XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решаем устным счетом «Трудную задачу»
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Счет и вычисления - основа порядка в голове.
Песталоцци1
Математика – одна из древнейших наук. Она дисциплинирует ум, приучает логическому мышлению. Недаром говорил А.В. Суворов, что математика – это гимнастика для ума. Мир технологий и гаджетов уже давно вытеснил многие процессы, которые раньше казались естественными. Теперь нам почти всегда можно обойтись без письма от руки, пеших прогулок или чтения энциклопедии – ведь все можно узнать из Интернета. Компьютерные технологии значительно облегчают нам жизнь, но злоупотребляя ими, мы лишаемся главного – перестаем тренировать наш самый нужный механизм – мозг. А, например, устный счёт — это великолепная тренировка ума!
В нашей школе в холле на самом видном месте висит картина художника Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет». Она невольно заставляет каждого, кто проходит мимо, обращать на себя внимание. Меня очень удивляло, что в давние времена такие задания предлагали для устного счета. И я задумался, если задание предложено для устного решения, то скорее всего эта последовательность обладает каким-то специфическим свойством, которое поможет решить пример быстро и в уме. Также возник вопрос: есть ли еще задания, аналогичные изображенным на картине Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет»?
Гипотеза: существуют и другие последовательности целых чисел, аналогичные изображенной на картине Н.П. Богданова – Бельского «Устный счет», обладающие специфическими свойствами.
Объект исследования: картина Н.П. Богданова – Бельского «Устный счет».
Предмет исследования: последовательности целых чисел.
Цель работы: исследовать особенности и закономерности данной последовательности целых чисел и найти аналогичные последовательности, обладающие специфическими свойствами.
Для достижения цели поставлены следующие задачи:
Изучить биографию великого русского художника Н.П. Богданова – Бельского и историю создания картины «Устный счет».
Найти способы решения задания, изображенного на картине Н.П. Богданова – Бельского «Устный счет».
3. Выяснить, существуют ли последовательности, аналогичные изображенным на картине Н.П. Богданова – Бельского «Устный счет», обладающие специфическими свойствами.
4. Исследовать закономерности и специфические свойства последовательностей целых чисел для вычисления суммы их квадратов и кубов.
5. Показать практическое применение полученным знаниям и сделать выводы.
Для решения поставленных задач мной изучен материал из литературных и электронных источников о великом русском художнике Н.П. Богданове-Бельском, об особенностях школы С.А. Рачинского, истории создания картины «Устный счет», а также материал, посвященный развитию математических способностей у школьников вне уроков математики. Кроме того, проработаны способы решения задания, изображенного на картине «Устный счет», предложенные С.А. Рачинским, Я.И. Перельманом2, В.Л. Минковским3.
В работе применены эмпирические (наблюдение, изучение различных источников информации, анализ полученных сведений) и теоретические (анализ, синтез, моделирование, аналогия, абстрагирование) методы исследования.
Я считаю, что тема исследования является интересной, современной и актуальной. В сегодняшнем мире, чем активнее развивается научно-технический прогресс, тем меньше люди проявляют желание решать устным счетом задачи. Мы слишком сильно полагаемся на современные компьютерные технологии и уже не в состоянии посчитать в уме семейный бюджет, процент по кредиту или сдачу в магазине. Способность быстро считать в уме сегодня ценится никак не меньше, чем сто или двести лет назад. Человек, владеющий этим навыком, обладает множеством преимуществ в современном мире многозадачности.
