XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Удивительный мир фракталов

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Назарова В.В. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Ухоловская средняя школа Рязанской области

Трегубова Н.Н. 1

---

1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Ухоловская средняя школа Рязанской области

Работа в формате PDF

1.7 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1. ВВЕДЕНИЕ

Математика, если на нее правильно посмотреть,

отражает не только истину, но и несравненную красоту.

Бертранд Рассел

Математика – древнейшая наука. Большинству людей казалось, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, многоугольник, сфера и т.д. Как оказалось, многие природные системы настолько сложны, что использование только знакомых объектов обычной геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Как, к примеру, построить модель горного хребта или кроны дерева в терминах геометрии? Как описать то многообразие биологических разнообразий, которое мы наблюдаем в мире растений и животных? Как представить всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела? Представить строение легких и почек, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной?

Фракталы - подходящие средства для исследования поставленных вопросов. Нередко то, что мы видим в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько-то раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Попробуйте немного приблизить изображение горной гряды - вы снова увидите горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Для многих хаологов (ученых изучающих фракталы и хаос) - это не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии - это революция. Это открытие нового типа геометрии, той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной.

Слово «фрактал» - это что-то, о чем много людей говорит в наши дни, от ученых до учеников средней школы. Оно появляется на обложках многих учебников математики, научных журналов и коробках с компьютерным программным обеспечением. Цветные изображения фракталов сегодня можно найти везде: от открыток, футболок до картинок на рабочем столе персонального компьютера. Итак, что это за цветные формы, которые мы видим вокруг?

В своей работе я решила «прикоснуться» к миру прекрасного и определила для себя…

Цель работы: создание объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Методы исследования: сравнительный анализ, синтез, моделирование.

Задачи:

знакомство с понятием, историей возникновения и исследованиями Б. Мандельброта, Г. Коха, В. Серпинского и др.;

знакомство с различными видами фрактальных множеств;

изучение научно-популярной литературы по данному вопросу, знакомство с научными гипотезами;

нахождение подтверждения теории фрактальности окружающего мира;

изучение применения фракталов в других науках и на практике;

проведение эксперимента по созданию собственных фрактальных изображений.

Основополагающий вопрос работы: показать, что математика не сухой, бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом.

Предмет исследования: фрактальная геометрия.

Объект исследования: фракталы в математике и в реальном мире.

Гипотеза: все, что существует в реальном мире, является фракталом.

Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная геометрия.

Ожидаемые результаты: в ходе работы, я смогу расширить свои знания в области математики, увидеть красоту фрактальной геометрии, начать работу по созданию своих фракталов.

Итог работы: создание собственных фракталов вручную и с помощью компьютерных технологий.

2. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФРАКТАЛОВ

2.1 ОТЕЦ ФРАКТАЛОВ

¹Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега – это не окружности…

Вплоть до XX века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и слова «фрактал».

Постепенно сопоставив факты, он пришёл к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

Рисунок 1. Создатель фракталов - Бенуа Мандельброт.

Что же такое фрактал? Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части).

И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).

²Понятие фракталов ворвалось в сознание математиков, других учёных и даже людей, не связанных с наукой, в 1977 году, когда была опубликована основополагающая книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».

Фракталы — это нечто гораздо большее, чем математический курьёз. Они дают чрезвычайно компактный способ описания объектов и процессов. Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную, размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные формы изящнее и точнее, чем Еклидова геометрия.

Рисунок 2. Книга Мальдеброта.

Фракталы — это прежде всего язык геометрии. Однако их главные элементы недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии.

Язык — это очень подходящая метафора для концепции, лежащей в основе фрактальной геометрии. Буквы не несут в себе никакого смыслового значения до тех пор, пока они не соединены в слова. Точно так же евклидова геометрия состоит лишь из нескольких элементов (прямая, окружность и т.д.), из которых строятся сложные объекты, геометрически выражающие некий смысл.

Чтобы представить себе фрактал понаглядней рассмотрим пример, приведенный в книге Б. Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature» («Фрактальная геометрия природы») ставший классическим – «Какова длина берега Британии?». Ответ на этот вопрос не так прост, как кажется. Все зависит от длины инструмента, которым мы будем пользоваться. Померив берег с помощью километровой линейки, мы получим какую-то длину. Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна.

