XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Недетские раскраски
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Математические знания мы применяем не только на уроках математики, но и в повседневной жизни. Мне повезло, что математика мне очень нравится. Математика требует большого труда, ибо ее нельзя изучить, только наблюдая за тем, как это делают другие.
«Предмет математики настолько серьезен, что полезно, не упустить случая, сделать его более занимательным» /Блез Паскаль/.
Говорят, что в каждом из нас живет художник. Только не все могут нарисовать картину самостоятельно, но раскрасить уже готовые очертания не так уж и сложно. Раскрашивать рисунки любят не только дети, но и взрослые. Среди моих одноклассников сейчас очень популярны раскраски – антистресс, раскраски – граффити, картины по номерам. И, казалось бы, какое отношение имеет это незатейливое увлечение к математике?
На математических олимпиадах встречаются различные задачи, в которых заданы условия для изменения исходного объекта и спрашивается, можно ли в данных условиях получить другое состояние объекта? Например, обойти шахматным слоном доску и вернуться на определенную клетку, или разрезать фигуру на заданные части. В таких случаях красивое и лаконичное решение можно получить, используя метод раскрасок.
С подобной задачей я столкнулась на олимпиаде по математике, перебирала различные варианты, но так и не нашла решения. Занявшись поиском решения этой задачи, я открыла для себя раскраски в математике. И решила изучить эту тему более подробнее.
Актуальность темы заключается в том, что благодаря применению метода раскрасок открывается широкая возможность использования оригинальных, но в тоже время очень простых и наглядных способов решения задач олимпиадного и занимательного уровня, что будет способствовать развитию логического и пространственного мышления.
Цель работы – анализ применения раскрасок для решения математических задач.
Задачи проекта:
Изучить где в науке и жизни применяются раскраски;
Познакомиться с различными видами раскрасок;
Овладеть методом раскрасок путем решения задач;
Подготовить материалы и провести игру «Раскрась и реши» среди одноклассников.
Гипотеза исследования: я предполагаю, что применение метода раскрасок для решения нестандартных и олимпиадных задач за счет наглядности и оригинальности позволит значительно упростить их решение и сделать процесс более интересным.
Объект исследования – раскраски.
Предмет исследования – условия и возможности применения раскрасок для решения задач.
Практическая значимость данной работы заключается в том, что проведенные исследования будут способствовать развитию умений решать нестандартные задачи и формированию интереса у учащихся к математике.
Методы исследования: изучение литературы, обобщение, анализ и систематизация, практическое применение раскрасок для решения математических задач.
ГЛАВА 1. ЧТО ТАКОЕ РАСКРАСКИ И ИХ ВИДЫ.
Раскраски в науке и жизни.
Изучив литературу и доступные источники, я узнала, что раскраски – это не только любимое занятие детей, но и многих взрослых. Использование цвета помогает как математикам, так и специалистам в разных прикладных сферах.
Широко известна задача в математике, как «проблема четырех красок» суть которой заключается в том, чтобы доказать, что для раскраски любой карты так, чтобы никакие две граничащие области не оказались окрашены одинаково, достаточно всего четырех цветов. Считается, что впервые проблему четырех красок сформулировал в 1852 году шотландский студент Френсис Гутри. И с тех пор многие математики тщетно пытались ее разрешить, пока не были представлены простые доказательства с помощью программного обеспечения.
Раскраски широко применяются в различных областях науки и в повседневной жизни.
Раскраски помогают специалистам сотовой связи в организации зоны покрытий. Для устойчивого сигнала необходимо строго разделять диапазоны между соседними базовыми станциями. Пусть каждому диапазону частот соответствует свой цвет. И тут задача сводится к замощению плоскости шестиугольниками, разукрашенными минимальным количеством цветов (Приложение 1).
Метод раскрасок совместно с теорией графов применяется в автоматизированном составлении расписания. Это могут быть учебные занятия, работа и прием специалистов в учреждении и т.п. При этом строится граф, вершины которого, например, учебные занятия. В случае, если занятия невозможно провести одновременно (занят класс, спортивный зал, преподаватель), вершины соединяют ребрами. Граф раскрашивают таким образом, чтобы каждая пара соседних вершин была окрашена в разные цвета, а общее количество использованных красок должно быть минимальным. С таким перебором легко справляются современные программы, и на выходе получается готовое расписание. Я составила примерное расписание нашего класса с помощью раскрасок (Приложение 1).
Даже при составлении таблиц для известной игры «судоку» можно использовать метод раскрасок. Клетки таблицы принимают за вершины графа, ребрами соединяют те вершины, которые расположены в одной горизонтали, вертикали и угловом модуле. Затем вершины графа красят так, чтобы каждые две соседние были разного цвета. Для таблицы 4*4 достаточно 4 красок, для 9*9- соответственно 9 красок. Далее остается только расставить необходимое для решения задачи количество цифр.
В картографии.Раскрашивать карты необходимо так, чтобы две граничащие друг с другом области не оказались раскрашенными в один цвет. Я раскрасила карту районов Санкт Петербурга и для этого достаточно всего четыре цвета (Приложение 1).