ГЛАВА I. Н.П. БОГДАНОВ-БЕЛЬСКИЙ И ЕГО КАРТИНА
«УСТНЫЙ СЧЕТ»
Н.П. Богданов-Бельский – великий русский художник
Николай Петрович Богданов-Бельский родился в 1868 году в Бельском уезде Смоленской губернии, впоследствии название родного уезда было присоединено к фамилии. Он был внебрачным сыном батрачки. Еще ребенком он вырезал фигурки из дерева, но в целом его детство мало чем отличалось от его деревенских сверстников.4
Свое начальное образование он получил среди крестьянских детей в Татевской школе Смоленской губернии, где работал Сергей Александрович Рачинский (1833—1902), ботаник и математик, профессор Московского университета. В 1872 году С.А. Рачинский в родном селе Татево создал школу для крестьянских детей, разработал уникальную методику обучения устному счёту, прививая деревенским ребятишкам навыки и основы математического мышления.5
Именно при содействии любимого учителя С.А. Рачинского Николай Петрович поступил в Московское училище живописи, ваяния и зодчества. Окончив училище, молодой художник поступил в Петербургскую Академию художеств, где закончил класс у И.Е. Репина. С 1890 года Н.П. Богданов-Бельский был постоянным участником выставок передвижников, и почти все его творчество было выдержано в духе этого направления.
В начале ХХ столетия картины Н.П. Богданова-Бельского не только выставляются в крупнейших музеях России, но и приобретаются ими. За высокие заслуги в области живописи в 1903 году Н.П. Богданов-Бельский удостоился высшей награды в художественном мире России – звания академика, а в 1914 году – звания действительного члена Академии художеств. Его картины успешно экспонировались в крупнейших зарубежных музеях.6
Николай Петрович писал пейзажи, портреты, натюрморты, жанровые картины. Писал аристократов, знаменитых современников: императора Николая II, императрицу Марию Федоровну, великих князей, Ф.И. Шаляпина и многих, многих других.7
Однако, несмотря на разнообразие и характер заказов, персон, которых он писал, Н.П. Богданов-Бельский в своем творчестве отдавал всю свою любовь и сердце детям, крестьянской жизни, школе и любимому учителю.
Картина «Устный счет»
Картина «Устный счет» написана Н.П. Богдановым-Бельским в 1895 году. Полное название знаменитой картины: «Устный счет. В народной школе С. А. Рачинского»8 (Приложение), другое название картины – «Трудная задача»9.
Художник использовал в своей работе теплые тона, которые отображают хорошее настроение, доброту, и очень хорошо передал глаза ребят, их искренность и заинтересованность. Картина написана в стиле реализма, на холсте, используемая техника написания – масло. Ее размер составляет 107 на 79 см.10В настоящее время оригинал картины хранится в Третьяковской галерее.
Картина написана в память о творческой атмосфере, царившей на уроках Сергея Александровича Рачинского, в школу которого одним из первых попал бедный крестьянский пастушок Коля Богданов.11
На картине изображена деревенская школа конца 19 века во время урока арифметики при решении дроби в уме. Очень хорошо передана непринужденная обстановка урока. На втором плане картины – учитель – С.А. Рачинский, у классной доски группа деревенских мальчиков. Все персонажи картины «Устный счет», написаны с натуры, в них жители села Татево и сегодня узнают своих дедов и прадедов.12
Ученики на картине сосредоточенно думают, застыв в различных позах. Ведь так хочется каждому из них первым или одним из первых, сказать на ухо любимому учителю результат своего вычисления.
На доске записан пример, над которым размышляют дети. Пример действительно труден, но интересен:
Один из мальчиков наклонился к уху учителя. Он опередил своих товарищей и шепчет правильный ответ.
Решение задания, изображенного на картине «Устный счет»
Рассмотрим задание, изображенное на картине «Устный счет», и решим его известными способами.
Способ 1. Первое, что приходит в голову – это решение задания «в лоб». Зная таблицу квадратов, находим сумму квадратов чисел:
102 + 112 + 122 + 132 + 142= 100 + 121 + 144 + 169 + 196 = 730.
Затем делим полученный результат на знаменатель, равный 365, и получаем значение выражения равное 2.
Этот способ решения задания, изображенного на картине «Устный счет», потребует внимательности и умения держать в уме несколько промежуточных ответов, поэтому он не считается рациональным и оригинальным.
