XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Удивительные возможности квадратного листа бумаги

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Масалова А.А. 1

---

1МКОУ Ангарская школа

Камскова Е.И. 1

---

1МКОУ Ангарская школа

Работа в формате PDF

1.6 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Без развитого творческого мышления, опираясь только на подражание - «сделай, как показали», нельзя усвоить материал, то есть нельзя понять «науку». Геометрия влияет на формирование стиля мышления. Оперируя геометрическими объектами, непроизвольно усваиваются геометрические понятия, изучаются свойства фигур. Гораздо легче постигать науку, используя интересные практические задания. И это мы хотим доказать в работе. В процессе обучения геометрии школьник должен владеть разными приёмами решения задач, оперируя необходимыми пояснениями и объяснениями. Для многих учеников очень трудно даётся изучение и доказательство теорем. Это проявляется в отсутствии достаточной наглядности, оторванностью геометрии от практической жизни.

Мы хотим раскрыть другую геометрию, которая дополняет и украшает известную нам геометрию. Простой лист бумаги оживает в руках ученика и может стать наглядным и эффективным инструментом исследования, в отличие от современных компьютерных программ. Оригаметрия–это объединение оригами и геометрии, очень молодая область, и, наверное, поэтому мы не нашли ни соответствующих программ, ни учебников для старшей группы классов. Нашей задачей является использование приемов сгибания бумаги для решения геометрических задач.

Актуальность темы заключается в возможности для каждого, изучающего геометрию, использовать операции перегибания квадратного листа бумаги. Они включают в себя всю геометрию линейки и циркуля. Уже в начале 20 века Я. Перельман , доказал универсальность операции перегибания. В России мощный толчок развитию оригами дали две общественные организации — Московский и Петербургский центры оригами, созданные в 1989 и 1991 гг. соответственно. Оригами вводится как дополнительный предмет или факультатив в ряде школ нашей страны. В октябре 1995 г. вышел в свет одобренный Министерством образования РФ учебник для начальной школы «Уроки оригами в школе и дома» .

А французский ученый Артур Гуд говорил о влиянии занятий бумажной геометрии на мышление . Складывание из бумаги существовало в школах во всём мире с конца XIX века. В Европе, в Южной Америке, в Великобритании, в Северной Америке и в Японии, всего более 30 стран, детские сады работали по методике Ф.Фрёбеля, который первым предложил использовать складывание бумажного листа бумаги как метод обучения основам геометрии. Мне пришла идея исследовать операцию сгиба и научить своих одноклассников изучать геометрию на квадратном листке бумаги. Мне кажется этот способ необычный и интересный, так как многие понятия школьного курса геометрии просто и наглядно объясняются операцией сгиба. Сотни учителей в разных странах пробуют применять сегодня оригами в школах16.

Мне пришла идея исследовать операцию сгиба и научить своих одноклассников изучать геометрию на квадратном листке бумаги. Мне кажется этот способ необычный и интересный, так как многие понятия школьного курса геометрии просто и наглядно объясняются операцией сгиба. Возможно, это направление войдет в учебники математики последующих поколений.

Работая над исследованием, изучили статьи из книг, раскрывающие науку математику. В книге «О преобразовании многоугольников» автор доказал, что из многоугольника можно сделать квадрат. А в книге «Удивительный квадрат» автор изложил доказательства некоторых свойств квадрата. Из этой книги были разобраны задачи на построение геометрических фигур из квадрата. Основным материалом для исследования стали книги Якова Перельмана , в которых раскрываются задачи по занимательной математике. Энциклопедией решения различных задач является также книга из серии «Занимательная математика»

В книге «Занимательные опыты с бумагой» открывается разнообразное использование бумаги для знакомства с наукой геометрией. А в книге «Увлекательная математика» преподносятся интереснейшие уроки геометрии. В «Энциклопедии оригами» познакомились с теоремой Хага, которая раскрыла многие обычные теоремы на языке оригами. Многие вопросы уточнялись и обобщались на сайтах , ,16,только там мы встретились с теоремой Хага подробно и её следствиях. Мы смогли раскрыть тему исследования, используя материал из источников, для усвоения школьной программы.

Проблема: можно ли доказать операцией сгиба квадрата, не применяя циркуля и линейки, свойства геометрических фигур.

