать свою точку зрения. К тому же в интересующих меня профессиях развитое логическое мышление просто необходимо.

Целью нашей работы является - изучение способов решения логических задач, выбор наиболее рациональных из них, применение их для решения задач.

Достижение нашей цели возможно путем решения следующих задач:

Изучить теоретический материал по теме исследования и выявить влияние логических задач на уровень интеллекта и психологические особенности человека;

Рассмотреть и по возможности классифицировать различные типы логических задач

Решить задачи различными способами.

Найти наиболее рациональные алгоритмы решения для каждого вида задач.

Применить выбранные алгоритмы при решении задач.

Продукт проекта – сборник логических задач с решениями.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1 Роль математики и логики в становлении личности и интеллекта человека.

Математика – уникальная дисциплина, неотъемлемая часть всех наук. Не секрет, что язык математики – это логические рассуждения. Именно поэтому занятия математикой учат человека думать, развивают логическое мышление, сообразительность. Практикуясь в решении задачи важно научиться отбрасывать несущественные детали и учитывать то, что имеет принципиальное значение. Такие навыки в будущем помогут принимать обоснованные решения при возникновении различных задач или проблем.

«Математика – гимнастика для ума», - говорил великий русский полководец Суворов. Она «растит» познавательные психические процессы: внимание, память, воображение. Изучение математики дисциплинирует мышление, приучает к правильному словесному выражению мыслей, к точности, краткости и ясности речи, воспитывает настойчивость, умение достичь намеченной цели, развивает работоспособность, интеллект и упорство в достижении цели. Делаю вывод, что решение логических задач очень полезно для моего саморазвития. Познакомимся с различными задачами.

1.2. Типы логических задач

Решать логические задачи можно различными способами, не все из них простые и быстрые. Для решения некоторых задач требуется усидчивость, внимание, концентрация и трудолюбие. При решении задач, я отметил, что бывают логические рассуждения легкие для восприятия, но более затратные по времени, или наоборот. К тому же тратится время на нахождение подхода к каждой задаче.

Некоторые задачи очень похожи по смыслу, поэтому будем искать для них общий алгоритм решения. Если в процессе написания своего проекта мы сможем выделить несколько типов задачи общий алгоритм их решения, то это упростит процесс решения задач и поможет избежать ошибок в будущем.

При изучении литературы, мы познакомились с большим количеством задач и смогли сформировать в следующие группы :

Истинностные задачи - это задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний. Рассмотрим примеры истинностных задач.

Задача 1. Украли у Ивана Царевича Василису Прекрасную. Поехал он выручать ее. Поймал Змея Горыныча, Бабу Ягу, Кощея Бессмертного и Лешего – Иван Царевич знал, что один из них украл ее. И спрашивает: «Кто украл Василису?» Змей Горыныч, Баба Яга и Кощей Бессмертный ответили: «Не я», а Леший – «Не знаю». Потом оказалось, что двое из них сказали правду, а двое – неправду. Знает ли Леший, кто украл Василису?

Задача 2. Каждый день кот Леопольд прогуливался в городском парке. Однажды, 6 апреля кот Леопольд встретил на прогулке мышей – Серого и Белого. Леопольд забыл, когда у мышат Дни Рождения и решил спросить их об этом, чтобы вовремя подарить подарки. «Он был вчера» - ответил Серый мышонок. Белый же мышонок сказал: «Он будет завтра». На следующий день кот Леопольд опять спросил мышат об этом. «Он был вчера» - ответил Серый мышонок. «Он будет завтра» - сказал Белый. Кот Леопольд задумался над словами мышат. Он точно знал, что обманывать они могут только в день своего рождения, хоть и часто шутят над ним. Как же коту Леопольду узнать, когда дни рождения у мышат?

Задача 3. Незнайка услышал разговор Сиропчика, Пилюлькина, Торопыжки и Знайки. Известно, что каждый из них либо всегда лжет, либо всегда говорит правду.

1) Сиропчик обвинил Пилюлькина в том, что он – лгун.

2) Знайка сказал Сиропчику: «Сам ты лгун!».

3) Торопыжка заметил: «Оба они лгуны».

4) Знайка спросил: «А я?».

5) На что Торопыжка ответил «И ты тоже лгун!»

