Удивительное открытие Мёбиуса

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Зарипов А.Р. 1

---

1МАОУ "СОШ №7" г.Альметьевск, РТ

Баязитова О.А. 1

---

1МАОУ "СОШ №7" г.Альметьевск, РТ

Работа в формате PDF

1.7 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Все мы любим путешествовать, и я не исключение. Этот год был богат на путешествия, я летал в Турцию, был в Санкт-Петербурге. И вот, стоя в аэропорту и ожидая багаж, я, как и все пассажиры самолета стоял у багажной карусели и задумался, какую форму имеет эта багажная лента. Я думал, что это обычное кольцевое полотно, но папа мне сказал, что багажная карусель имеет форму ленты Мёбиуса, чтобы меньше изнашиваться и дольше служить. Я совсем не знал, что такое лента Мёбиуса, поэтому решил с ней поближе познакомиться.

Цель проекта: изучить ленту Мёбиуса и её свойства.

Задачи проекта:

познакомиться с лентой Мёбиуса;

изучить свойства ленты Мёбиуса;

сравнить свойства ленты Мёбиуса и обычного кольца;

узнать в каких областях применяется лента Мёбиуса.

Так как лента Мёбиуса и кольцо – схожие объекты, значит и их свойства должны быть идентичными. Гипотеза: лента Мёбиуса закольцованный предмет, поэтому свойства ленты Мёбиуса и кольца одинаковы.

Объект исследования: лента Мёбиуса.

Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.

Методы исследования:

изучение информации в интернете;

эксперименты в домашних условиях;

анкетирование сверстников и взрослых;

анализ собранного материала.

Актуальность проекта подтверждается анкетированием. Опрос среди сверстников и взрослых (приложение1) показал, что только 30% взрослых знакомы с лентой Мёбиуса, а сверстники вообще не слышали о ней (приложение2, диаграммы 1.1, 1.2), то есть из 49 опрошенных только 6 человек, а это 12 процентов, знают о ленте Мёбиуса.

Математик Август Мёбиус

Математик и астроном Август Мёбиус (приложение3, фото1) прославился благодаря одному из своих открытий – ленте Мёбиуса.

Август Фердинанд Мёбиус (17.11.1790-26.09.1868) родился 17 ноября 1790 года на территории немецкой гимназии Шульпфорте. Его отец Иоганн Генрих работал в этой гимназии преподавателем танцев и умер, когда мальчику было три года, поэтому воспитанием и образованием Августа занималась его мама Иоганна Кейл. Учился Август в этой же гимназии с 12 лет, и очень любил математику. После окончания гимназии поступил в университет на факультет права, по настоянию мамы. Проучился в университете три месяца и принял решение посвятить себя математике. После окончания университета Мёбиус продолжает получать образование дальше в Геттинском университете, где слушает лекции по математике и астрономии. Затем продолжает учебу в университете в Галле и пишет докторскую диссертацию «Затмения планет», после чего получает право преподавать.

Работу преподавателем Август Мёбиус начинает в Лейпцигском университете преподавателем астрономии. Мёбиус пишет много научных работ, благодаря чему становится известным. Его работы в основном в области геометрии, астрономии и механики. Практически все работы публикуются в журнале немецкого математика Августа Креля. Конечно его работы пока сложные для моего понимания, однако его открытие, совершенное в 1858 году и названное в его честь – лента Мёбиуса (приложение3 фото2), меня заинтересовало и удивило.

Лента Мёбиуса

История открытия

Лента Мебиуса это самая необыкновенная геометрическая фигура. Даже открытие ленты вызывает интерес. Дело в том, что два математика, Август Мёбиус и его ученик Иоганн Листинг, находясь в разных местах, несвязанные между собой, открыли ее в один год. Было это в 1858 году.

По одной версии, Август Фердинанд Мёбиус сделал открытие после того, как его служанка, сшила ленту в кольцо, сделав ошибку – она перевернула один конец из-за невнимательности. Ученый, вместо того чтоб отругать служанку воскликнул: «Это же односторонняя поверхность! У нее нет изнаночной стороны!». По второй версии, его горничная просто неправильно пришила воротник его рубашки. То есть, в истории открытия ленты Мёбиуса лежит случайность, и участвует служанка ученого. А вот информации об открытии этой фигуры Иоганном Листингом, я к сожалению, найти не смог. А мне было бы очень интересно сравнить эти две истории.

