XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Логические задачи как средство развития математического мышления

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Хованова Ю.С. 1

---

1МАОУ "СОШ №12"

Морозова Л.Н. 1

---

1МАОУ "СОШ №12"

Работа в формате PDF

184.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Для своей научно-исследовательской работы я не случайно выбрала данную тему. Логические задачи – один из самых эффективных инструментов для развития мышления и логики у детей и взрослых.

Решение задачи на логику предполагает сложный мыслительный процесс. Это последовательное выполнение определённых логических действий, использование различных логических конструкций, построение цепочки точных рассуждений с правильными промежуточными и итоговыми умозаключениями.

Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Особое место логике уделено в математике. Задачи, решение которых развивает логику, способствуют успешному изучению предмета.

Актуальность и практическая значимость: уже давно игры и задачи на мышление и логику применяются в педагогике с целью обучения: разрабатываются уроки и учебные схемы, основанные на развитии полезных навыков. Но и сейчас этот способ развития пользуется популярностью. Их достоинствами является доступность, наглядность, полезность и заинтересованность людей различных возрастов. Таким образом, актуальность выбранной темы заключается в необходимости решения логических задач на уроках математики, применении их в жизни. Они имеют социальную значимость, помогают разобраться в новых веяниях жизни.

Проблема: логические задачи являются отличной образовательной стратегией, которая помогает стимулировать обучение. Каково же влияние этих задач? Возможно, ли с их помощью повысить практический результат обучения на уроках математики?

Объектом изучения является влияние логических игр и задач на освоение математических заданий.

Предметом изучения являются ученики школьного возраста.

Цель: Исследовать влияние различных логических задач на детей школьного возраста и изучить их виды, методы решения.

Задачи:

ознакомиться с теорией: понятия «логика» и «математическая логика»;

изучить типы и методы решения логических задач;

провести эксперимент с учениками школы;

анализ полученных результатов.

Гипотеза: логические задачи оказывают положительное влияние на учебный процесс, помогают при решении олимпиадных заданий и позволяют развивать мышление.

ГЛАВА I. Теоретический аспект логических задач

1.1 История происхождения логики

Итак, логика - одна из древнейших наук. Отдельные истоки логического учения можно обнаружить в Индии, в конце II тысячелетия до н. э. Основоположником логики является древнегреческий философ и ученый Аристотель. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях из одних утверждений выводятся другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их структурами, формами.

1.2 Понятия логика и математическая логика

Логика — раздел философии, нормативная наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых на логическом языке.

Математическая логика — раздел математики, изучающий математические обозначения, формальные системы, доказуемость математических суждений, природу математического доказательства в целом, вычислимость и прочие аспекты оснований математики.

1.3 Методы решения логических задач

Метод рассуждений: самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задач, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос.

Пример: Вадим, Сережа и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сережа не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение: Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, из-за чего первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то и первое и третье должны быть ложны. При этом получается - никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение также ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сережа.

Ответ: Сережа изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Метод таблиц истинности: основной прием, который используется при решении текстовых логических задач - построение таблиц. Таблицы позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ и в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

Пример: Игорь, Петр и Саша ловили рыб. Каждый из них поймал либо ершей, либо пескарей, либо окуней. Кто из них каких поймал рыб, если известно:

1) колючие плавники есть у окуней и ершей, а у пескарей - нет;

2) Игорь не поймал ни одной рыбы с колючими плавниками;

3) Петр поймал на 2 окуня больше, чем поймал рыб Игорь.

Решение: 

Ответ: Игорь поймал пескарей, Петр поймал окуней, а Саша - Ершей.

Метод блок-схем: это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач подобного класса состоит в переборе возможных вариантов.

Более систематический подход к решению задач "на переливание" в использовании блок-схем. Сначала выделяются операции, которые позволяют точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом сосуде.

Пример: есть 8 литровый сосуд, полный воды. Как отлить 4 литра, если есть пустые емкости объемом 3 и 5 литров? 

Решение:

Графический метод решения логических задач («дерево логических условий»): слово «граф» в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены. Точки называются вершинами графа, а линии рёбрами.

Графический метод решения логических задач предназначен для наглядного представления информации в форме графов.

Пример: пятеро учёных, участвовавших в научной конференции, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Решение: Обозначим ученых вершинами графа и проведем от каждой вершины линии к четырем другим вершинам. Получаем 10 линий, которые и будут считаться рукопожатиями

Ответ: было сделано 10 рукопожатий.

