XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Задача одна - решения разные

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Волкова А.А. 1

---

1МБОУ " Сар - Майданская СОШ"

Волкова С.Н. 1

---

1МБОУ "Сар - Майданская СОШ"

Работа в формате PDF

553.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Пойя Д.

Актуальность темы.

Умение решать текстовые задачи является высшим этапом в познании математики. С помощью текстовой задачи формируются важные умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата и, наконец, развитием речи обучающегося. Ведь в ходе решения текстовой задачи формируется умение переводить её условие на математический язык уравнений, неравенств, их систем, графических образов, т.е. составлять математическую модель. Решение задач способствует развитию логического и образного мышления, повышает эффективность обучения математики и смежным дисциплинам.

В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси, растворы и сплавы. Эти задачи включены в кодификаторы ОГЭ и ЕГЭ и по химии, и по математике, причем в структуре экзаменационной работы считаются  заданиями повышенного уровня сложности. Некоторые учащиеся, увидев задачу на смеси, сплавы и растворы, сразу отказываются их решать. Их можно понять: темы 9-11 класса далеки от этих задач. В учебниках их мало, а в вариантах экзаменов они есть.

Задачи на смеси, сплавы и растворы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Задач мало, а вся «теория» разбросана по учебникам математики 5-6 классов. Никаких подсказок и системных приемов в учебниках не описывается. Одни примеры решенных задач и готовые тексты с пояснениями к составленным уравнениям. Поэтому на сегодняшний день тема решений «химических» задач различными способами является актуальной.

Цель: найти и изучить различные способы решения задач на смеси, сплавы, растворы.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

- изучить литературу по теме исследования;

- провести анкетирование обучающихся 9 - 11-х классов;

- рассмотреть различные способы решения задач на проценты, включая традиционные и нетрадиционные методы;

- выделить основные особенности и преимущества каждого из методов;

-рассмотреть решение одной задачи несколькими методами;

Объект исследования: математика

Предмет исследования: задачи «на смеси, сплавы, растворы»

Глава 1. Теоретические основы решения задач

Проведя опрос среди учащихся 9-11 классов, я получила следующие результаты, из которых видно, что многие опрошенные испытывают затруднения или в обще не умеют решать задачи на смеси, сплавы и растворы.

Для начала необходимо разобрать теоретические основы, определения, допущения при решении задач на смеси, сплавы, растворы.

В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси, растворы и сплавы, называемые еще задачами на процентное содержание или концентрацию. Концентрацией называется величина, равная отношению массы (объема) вещества, входящего в смесь к массе (объему) смеси.  Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах (например 20%, или 0,2).

При решении задач о смесях, сплавах, растворах используют следующие допущения:

все полученные смеси, сплавы, растворы считаются однородными;

не делается различия между литром как мерой вместимости сосуда и литром как мерой количества жидкости (или газа);

смешивание различных растворов происходит мгновенно;

объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;

объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.

Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:

Изучить условия задачи;

Выбрать неизвестную величину (обозначить ее буквой);

определить все взаимосвязи между данными величинами;

Составить математическую модель задачи (выбрать способ решения задачи, составить пропорцию или уравнение относительно неизвестной величины) и решить ее;

провести анализ результата.

Глава 2. Типы задач «на смеси сплавы, растворы».

Способы их решения.

Существуют следующие способы решения задач:

с помощью формулы;

с помощью таблиц;

с помощью схемы;

старинным арифметическим способом;

алгебраическим способом;

с помощью графика;

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

1.Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m₁ и m₂ и с концентрациями в них некоторого вещества. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию.

2.Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

Решение задач с помощью расчетной формулы

, где

P – процентное содержание вещества

m - масса вещества.

Задача 1.

В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора.

Решение.

Ответ: 12,5 %.

Задача 2.

Сколько грамм 10%- процентного раствора соли надо добавить к 300

граммам 30%- процентного раствора этой же соли, чтобы получить 14%-

процентный раствор?

Решение.

Р = 0,14, Р₁ = 0,1, m₁ = х, Р₂ = 0,3, m₂ = 300

14х + 4200 = 10х + 9000

4х = 4800

х = 1200.

Ответ: 1200 г.

Решение задач с помощью таблицы.

Обратим внимание на семь критериев полноценности решения задачи,

сформулированных В. М. Брадисом: безошибочность, обоснованность, исчерпывающий характер, простота, ясность пути, приведшего к решению задачи, рациональность записи, завершающее обобщение решения.

При решении задач удобно составлять следующую таблицу, которая помогает зрительно воспринимать задачу.

Задача .В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?

Решение.

Сначала составим таблицу, в которой напишем массу руды, массу железа, концентрацию (долю железа в рудеапишем массу руды, массу железа, концентрацию () руде?

нем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20) до и после удаления примесей.

Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна .

Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна .

По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5. Составим уравнение:

Найдём, что 212,5 кг – масса железа в руде.

Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:

212,5-25=187,5 (кг)

Ответ: 187,5 кг.

Решение задач с помощью схемы.