2.2 ТЕРМИН

Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладающая какими-либо из перечисленных ниже свойств:

- обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину;

- является самоподобной или приближённо самоподобной;

- обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.

Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.

Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.

Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

3. КЛАССИФИКАЦИЯ

Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это:

геометрические фракталы

алгебраические фракталы

стохастические фракталы

Однако существует и другая классификация: деление на рукотворные и природныефракталы. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

3.1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ.

Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов – самый наглядный, потому что в нем сразу видна самоподобность. Получается он путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется «затравка» - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой «затравке» применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и, если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований, получим геометрический фрактал.

3.1.1 СНЕЖИНКА КОХА

Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха.

Рисунок 3. Снежинка Коха

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т.д…

Предельная кривая и есть кривая Коха.

 Выполнив аналогичные преобразование на сторонах равностороннего треугольника можно получить фрактальное изображение снежинки Коха.

3.1.2 ТРЕУГОЛЬНИК СЕРПИНСКОГО

Рассмотрим треугольник Серпинского. Для его построения из центра треугольника мысленно вырезают кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника.
Рисунок 4. Треугольник Серпинского. Рисунок 5. Процесс построения Треугольника Серпинского

Повторяют эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального), и так до бесконечности.

Если теперь взять любой из образовавшихся треугольников и увеличить его, то получится точная копия целого. Это и есть полное самоподобие.

3.1.3КРИВАЯ ДРАКОНА

Рисунок 6. Кривая дракона

И зобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано. Ее построение начинается с нулевого порядка, которая представляет собой прямой угол.

Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем постоянных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла. При этом каждый первый угол оказывается вывернутым наружу, а каждый второй - вовнутрь. На рисунке проиллюстрирован алгоритм построения драконовой ломаной и изображен вполне взрослый дракон десятого порядка.

3.1.4 КРИВАЯ МИНКОВСКОГО

Кривая Минковского или колбаса Минковского - классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Здесь можно заметить, что два равных звена продолжают друг друга.

Рисунок 7. Кривая Минковского.

3.1.5 МНОЖЕСТВО КАНТОРА

Ка́нторово множество - один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Г. Кантором.

Рисунок 8. Множество Кантора.

Из единичного отрезка C₀ = [0,1] удалим среднюю треть, т.е. интервал (⅓,⅔). Оставшееся точечное множество обозначим через C_1, оно состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и оставшееся множество обозначим через C₂. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C₃. Обозначим через C пересечение всех C_i. Множество C называется Канторовым множеством.

3.1.6 ДЕРЕВО ПИФАГОРА

Дерево Пифагора - разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны».

Сверху - классическое дерево Пифагора, снизу - обнаженное обдуваемое ветром дерево Пифагора.

Рисунок 9. Дерево Пифагора.

3.1.7 КОВЁР СЕРПИНСКОГО

¹⁰ Ковёр Серпинского - фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского.

Квадрат Q₀ делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата Q₀ удаляется центральный квадрат.

Рисунок 10. Ковер Серпинского.

Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно также с каждым из квадратов первого ранга, получим множество Q₁, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность пересечение членов которой есть ковёр Серпинского.

3.1.8 ГУБКА МЕНГЕРА

Губка Менгера - геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Куб K₀ с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба K₀ удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество K₁, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество K₂, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность, пересечение членов которой есть губка Менгера.

Рисунок 11. Губка Менгера.

3.2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ

Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых.

Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату.

В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны множества Жюлиа — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее.

Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей. Благодаря иллюстрациям, полученным при помощи компьютера, и историческим байкам, которыми автор умело, разбавил научную составляющую монографии, книга стала бестселлером, а фракталы стали известны широкой публике. Их успех среди не математиков во многом обусловлен тем, что с помощью весьма простых конструкций и формул, которые способен понять и старшеклассник, получаются удивительные по сложности и красоте изображения. Когда персональные компьютеры стали достаточно мощными то появилось даже целое направление в искусстве — фрактальная живопись, причем заниматься ею мог практически любой владелец компьютера.