Метод кругов Эйлера: круги Эйлера — это геометрическая схема. С ее помощью можно изобразить отношения между понятиями, для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач и упрощает рассуждения.

Пример: Все мои друзья занимаются каким-нибудь видом спорта. 17 из них увлекаются футболом, а 14 — волейболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Угадайте, сколько у меня друзей?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два множества, так как два вида спорта. В одном будем фиксировать друзей, которые увлекаются футболом, а в другом — волейболом. Поскольку некоторые из друзей увлекаются и тем и другим видом спорта, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть (пересечение) 17 из них увлекаются футболом, а 14 — волейболом. И только двое увлекаются и тем и другим видом спорта. Расставить числа, согласно условию задачи:

Ответ: 29 друзей

1.4 Типы логических задач

Истинностные задачи: задачи, в которых требуется установить ложность или истинность высказываний - истинностные задачи.

Пример: в трёх коробках лежат ручки, ластики и фломастеры. На первой коробке написано «Ластики», на второй – «Ручки», на третьей – «Ластики или фломастеры», причем содержимое каждой коробки не соответствует надписи. В какой коробке что находится?

Решение: в третьей коробке находятся не ластики и не фломастеры, значит, ручки. В первой коробке – не ластики и не ручки (так как ручки в третьей коробке), значит, фломастеры. Значит, ластики находятся во второй коробке.

Задачи, решаемые с конца:

Пример: я придумал число, затем прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, вычел 6, разделил на число 7 и получил 2. Какое это число?

Решение: Решаем задачу с конца: 
1)2 ∙ 7 = 14 – число до деления на 7. 
2) (14+6): 4 = 5 – число до умножения на 4. 
3) 5 ∙ 3 = 15 – число до деления на 3. 
4) 15 – 5 = 10 – искомое число. 
Ответ: 10.

Задачи на переливание - это задачи, в которых с помощью сосудов требуется отмерить некоторое количество какой-либо жидкости.

Пример: имея сосуд 5 л -отмерить 3 л. Какое наименьшее число переливаний потребуется, чтобы в четырехлитровую кастрюлю с помощью крана и 5-литровой банки налить 3 литра воды?

Решение. Наполняем кастрюлю. Переливаем воду из кастрюли в банку. Наполняем кастрюлю. Полностью заполняем банку, и в кастрюле остается 3 литра.

Задачи на взвешивание — тип олимпиадных математических задач, в которых требуется установить какой-либо факт (выделить фальшивую монету из настоящих, отсортировать набор грузов по убыванию веса) посредством взвешивания на весах.

Пример:

Из набора гирек с массами 1, 2, 3 …, 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на 2 кучки по 50 гирек в каждой, чтобы массы обеих кучек совпали?

Решение. Положим в 1 кучку две гирьки массами 101 г и 1 г, а во 2 — 100 г и 2 г; после чего в 1 две гирьки — 99 г и 3 г, а во 2 — 98 г и 4 г. Так будем действовать, пока не положим во вторую кучку гирьки в 84 г и 18 г. К тому моменту в каждой кучке будет лежать по 18 гирек. Теперь положим в 1 кучку две гирьки массами 83 г и 20 г, а во 2 — 82 г и 21 г. Так будем продолжать, пока во 2 кучку не придется положить последнюю пару гирек массами 52 и 51г.

Задачи «Кто есть кто?»

Пример: в кругу сидят Смирнов, Петров, Марков и Карпов. Их имена: Андрей, Сергей, Василий и Алексей. Известно, что:

• Смирнов не Алексей и не Андрей;

• Сергей сидит между Марковым и Василием;

• Карпов не Сергей и не Алексей;

• Петров сидит между Карповым и Андреем.

Ответ: Андрей Марков, Сергей Смирнов, Василий Карпов, Алексей Петров.

Задачи на пересечение или объединение множеств: тип задач, где требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение по данному условию задачи. 

Пример: некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Один дома», 11 человек – фильм «Титаник». Из них 6 смотрели и «Один дома», и «Титаник». Сколько человек смотрели только фильм «Титаник»?

Решение:6 человек, которые смотрели фильмы «Один дома» и «Титаник», помещаем в пересечение множеств. 15–6=9 – человек, которые смотрели только «Один дома». 11–6=5 – человек, которые смотрели только «Титаник».  Получаем (см. рис.):

Ответ: 5 человек смотрели только «Титаник».

