XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ВЕРОЯТНОСТЬ УСПЕШНОЙ СДАЧИ ЦТ ПУТЕМ УГАДЫВАНИЯ ВЕРНЫХ ОТВЕТОВ В ЧАСТИ А
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Вероятность совпадения желания с возможностью равна самому
невероятному значению.
Георгий Александров
Всем выпускникам 11-го класса предоставляется возможность сдачи централизованного тестирования (ЦТ) для поступления в ВУЗ. Тест состоит из двух частей: часть А и часть В. Часть А содержит 18 заданий в виде теста.
Нужно выбрать один вариант ответа из пяти предложенных (А1-А11, А13-А15, А17-А18) и несколько вариантов правильных ответов из пяти предложенных (А12 и А16). Эта часть тестирования позволяет при незнании ответа написать ответ наугад. Какова вероятность решить часть А централизованного тестирования таким методом на максимальный балл?
Актуальность исследования
Каждый день мы встречаемся со случайностями, и не все они могут быть приятными. Но математика со временем нашла способы оценивать вероятность наступления случайных событий.
Цель исследования:
Выявление вероятности успешной сдачи ЦТ абитуриентами путём угадывания правильного ответа в части А.
Для достижения поставленной цели требуется выполнить следующие задачи:
1) изучить разделы комбинаторики и теории вероятностей и найти формулы для нахождения вероятности угадывания вариантов ответов в тестах;
2) рассчитать вероятность угадывания вариантов ответов части А на ЦТ для необходимого количества баллов;
3) провести эксперимент с учащимися 10-11-х классов и сравнить их результаты угадываний с полученными при расчетах;
4) сравнив полученные результаты и выявив наиболее и наименее удачные результаты учащихся, сделать выводы о том, можно ли надеяться на удачу и угадать ответы части А на максимальный балл.
Гипотеза:
Вероятность угадать правильные ответы на централизованном тестировании очень мала, а это значит, что невозможно хорошо сдать ЦТ без подготовки.
Объект исследования: результаты тестовых заданий по математике.
Предмет исследования: вероятность угадывания ответов в части А в тестах на ЦТ по математике.
Методы исследования:
– анкетирование;
– метод подсчетов;
– математический анализ;
– обобщение полученных результатов;
– метод сравнения;
– эксперимент.
Практическая значимость: важностьприменения теории вероятностей и комбинаторики в реальной жизни состоит в том, чтобы показать невозможность гарантированного хорошего результата на ЦТ путем угадывания результатов в части А.
Выбранная тема является интересной и актуальной, так как позволяет старшеклассникам пересмотреть свое отношение к подготовке к ЦТ по математике и другим предметам.
ГЛАВА 1. КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.1 Комбинаторика
Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике
Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: «Сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?»
.
Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов: «Сколькими способами можно выбрать m ( ) из этих (nr) предметов?»
.
Размещения без повторений. Размещения с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: «Сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?»
.
Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: «Сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?»
.
Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями
Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: «Сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?» .
Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: «Сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы»
.
Комбинаторика
Таблица 1.1 – Формулы комбинаторики
Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей. Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка. Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка»
1.2 Теория вероятностей
Теория вероятностей —это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.
Вероятность —это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.
Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности
Классическое определение вероятности
Вероятностью события A в некотором испытании: P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A.
Свойства вероятности:
Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству: 0 ≤ P(A) ≤ 1 .
1.3 Формула Бернулли
При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания не зависит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.
Пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию. Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, значит: p = P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) – буквой q:
q = P( ) = 1 – p.
Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли: Pn(k) = pk qn-k, где q = 1 – p,
ГЛАВА 2. ЭКСПЕРИМЕНТ
2.1. Результаты анкетирования
Учащимся 10-11-х классов было предложено ответить на четыре вопроса анкеты:
|
Указать профиль_______________________________________________ Собираюсь сдавать ЦТ по математике ДА НЕТ Готовлюсь сдавать ЦТ по математике ДА НЕТ Можно угадать ответы части А на 15 баллов ДА НЕТ Можно угадать ответы части А на 50 баллов ДА НЕТ |
Таблица 2.1 – Анкета
В анкетировании приняло участие 87 учащихся 10-11-х классов.