Примеры алгебраических фракталов:

множество Жюлиа;

бассейны Ньютона;

биоморфы;

множество Мандельброта

¹² 3.2.1 МНОЖЕСТВО ЖУЛИА

Множеством Жюлиа полинома f(z) = z2 + c соответственно называется такое подмножество множества комплексных чисел, для каждой точки которого, поведение функции под действием итераций является хаотичным, т.е. небольшие изменения в начальных условиях в некоторой небольшой окрестности начальной точки, Рисунок 12. Множество Жулиа. значительно влияют на траекторию.

3.2.2 БАССЕЙНЫ НЬЮТОНА

¹³ Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости).

Рисунок 13. Бассейны Ньютона.

3.2.3 МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА

¹⁴ Множества Мандельброта наиболее распространенный среди алгебраических фракталов. Его можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранителях экрана. Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями.

Рисунок 14. Множество Мандельброта.

3.2.4 БИОМОРФ

Некоторые алгебраические фракталы поразительным образом напоминают изображения животных, растений и других биологических объектов, вследствие чего получили название биоморфов.

Рисунок 15. Биоморф.

3.3 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ

Геометрические фракталы в силу их постоянного самоподобия, «правильности», не могут выступать в качестве моделей природных объектов, так как последние создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность.

Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение».

Стохастические фракталы, смоделированные компьютерной программой, очень похожи на природные творения - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии, горный массив и т.д.

Примером стохастического фрактала является плазма. Для ее построения берется прямоугольник и для каждого его угла определяется цвет. Далее находится центральная точка прямоугольника и раскрашивается в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число, тем более «рваным» будет рисунок. Если посмотреть на этот фрактал в разрезе, то мы увидим, что он объемный и имеет «шероховатость». Именно из-за этой «шероховатости» есть очень важное применение этого фрактала.

Допустим нужно описать форму горы. Обычные фигуры из Евклидовой геометрии тут не помогут, ведь они не учитывают рельеф поверхности. Но при совмещении обычной геометрии с фрактальной можно получить ту самую «шероховатость» горы.

Рисунок 16. Плазма.

4. ПРИРОДНЫЕ ФРАКТАЛЫ

Особенностью природных фракталов является то, что, в отличие от рукотворных, они не могут демонстрировать бесконечное самоподобие. Поэтому правильнее говорить о фрактальном характере природных объектов. Фрактальный характер могут иметь слитки металла, пористые минералы и горные породы; узоры листьев, расположение ветвей деревьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая и др. системы в организмах животных и человека; реки, облака, линия морского побережья, горный рельеф, «морозные» узоры на стекле, снежинка - природный аналог кривой Коха, биение сердца, волнение моря, распределение пузырьков в приповерхностном слое океана, дно океанов и морей, осадки на дне океана.

Одним из типичнейших представителей фрактального подводного мира является коралл.

В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков. В строении морской

раковины так же хорошо видна структура фрактала.

Рисунок 17. Морские фракталы

На первый взгляд человек не обладает выраженной фрактальной внешностью, но стоит заглянуть внутрь – всё встаёт на свои места.

¹⁸ Кровеносная, дыхательная, нервная система, сетчатка глаза - вот только самый беглый список биологических фракталов, которые присутствуют в каждом человеке.Человек – это фрактал. Рождается ребенок, растет, и этот процесс сопровождается принципом «самоподобия», фрактальностью.

Рисунок 18. Человек - это фрактал

Фрактальная организация прослеживается в картине разветвления некоторых сердечных мышечных волокон.

Растения, деревья и травы - обладают выраженной фрактальной формой, в отличие, например, от животных. Кроме того, что фрактальную структуру имеет листрастения (прожилки), общее строение растений также фрактально.

Цветная капуста - типичный фрактал.

¹⁹ Рассмотрим строение цветной капусты.

Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако всё, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты.

Рисунок 19. Цветная капуста

²⁰ Павлины всем известны своим красочным опереньем, в котором спрятаны сплошные фракталы.

Рисунок 20. Павлин.

Фракталы есть везде и всюду в окружающей нас природе. Вся Вселенная построена по удивительно гармоничным законам с математической точностью. Разве можно после этого думать, что наша планета – это случайное сцепление частиц? Едва ли.