Способ 2. Следующий способ решения данного задания основан на применении опорного числа. Способ состоит в том, что произведение двух чисел представляется в виде суммы произведений десятков и единиц этих чисел, т.е. для нашего примера получим:
10 х 10 = 100;
11х11 = (11+1)х10 + 1х1 = 121;
12х12 = (12+2)х10 + 2х2 = 140 + 4= 144;
13х13= (13 + 3) х 10 + 3х3 =160 + 9 = 169;
14 х 14 = (14 +4) х 10 + 4х4 = 180 + 16 = 196.
Затем находим сумму полученных значений, делим на 365, и получаем ответ равный 2.
Этот способ позволяет просто и быстро перемножать два любых числа, но удобен только для чисел меньше 20.
Способ 3. Можно использовать упрощение числителя дроби данного задания, основанное на применении формул сокращенного умножения (квадрата суммы и квадрата разности). В нашем случае, если все слагаемые выразить через число 12, то получим:
(12 – 2)2 + (12 – 1)2 + 122 + (12 + 1)2 + (12 + 2)2 = 144 – 48+ 4 + 144 – 24 + 1 + 144 + 144 + 24 + 1 + 144 + 48 + 4 = 144х5 + 10 = 730
Затем, аналогично предыдущим способам, получаем значение выражения равное 2.
Способ 4.Мне показалось интересным решение данного задания не с помощью точных вычислений, а с помощью оценки13. Возьмём квадрат среднего числа 12, равный 144, округлим его до 150 и умножим на количество слагаемых задания, получим: 150 х 5 = 750. Затем, разделив полученное произведение на 365, получим примерно 2,05. Поскольку ясно, что устный счет должен оперировать целыми числами, то получаем значение выражения равное 2.
Этот ответ получен очень быстро, но требует проверки. Для этого оценим полученный результат. Найдем квадраты наименьшего и наибольшего чисел в данной сумме, равные 100 и 196, умножим на количество слагаемых и разделим на 365.Получим:
100 х 5 = 500, 500 : 365 > 1;
196 х 5 <200 х 5 = 1000, 1000 : 365 <3
Итак, получаем, что наше целое значение больше 1 и меньше 3, т.е. равно 2.
Способ 5.Самым быстрым и интересным оказался способ решения данного задания, при котором знаешь особенность последовательности целых чисел в числителе.
Действительно, можно заметить, что для чисел 10, 11, 12, 13, 14 сумма квадратов первых трех из них равна сумме квадратов двух последних:
102 + 112 + 122 = 132 + 142
Так как 100 + 121 + 144 = 365, и 169 + 196 = 365, то легко увидеть, что числитель дроби в два раза больше знаменателя, т.е. значение изображенного на картине выражения равно 2.
Итак, знаменитое задание С.А. Рачинского, изображенное на картине «Устный счет»,обладает специфическим свойством, которое помогает решить его быстро в уме. Такая последовательность целых чисел еще называется последовательностью Рачинского14.
ГЛАВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Исследование закономерности данной последовательности чисел
Исследуем последовательность целых чисел, изображенных на картине «Устный счет».
Для начала докажем, что ряд из пяти последовательных целых чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних не единственный. Но, в отличие от предложенного Я.И. Перельманом, составим более рациональное уравнение, обозначив последовательные числа, взяв за Х среднее число, следующим образом:
1 число - (Х – 2)
2 число - (Х – 1)
3 число - Х
4 число - (Х + 1)
5 число - (Х + 2)
Так как сумма квадратов первых трех чисел должна равняться сумме квадратов двух последних, то получим и решим уравнение:
(Х-2)2+ (Х- 1)2 + Х2 = (Х +1)2 + (Х +2)2
Х2 – 4Х +4 + Х2 -2Х +1 + Х2 = Х2 +2Х + 1 + Х2 +4Х + 4,
Х2 – 12Х = 0,
Х (Х – 12) = 0,
Х1 = 0; Х2 = 12.
Итак, имеем два решения данного уравнения, что позволяет составить два выражения.