|
Собираются сдавать математику |
Не собираются сдавать математику |
||||||||||
|
Всего 87 учащихся |
Можно угадать на 15 баллов |
Можно угадать на 50 баллов |
Можно угадать на 15 баллов |
Можно угадать на 50 баллов |
|||||||
|
варианты ответа |
да |
нет |
да |
нет |
да |
нет |
да |
нет |
|||
|
количество |
57 |
9 |
19 |
47 |
20 |
1 |
11 |
10 |
|||
|
% |
86% |
14% |
29% |
71% |
95% |
5% |
52% |
48% |
|||
Таблица 2.2 – Результаты анкетирования
Закономерно то, что те учащиеся (29%), которые собираются сдавать математику и готовятся к ЦТ, надеются на удачу (угадать на 50 баллов) меньше, чем те, кто не собирается сдавать ЦТ (52%).
Также учащимся было предложено наугад поставить крестики в бланках части А по ЦТ:
Таблица 2.3 – Бланк ответов
2.2. Расчет вероятностей угадывания ответов
Минимальный балл на ЦТ по математике для поступления в ВУЗы был 20 баллов для первого профильного предмета и 10 баллов для второго профильного предмета (Приложение А)
Проанализировав таблицу соответствия первичных и тестовых баллов централизованного тестирования 2021 г. по математике (Приложение Б), можно сделать следующий вывод: чтобы набрать 15 баллов на ЦТ, достаточно решить 3 задания из части А, а на 50 баллов – 13 заданий из части А. Всего 18 заданий. Расчет вероятности угадывания производился по 16 заданиям, так как в А12 и А16 подразумевается несколько вариантов ответа (Приложение В, Г)
Для того чтобы на ЦТ набрать 15 баллов, достаточно решить 3 задания части А. Вероятность угадать три правильных ответа из 16 равна 25%:
Для того чтобы на ЦТ набрать, например, 50 баллов, достаточно решить 13 заданий части А. Вероятность угадать 13 правильных ответов из 16 равна 0,00002%:
Результаты учащихся 10-11-х классов:
|
К-во заданий баллы |
0 «0» |
1 «2» |
2 «9» |
3 «15» |
4 «22» |
5 «26» |
6 «30» |
7 «34» |
13 «50» |
|
К-во учащихся |
4 |
10 |
19 |
25 |
12 |
9 |
7 |
1 |
0 |
|
% |
5% |
11% |
22% |
29% |
14% |
10% |
8% |
1% |
0% |
Таблица 2.4 – Результаты учащихся 10-11-х классов
Согласно теории вероятностей, возможность угадать правильные ответы на 15 баллов является 25%, что подтвердил эксперимент, проводимый с учащимися 10-11-х классов, которые в 29% случаев набрали необходимый результат. Вероятность угадать правильные ответы на 50 баллов составляет 0,00002%. Результаты эксперимента также показали низкую вероятность (никто из учащихся не получил 50 баллов). Наиболее близким результатом стал следующий – 7 заданий на 34 балла (1%учащихся).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты эксперимента и их теоретическое обоснование подтверждают правильность выдвинутой гипотезы.
Ни один из учащихся не смог набрать то количество баллов, которое необходимо для успешной сдачи ЦТ по математике (математика профильный предмет), выбирая ответы наугад.
Набрать 15 баллов, однако, не представляется сложным, но этих баллов может не хватить для поступления в ВУЗ, где математика является первым профильным предметом.
Результаты исследования были представлены учащимся в виде буклетов, где можно было узнать вероятность угадывания ответов, а также ряд полезной для будущих абитуриентов информации (Приложение Д).
Данные исследования позволяют сделать вывод, что только планомерная, вдумчивая и добросовестная учеба в школе позволит учащимся успешно сдавать ЦТ. Как справедливо заметил историк Бауржан Тойшибеков, вероятность удачи тем выше, чем усерднее работаешь на неё.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 7-е, стер. –– М.: Высш. шк., 1999. –– 479 с.: ил.
Сайт Адукар [Электронный ресурс]. –– Режим доступа: https://adukar.com/by/?text. –– Дата доступа: 18.09.2021.