5. ПРИМЕНЕНИЕ

Применений фракталов уже сейчас существует великое множество, и число их все увеличивается.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей, нередко используются при создании облаков, снега, береговой линии. Поэтому применять фрактальные изображения можно в самых разных сферах, начиная от создания обычных текстур и фоновых изображений и кончая фантастическими ландшафтами для компьютерных игр или книжных иллюстраций. А создаются подобные шедевры путем математических расчетов, где элементом фрактальной графики является сама математическая формула - это означает, что никаких объектов в памяти компьютера не хранится, и изображение строится исключительно на основе уравнений.

Фракталы стали незаменимыми помощниками астрофизиков, медиков, геологов. Фрактальные модели упрощают анализ движения жидкости или газа, что важно для индустриальных технологий разработки месторождений нефти и газа.

Модели, построенные на основе фрактальных изображений, позволяют с большой точностью моделировать космическое пространство и ткани внутренних органов живых организмов. Сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжелые заболевания на ранней стадии, когда больному еще можно помочь. В данное время фракталы находят широкое применение в медицине. Сам по себе человеческий организм состоит из множества фрактальных структур: кровеносная система, мышцы, бронхи, бронхиальные пути в легких, артерии.

Теория фракталов применяется для анализа электрокардиограмм. Оценка величины и ритмов фрактальной размерности позволяют на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний сердца. Рентгеновские снимки, обработанные с помощью фрактальных алгоритмов, дают более качественную картинку, а соответственно и более качественную диагностику!

Еще одна область активного применения фракталов – гастроэнтерология.

Новый метод исследования в медицине, электрогастроэнтерография - метод исследования, позволяющий оценить биоэлектрическую активность желудка, двенадцатиперстной кишки и других отделов ЖКТ.

Метеорологи научились определять по фрактальной размерности изображения на экране радара скорость восходящих потоков в облаках, что позволяет с большим упреждением выдавать морякам и летчикам штормовые предупреждения. Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

²¹Фракталы стали новым направлением в искусстве, демонстрируя собой настоящие шедевры - картины необычайной красоты и привлекательности. Выставки фрактальных изображений проходят в музеях всего мира, большое количество конкурсов проводится в компьютерной сети Интернет. И естественно, что они стали популярны в оформлении интерьеров.

Р исунок 21. Фракталы в искусстве.

Применение фрактальных правил построения широко распространено и в архитектуре.

Рисунок 22. Фракталы в архитектуре.

Фрактальный принцип развития природных и геометрических объектов проникает вглубь архитектуры и как образ внешнего решения объекта, и как внутренний принцип архитектурного формообразования. Фрактальная архитектура делится на два типа: искусственно созданная и естественно сложившаяся. В свою очередь, искусственно созданная фрактальная архитектура бывает интуитивнойисознательной.

Также фракталы используются в дизайне мебели.

Н и для кого не секрет, что японцы по жизни сильно ограничены в пространстве, в связи с чем, им приходится всячески изощряться в эффективном его использовании. Такеши Миякава показывает, как это можно делать одновременно эффективно и эстетично. Его фрактальный шкаф подтверждение тому, что использование фракталов в дизайне – это не только дань моде, но и гармоничное конструкторское решение в условиях ограниченного пространства.

Рисунок 23. Тумбочка Такеши Миякава. ²³

Фракталы в литературе.

Среди литературных произведений есть такие, которые обладают текстуальной, структурной или фрактальной природой.

В литературных фракталах бесконечно повторяются элементы текста:

У попа была собака,

Он ее любил.

Она съела кусок мяса,

Он ее убил.

В землю закопал,

Надпись написал:

У попа была собака… ,

Или:

Вот дом,

Который построил Джек.

А вот пшеница,

Которая в тёмном чулане хранится

В доме,

Который построил Джек

А вот весёлая птица-синица,

Которая ловко ворует пшеницу,

Которая в тёмном чулане хранится

В доме,

Который построил Джек… .

Фракталы в играх.

Сегодня в очень многих играх (пожалуй, самый яркий пример Minecraft), где присутствуют разного рода природные ландшафты, так или иначе используются фрактальные алгоритмы. Создано большое количество программ для генерации ландшафтов и пейзажей, основанных на фрактальных алгоритмах.

Фракталы в кино.

В кино для создания различных фантастических пейзажей используется фрактальный алгоритм. Фрактальная геометрия позволяет художникам по спецэффектам без труда создавать такие объекты как облака, дым, пламя, звёздное небо и т.д. Что уж тогда говорить о фрактальной анимации, это

действительное потрясающее зрелище.