Открыв столь необычную фигуру, Мёбиус начал изучать её свойства и написал статью. Статья была отправлена в Парижскую академию наук, но её опубликовали только после смерти ученого. А необычная поверхность была названа в его честь.

Благодаря изучению свойств ленты Мёбиуса, ученого называют открывателем топологии. Топология – это наука, изучающая явление непрерывности, как свойство пространства. И этот термин первый раз появился в работах Листинга в 1847 году.

Исследование свойств ленты Мёбиуса

Ленту Мёбиуса очень просто сделать. Для этого достаточно вырезать прямоугольник из бумаги, и свернуть его в кольцо, перевернув один край (приложение3 фото3,4,5).

Эксперимент1. Попробуем закрасить внешнюю сторону ленты Мёбиуса и кольца в красный цвет. Из результатов эксперимента в приложении3 на фото 6,7, видно, что у кольца закрасилась одна сторона, а лента Мёбиуса закрасилась полностью, и невозможно сделать так, чтоб у нее одна сторона осталась не закрашенной. Вывод: у Ленты Мёбиуса одна сторона.

Эксперимент2. Поставим точку на одной стороне кольца и на ленте Мёбиуса. Будем вести от этой точки линию вдоль всей стороны. В результате линия соединиться в кольце и в ленте Мёбиуса (приложение3 фото 8,9,10). Но, как видно из образцов, на ленте линия не прерывается, и проходит по всей поверхности, а в кольце линия проходит только по одной ее стороне. Вывод: Мы еще раз получили доказательство тому, что лента Мёбиуса – непрерывная поверхность.

Эксперимент3. Возьмем ленту Мёбиуса и кольцо и разрежем их на 2 части. Предполагаю, что получится 2 кольца и 2 ленты Мёбиуса. Однако, как видно из результатов эксперимента на фото 11,12,13 приложения3 мои предположения оказались неверными. В результате получилось 2 кольца одинакового диаметра, но шириной в половину исходного, как я и предположил. А из ленты Мёбиуса получилось одна фигура, перекрученная в 2 раза. Ширина ленты в 2 раза меньше исходной, а вот длина почти в 2 раза больше исходной. Вывод: в результате деления ленты Мёбиуса пополам получается одна лента большего размера и перекрученная в 2 раза, то есть на 360 градусов.

Эксперимент4. Возьмем ленту Мёбиуса и кольцо и разрежем их на 2 части не пополам, а отступив от края на одну треть. Как и в прошлых экспериментах кольцо подтвердило мои ожидания, то есть получилось 2 кольца разной ширины. Лента Мёбиуса дала совсем неожиданный результат, потому на этот раз получилось два сцепленных друг с другом кольца, разного диаметра. При чем диаметры большого и маленького кольца относятся друг у другу как 1:3. И одно кольцо ленты Мёбиуса имеет поворот на 180 градусов, а другое 360 градусов (приложение3 фото 14,15,16).

Эксперимент5. Возьмем получившиеся в эксперименте4 фигуры и еще раз разрежем их пополам. С кольцом не возникло никаких трудностей и не было никаких сюрпризов, в результате деления каждой части получилось обычное кольцо, того же диаметра, только меньше по ширине в 2 раза. То есть в результате имеем 4 кольца.. Лента Мёбиуса опять удивила. На этот раз после деления каждой части образца4 на пополам, получился трилистник: три кольца, сцепленные друг с другом. Все три кольца ленты перекручены четыре раза, то есть на 720 градусов (приложение3 фото 17,18,19).

Эксперимент6. Ленту Мёбиусаразделим на четыре части. Предполагаю, что получится 3 кольца. Но в результате эксперимента выяснилось, что получается два сцепленных кольца, но каждое перекручено два раза (приложение3 фото 20,21,22)

Эксперимент7. Я попробовал сделать ленту Мёбиуса перекрутив её два раза и исследовал ее. Выяснилось, что такая лента двусторонняя (приложение3 фото 23), в этом я убедился, повторив эксперимент2 на этой фигуре. А если разрезать такую ленту посередине, то получается 2 кольца, сцепленных между собой (приложение3 фото 24). Разрез таких колец еще раз пополам дает 4 кольца, соединённых между собой и перекрученных на 360 градусов (приложение3 фото 25).