Математические ребусы – загадки разных уровней сложности, которые составлены с использованием каких-либо графических элементов.

Пример: расставьте математические знаки:

Ответ: 9+8-(7+6)-5=0 или 9*8-7-65=0 и т.д.

Задачи о рыцарях и лжецах — разновидность математических задач, где фигурируют персонажи: лжец — человек, всегда говорящий ложь. Рыцарь - человек, говорящий всегда правду. 

Пример: по кругу сидят рыцари и лжецы – всего 12 человек. Каждый из них сделал заявление: «Все кроме меня и моих соседей – лжецы". Сколько лжецов сидит за столом?

Все не могут быть лжецами – все заявления были бы истинными. Значит, есть рыцарь. Все, кроме его 2 соседей – лжецы. Оба соседа не могут быть лжецами – тогда они сказали бы правду; оба не могут быть рыцарями – тогда бы они сказали ложь. Единственная оставшаяся возможность: один сосед — лжец, другой – рыцарь (то есть 2 рыцаря рядом, остальные — лжецы) удовлетворяет условиям задачи.

Ответ: 10 лжецов.

Задачи на выработку стратегии: в данном виде задач предоставляется особая игровая ситуация, в которой предлагается выбрать игрока и доказать возможность проведения определенных действий, которые обязательно приведут к победе.

Пример: двое по очереди ломают шоколадку 5x8. За ход можно разломать любой кусок по прямой линии между дольками. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Долек всегда будет 5x8=40 штук, а шоколадка вначале была одна. Заметим, что на каждом ходу один кусок шоколадки всегда разламывается на 2, т.е. количество различных кусков шоколадки увеличивается на 1. В начале это кол-во было равно 1, а в конце, как мы заметили, 40. Значит, игра продолжалась ровно 39 ходов. Поэтому последний (39-й) ход был обязательно ходом первого (его ходы - первый, третий и все с нечетными номерами) - и первый выиграл.

ГЛАВА II. Практический аспект логических задач

2.1 Применение на практике

На практике подобные виды задач используются повсеместно. Подтверждением может служить Турнир отличников наук "Ньютон", который проходит уже не первый год в городе Сатка. На этом мероприятии предоставляются различные логические задачи для их решения. Например, данные были представлены в секции «Математика»:

Пример 1: в одном из турниров отличников наук приняли участие n команд. Командам были предложены 6 задач. По итогам турнира выяснилось, каждая задача либо не решена, либо по ней команда подготовила частичное решение, либо задача решена полностью. Председатель жюри заметил, что для каждой пары команд количество задач, по которым у этих команд одинаковые продвижения, оказалось ровно 0, либо 2. Найдите наименьшее возможное количество n.

Решение: согласно условию задачи всего существует три схода (либо задача решена полностью, либо по ней есть частичное решение, либо задача не решена полностью) для шести задач. Пусть: х - задача решена; у - по ней есть частичное решение; z - задача не решена полностью.

Рассмотрим различные исходы решения 6 задач

Вывод: согласно условию задачи и проведенному исследованию, наибольшее возможное значение n= 9.

Пример 2: Гарри и Рон нашли волшебную игру: на прямоугольной клетчатой доске в начале игры произвольным образом появляются леденцы так, что на каждой горизонтали и каждой вертикали число леденцов одно и то же и всегда больше единицы. Волшебники поочередно снимают с доски по одному леденцу, начинает Рон. Если образуется пустая горизонталь - выигрывает Рон, если пустая вертикаль - побеждает Гарри. Если в ходе игры одновременно образуется пустая горизонталь и вертикаль, игра заканчивается ничьей. Докажите, что при любой игре Рона, Гарри всегда может победить.

1. Рассмотрим квадрат 2 2.

Рон первым берёт леденец, затем Гарри берёт леденец в той же вертикали, в которой взял Рон. После одинакового числа ходов, вертикаль быстрее будет пустой, чем горизонталь. Таким образом, побеждает Гарри.

2.  На прямоугольной клетчатой доске согласно условию, что на каждой горизонтальной и каждой вертикали число леденцов одно и то же и всегда больше единицы, всегда будет получаться квадрат. Рассмотрим различные варианты расположения леденцов:

Таким образом, приведенные примеры расположения леденцов доказывают, что неважно какой первый ход сделает Рон, т.е. неважно в каком месте он возьмет леденец, Гарри всегда должен взять леденец из той же вертикали, что и Рон. Только таким образом у Гарри получиться всегда на один леденец меньше по вертикали, чем у Рона по горизонтали, после одинакового числа ходов. Исходя из этого, Гарри всегда может победить.