Таким образом, выдвигается следующая гипотеза: искусство оригами связано с математикой, т. е. его можно использовать при решении геометрических задач.

Цель работы:

Изучение свойств геометрических фигур методом сгиба с помощью квадратного листа бумаги.

Задачи:

Изучить информацию в литературе по данному методу.

Проанализировать связь оригами и геометрии.

Изучить метод сгиба для доказательства теорем, построения геометрических фигур, вычисления элементов фигур.

Провести мастер-класс по теме «Эта особенная геометрия»

Объект исследования – свойства геометрических фигур.

Предмет исследования – геометрические задачи, решаемые с помощью техники оригами.

Методы исследования:

1.Эксперимент с фигурами (техника оригами).

2.Наблюдение.

3.Описание свойств геометрических фигур.

4.Сравнение различий и сходств геометрических фигур.

5. Опрос

План работы:

1. Изучить литературу по исследованию.

2.Изучить взаимосвязь геометрии и оригами.

3. Выяснить базовые понятия перегибания квадратного листа бумаги.

4. Выявить теоретические основы оригаметрии.

5.Вывести и доказать некоторые замечательные свойства квадрата.

6. Провести опрос по теме исследования.

7. Провести мастер-класс «Эта особенная геометрия».

свойства геометрических фигур.

ГЛАВА I. ОРИГАМЕТРИЯ

Взаимосвязь геометрии и оригами

Оригами - японский вид искусства, такой же древний, как и математика.

Рисунок 1. Фото А. Фрёбеля

Немецкий педагог Фридрих Вильгельм Август Фрёбель в середине XIX века заметил в оригами геометрическую особенность, хотя сам не владел техникой складывания фигур, и этот курс ввели как учебный предмет в школе. Педагог доказал, что с помощью оригами развивается подвижность и точность движений пальцев как правой, так и левой руки. Фрёбель постоянно доказывал, что с помощью оригами улучшаются знания и умения учеников при изучении геометрии 2, с.5.

Основы геометрии он предлагал изучать не с помощью циркуля, линейки и некоторых понятий, а на примере складывания бумаги.

Имея четыре вершины и четыре стороны у квадрата, можно сделать один из сгибов:либо книжный, либо диагональный. Книжный сгиб получается при наложении двух противоположных сторон, которые при этом сгибе делятся пополам. Диагональный сгиб получается при наложении двух противоположных вершин. Какую ещё точку, кроме вершины, можно взять на стороне квадрата, не используя циркуль и карандаш? Конечно, самая простая - середина. Чтобы отметить середину, можно начать делать книжный сгиб не до конца, т.е. сделать небольшую складку на середине стороны квадрата. Такие складки называются отметками, а середина становится опорной точкой.

Если связать идею перегибания листа в оригами с математикой, получим новый раздел геометрии – оригамику, где используется для построения, доказательства и вычисления лист бумаги.  Японский математик Хумиани Хузита, проживающий в Италии, в конце XX века этот способ   назвал оригаметрией.

Кадзуо Хага – энтузиаст, который играя с бумажным листом, обнаружил, что «это и есть научный подход!" Рабочим материалом является бумага, а инструментом – руки, и, по словам мастера оригами, «голова работает руками». Перегибая бумажные листки, понимаем, что это особенный подход, где изучать материал можно через поиск, закреплять через эксперименты, а обобщать через открытие нового10, с.23.

Вывод: оригами тесно связано с геометрией и может стать хорошей основой для изучения геометрических понятий. Многие понятия курса геометрии в школе можно без циркуля и линейки объяснять проще и нагляднее с помощью оригами.

2. Основы операции перегибания квадратного листа бумаги

Операция перегибания листа бумаги занимает особое место среди всевозможных действий с бумагой. С её помощью можно получать наглядное представление о свойствах фигур на плоскости и в пространстве. Квадратный листок может оказаться пособием для усвоения математической науки. Практические сгибания бумаги порождают особую геометрию. Края листа и складки от перегибов–это линии в этой геометрии, вершины углов и точки пересечения складок - точки.В этой части исследования мы будем пользоваться инструментами: точки, линии, квадратный лист бумаги, а не привычными циркулем и линейкой.