Сайт РИКЗ [Электронный ресурс]. –– Режим доступа: https://rikc.by/.– Дата доступа: 17.09.2021
Сайт СИЛА ЗНАНИЙ [Электронный ресурс]. –– Режим доступа: https://ya-znau.ru/znaniya/zn/80. –– Дата доступа:19.09.2021
Сайт skysmart [Электронный ресурс]. –– Режим доступа: https://skysmart.ru/articles/mathematic/teoriya-veroyatnostej-formuly-i-primery/. –– Дата доступа:19.09.2021
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
ТАБЛИЦА СООТВЕТСТВИЯ ПЕРВИЧНЫХ И ТЕСТОВЫХ БАЛЛОВ
ЦТ 2021 Г. ПО МАТЕМАТИКЕ
|
Первичный балл |
Тестовый балл |
|
0 |
0 |
|
1 |
2 |
|
2 |
9 |
|
3 |
15 |
|
4 |
22 |
|
5 |
26 |
|
6 |
30 |
|
7 |
34 |
|
8 |
37 |
|
9 |
40 |
|
10 |
43 |
|
11 |
46 |
|
12 |
48 |
|
13 |
50 |
|
14 |
52 |
|
15 |
54 |
|
16 |
55 |
|
17 |
57 |
|
18 |
58 |
|
19 |
60 |
|
20 |
61 |
|
21 |
62 |
|
22 |
64 |
|
23 |
65 |
|
24 |
66 |
|
25 |
68 |
|
26 |
69 |
|
27 |
70 |
|
28 |
72 |
|
29 |
73 |
|
30 |
74 |
|
31 |
76 |
|
32 |
77 |
|
33 |
79 |
|
34 |
80 |
|
35 |
81 |
|
36 |
83 |
|
37 |
84 |
|
38 |
86 |
|
39 |
88 |
|
40 |
90 |
|
41 |
91 |
|
42 |
93 |
|
43 |
95 |
|
44 |
98 |
|
45 |
99 |
|
46 |
100 |
ПРИЛОЖЕНИЕ В
РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТИ УГАДЫВАНИЯ БАЛЛОВ
«2 балла»
«9 баллов»
«15 баллов»
«22 балла»
«26 баллов»
«30 баллов»
«34 балла»
«37 баллов»
«40 баллов»
«43 балла»
«46 баллов»
«48 баллов»
«50 баллов»
«52 балла»
«54 балла»
«58 баллов»
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
ОТВЕТЫ ЦТ 2021 ГОДА
|
Задание |
Ответы |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
|
А1 |
1 |
4 |
2 |
3 |
5 |
5 |
3 |
1 |
2 |
4 |
|
А2 |
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
4 |
1 |
3 |
5 |
2 |
|
А3 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5 |
1 |
4 |
2 |
3 |
5 |
|
А4 |
1 |
2 |
5 |
3 |
4 |
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
А5 |
4 |
1 |
2 |
5 |
3 |
5 |
2 |
4 |
3 |
1 |
|
А6 |
3 |
2 |
5 |
1 |
4 |
2 |
5 |
1 |
4 |
3 |
|
А7 |
5 |
1 |
3 |
4 |
2 |
5 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
А8 |
4 |
2 |
1 |
3 |
5 |
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
|
А9 |
1 |
3 |
4 |
5 |
2 |
2 |
5 |
4 |
1 |
3 |
|
А10 |
2 |
5 |
1 |
4 |
3 |
1 |
3 |
5 |
4 |
2 |
|
А11 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
4 |
1 |
2 |
5 |
3 |
|
А12 |
1,2 |
3,5 |
1,3 |
2,4 |
1,4 |
2,5 |
2,3 |
1,5 |
1,4 |
2,3 |
|
А13 |
5 |
3 |
2 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
А14 |
3 |
4 |
1 |
5 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
|
А15 |
4 |
5 |
2 |
3 |
1 |
4 |
5 |
3 |
1 |
2 |
|
А16 |
1,5 |
4,5 |
3,4 |
2,3 |
1,2 |
2,4 |
3,5 |
1,4 |
1,3 |
2,5 |
|
А17 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5 |
|
А18 |
2 |
5 |
4 |
1 |
3 |
4 |
2 |
1 |
5 |
3 |
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
БУКЛЕТ