XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Введение

Немецкий математик Феликс Хаусдорф сказал «Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг…». К сожалению, в реальности, основная часть учащихся «зубрит» теоремы, аксиомы и формулы, а ведь намного важнее видеть и понимать их практическое применение.

Теорема Пифагора – самая известная теорема геометрии, о ней знает подавляющее большинство населения планеты. Математики тысячелетиями говорят о ее величественности и значимости. Ей посвящены легенды, стихи.

Актуальность: В этом году мне предстоит сдавать экзамен по математике. Как известно, вся работа состоит из двух модулей: «Алгебра», «Геометрия». В первых заданиях ученику необходимо «описывать реальные ситуации на языке математике, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин». Поэтому применение теоремы Пифагора на практике можно увидеть именно в этих заданиях. После решения всех задач теорема Пифагора ещё больше заинтересовала меня, что я углубилась в процесс её изучения. Мы решили показать применение теорема Пифагора в строительстве.

Объектом исследования является теорема Пифагора.

Предмет исследования: применение теоремы Пифагора при расчётах в строительстве.

Гипотеза исследования: учащиеся, поняв практическую значимость теоремы Пифагора, могут применять ее при расчётах в строительстве.

Цель: исследовать теорему Пифагора и показать её практическое применение в строительстве.

Исходя из этой цели, нами были поставлены следующие задачи:

изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме;

собрать информацию о применении теоремы в строительстве в различных источниках;

показать применение теоремы Пифагора в строительстве;

оформить наработанный материал.

проанализировать все результаты и сделать выводы.

Методы исследования: изучение теоретического материала, анализ, практическое выполнение исследования, коммуникативный (метод измерения).

 

1 .1 Биография

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает славный человек!

И ныне теорема Пифагора верна,

Как и в его далёкий век.

(ок.580 – ок. 500 г. до н. э.)

Наверное, было бы неправильно писать работу о теореме Пифагора, не зная биографии великого ученого. Поэтому мы сначала поближе познакомимся с деятельностью этого древнего математика.

Пифагор – древнегреческий философ, математик, астроном. Обосновал многие свойства геометрических фигур, разработал математическую теорию чисел и их пропорций. Внёс значительный вклад в развитие астрономии и акустики. Автор «Золотых стихов», основатель пифагорейской школы в Кротоне.

По преданию Пифагор родился около 580 г. до н. э. на острове Самос в богатой купеческой семье. Его мать – Пифазис, получила свое имя в честь Пифии, жрицы Аполлона. Пифия предсказала Мнесарху и его жене появление на свет сына, сын также был назван в честь Пифии. По многим античным свидетельствам мальчик был сказочно красив и вскоре проявил свои незаурядные способности. Первые познания получил от своего отца Мнесарха, ювелира, резчика по драгоценным камням, который мечтал, что сын станет продолжателем его дела. Но жизнь рассудила иначе. Будущий философ обнаружил большие способности к наукам. Среди учителей Пифагора были Ферекид Сиросский и старец Гермодамант. Первый привил мальчику любовь к науке, а второй - к музыке, живописи и поэзии. Впоследствии Пифагор познакомился известным философом – математиком Фалесом Милетским и по его совету отправился в Египет – центр тогдашней научной и исследовательской деятельности. Прожив 22 года в Египте и 12 лет в Вавилоне, он вернулся на остров Самос, затем покинул его по неизвестным причинам и переехал в город Кротон, на юг Италии. Здесь он создал пифагорейскую школу (союз), в которой изучали различные вопросы философии и математики. В возрасте примерно 60 лет Пифагора женился на Феано, одной из своих учениц. У них рождены трое детей, и все они становятся последователями своего отца. Исторические условия того времени характеризуются широким движением демоса против власти аристократов. Спасаясь от волн народного гнева, Пифагор и его ученики переехали в город Тарента. По одной версии: к нему пришел Килон, богатый и злой человек, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начал борьбу с Пифагором. При пожаре ученики своей ценой спасли жизнь учителю. Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Следует отметить, что это один из вариантов его биографии. Точные даты его рождения и смерти не установлены, многие факты его жизни противоречивы. Но ясно одно: этот человек жил, и оставил потомкам большое философское и математическое наследие.

1.2 Из истории создания теоремы

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду.

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 метров и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3метра от одного конца и 4 метра от другого (Приложение № 1). Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора, гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше было известно о теореме Пифагора вавилонянам. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т.е. к 2000 году до нашей эры, приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника; отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Геометрия у индусов была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 8 века до нашей эры. Наряду с чисто ритуальными предписаниями, существуют и сочинения геометрически теологического характера, называемые Сульвасутры. В этих сочинениях, относящихся к 4 или 5 веку до нашей эры, мы встречаемся с построением прямого угла при помощи треугольника со сторонами 15, 36, 39.

В некоторых списках «Начал» Евклида теорема Пифагора называлась теоремой Нимфы, «теорема – бабочка», по-видимому из-за сходства чертежа с бабочкой (Приложение № 2), поскольку словом «нимфа» греки называли бабочек. Нимфами греки называли еще и невест, а также некоторых богинь.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре (Приложение №3), в те времена нередко употреблялся как символ математики.

Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннариции (около 900 года до нашей эры), сделанный Герхардом Кремонским (12 век) гласит (в переводе):

«Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол»

В GeometryCulmonensis (около 1400года) теорема читается так (в переводе):

“Итак, площадь квадрата, измеренного по длиной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу”

В русском переводе евклидовых «Начал», теорема Пифагора изложена так:

«В прямоугольном треугольнике квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Как видим, в разных странах и разных языках существуют различные варианты формулировки знакомой нам теоремы. Созданные в разное время и в разных языках, они отражают суть одной математической закономерности, доказательство которой также имеет несколько вариантов.

1.3 Некоторые доказательства теоремы

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Известно более или менее строгих доказательств около пятисот. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Я хочу вас познакомить с некоторыми из них.

Доказательство простейшее

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (Приложение № 4), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Доказательство древних индусов

Квадрат со стороной можно разбить на части либо как на рисунке а),либо как на рисунке б) (Приложение № 5). Ясно, что части 1,2,3,4на обоих рисунках одинаковы. Аесли от равных площадей отнять равные, то и останутся равные, то есть .

Древнекитайское доказательство

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с

катетами , и гипотенузой суложены так, что их внешний контур образует

квадрат со стороной , а внутренний – квадрат со стороной с, построенный

на гипотенузе (Приложение №6).

Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного

из них был продолжением другого. (Приложение № 7).

Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение

полусуммы оснований на высоту: .

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных

треугольников: .

Приравнивая данные выражения, получаем: или .

Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала». Евклид опускал высоту CН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют

«пифагоровы штаны». (Приложение № 8) В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

1.4 Применения теоремы Пифагора в строительстве

В зданиях романского и готического стиля верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. (Приложение № 9). Рассмотрим, как применяется в таких задачах теорема Пифагора. Если b обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны и . Радиус р внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображённого на рисунке красным цветом . Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна , один катет равен , а другой .

По теореме Пифагора имеем:
или ,

откуда . Разделив на b приводя подобные члены, получим:

, то есть радиус р внутренней окружности

Способ построения готического окна очень прост.

Из рисунка (Приложение № 10) легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны:

1.ширине окна b для наружных дуг

2. половине ширины, для внутренних дуг.

Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, то есть   и, следовательно, радиус равен  . А тогда становится ясным и положение ее центра.

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки определенной длины.

Длина стропил = . (Приложение № 11).

При строительстве лестниц необходимо рассчитать длину, ширину каждой ступени, длину лестницы. (Приложение № 12)

При разметке фундамента можно выставлять прямые углы

(Приложение № 13)

Глава II. Практическая часть

Моя бабушка проживает в частном доме, и мне захотелось применить теорему Пифагора на практике, так как все условия для этого есть.

Вычисление длины стропил. Для этого я измерила с помощью рулетки высоту АС=4,5 м и длину крыши СВ=3м. (Приложение № 14)

Решение: по теореме Пифагора

;

;

;

метра.

Отдельно я измерила длину стропил 5,5 и сравнила полученные результаты. Погрешность моих вычислений 0,1 м.

Вычислить, на какой высоте находиться окно чердака АС, если лестница AB длиной 4,3 м. отстоит от дома на расстоянии CB 1,5 метра. (Приложение № 15)

Решение: по теореме Пифагора

;

;

;

метра.

Измерив длину стропила и высоту, на которой находится окно чердака, я решила продолжить свое исследование и выбрала следующие объекты для доказательства своей гипотезы – лестница в школе; окно в храме Сергея Радонежского, находящейся в г.о. Чапаевск.

2.3 Вычислить длину лестницы АВ. Для этого я измерила высоту АС = 1,9 м, на которую поднимается лестница и расстояние от начала лестницы до стены

ВС= 3,6 м. (Приложение № 16)

Решение: по теореме Пифагора

;

;

;

метра.

2.4 Зная длину лестницы можно вычислить ширину ступенек.

Вычисление ширины ступеньки: каждая ступенька лестницы представляет прямоугольный треугольник KMN(Приложение № 17), отсюда ширину ступеньки KN можно найти по теореме Пифагора: .

В строительстве параметр высоты ступенек варьируется в пределах от 16 до 20. Возьмем самую маленькую допустимую высоту MN =16 см. Чтобы найти нужно, длину лестницы разделить на количество ступенек, сначала найдём количество ступенек: AC = 190 см. : 16 см. = 12 ступенек.

= 408 см. : 12 = 34 см.

;

;

;

;

;

см.

можно было найти другим способом, длину BC разделить на количество ступенек 360 : 12 = 30 см.

Отдельно я измерила ширину ступеньки, она равна 30 см. И посчитала количество ступенек ступеньки их, оказалось 12.

2.5 Стиль окон храма напоминают романский. Верхние части окон расчленяются каменными рёбрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

Я вычислила радиуса окружности внутри, которой выложена мозаика (Приложение № 18) по теореме Пифагора.

Измерил ширину окна b =240см, тогда радиусы средних окружностей будут равны см и см. Радиус внутренней окружности , можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображённого на рисунке.

Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна , один катет равен , а другой , . По теореме Пифагора имеем:

или радиус р внутренней окружности:

После этого я измерила радиус внутренней окружности рулеткой, он оказался равен 40 см.