Геометрия начинается с аксиом. Систему аксиом (табл. 1) (приложение 4) для теории сгибания квадратного листа предложил японский математик Хумиани Хузита. Таких аксиом всего семь .Наука оригаметрия опирается как на аксиомы геометрии, так и на операции, производимые при складывании бумажного листа.

Выясним соответствие аксиом оригамики с аксиомами геометрии16.

Аксиомы геометрии:

1.Построение отрезка по двум точкам.

2. Построение луча из данной точки, проходящего через другую точку.

3. Построение прямой, проходящей через две точки.

4. Построение окружности определённым радиусом, проходящую через центр.

5. Построение точки пересечения двух прямых.

6. Построение точки пересечения двух окружностей.

7. Построение точки пересечения прямой и окружности.

8. Построение точки, принадлежащей геометрической фигуре и не принадлежащей ей.

Использование аксиом оригамики 1 – 5 предполагает использование чертёжного угольника по аксиомам геометрии. То есть решение задач на построение возможно и при помощи циркуля и линейки, и сгибанием листа бумаги. Аксиома 6 имеет больше преимуществ в построении при помощи перегибания квадратного листа бумаги, чем при использовании чертёжных инструментов.

Описанные аксиомы оригамики соответствуют аксиомам геометрии, а значит методом перегибания листа бумаги можно решать некоторые геометрические задачи.

Методом оригами можно решать три вида задач11, с.87:

задачи на построение:

задачи на доказательство;

задачи на вычисление.

Любая задача оригаметрии делится на четыре части:12, с.74

Постановка задачи, анализ условия, выделение и исследование заданных величин.

Решение с помощью оригами с проверкой выполнения заданных условий или построение определённой фигуры.

Математическое обоснование, доказательство того, что действительно получена фигура с заданными свойствами.

Исследование задачи.

Вывод: различные построения и фигуры оригами выполняются, как правило, из складывания квадратного листа бумаги. И в основе всех перегибаний лежат аксиомы. Система аксиом схожа с системой аксиом нашей геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. А возможности перегибания листа бумаги настолько велики, что можно решать большое разнообразие задач.

3.Теорема Хага-теоретическая основа оригаметрии

74 –летний Хага носит большие очки с чёрной оправой. Она придаёт геометрические очертания его лицу. Хага не связывает себя с какими- либо условностями в оригами. В 1978 году он нарушил традиционную первую складку, иприложил угол на середину противоположной стороны, после этогопроизошли новые открытия в мире оригамики 13, с.121.

Два человека, Хага и Пифагор, стремятся к математическим открытиям, в основе которых восхищаются красотой науки геометрии. «Моя цель открывать новые математические феномены. Вот почему я нахожу оригами таким интересным. Оказывается, в очень, очень простом мире всё ещё можно обнаружить захватывающие вещи», - говорит Хага 17.

В оригамике популярна теорема Хага.

Теорема Хага:

Если совместить вершину квадрата с серединой противоположной стороны, то длины сторон получившихся прямоугольных треугольников соотносятся как 3:4:5 (рис.2)

Доказательство:

Дано: АВСD–квадрат, ВМ=МС, пусть сторона квадрата равна а

Доказать:CQ: MC: MQ=3:4:5

Доказательство: 1) :

CQ+QD=a

MQ+CQ=a, т.к. QD = MQ (по построению)

По теореме Пифагора МС²+ CQ²= MQ²

МС²+ CQ²=(a-CQ)²

(a/2)²+CQ² = (a-CQ)²

_a²/4-a²+ =0

_,,

_{Получили}: , a , т.е. CQ: MC: MQ=3:4:5

Вывод:

1) СторонаCD делится точкой D в отношении 3:5,

2) Сторона АВделится точкой Р в отношении 2:1,

3) Сторона АВ делится точкой Н в отношении 1:7.

Результат теоремы можно использовать для деления отрезка на равные части. Метод сгиба можно использовать для поиска алгоритма решения задач на геометрические построения.

Рисунок 3. Три египетских треугольника

Х ага сложил угол на середину стороны и получил три не простых прямоугольных треугольника. Треугольники А, В, С — известные треугольники с названием египетские треугольники (рис.3).Эти треугольники - начало геометрии. Их использовали египтяне в древности, когда делали разметки земельных участков в низовьях Нила. Египетский треугольник с помощью циркуля и линейки строится намного дольше, зато в оригамике обходимся одним сгибом 5, с.29.