Одно уже известное нам, увиденное на картине, это 10, 11, 12, 13, 14.
Второе решение – это ряд чисел -2, -1, 0, 1, 2.
В самом деле,
(-2)2 + (-1)2 + 02 = 12 + 22=5.
Таким образом, других пяти последовательных целых чисел, обладающих таким свойством, нет.
Это соотношение имеет практическое применение. Его можно использовать для составления задач по теме «Площади».Так, если сумма площадей трех квадратов равна сумме площадей двух квадратов, то какими последовательными натуральными числами могут выражаться стороны квадратов?
+ + = +
Поиск других закономерностей последовательностей целых чисел
На картине мы видим 5 чисел. Я решил исследовать аналогичную закономерность для 7, 9, 11 и т.д. последовательных целых чисел аналогичным способом. У меня получилось следующее.
Пусть (Х–3); (Х – 2); (Х – 1); Х; (Х + 1); (Х + 2); (Х+3) семь последовательных целых чисел, тогда (Х-3)2 + (Х-2)2+ (Х- 1)2 + Х2 = (Х +1)2 + (Х +2)2+ (Х +3)2
Х2-6Х +9 + Х2 – 4Х +4 + Х2 -2Х +1 + Х2 = Х2 +2Х + 1 + Х2 +4Х + 4+ Х2 +6Х + 9,
Х2 – 24Х = 0,
Х (Х – 24) = 0,
Х1 = 0, Х2 = 24.
То есть, последовательные целые числа 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 и -3,-2,-1,0,1,2,3 обладают свойством: сумма квадратов первых четырех из них равна сумме квадратов последних трех. Действительно:
212 +222 + 232 + 242 = 2030; 252 +262 + 272 =2030.
Или (-3)2 + (-2)2 + (-1)2 + 02 = 14, 12 + 22 + 32 = 14.
Таким же образом, с помощью квадратного уравнения, я получил две последовательности из 9 чисел.
Это 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 и -4, -3, -2, -1, 0. 1, 2, 3, 4
где 362 +372 + 382 + 392 +402=7230 и 412 +422 + 432 + 442 = 7230
(-4)2 + (-3)2 + (-2)2 + (-1)2 + 02 30 и 12 + 22 + 32 +42= 30.
И из 11 чисел: 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, здесь суммы квадратов первых 6 чисел и последних 5 равны 19855.
Это исследование можно продолжать и для большего нечетного количества последовательных целых чисел, где сумма квадратов первых k чисел, равна сумме квадратов следующих k-1 чисел, что даёт возможность найти достаточно много вариантов заданий, аналогичных заданию, представленному на картине.
Докажем это. Пусть задана последовательность целых чисел
(Х-n), …(Х-2), (Х-1), Х, (Х+1), (Х+2), ..., (Х+n).
Тогда (Х-n)2+ …+(Х-2)2+ (Х-1)2+ Х2 = (Х+1)2+ (Х+2)2+ ...+(Х+n)2
Так как последовательность, состоящая из целых чисел, симметрична относительно числа Х, то после упрощения уравнение примет вид Х (Х- t)=0, корнями которого будут целые числа 0 и t.
Закономерность для суммы квадратов последовательности целых чисел: сумма квадратов первых k чисел, равна сумме квадратов, следующих k-1 чисел, является характеристикой последовательностей Рачинского. Знание таких последовательностей помогает быстро решать многие задачи из знаменитой книги «1001 задача для умственного счета в школе С.А. Рачинского».Однако самым элементарным является известное с древности соотношение, называемое «Пифагоров треугольник», при котором: для последовательности трех целых чисел 3, 4 и 5, выполняется равенство: 32 + 42 = 52.
Если рассматривать последовательность только натуральных чисел, обладающих полученным свойством, то получим, что сумма площадей нечетного количества квадратов первых k чисел, равна сумме площадей квадратов, следующих k-1 чисел.