«Кто же из них говорит правду?» - удивился Незнайка. Помогите ему.

Задачи на пересечение и объединение множеств - это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. Рассмотрим примеры задач на объединение и пересечение множеств.

Задача 1.Часть жителей города N умеет говорить только по-русски, часть – только по-норвежски и часть умеет говорить на обоих языках. По-норвежски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?

Задачи 2. Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию. Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся, которые не посещают хор или лыжную секцию?

Задача 3.В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Задачи на переливание -  задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости. Рассмотрим примеры задач на переливание.

Задача 1. Какое наименьшее число переливаний потребуется для того, чтобы в четырехлитровую кастрюлю с помощью крана и пятилитровой банки налить 3 литра воды?

Задача 2. Разделить на две равные части воду, находящуюся в полном 8 литровом сосуде, пользуясь этим и пустыми 5- и 3-литровыми сосудами.
Какое наименьшее количество переливаний потребуется?

Задача 3. Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон. Какое наименьшее количество переливаний потребуется?

Задачи на взвешивание - достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется выявить отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Рассмотрим примеры задач на взвешивание.

Задача 1.Из 3 одинаковых по виду колец одно несколько легче других, имеющих одинаковые массы. Как за одно взвешивание найти более лёгкое кольцо.

Задача 2 . Имеются чашечные весы без гирь и 4 одинаковые по внешнему виду монеты. Одна из монет фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее (одинаковые монеты одного веса). Сколько надо сделать взвешиваний, чтобы определить фальшивую монету?

Задача 3. У вас есть 24 с виду одинаковых 100-граммовых гирек и чашечные весы. Внезапно выясняется, что одна из гирек бракованная и весит чуть больше остальных. Какое минимальное количество взвешиваний необходимо для определения бракованной гирьки?

Задачи, решаемые с конца - это задачи, в которых нет данных, кроме последнего. Они решаются с помощью математических вычислений - производится обратный расчёт для вычисления каких-либо неизвестных данных на основе уже известного конечного результата.

Задача 1. Тамара спросила Сашу : «Сколько тебе лет?» Саша ответил «Если бы число моих лет увеличить в 3 раза, а потом уменьшить на 16, то мне было бы 17 лет». Сколько лет Саше?

Задача 2 . Однажды черт предложил бездельнику заработать. “Как только ты перейдешь через этот мост, – сказал он, – твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля”. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?

Задача 3. Крестьянин пришел к царю и попросил: «Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада». Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада». «Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно», - поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст положенные части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

Задачи типа «Кто есть кто?» - самые что ни на есть логические задачи. Смысл их довольно прост. Вам даны отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, вы приходите к правильному результату.

Задача 1. Четыре брата Юра, Петя, Вова, Коля учатся в 1,2,3,4 классах. Петя- отличник, младшие братья стараются брать с него пример. Вова учится в 4 классе. Юра помогает решать задачи брату. Кто в каком классе учится?

Задача 2. В семье четверо детей, им 5, 8, 13 и 15 лет, а зовут их Таня, Юра, Света и Лена. Сколько лет каждому из них, если одна девочка ходит в детский сад, Таня старше Юры, а сумма лет Тани и Светы делится на 3?

Задача 3.Жили-были на свете три поросенка, три брата: Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Построили они три домика: соломенный, деревянный и кирпичный. Все три брата выращивали возле своих домиков цветы: розы, ромашки и тюльпаны. Известно, что Ниф-Ниф живет не в соломенном домике, а Наф-Наф – не в деревянном; возле соломенного домика растут не розы, а тот, у кого деревянный домик, выращивает ромашки. У Наф-Наф аллергия на тюльпаны, поэтому он не выращивает их. Узнайте, кто в каком домике живет и какие цветы выращивает.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В предыдущей главе мы группировали олимпиадные задачи по типу, и получили 9 видов задач. Решим предложенные задачи, чтобы описать используемые методы и подходы.

Истинностные задачи.

Решение задачи 1.

Начнем рассуждать с ответов Змея Горыныча, Бабы Яги, Кощея Бессмертного.

Так как украл Василису Прекрасную кто-то один, то среди ответов Змея Горыныча, Бабы Яги, Кощея Бессмертного может быть лишь один ложный, иначе при двух ложных ответах получается, что украли ее двое.