Тип данной задачи – выработка выигрышной стратегии, к которому применяется метод малых задач и блок-схем.

Пример 3: на одном турнире произошла ситуация: все 9 команд, приехавших на этот турнир, играли так хорошо, что выделить из них победителя не вышло. Но находчивый организатор решил дать последнюю задачу и заказал 9 кубков, 8 из которых серебряные, а ещё 1 – платиновый. Внешне кубки совершенно неотличимы, но известно, что кубок из платины тяжелее кубка из серебра. За какое минимальное количество взвешиваний удастся найти кубок из платины?

Решение: 1 случай: Положим на весы №1 по четыре кубка на каждую чашку. Если одна группа кубков перевесила, то мы знаем 4 кубка, среди которых кубок из платины. Эти 4 кубка положим на весы по 2 на каждую чашу, в чаше, которая перевесила, находится кубок из платины. Третьим взвешивание из 2х кубков на точных весах находим кубок из платины.

2 случай: Положили на весы №1 по четыре кубка на каждую чашу, и весы оказались в равновесии. Тогда кубком из платины является оставшийся.

Данная задача на взвешивание решается с помощью метода рассуждений.

2.2 Исследование

Для подтверждения или опровержения поставленной в работе цели мною был проведен опрос среди учащихся 7, 8, 10 и 11 классов (67 человек). Опрос включал в себя 8 логических задач и вопросы с одним или несколькими вариантами ответов. На основании проведенного опроса были выявлены следующие результаты:

Вывод: частота решения логических задач играет важную роль в развитии мышления ученика. Также были проведены расчеты с точки зрения влияния логических задач на учебный процесс, как можно заметить: более 75%

о прошенных отмечают именно положительное влияние логических задач на учебный процесс.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В современном мире практически все профессии требуют владение основными математическими знаниями. Решать логические задачи крайне важно. Выполняя поставленные задачи в моей исследовательской работе, я убедилась, что логические задачи способствуют мыслительному развитию учащихся, оказывают положительное влияние на учебный процесс, помогают в решении олимпиадных заданий, и, как следствие, способствуют развитию сообразительности, самостоятельности, умения преодолевать трудности – качеств, имеющих большое значение в практической деятельности многих людей.

Именно поэтому логика важна для большинства людей. Используя обоснования своих мыслей и взглядов с точки зрения логики, можно убедить в собственной правоте других людей. Именно логикой формируется навык анализа своих и чужих суждений, который позволяет избегать ошибок в умозаключениях, отличать правду от лжи, отделить важное от незначительного.

Логика способствует упорядочиванию нашей жизни, отбрасывая все ненужные второстепенные вещи. Она позволяет экономить время, что очень значительно на сегодняшний день. Также, логика помогает с размахом смотреть на действительность, со всей серьезностью воспринимать окружающий мир и наслаждаться им. Подобные особенности мышления имеют большое значение во многих сферах человеческой деятельности.

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Литература:

Братусь Т.А. Все задачи «Кенгуру». / Братусь Т.А., Жарковская Н.А., Максимов Д.В. – СПб.: Левша, 2017. – 352 с.

Литвинов В.Л. 88 занимательных и олимпиадных задач по математике. Сборник занимательных задач, интересных загадок, головоломок, фокусов и игр. / В.Л. Литвинов. – Самара, 2017. – 43 с.

Кэрролл Л. Логическая игра. – М., 1991.

Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: учебное пособие для 5-6 классов общеобразовательных учреждений / И.Ф. Шарыгин, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 95 с.

Перельман, Я.И. Весёлые задачи.- Москва, 2003г

Генкин, С. А, Итенберг И. В. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. - Киров, 2004г.

Интернет-ресурсы:

https://thequestion.ru/questions/3316/answer-anchor/answer/177338?utm_source=yandex&utm_medium=wizard#answer177338-anchor

https://www.maam.ru/detskijsad/statja-metody-reshenija-logicheskih-zadach.html

https://school-science.ru/3/7/33084

https://fadeev.su/myshlenie/igry-na-logiku-i-myshlenie.html

https://gameslikefinder.ru/polza-logicheskix-igr-v-realnoj-zhizni.html

http://bibliofond.ru

http://tolkslovar.ru

http://www.comprice.ru/articles/detail.php

http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/graf/gr1.htm

http://dic.academic.ru

http://ru.wikipedia.org.