+ +… + = + + … +
k k-1
Исследование закономерности чисел для суммы кубов
Меня заинтересовал вопрос, а найдутся ли пять последовательных целых чисел, которые будут обладать таким же свойством, что и числа, изображенные на картине, но для суммы кубов, то есть сумма кубов первых трех из них равна сумме кубов двух последних.
Зададим пять последовательных целых чисел:
1 число - (Х – 2)
2 число - (Х – 1)
3 число - Х
4 число - (Х + 1)
5 число - (Х +2)
Попробуем выяснить, возможно ли выполнение равенства
(Х-2)3+ (Х- 1)3 + Х3 = (Х +1)3 + (Х +2)3.
Упростив полученное уравнение, получим:
Х3 – 6Х2 +12Х -8 +Х3 -3Х2 + 3Х -1 +Х3 = Х3 + 3Х2 +3Х + 1 +Х3 + 6Х2 + 12Х + 8,
Х3 – 18Х2 – 18 =0 или
Х3 = 18Х2 + 18.
Мне не удалось решить получившееся уравнение, однако, в ходе исследования этого уравнения я заметил, что при Х = 18, значение функции У= Х3 меньше соответствующего значения функции У = 18Х2 – 18. Действительно, 183 = 5832, а 18х182 + 18 = 5850, то есть 5832 < 5850. Но при Х = 19, наоборот, значение функции У = Х3 больше соответствующего значения функции У = 18Х2 – 18.
Действительно, 193 = 6859, а 18х192 + 18 = 6516, то есть 6859 > 6516.
Из этого можно сделать вывод, что уравнение Х3 = 18Х2 + 18, а, следовательно, и уравнение Х3–18Х2–18 =0 имеет своим решением дробное число 18<X<19, целочисленных же корней оно не имеет. То есть не существует ряда из пяти последовательных целых чисел, сумма кубов первых трех из которых равна сумме кубов двух последних.
В ходе исследования данной задачи я заметил, что 33 + 43 + 53 = 63. В самом деле,
27 + 64 + 125 = 216 и 63 = 216, из чего следует, что есть четыре последовательных числа, из которых сумма кубов первых трех равна кубу последнего.
Встал вопрос: единственный ли это ряд, обладающий полученным свойством? Чтобы ответить на этот вопрос, я опять решил прибегнуть к уравнению.
Зададим четыре последовательных числа (уберем последнее из них):
1 число - (Х – 2)
2 число - (Х – 1)
3 число - Х
4 число - (Х + 1)
Так как сумма кубов первых трех из них должна равняться кубу четвертого, то составим и решим уравнение: (Х – 2)3 + (Х – 1)3 + Х3 = (Х + 1)3.
Применяя формулы сокращенного умножения, раскроем скобки
Х3 – 6Х2 + 12Х – 8 + Х3 – 3Х2 + 3Х -1 + Х3 = Х3 + 3Х2 + 3Х + 1,
далее упростим: 2Х3 – 12Х2 + 12Х – 10 =0,
Х3 – 6Х2 + 6Х – 5 = 0,
и разложим на множители способом группировки:
Х3 – 5Х2 – Х2 + 5Х + Х – 5 = 0,
Х2(Х – 5) – Х (Х – 5) + 1(Х – 5) =0,
(Х – 5) (Х2 – Х + 1) = 0,
Х – 5 = 0 или Х2 – Х + 1 = 0,
Х = 5.
Для решения уравнения Х2 – Х + 1 = 0 или уравнения Х2 = Х – 1 я использовал графический способ.
Для этого на одной координатной плоскости построим графики функций:
У=Х2и У=Х–1.
По рисунку видно, что точек пересечения графики не имеют, откуда делаем вывод, что уравнение Х2 – Х + 1 = 0 не имеет корней.
В настоящее время на уроках алгебры мы начали проходить тему «Квадратные уравнения», поэтому это уравнение можно решить вторым способом, с помощью дискриминанта:
D=(-1)2-4х1х1=-3<0.