Тогда вторым ложным ответом будет ответ Лешего, так как всего ложных ответов два.

Поэтому Леший знал, кто украл Василису Прекрасную.

Ответ. Леший знал, кто украл Василису Прекрасную.

Решение задачи 2.

Серый мышонок два дня подряд отвечал Леопольду одинаково, что день рождения был вчера. Предположим, что Серый мышонок в первый день сказал правду, следовательно, день рождения у него был 5 апреля, но учитывая, что обманывать он мог только в свой день рождения приходим к противоречию – 7 апреля мышонок не мог обмануть, а получается, что обманул. Наше предположение неверно, значит Серый мышонок обманул 6 апреля и в этот день у него день рождения. 
Рассмотрим высказывания Белого мышонка. Предположим, что 6 апреля (в первый день) он сказал правду, тогда его день рождения 7 апреля и высказывание, которое Белый сказал во второй день – ложь. Следовательно, день рождения Белого мышонка 7 апреля. 
Ответ: 6 апреля – у Серого мышонка, 7 апреля – у Белого мышонка.

Решение задачи 3.

Поочередно предположим, что каждый из них говорит правду.

1) Допустим, что Сиропчик говорит правду. Тогда, рассмотрев первое высказывание, можно утверждать, что Пилюлькин – лгун, исходя из второго высказывания получаем, что Знайка – лгун. Третье высказывание приводит нас к противоречию: если Торопыжка говорит правду, то Сиропчик и Пилюлькин лгуны – это противоречит нашему предположению, если Торопыжка лжет, то Сиропчик и Пилюлькин говорят правду – это противоречит первому высказыванию. Приходим к выводу, что Сиропчик лжет и наше предположение не верно. Тогда Пилюлькин говорит правду.

2) Допустим, что Знайка говорит правду. Тогда, второе высказывание истинно и Сиропчик – лжет. Мы уже выяснили, что это правда. Рассмотрев пятое высказывание, приходим к выводу, что Торопыжка лжет.

Таким образом, Знайка и Пилюлькин говорят правду.

Ответ: Знайка и Пилюлькин говорят правду.

Вывод : При решении задач данного типа лучше всего использовать метод рассуждений.

Задачи на пересечение и объединение множеств.

Решение задачи 1.

Используем круги Эйлера для изображения данных задачи:

Левое множество содержит всех жителей, которые владеют норвежским, а правое множество всех жителей, которые владеют русским языком. Общая часть кругов – множество жителей, владеющие двумя языками.

Так как по-норвежски говорят 85% населения города, то

100 – 85 = 15 % населения по-норвежски не говорит, а значит говорит по-русски.

75 – 15 = 60 % населения говорят и на русском языке, и на норвежском.

Ответ: 60 % населения города говорят и на русском языке, и на норвежском.

Решение задачи 2.

А налогично используем круги Эйлера для изображения данных задачи:

Так как в классе нет учащихся, которые не посещают хор или лыжную секцию, то

38 – 28 =10 (уч.) – не хористы, но лыжники.

17 – 10 = 7 (уч.) - и лыжники, и хористы.

Ответ: 7 учащихся посещают и лыжную секцию, и хор.

Решение задачи 3.

Круги Эйлера для этой задачи выглядят следующим образом:

27 – 3 - 10 - 8 = 6 (д.) – занимаются только в драмкружке.

22 – 3 – 6 - 8 = 5 (д.) – занимаются только спортом.

32 – 3 - 10 – 6 =13 (д.) - занимаются только пением.

70 – (3+6+8+10+6+5+13) = 19 (д.) – не посещают ни один кружок.

Ответ: 19 детей не занимаются ни в одном кружке, 5 детей занимаются только спортом.

Решение задач данного типа эффективней всего будет при использовании кругов Эйлера. Круг Эйлера или диаграмма Эйлера - геометрическая схема, наглядного представления материала с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами.

Задачи на переливание.

Решение задачи 1.

Оформлять решение задач на переливание удобно в виде таблицы. В начале таблицы отметим начальное состояние – банка и кастрюля пустые.

Заполняем кастрюлю - в ней 4 литра воды. Переливаем 4 литра в банку. После этого опять наполняем кастрюлю водой . Доливаем 1 литр в банку из кастрюли . После этого кастрюля заполнена 3 литрами воды . Задание выполнено.