Хага открывает две другие «оригами-теоремы», а по его словам, у него таких еще с полсотни (рис.4).Он отметил произвольную точку на одной из сторон, сложил противоположный угол и сделал складку, а потом развернул листок.

Рисунок 4. Пересечение двух складок

для произвольной точки на стороне

Затем сложил другой противоположный угол с этой же отметкой, получил вторую складку. Образовался квадрат с двумя пересекающимися линиями.

Хага показал: пересечение двух складок происходит на средней линии листа бумаги, а расстояние от произвольной точки до пересечения всегда равно расстоянию от точки пересечения до противолежащих углов (рис.5) .

Три теоремы Хага можно показать на следующих рисунках

Рисунок 5. Три теоремы Хага

Вывод: теорема Хага - основная теорема оригаметрии. С помощью этой теоремы выполняется деление квадрата на равные части. И этот результат можно получить буквально одним сгибом. Хага сложил угол на середину стороны и получил три египетских треугольника. Сложил на произвольную точку и пересечение двух складок происходит на средней линии листа.

ГЛАВА II. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ОРИГАМИ

Задачи на доказательство

Решение задач с помощью оригаметрии–способ, когда понятия школьного курса геометрии просто и наглядно объясняются демонстрацией оригами. Исследуем квадратный лист и выведем некоторые свойства, опираясь на геометрию и оригамику (таб.2):

Таблица 2. Свойства квадрата в оригаметрии

Вывод: все доказательства задач излагаются на языке сгибов, но могут быть переписаны в привычной для нас форме. А правильность их решения легко подтверждается теоремами, изучаемыми по школьной программе.

2.Задачи на построение

Р авностороннийтреугольник в квадрате4, с.12

В квадрате ABCD строим серединный перпендикуляр к AD, перегнем квадрат по линии, проходящей через точку А, чтобы точка В совместилась с точкой G перпендикуляра. Линия сгиба пересечет сторону ВС в точке Е, а при перегибании квадрата по диагонали АС точка Е совпадёт с точкой F.

И з равностороннего треугольника шестиугольник4, с.13

Образуем точку О пересечением двух биссектрис. Загнем углы треугольника, чтобы их вершины совместились с точкой О.

И з квадрата восьмиугольник4, с.13

Проведем диагонали квадрата, серединный перпендикуляр к стороне AD и биссектрисы углов между диагоналями и этим перпендикуляром. Загнем углы квадрата, чтобы линии сгиба проходили через точки пересечения биссектрис со сторонами квадрата, а вершины углов А, В, С, D оказались на диагоналях

Построение правильных многоугольников

Восьмиугольник (схема 1) (приложение 5)14

Шестиугольник (схема 2)(приложение 5) 14

Пятиугольник (схема 3) (приложение 5)14

К вадрат в квадрате4, с.14. Сгибаем квадрат пополам, ещё раз, получили квадрат. В правом квадрате две диагонали. Левый нижний угол с центром правого квадрата. Отводим влево его до предыдущего сгиба. Перегибаем правую часть до полученного сгиба. Переворачиваем и сгибаем, чтобы боковые стороны совпали.

Деление квадрата на три части14.

- Сложим угол квадрата к середине противоположной стороны.

-Точка пересечения боковой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилежащей к нему, делит сторону 1:2.

.

7.Деление квадрата на девять частей14

- Разделить на три части правый нижний угол совместить с первой отметкой справа.

-Точка, полученная на правой боковой стороне, будет делить ее на 4/9(сверху) и 5/9(снизу).

- Делаем сгиб, параллельный верхнему и нижнему краю. Разница, на которую нижняя часть будет шире, чем верхняя - и есть 1/9.

8.Деление квадрата на пять частей.14

1.Делаем отметку на середине боковой стороны.

2.Делаем сгиб, проходящий через нижний левый угол квадрата и полученную отметку. Правый нижний угол расположен по горизонтали на 2/5 от правого края.

9.Деление квадрата на семь частей14

- Предварительно разделим его на пять.

-Делаем сгиб, при котором нижний правый угол совмещается со второй отметкой справа.

-Точка на правой стороне, которая образовалась благодаря этому сгибу - это 3/7 от верхнего края или 4/7 от нижнего.

-Делим нижнюю часть на 4 части, получаем 1/7.