Итак, данное уравнение корней не имеет.
Таким образом, задача единственное решение:
1 число 5 – 2 =3;
2 число 5 – 1 = 4,
3 число 5;
4 число 5 + 1 = 6.
То есть существует единственная последовательность из четырех целых чисел, сумма кубов первых трех которых равна кубу последнего: 3, 4, 5, 6.
Это означает, например, что куб, ребро которого 6 см, равновелик сумме трех кубов, ребра которых равны 3 см, 4см и 5см соответственно:
+ + =
Выражения для устного счета, полученные в ходе исследования
В ходе исследования я нашел особенности последовательностей целых чисел и предлагаю несколько числовых выражений для устного счета, аналогичных тем, которые мы видим на картине художника Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет» или «Трудная задача».
Примеры:
1).
2).
3).
4).
5).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Трудность решения в какой-то мере
входит в само понятие задачи:
там, где нет трудности, нет и задачи
Д. Пойа15
Известно, что одна и та же математическая закономерность может послужить основой для довольно большого числа внешне различных задач и может иногда давать неожиданные и оригинальные результаты. Вычислители – виртуозы во многих случаях облегчают себе работу, прибегая к несложным математическим преобразованиям. Замечать интересные особенности ряда чисел или других математических величин для меня увлекательно и интересно. Кроме того, занимаясь такой работой, мы приучаем себя анализировать данные задачи и искать нешаблонные пути их решения, так как решение их стандартным путем зачастую громоздко и затруднительно. Такая работа полезна для успешного обучения математике, подготовке к сдаче экзаменов. Без прочного овладения основами вычислительной культуры невозможно усвоение других дисциплин.
Подводя итоги, можно сделать вывод, что сформулированная нами гипотеза доказана. Последовательности целых чисел, аналогичные изображенной на картине Н.П. Богданова – Бельского «Устный счет», обладающие специфическими свойствами существуют и их достаточно много.
Специфические свойства, последовательностей целых чисел, аналогичных изображенным на картине Н.П. Богданова – Бельского «Устный счет» найдены, доказаны и проиллюстрированы с помощью геометрических фигур: квадратов и кубов. Таким образом, показана практическая значимость полученных знаний.
Также предложена подборка заданий, полученных в результате работы, которая будет полезна на уроках математики для всех учащихся, начиная с 6 класса.
Кроме того, в ходе работы подмечены некоторые особенности последовательностей Рачинского, которые требуют знаний по теме «Арифметическая прогрессия», поэтому исследование будет продолжено.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Литература
Глейзер Г.И. История математики в школе/Г.И. Глейзер.– М.: Просвещение, 1981.
МинковскийВ.Л. За страницами учебника математики: учебное пособие для учащихся VIIкласса/В.Л. Минковский.– М.: Просвещение, 1966.
Нагибин Ф.Ф.Математическая шкатулка/Ф.Ф. Нагибин.– М.:Просвещение, 1988.
Перельман Я.И. Занимательная алгебра/Я.И. Перельман; под ред. и с доп. В.Г. Болтянского.– М.: Наука, 1967.
Электронные источники
Богданов-Бельский Н.П. [Электронный ресурс] – Режим доступа:http://gorenka.org/index.php/bogdanov-belskij-n-p.
История жизни в картине Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет. В народной школе Н.А. Рачинского [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://topkartin.ru/kartiny/ustnyj-schet.
История одного шедевра. Н.П. Богданов-Бельский. «Устный счет. В народной школе А.С. Рачинского» – Виртуальный Русский Музей [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://rusmuseumvrm.ru/data/events/2016/03/istoriya_odnogo_shedevra_ ustniy_schet_v_narodnoy_shkole_sarachinskogo/.
История одной картины. Н.П. Богданов-Бельский «Устный счет в народной школе А.С. Рачинского» [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://obiskusstve.com/1183495077493213747/istoriya-odnoj-kartiny-n-p-bogdanov-belskij-ustnyj-schet-v-narodnoj-shkole-s-a-rachinskogo/.