Ответ: число переливаний 4.

Решение задачи 2.

Воспользуемся таблицей для конструирования процесса.

8 литровая банка заполнена. Банки на 5 и 3 литра пусты.

Из 8 л банки выливаем 5л в 5литровую банку. А из 5л выливаем 3л в 3литровую

банку. Переливаем 3л в 8литровую банку (там стало 6л). Переливаем 2л из 5литровой банки в 3литровую. Переливаем 5л из 8литровой банки в 5литровую (в 8литровой остался 1л). Доливаем 1 литр в 3литровую из 5литровой банки (в 5литровой осталось 4л). Переливаем 3литра (из 3литровой банки) в 8литровую банку. Задание выполнено.

Ответ: число переливаний 7.

Решение задачи 3.

Из 10литрового бидона 7 л переливаем в 7литровый. А из него 3 литра в 3литровый. 3л из 3литрового добавляем в 10литровый. Из 7литрового 3 л переливаем в 3литровый. Эти 3 л добавляем в 10литровый бидон. 1л из 7литрового переливаем в 3литровый. Наливаем полный 7литровый бидон из 10литрового. Из 7литрового отливаем 2л в 3литровый. В 7литровом бидоне 5л молока. Задание выполнено.

Ответ: число переливаний 8.

При решении логических задач этого типа удобно применять метод построения таблицы.

Задачи на взвешивание.

Решение задачи 1.

Берём 2 любых кольца (третье остаётся на столе) и кладём каждое на чашу весов.

Составим дерево вариантов.

Решение задачи 2.

Берем две монеты и ставим на весы:

1) Если весы равновесны, то обе монеты настоящие. Одну снимаем. На ее место кладем любую из оставшихся. Если весы остались в равновесии, то фальшивая та, которая еще не взвешивалась. Если же весы потеряли равновесие, то фальшивая та, которая была положена на весы вместо снятой.

2) Если весы не равновесны, то снимаем любую монету, кладем на ее место одну из оставшихся (которые, по понятным причинам являются настоящими), и смотрим. Если положение чаш не изменилось, то нетронутая монета фальшивая, если же изменилось, и весы пришли в равновесие, то снятая монета фальшивая.

Составим дерево вариантов .

Ответ: 2 взвешивания.

Решение задачи 3.

Необходимо разделить 24 гири на 3 равных группы по 8 гирь в каждой. Теперь при помощи взвешивания на чашечных весах сравниваем вес двух первых групп гирь.

Составим дерево вариантов .

Ответ: 3 взвешивания.

Такие задачи чаще всего решают методом блок - схем или  методом составления дерева вариантов.

Задачи, решаемые с конца.

Решение задачи 1.

Выполняются действия в обратном порядке –

(17 + 16) : 3 = 11

Ответ: 11 лет.

Решение задачи 2

Так как после третьего перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него было 24 рубля, а до перехода третьего моста – 12 рублей. Тогда после перехода второго моста у бездельника было 12 + 24 = 36 (рублей), а до перехода второго моста – 36 : 2 = 18 (рублей). Рассуждая аналогично, получим, что после перехода первого моста у бездельника стало 18 + 24 = 42 (рубля), а перед переходом первого моста – 42 : 2 = 21 (рубль). Таким образом, у бездельника сначала был 21 рубль.

Данные можно сформировать в виде таблицы.

Ответ: 21 рубль.

Решение задачи 3.

(((1+1)*2 + 1)*2 + 1)*2 = 22 (ябл.) – должен взять из сада крестьянин, чтобы в

результате «уплаты налога» у него осталось 1 яблоко.

Ответ: 22 яблока.

Решение задач данного типа упрощается благодаря внесению данных в таблицу.

Задачи типа «Кто есть кто?»

Решение задачи 1.

Вова учится в 4 классе, а младшие братья берут пример с Пети, значит Петя учится в 3 классе, Юра помогает решать задачи брату, значит он учится во 2 классе, следовательно в 1 классе учится Коля.

Ответ: Вова учится в 4 классе, Петя в 3 классе, Юра во втором классе, а Коля в 1 классе.

Решение задачи 2.

В детский сад ходит ребенок, которому 5 лет. По условию задачи — это девочка.

Следовательно — это не Юра.