Вывод: возможности операции перегибания квадратного листа бумаги имеют большое значение в усвоении геометрии. Свойства квадрата, изучаемые на листе, наглядны и легко проверяемы. Также без циркуля и линейки можно разделить угол пополам, построить равнобедренный и равносторонний треугольники, получить орнамент из правильных треугольников и шестиугольников. Отсюда следует, что методами оригами, то есть только перегибанием листа бумаги, можно решить любые задачи на построение, разрешимые при помощи чертёжного угольника, циркуля и линейки.

3.Задачи на вычисление

Предлагаем собственное решение задач из учебника «Геометрия 7 – 9» Л.С. Атанасяна.1

Задача №50. Угол АОВ является частью угла АОС. АОС = 108°, АОВ = 3 ВОС. Найдите АОВ.

Из листа бумаги согнем любой  ВОС. Свернем лист бумаги, чтобы образовалось еще 3 таких угла. Это  АОВ. Развернем лист бумаги, всего получилось 4 равных угла. Тогда 108°: 4 = 27° – одна часть. АОВ = 3 ·27° = 81° (рис.6).

Задача №83. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

Перегнём лист бумаги, построим два смежных  АОС и ВОС. Затем совместим сторону ОА с лучом ОС, т.е. построим биссектрису ОМ. Совместим сторону ОВ с лучом ОС, получим биссектрису ОК ВОС. Искомый МОК получился двойной, то МОК = 180 : 2 = 90° (рис. 7).

Задача № 188.Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС и DB параллельны.

Через точку пересечения АВ и СD согнуть лист так, чтобы точка А (D) наложилась на продолжении АС (DВ). При этом точка D(А) пошла по DВ (АС). То есть мы построили прямую, к которой прямые АС и DВ перпендикулярны. А по утверждению, приведенному выше, эти прямые не пересекаются и, следовательно, параллельны.

Задача № 204. Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пересекает прямые а и b в точках С и D. Докажите, что СО=ОD (доказывается наложением СО на OD).

Задача № 221. Даны треугольник АВС и точки М и N такие, что середина отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина отрезка CN - с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой.

Через крайние точки проводим прямую, при этом она должна пройти и через среднюю точку.

Задача №222 .Даны: прямая а и точка А, не лежащая на ней. С помощью сгибов через точку А. Постройте прямую, параллельную прямой а.

Из точки А к прямой а проводим перпендикуляр b. Далее к b проводим перпендикуляр с, проходящий через точку А. Получили две параллельные прямые а и с, перпендикулярные к третьей прямой b.

Олимпиадная задача 4, с.49Автор: Хачатурян А.В. Московская устная олимпиада 6-7 классов № 7.3. Из квадратного листа бумаги сложили треугольник (см. рисунки). Найдите отмеченный угол.

Решение: разогнём бумагу и отметим равные углы, которые были совмещены при сгибании (пунктирные линии на рисунке – стороны исходного квадрата ABCD, которые ранее совмещались).  MAN составляет половину прямого  BAD, то есть равен 45°. Три равных угла с вершиной M вместе образуют развёрнутый угол, поэтому  ∠AMN = 60°.  Значит,  ∠ANM = 180 – 45° – 60° = 75°.

Вывод: мы с удивлением открыли для себя новый подход к решению некоторых традиционных школьных задач с помощью техники оригами.

Опрос

Продолжая рассматривать задачи, возникает следующий вопрос: «Многие ли учащиеся знают такой способ решения?». Для этого был проведен опрос «Оригаметрия. Что это?» среди учащихся 7-ых классов (приложение 1).Количество опрошенных: 7 классы – 27 человек. Опрос показал, что большая часть учащихся не знают, что существует такой способ решения геометрических задач как оригами, однако все хотели бы его рассмотреть. Результаты опроса побудили к проведению мастер – класса «Эта особенная геометрия» (приложение 2), так как это дополнительный материал, необходимый не только для изучения геометрического материала, но и необходимость новой формы подачи этого материала.Форма изложения была не только интересной и наглядной, но и доступной при объяснении и понимании.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Квадрат - это неисчерпаемая фигура и имеющая свойства, интересные для каждого, кто стремится расширить рамки своих геометрических представлений. В результате исследования:

1. Изучена информация по теме, представленная в различной литературе. Более всего исследование основано на научных работах Я.Перельмана.