Одним из универсальных методов является метод прямоугольников. Данный способ удобен, так как зрительное восприятие данных, расположенных в определенном задуманном порядке, позволяет компактно представить процессы соединения растворов, упростить составление уравнения, а также облегчить процесс как решения, так и проверки задачи. Наиболее распространены задачи, в которых из двух смесей (растворов или сплавов) получается новая смесь (раствор или сплав).

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача . Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800г сплава, содержащего 75% меди?

Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента по количеству входящих элементов. Кроме того на модели отобразим характер операции – сплавление. Для этого между первым и вторым прямоугольниками поставим знак «+», а между вторым и третьим прямоугольниками поставим знак «=». Этим мы показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Теперь заполним получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи.

Над каждым прямоугольником укажем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.

Внутри прямоугольников впишем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго равно разности 100% и процентного содержания первого.

Под прямоугольником запишем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).

Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели-схемы:

Решение.

Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (800 – х) г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):  .

Решив это уравнение, получаем   При этом значении х выражение . Это означает, что первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.

Ответ:500 г, 300 г.

Старинный метод решения задач или «метод креста».

Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого. Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ

«Правилом креста» называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя растворами.

Задача. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

Алгебраический способ.

Самый распространенный в школе метод решения задач на смеси, растворы и сплавы с помощью составления уравнения или системы уравнений. Для успешного решения необходимы знания по их решению. Алгебраический способ самый универсальный. С его помощью можно решить любую задачу на смеси и сплавы.

Задача. Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. На сколь­ко ­грам­мов масса пер­во­го рас­тво­ра мень­ше массы вто­ро­го?

Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x).

Составим уравнение:

0,3x + 0,1* (600 - x) = 600 * 0,15

0,3х + 60 - 0,1х = 90

0,2х = 30

x = 150 ( г.) масса 1 раствора

600 - 150 = 450 (г.) масса 2 раствора

450-150 = 300 (г.)

Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2

Задача 2. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800г сплава, содержащего 75% меди?

Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов

Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными: 

Решение системы приводит к результату:  Значит, первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.

Ответ:500 г, 300 г.

Графический способ.

Задача 1. Рассчитайте массы растворённого вещества и растворителя, которые необходимо взять для приготовления 150 г 20%-ного раствора.

Решение задачи начинаем с построения системы координат. Конечно, удобнее использовать специальную миллиметровую бумагу, но и обычный тетрадный лист в клетку позволяет получить ответ с достаточной точностью. На оси х откладываем массу раствора 150 г, на оси у — 100% (рис. 1). Строя перпендикуляры из этих точек, находим точку их пересечения. Соединяем её прямой линией с точкой начала координат. Полученный отрезок является основой для решения задачи.

Затем на оси у находим точку, соответствующую 20%, восстанавливаем из неё перпендикуляр до пересечения с отрезком, а из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось х. Это ответ задачи. О т в е т: 30 г.

Глава 3. Решение задач

Задача : Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Первый способ решения.

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.

Ответ:140г. 60г.

Второй способ решения.

Полученная схема имеет следующий вид:

Решение.

П усть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.

Ответ:140г. 60г.

Ответ: 140 г меди и 60 г свинца

Третий способ решения.

Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:

Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:

Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.

Ответ: 140г,60г.

Четвертый способ решения.

1 5% (200- Х) (65-30)%

30%

6 5% (Х ) (30-15)%

(200- Х):Х=(65-30): (30-15)

600 - 3х=7х

х = 60

200-60=140

Ответ: 140г,60г.

Заключение.

В ходе рассмотрения способов решения задач на смеси, сплавы, растворымы увидели красоту, сложность и притягательность данных способов. Конечно, рассмотренные способы решения позволяют разнообразить деятельность учащихся, сделать её более интересной. Каждый ученик может выбрать тот метод решения, который ему наиболее понятен, что повышает эффективность образовательного процесса. При этом практически было доказано, что использование различных методов решения задач на смеси, сплавы, растворыприводит не только к повышению интереса к математике, но и повышению творческой активности обучающихся, и повышению уверенности в собственных силах, так как у учеников имеется возможность выбора того способа решения, который наиболее эффективен в каждом конкретном случае.

Таким образом, данная работа имеет практическое значение, так как может служить пособием при подготовке к государственной итоговой аттестации.

Список литературы:

Водингар, М.И. Решение задач на смеси, растворы, сплавы / М. И. Водингар, Г. А. Лайкова. – Математика в школе. - 2001. - №4./

Городнова О.А. Статья «Учимся решать задачи на «смеси и сплавы»,

газета «Математика»№36 за 2004 г.

Дмитрий Гущин. Математика. ЕГЭ – 2013: экспресс-курс для подготовки к экзамену. Учительская газета. Издательский дом «Комсомольская правда». Москва. 2013

Задачи на смеси, растворы и сплавы / Библиотека «Первое сентября». – 2009. - №31/

Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы. - М.:Чистые пруды, 2010-(Библиотечка «Первого сентября». Серия «Математика». Вып.31)

6.Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам.

7.www.mathege.ru

8. www.fipi.ru

9. www.festival.1september.ru

10. http://www.shevkin.ru/