По условию Таня старше, чем Юра.

Следовательно, Юра — не самый старший ребенок, а значит, ему не 15 лет.

Рассмотрим всевозможные суммы из чисел 5, 8, 13 и 15.

На 3 делятся только две из них: 18 = 5 + 13 и 21 = 8 + 13.

Так как сумма лет Тани и Светы делится на 3, то одной из этих девочек обязательно 13 лет (число 3 входит в
каждую из двух возможных сумм).

Следовательно, Юре не 13 лет; значит, ему 8 лет.

Из того, что Таня старше, чем Юра, следует, что Тане 13 лет, Свете 5 лет.

Следовательно: Свете 5 лет, Юре 8 лет, Тане 13 лет, Лене 15 лет.

Ответ: Свете - 5 лет, Юре - 8 лет, Тане - 13 лет, Лене - 15 лет.

Решение задачи 3.

Заполняем начальную таблицу.

По ходу рассуждений будем заполнять таблицу. Тот, кто живёт в деревянном доме, выращивает ромашки. Наф-Наф не живёт в деревянном доме, поэтому ромашки не выращивает (заношу «-« в таблицу). Если Наф-Наф не выращивает ни тьльпаны, ни ромашки, значит, его цветы – розы (+). Тот, кто живёт в соломенном доме, не выращивает розы. А Наф-Наф выращивает розы, значит, он живёт не в соломенном (и не в деревянном), то есть - в кирпичном.

Так как Наф-Наф и Ниф-Ниф в соломенном доме не живут, тогда он принадлежит Нуф-Нуфу, а деревянный – Ниф-Нифу. Тогда житель деревянного домика Ниф-Ниф выращивает ромашки, тюльпаны достаются Нуф-Нуфу.

Ответ: Наф-Наф живёт в кирпичном доме, выращивает розы. Ниф-Ниф – в деревянном доме, выращивает ромашки. Нуф-Нуф – в соломенном доме с тюльпанами.

При решении логических задач этого типа применяется метод построения таблиц, граф или использование логических рассуждений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Существует мнение, что человек может правильно мыслить и не зная точных правил и законов логики, пользуясь ими лишь на интуитивном уровне. Так например встречаются музыканты, которые играют на каком-либо музыкальном инструменте, не зная музыкальной (в частности, нотной) грамоты. Но такие музыканты ограничены в своем творчестве: они не могут ни исполнить произведение, записанные с помощью нот, ни записать сочиненную ими мелодию. Так и в математике, интуиции и математических задатков не достаточно.

Логическое мышление не является врожденным, поэтому его можно и нужно развивать различными способами (методами). Систематическое изучение науки логики – один из наиболее эффективных способов развития логического абстрактного мышления. Одним из приемом развития мышления является решение логических задач. Человек, овладевший логикой, мыслит более четко, его аргументация убедительнее, чем у того, кто логики не знает. Он гораздо реже совершает ошибки, заблуждается.

В проекте нами были рассмотрены некоторые типы логических задач и изучены подходы в их решении. В процессе работы над проектом мною был отобран массив задач для кружка «Занимательная математика» для учащихся 5 класса, а так же создана презентация. Полученный опыт позволит мне более успешно и рационально решать логические задачи.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТУРАТУРЫ

1. Андреева А.В. Нескучная математика для детей от 10 лет. – М.: BHV, 2018. – 160 с.

2. Екимова М. А., Кукин Г. П. Задачи на разрезание. – М.: Издательство: МЦНМО, 2002. – 201 с.

3. Красс Э. Ю., Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике в 5-6 классах. – М.: ИЛЕКСА, 2019. – 64 с.

4. Перельман Я. А. Головоломки и весёлые задачи. Развиваем логику. – М.: Издательство «Малыш», 2018. – 64 с.

5. Петерсон Л. Г. Математика. 4 класс./Л. Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2016 – 96с.

6. Спивак А. В. Тысяча и одна задача по математике. 5 – 7 классы. – М. : Просвещение, 2018.- 207 с.

7. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Линия УМК И. Ф. Шарыгина. Наглядная Геометрия. 5-6 кл. – М. : Дрофа, 2018. – 192 с.

8. Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Задачи на смекалку. 5-6 классы. - М.: ИЛЕКСА, 2013. – 245 с.