Эксперимент8. Каждое кольцо из эксперимента6 решил разделить еще раз пополам. В результате получилось 4 кольца, сплетенных друг с другом и перекрученных на 360 градусов, то есть 2 раза (приложение3 фото 26).

Эксперимент9. В этом эксперименте я ленту Мёбиуса перекрутил 3 раза перед тем как склеить и затем разрезал посередине. В результате получается лента Мёбиуса, скрученная узлом (приложение3 фото 27).

Эксперимент10. Возьмем два обычных кольца, склеим их под прямым углом и разделим каждое пополам. Получается рамка (приложение3 фото 28,29). Проделаем этот эксперимент аналогичным образом с лентой Мёбиуса – получается два соединенных между собой сердечка! (приложение3 фото 30,31,32).

Применение ленты Мёбиуса

Лента Мёбиуса очень полезное изобретение. Она нашла широкое применение во многих областях нашей жизни.

Очень широко лента используется в дизайне. Дизайнеры создают огромное количество украшений (приложение3 фото 33,34) и разных предметов в этой форме (приложение3 фото 35,36). Лента Мебиуса используется как международный символ вторичной переработки. Этот знак можно увидеть на упаковке товара, который сделан из переработанного сырья, либо пригоден для последующей переработки (приложение3 фото 37).

На ленту Мёбиуса обратили внимание изобретатели - инженеры. Багажная карусель, или багажная лента в аэропорту, где мы получаем свой багаж после посадки самолета имеет форму ленты Мёбиуса (приложение3 фото 38). Да и любой ленточный конвейер на заводе выполняется в виде ленты Мёбиуса, потому что поверхность ленты изнашивается равномерно. Красящая лента в принтерах имеет вид ленты Мёбиуса, что позволяет увеличить ее ресурс. В двадцатых годах запатентовали аудио- и киноплёнки в форме ленты Мёбиуса, что позволило удвоить продолжительность записи (приложение3 фото 39).

Лента Мёбиуса смогла вдохновить многих художников на создание известных картин и скульптур. Одна из самых известных картин нарисована Корнелисом Эшером и называется «лента Мёбиуса II», в которой красные муравьи бесконечно ползут по ленте друг за другом (приложение3 фото 40). Скульптор Степан Адуашвилли в честь 285-летия города Екатеринбург создал спульптуру «Лента Мёбиуса». Этот памятник высотой четыре метра по словам автора символизирует связь между прошлым и будущим (приложение3 фото 41). Памятников в виде ленты Мёбиуса очень много. Один из них стоит в Москве перед кинотеатром «Горизонт» на Комсомольском проспекте (приложение3 фото 42). На нем есть надпись: «Разные точки зрения на один предмет». И действительно, лента Мёбиуса открывает новые горизонты для размышления, и как видно из проведенных мной экспериментов, преподносит сюрпризы.

Архитекторы тоже не оставили без внимания ленту Мёбиуса. Всем известный аттракцион «Американские горки» имеет форму ленты Мёбиуса (приложение3 фото 43). В китае в 2020 году открыли «Бесконечный мост» в форме ленты Мёбиуса, как говорят местные жители, при чем этот мост исключительно для пешеходов (приложение3 фото 44).

В Казахстане утвердился оригинальный проект для национальной библиотеки. Датские архитекторы предложили построить здание, которое объединит четыре формы – круг, ротонду, арку и юрту – в ленту Мебиуса(приложение3 фото 45)

Что удивительно, но я и предположить не мог, однако лента Мёбиуса нашла применение в спорте. Спортсмены лыжного спорта выполняют фигуру высшего пилотажа – петлю с разворотом (приложение3 фото 46)

Ленту Мёбиуса можно встретить и в повседневной жизни. К примеру, всем известный шарф – снуд – выполнен в виде ленты Мёбиуса (приложение3 фото 47). Планка для орденов, лента для медалей тоже выполнена в форме ленты Мёбиуса (приложение3 фото48).