2. Показана взаимосвязь оригамики и геометрии. Как выясняется, многие понятия курса геометрии в школе гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригаметрии.

3.В основу перегибания квадратного листа положена система аксиом Хузита, рассмотрены 7 аксиом, где линии – складки, точки – вершины углов и точки пересечения складок. Система аксиом схожа с системой аксиом нашей геометрии, где в качестве основного инструмента используется чертёжный угольник. А возможности перегибания листа бумаги настолько велики, что можно решать большое разнообразие задач.

4. Теорема Хага явилась методом поиска решения задач на геометрические построения фигур. Все доказательства задач излагаются на языке сгибов, но могут быть переписаны в привычной для нас форме. И правильность их решения легко подтверждается теоремами, изучаемыми по школьной программе.

5.Разобраны пошагово задачи, как исследование, с разбором каждого сгиба и результатом полученных геометрических знаний. При помощи перегибания листа бумаги можно выполнять различные геометрические операции, не имея под рукой никаких инструментов – линейки, циркуля.

Деление стороны квадратного листа на равные части;

Построение равностороннего треугольника, вписанного в квадрат;

Построение правильных многоугольников;

Построение квадрата в квадрате.

Свойства квадрата, изучаемые на листе бумаги, наглядны и легко проверяемы.

Задачи методом оригами делились на 3 вида: на доказательство, на построение, на вычисление. Причём показано решение задач из учебника геометрия 7-9 классов автора Л.С. Атанасяна.

Проведён опрос «Оригаметрия. Что это?» и мастер-класс «Эта особенная геометрия», с помощью которого была показана связь оригами и геометрии для 7-ых классов.

Гипотеза подтвердилась: применение техники оригами на уроках геометрии помогает легче усвоить этот предмет. Изучив теоретический материал по данной теме, решая практические задачи, олимпиадные, приходим к выводу, что удивительные возможности квадрата раскрыли новый подход к геометрии.

Перспективой работы является создание модели пространственных геометрических фигур из бумаги, сопровождающихся задачами с решениями. Ученые придумали использовать приёмы оригами в космосе, а именно Миура-ори - схема жесткого складывания, которая использовалась для развертывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках. Сейчас она также используется для складывания бумажных документов, в частности карт местности. Складки расположены не перпендикулярно, а слегка под наклоном друг к другу. В результате такую карту можно развернуть и свернуть одним движением, а отсутствие многослойных складок уменьшает нагрузку на бумагу.

Цель достигнута, тема «Удивительные возможности обычного листа бумаги» раскрыла возможности изучения свойств геометрических фигур с нескольких сторон и поэтому оказалась полезной. В работе научились получать знания через квадратный лист бумаги нестандартным путём.

ЛИТЕРАТУРА

Атанасян Л.С. Геометрия 7-9.-М.:Дрофа, 2016.

Афонькин С. Ю., Афонькина Е. Ю. Энциклопедия оригами. – СПб.: Дом Кристалл, М.: Дом ОНИКС», 2000. – 272 с.

Игнатьев Е.И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех. М.: Просвещение, 2008.-198 с.

Каган В.Ф.О преобразовании многоугольников. М.: Гостехиздат, 1933.-23с.

Кордемский Б.А. , Русалев Н.В. Удивительный квадрат. М.-Л.: 1952 .-57 с.

Леман И. Увлекательная математика. М.: Наука,1978 .-124 с.

Линдгрен Г. Геометрия разрезаний. М.:, Наука, 1999.-46 с.

Перельман Я.И. Живая математика. М.: Наука, 1977.-103с.

Перельман Я.И. Занимательная геометрия. М.: АСТ, 2003 .-48 с.

Сергеев И.Н. Примени математику. М.: Наука, 1989 .-160 с.

Стивен Мойе. Занимательные опыты с бумагой. М.: Астрель, 2007.-68 с.

Тит Т. Научные забавы. М.: Издательский Дом Мещерякова, 2007,40 с.

Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. М.: Гостехиздат, 1949, 77с.

Теорема Хагадата посещения 3.01.2020.

Деление листа бумаги на равные части

http://www.liveinternet.ru дата посещения 7.01.2020.

Алекс в стране чисел http://www.e-reading.by дата посещения 8.01.2020.

Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики https://litresp.com/chitat/ru/ дата посещения 19.01.2020

Из истории оригами

Приложение 1. Анкета для учащихся 7-ых классов

1.Знаете ли вы, что такое оригами? Да - 95%, Нет -5%

2.Увлекались ли вы оригами?

Да - 42%, Нет - 21%, Иногда - 37%

3. Знакомы ли вы с историей оригами? Да – 12%, нет – 88%

4.Как вы думаете, с помощью бумаги можно решить задачу или доказать теорему? Да - 63 %, Нет - 37%

5. Есть ли у вас желание научиться решать геометрические задачи с помощью оригами? Да - 100 %, Нет - 0 %

Приложение 2. Мастер-класс « Эта особенная геометрия»3,с.45

Открою свой мастер-класс словами притчи.

«Жил мудрец, который знал всё. Один человек хотел доказать, что мудрец знает не всё. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: «Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мёртвая или живая?» А сам думает: «Скажет живая – я её умерщвлю, скажет мертвая – выпущу». Мудрец, подумав, ответил: «Всё в твоих руках».

Обратимся к теме мастер-класса «Эта особенная геометрия» и посмотрим на обычный лист бумаги, как на средство обучения одному из сложных предметов – геометрии (фото 1). Возьмите в руки лист бумаги - это плоскость. Сделайте произвольный сгиб, разверните листок, и вы увидите прямую линию. Пересечение двух таких линий даёт нам точку.

Фото 1. Мастер-класс

1 задание

Сейчас мы с вами проведем небольшую простую практическую работу (фото 2):

Сначала со мной работают те, у кого листы синего цвета. Возьмём синий треугольник, построим биссектрису одного из углов. Вспомните определение биссектрисы. (Биссектриса-это луч, выходящий из вершины угла, делящий его на две равные части). Построим биссектрисы двух других углов. Развернём лист бумаги и посмотрим на следы сгибов. Все три сгиба прошли через одну точку.

Сейчас со мной работают, у кого листы красного цвета. Возьмём красный треугольник: построим высоту. Вспомним определение высоты. (Перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника.) Повторим действия для двух других сторон. Развернём лист бумаги. Все три сгиба прошли через одну точку.

Дальше со мной работают те, у кого листы жёлтого цвета. Разделим сторону треугольника пополам, совмещая две вершины треугольника, и делаем отметку - середину стороны. Теперь сгибаем треугольник, так чтобы линия сгиба проходила через вершину треугольника и отмеченную точку. Это медиана треугольника. Вспомните определение медианы.(Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны). Построим еще две медианы треугольника и убедимся, что медианы так же пересекаются в одной точке.

Какой общий вывод можно сделать?

Фото 2. Мастер-класс

Медианы, биссектрисы и высоты обладают замечательным свойством: в любом треугольнике медианы, биссектрисы, высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

А теперь задача занимательного характера:

Из квадрата сложить рубашки. Сложим базовую форму "дверь". Мы хотим, чтобы получилась рубашка, у которой рукава с одной стороны белые, а с другой цветные (рис. 2а и 2б). Возьмите другой квадрат и сложите рубашку,  чтобы у неё был белый воротничок, а посередине разрез (рис. 3а). Если с правились, нарисуйте в пустом квадратике (рис. 3б) как будет выглядеть эта фигура сзади. Как сложить рубашку, у которой рукава цветные с двух сторон, находятся они наверху, а сама рубашка раскрывается снизу (рис. 4а и 4б).

Итак, мы научились строить основные линии в треугольнике, а также открыли теоремы о трех замечательных точках треугольника. А еще, выполняя эти практические задания, мы освоили основы оригами.

Благодарим участников команд за работу.

Подведение итогов:

Понравилось вам выполнять задания? (ответы)

Хотели бы вы таким образом изучать геометрию? (ответы)

Вывод: сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой. Заметьте, как тесно связаны оригами и геометрия. Конечно, геометрия — наука сложная. Но если изучать ее с помощью оригами, то получается это очень легко, да к тому же интересно и увлекательно.

Приложение 4. Аксиомы оригамики

Таблица 1. Аксиомы оригамики

Приложение 5. Построение правильных многоугольников

1.Построение восьмиугольника (схема 1)

2.Построение шестиугольника (схема 2).

3.Построение пятиугольника (схема 3)