Картина «Устный счет» Богданова-Бельского [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://4brain.ru/blog/картина-устный-счет/.
Методы исследования в научной работе [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://kursach37.com/metody-issledovaniya-v-nauchnoy-rabote/.
Николай Богданов-Бельский: жизнь и творчество художника [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://allpainters.ru/bogdanov-belskij-nikolaj.html.
Полознев Г. Последовательности Рачинского/ Г. Полознев// Наука и жизнь. – 2007. - №8 [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.nkj.ru/archive/articles/11443/
Рачинский С.А. 1001 задача для умственного счета в школе С.А. Рачинского/ С.А. Рачинский/ ЛитМир - Электронная Библиотека/ [Электронный ресурс] – Режим доступа:https://www.litmir.me/bd/?b=262884&p=1.
Транковский С. Устный счет/С. Транковский// Наука и жизнь. – 2006. - №7 [Электронный ресурс] – Режим доступа:https://nkj.ru/archive/articles/6347/.
Философия математики – Высказывания великих людей о математике [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.sites.google.com/ site/filosofiamatematiki/interesnye-fakty-o-matematike-1/vyskazyvania-velikih-ludej-o-matematike.
Приложение
Н.П. Богданов-Бельский, «Устный счет. В народной школе С. А. Рачинского»
1Философия математики – Высказывания великих людей о математике [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.sites.google.com/ site/filosofiamatematiki/interesnye-fakty-o-matematike-1/vyskazyvania-velikih-ludej-o-matematike.
2Перельман Я.И. Занимательная алгебра/Я.И. Перельман; под ред. и с доп. В.Г. Болтянского.– М.: Наука, 1967.
3Минковский В.Л. За страницами учебника математики: учебное пособие для учащихся VII класса/В.Л. Минковский.– М.: Просвещение, 1966.
4 Богданов-Бельский Н.П. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://gorenka.org/index.php/bogdanov-belskij-n-p.
5История жизни в картине Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет. В народной школе Н.А. Рачинского [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://topkartin.ru/kartiny/ustnyj-schet.
6Богданов-Бельский Н.П. [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://gorenka.org/index.php/bogdanov-belskij-n-p.
7 Николай Богданов-Бельский: жизнь и творчество художника [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://allpainters.ru/bogdanov-belskij-nikolaj.html.
8Картина «Устный счет» Богданова-Бельского [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://4brain.ru/blog/картина-устный-счет/.
9История одного шедевра. Н.П. Богданов-Бельский. «Устный счет. В народной школе А.С. Рачинского» – Виртуальный Русский Музей [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://rusmuseumvrm.ru/data/events/2016/03/istoriya_odnogo_shedevra_ustniy_schet_v_narodnoy_ shkole_sarachinskogo/.
10 История жизни в картине Н.П. Богданова-Бельского «Устный счет. В народной школе Н.А. Рачинского [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://topkartin.ru/kartiny/ustnyj-schet.
11 История одной картины. Н.П. Богданов-Бельский «Устный счет в народной школе А.С. Рачинского» [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://obiskusstve.com/1183495077493213747/istoriya-odnoj-kartiny-n-p-bogdanov-belskij-ustnyj-schet-v-narodnoj-shkole-s-a-rachinskogo/.
12 Картина «Устный счет» Богданова-Бельского [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://4brain.ru/blog/картина-устный-счет/.
13Транковский С. Устный счет/С. Транковский// Наука и жизнь. – 2006. - №7 [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://nkj.ru/archive/articles/6347/.
14Полознев Г. Последовательности Рачинского/ Г. Полознев// Наука и жизнь. – 2007. - №8 [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.nkj.ru/archive/articles/11443/
15Философия математики – Высказывания великих людей о математике [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://www.sites.google.com/ site/filosofiamatematiki/interesnye-fakty-o-matematike-1/vyskazyvania-velikih-ludej-o-matematike.