Фракталы и электронная музыка.

Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют ди-джеи. Особенно часто такие видеоинсталляции используются на концертах исполнителей электронной музыки.

Фракталы и естественные науки.

Очень часто фракталы применяются в геологии и геофизике. Не секрет, что побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность, зная которую, можно очень точно вычислить длины побережий. Исследование разломной тектоники и сейсмичности порой тоже исследуется с помощью фрактальных алгоритмов.

Геофизика использует фракталы и фрактальный анализ для исследования аномалий магнитного поля, для изучения распространение волн и колебаний в упругих средах, для исследования климата и многих других вещей.

Фракталы в физике.

В физике фракталы применяются очень широко. В физике твёрдых тел фрактальные алгоритмы позволяют точно описывать и предсказывать свойства твёрдых, пористых, губчатых тел, аэрогелей. Это помогает в создании новых материалов с необычными и полезными свойствами. Пример твёрдого тела - кристаллы.

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Переход к фрактальному представлению облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных систем. При помощи фракталов также можно смоделировать языки пламени.

Фракталы в биологии.

В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Спектр областей, где применяются фракталы, очень обширен и разнообразен.

Эти примеры использования фракталов в реальной жизни показали мне, что фракталы реальны не только на бумаге в математических формулах и компьютерных программах. И, похоже, что принцип фрактальности природа использует повсеместно. Только нужно присмотреться к ней внимательней, и она проявит себя во всем своем великолепном изобилии и бесконечности бытия. В ближайшем будущем фракталы, фрактальная геометрия, станут близки и понятны каждому из нас, и мы не сможем обходиться без них в нашей жизни!

6. МОИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Данная тема показалась мне уникальной и занимательной. Раньше я не имела представления о фракталах и не знала, что это такое, но, познакомившись с ними, поняла, что фрактал - нередкое явление в нашей жизни. Мы буквально окружены ими. Фракталы встречаются везде, и без их существования мир оказался бы скучным и простым. Они украшают нашу жизнь, задают форму предметам, заставляют остановиться и присмотреться к тому что нас окружает. Даже человек далекий от математики с лёгкостью может заметить фрактал и поймет его красоту.

Вдохновившись этой мыслью, я захотела создать свои собственные фракталы. Для этого я просто взяла листок бумаги, карандаш и нарисовала 3 линии - основу моего будущего фрактала. Фрактальное свойство - это мини ёлочки по бокам главной ёлки, у маленьких ёлок тоже есть свои маленькие ёлки и так до бесконечности.

Вспомнив уроки технологии, я вышила фрактал в технике «изонить» и связала салфетку крючком.

Фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. В итоге я построила один из видов фракталов в специальной программе Incedia. Также, записала видео, в котором отобразила процесс создания алгебраического фрактала.

Рисунок 24. Собственное создание фрактала

7. РЕЗУЛЬТАТ РАБОТЫ.

Анализируя выполнение поставленных задач, можно сказать следующее: в моей исследовательской работе я познакомилась с историей возникновения и развития фрактальной геометрии; изучила виды фракталов, их применение в современном мире; создала собственные фракталы, что явилось продуктом данной работы.

Считаю, что практическая значимость данной работы заключается в следующем:

изучив литературу по данному вопросу, я получила дополнительные знания в области математики, укрепив свой интерес к этой науке;

приобретенные знания и навыки исследовательской работы при изучении данной темы помогут мне при изучении других школьных предметов

мое исследование может быть полезно и другим учащимся и педагогам

в перспективе было бы интересно более подробно изучить связь фракталов с информационными технологиями.

8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные алгоритмы нашли применение и в информационных технологиях. Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму.

Значение открытия фракталов для науки трудно переоценить. Теория фракталов используется и при изучении структуры Вселенной. Появляются теории о том, что наша Вселенная - фрактал. Возможно, именно фракталы раскроют тайну бесконечности нашей Вселенной.

9. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

https://school-science.ru/7/7/38898

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB

http://fraktalsworld.blogspot.com/p/blog-page_13.html

http://elibrary.udsu.ru/xmlui/bitstream/handle/123456789/19438/375%D0%BB%D0%B1_1000984241_16.09.2020.pdf?sequence=2

А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.

Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.

Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.

Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.