Виды раскрасок
Раскрасок, применяемых при решении задач очень много. Какую выбрать – зависит от конкретной задачи, свойств объектов и творческого подхода школьника.
«Шахматные» раскраски
Самая широко используемая раскраска, помогает при решении большого количества задач, связанных с обходом какой-либо конструкции. Позволяет применять идеи чередования:
Если объекты двух видов чередуются, то количество объектов одного вида отличается от количества другого вида не более, чем на 1.
Если процесс (путь) начинается и заканчивается на одном и том же объекте, или начало и конец – объекты разного вида, то количество объектов каждого вида одинаковое, а число шагов четное.
«Диагональ» раскраска
«Зебра»
«Решетка»
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАСКРАСОК
2.1. Какие задачи решают методом раскрасок.
Решение задач методом раскрасок так или иначе связано с графическим представлением условия, рассуждений и выводов. Для лучшего понимания этой темы необходимы наглядные средства – иллюстрации, схемы, рисунки.
Суть самого метода состоит в том, что, раскрасив некоторые ключевые элементы, которые фигурируют в задаче в несколько цветов, исследовать, что будет происходить, если выполнить условия задачи. Присваивая объектам различные цвета можно получить дополнительные количественные характеристики, которые позволят упростить понимание задачи и зачастую приводят к четкому, лаконичному решению.
Многие задачи повышенного уровня сложности так или иначе связаны с раскрасками. Для своего проекта я выделила следующие виды задач:
Задачи, связанные с обходом заданной фигуры.
Задачи на замощение/разрезание.
Разные (сюжетные) задачи.
Задачи на обход заданной фигуры:
Очень популярны задачи на шахматной доске, в которых используются как свойства шахматной раскраски, так и особенности «ходов» шахматных фигур.
Задача1. В прямоугольном доме (рис.1) ABCD 40 комнат и между двумя соседними комнатами – дверь. Можно ли пройти из А в B так, чтобы через каждую комнату проходить ровно один раз?
|
B |
C |
||||||
|
A |
D |
Рис.1
Большинство школьников пытаются решить эту задачу рисуя всевозможные пути обхода дома.
Идеи решения: 1.раскрасим таблицу в шахматном порядке, тогда общее количество клеток можно рассматривать как совокупность белых и черных, 2. При каждом шаге цвет комнаты меняется на противоположный.
|
B |
C |
||||||
|
A |
D |
Рис.2
Решение: вспомним про чередование, каждый переход из комнаты в комнату меняет цвет клетки. Всего четное количество комнат, значит из белой клетки А мы должны перейти в черную клетку В, но это противоречит раскраске. Значит в таких условиях переход из А в В невозможен.
Задача 2. Можно ли шахматным конем обойти доску 5*5, побывав в каждой клетке ровно по одному разу, и вернуться в начальную клетку?
Идеи решения: 1. Раскрасить доску в шахматном порядке; 2. Конь при каждом ходе меняет цвет клетки.
Задачи на замощение/разрезание
Второй вид задач – это различные разрезания или замощения. Не существует универсального метода решения подобных задач, и каждый, кто берется за них, может в полной мере проявить свои интуицию, смекалку и творческий подход. Во многих случаях именно раскрашивание дает дополнительные условия, которые помогут найти способ решить задачу или доказать невозможность такого решения.
Задача 3. Можно ли выложить квадрат 8*8 используя 32 прямоугольника 2*1, чтобы 17 из них располагались горизонтально, а 15 вертикально.
Идеи решения: воспользуемся раскраской «зебра», раскрасить квадрат, вертикально чередуя черный и белый цвет.
Решение: Каждый горизонтальный прямоугольник закроет одну черную клетку – всего 17 клеток. Но вертикальные фигурки должны закрывать четное число клеток одного цвета – две черные или две белые. А осталось 15 черных. Получили противоречие – значит выложить прямоугольник таким образом нельзя.
Задача 4. Из доски 8*8 вырезали угловую клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на прямоугольник 3*1?
Идеи решения:Раскрасим поле диагонально в 3 цвета.
Разные задачи
К этой условной группе я отнесла задачи, не связанные с обходом фигур или разрезание/замощение. Это всевозможные задания на построение раскраски по заданным условиям или на раскрашивание фигур, задачи об изменении положения объектов, численные задачи и т.п.
Задача 5. Каждой клетке 5*5 сидели бабочки. Вдруг испугавшись громкого звука, они перелетели на соседние по стороне клетки. Обязательно ли осталась одна клетка свободной?
Идеи решения:1. Раскрасим доску с бабочками в шахматном порядке; 2. Каждая бабочка перелает на клетку противоположного цвета.
Решение: Всего на доске 13 черных и 12 белых клеток. Значит для одной из бабочек перелетающих с черных клеток – белой клетки не достанется . А одна черная клетка обязательно останется свободной.