Существует гипотеза, что человеческая ДНК, которая представляет собой двойную спираль, тоже является фрагментов ленты Мёбиуса, и поэтому код ДНК так труден для расшифровки, и тем более для понимания.

Заключение

Лента Мёбиуса известна не всем, но она является частью того, что нас окружает. Удивительно, как часто в повседневной жизни мы сталкиваемся с ней и даже не подозреваем об этом.

Лента Мёбиуса очень простой объект, который можно сделать самостоятельно в домашних условиях. В то же время — это необычная фигура, все эксперименты с лентой Мёбиуса давали неожиданные результаты. Моя гипотеза, что лента Мёбиуса и кольцо имеют одинаковые свойства были опровергнуты всеми проведенными мною экспериментами. Могу сказать, что на данном этапе цель моего проекта достигнута: я изучил ленту Мёбиуса и ее свойства. Однако, я чувствую, что лента Мёбиуса скрывает в себе много неизученного и не изведанного. У нее есть загадочные свойства и вполне реальные области применения. Несмотря на то, что фигура была открыта в XIX веке, она продолжает вызывать интерес не только у математиков и изобретателей, но и у обычных людей. Она является источником вдохновения для деятелей искусства, а эксперименты с ней – увлекательное занятие, как для детей, так и для взрослых.

Мои одноклассники тоже с удовольствием познакомились с необычными свойствами ленты Мёбиуса. Кто знает, возможно кто-то из нас с помощью этого простого и необычного объекта сделает открытия мирового масштаба.

Своим проектом я расширил кругозор себе и сверстникам и показал, если быть наблюдательным можно найти много необычного в обычных вещах. Результаты работы можно применять на уроках математики, окружающего мира.

Список литературы

Август Фердинанд Мёбиус - тот, кто свернул бесконечность в кольцо. URL://https://calculator888.ru/blog/biografiya/moebius-august-ferdinand.html

"Идея мира", или Почему лента Мёбиуса дает наиболее наглядное представление о структуре мироздания. URL:// https://snob.ru

История изучения топологического объекта - листа Мебиуса. URL://https://nsportal.ru/vuz/fiziko-matematicheskie-nauki/library/2015/10/26/istoriya-izucheniya-topologicheskogo-obekta

Лист Мёбиуса в архитектуре и искусстве. URL://https://kozelrozel.jimdofree.com

Лента Мебиуса - загадка современности. URL:// https://calculator888.ru/blog/raznoe/lenta-mebiusa.html

Лента Мёбиуса и ее сюрпризы. URL:// https://zen.yandex.ru/media

Лента Мёбиуса один из самых необычных объектов с очень странными свойствами. URL:// https://welemudr.mirtesen.ru/blog

Лента Мебиуса - удивительное открытие. URL:// https://kalkpro.ru/interesting-facts/lenta-mebiusa/

Что такое Лента Мебиуса? URL:// https://masterok.livejournal.com

Приложение1

Анкета – опрос.

Знаете ли вы что такое лента Мёбиуса?

Да

Нет

Затрудняюсь ответить

Как вы считаете, лента Мёбиуса и кольцо одинаковые фигуры?

Да

Нет

Затрудняюсь ответить

Как вы считаете, лента Мёбиуса имеет две стороны, как и кольцо?

Да

Нет

Затрудняюсь ответить

Если разрезать ленту Мёбиуса пополам что получится?

Одна лента Мёбиуса

Две ленты Мёбиуса

Затрудняюсь ответить

Применяется ли лента Мёбиуса в повседневной жизни?

Да

Нет

Затрудняюсь ответить

Хотели бы вы узнать больше про ленту Мёбиуса?

Да

Нет

Затрудняюсь ответить

Приложение2

Результаты анкетирования

Результаты опроса: Знаете ли про ленту Мёбиуса?

Диаграмма1.1. Соотношение ответов да/нет у взрослых и одноклассников.

Диаграмма 1.2. Соотношение ответов да/нет.

Приложение3

Фотографии

Приложение3 (продолжение)

Приложение3 (продолжение)

Приложение3 (продолжение)

Приложение3 (продолжение)