2.2 Игра «Раскрась и реши»
Метод раскрасок - один из способов решения олимпиадных задач, который не рассматривается в школьном курсе математики. И на занятиях математического кружка я предложила поиграть в очень интересную игру. Для нее нужны: лист бумаги и карандаши четырех цветов. Первый игрок рисует замкнутую область. Далее игроки по очереди закрашивают область таким образом, чтобы она отличалась по цвету от граничащих с ней областей, и дорисовывают к ней новую. И так далее – каждый игрок раскрашивает область соперника и добавляет свою. Игра заканчивается тогда, когда-кто- то из игроков не сможет сделать ход, т.е. раскрасить новую область одним из четырех цветов и вынужден будет взять пятую краску (Приложение2). Несмотря на видимую простоту, продумать выигрышную стратегию для данной игры нелегко.
А также я предложила своим одноклассникам другие задачи, которые решаются методом раскрасок. Наглядно можно посмотреть в Приложение 3.
Ребята с интересом решали задачи и задавали много вопросов. Мы отработали навыки решения нестандартных и олимпиадных задач методом раскраски, разобрались где нужно применять какой вид раскраски. По результатам решения задач я поняла, что тема раскрасок оказалась новой и сложной, но интересной и полезной и большинству очень понравилось решать такие задачи.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изучив различные источники информации, я выяснила, что такое раскраски и где они применяются в науке и жизни. Изучила какие виды бывают раскрасок, исследовала как можно применить раскраски к решению задач повышенной сложности, какие задачи решаются с помощью метода раскрасок.
Проведенные исследования помогли убедиться в правильности выдвинутой гипотезы: применение раскрасок для решения задач за счет наглядности и оригинальности позволило значительно упростить их решение.
В процессе решения задач на раскраску я пришла к следующему выводу: чтобы придумать раскраску, которую нужно применить к той или иной задаче, необходимо иметь развитое воображение, опыт решения подобных задач и знание основных математических фактов. И тогда раскраски помогут перевести нестандартную, творческую задачу в разряд технических, с понятным и несложным алгоритмом решения.
Метод раскрасок позволяет успешно справляться с решением многих олимпиадных задач, развивает логическое и пространственной мышление, расширяет математический кругозор. Я считаю, что моя работа поможет вызвать интерес к математической науке, покажет ее красоту и раздвинет рамки школьного курса.
Список используемых источников и литературы:
Баранов В.Н., Баранова О.В. Экстремальные задачи в дискретной математике. Метод раскраски: учебное пособие. – Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет, 2015 -56с.
Бегун А.П., Трошин К.Л. Математика которая нам нравится: пособие для преподавания олимпиадной математики. Центр олимпиадной математики, физики и программирования РАЗ-ДВА_ТРИ!.-Санкт-Петербург: РАЗ-ДВА-ТРИ!, 2020.-192с.
Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание.-М.:МЦНМО,2002-120с.
Зимин С.Н.Составление учебного расписания, используя теорию графов // Современный наукоемкие технологии.-2007. - №11. – с.89-90./URL: https://top-technologies.ru/ru/article/view?id=25634 (дата обращения: 31.10.2021).
Кузнецов Д. О методе раскраски на примере одной задачи /Квант №15-2003 с 25-27.
Раскраска //Википедия. Свободная энциклопедия / URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Раскраска (дата обращения:31.10.2021).
Приложение 1
Примеры практического применения раскрасок
Город Санкт Петербурга состоит из 18 городских округов. Для правильной раскраски оказалось достаточно 4 цветов.
Распределение диапазонов частот между базовыми вышками при организации сотовой связи.
Приложение 1
Пример составления расписания
|
Класс 3.7 |
Класс3.2 |
Условные сокращения |
|
|
Математика |
Бик А.Ф. |
Грибанова Е.А. |
М3.7, М3,2 |
|
Музыка |
Ширяева А.П. |
Ширяева А.П |
Муз.3.7, Муз.3.2 |
|
Русский яз. |
Бик А.Ф. |
Грибанова Е.А. |
Р.3.7, Р3.2 |
|
Физкульт. |
Перегудин А.И. |
Перегудин А.И. |
Ф.3.7, Ф3.2 |
Приложение 2
Игра «Раскрась 4 цветами»
Приложение 3
Задача №1
Раскрасьте цветы королевского цветника четырьмя красками так, чтобы цвет не повторялся в каждом горизонтальном, вертикальном рядах и в квадратах 2*2, примыкающих к углам.
Решение:
Приложение 3
Задача №2
Раскрасьте клетки доски 5*5 в два цвета так , чтобы любые две соседние по вертикали клетки были одного цвета, а любые две соседние по горизонтали клетки разных цветов.
Приложение 3
Задача №3
Раскрасьте рисунок в минимальное количество цветов так, чтобы соседние части были покрашены в разные цвета.
Приложение 3
Задача №4
Заполните таблицу 6*6 числами так, чтобы сумма чисел во всей таблице была четной, а в каждом прямоугольнике1*4 нечетной.
Решение:
Приложение 3
Задача №5
Какое минимальное количество красок необходимо для раскраски карты Санкт Петербурга?
Приложение 3
Решение: