XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ В НАШЕЙ ЖИЗНИ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность
Математика всегда была неотъемлемой составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, а также базой научно-технического прогресса и, главное, важной компонентой развития личности.
Математика встречается и используется в повседневной жизни, следовательно, определенные математические навыки нужны каждому человеку.
В 9 классе мы изучили арифметическую и геометрическую прогрессии, дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии, узнали формулы простых и сложных процентов. Данная тема меня очень заинтересовала, и я решила узнать, в каких областях науки и повседневной жизни могу использовать полученные знания. А также задания по данным темам встречаются на ОГЭ и ЕГЭ. У учеников недостаточно высокий уровень решения задач данного типа.
Объект исследования: геометрическая и арифметическая прогрессии.
Предмет исследования: практическое применение прогрессий.
Гипотеза исследования: если математика возникла из практических нужд человека, то и прогрессии имеют определенное практическое значение.
Проблема
В каких сферах деятельности человека используются знания об арифметической и геометрической прогрессиях?
Цель:
Выяснить, какое место в нашей жизни имеют арифметическая и геометрическая прогрессии.
Задачи исследования:
Выяснить, какие ученые положили начало изучению прогрессий.
Изучить теоретические сведения по данному вопросу.
Найти примеры существования и применения прогрессий в нашей жизни.
Проанализировать действующие учебники алгебры 9 класса на наличие задач прикладного характера на арифметическую и геометрическую прогрессию.
Методы исследования:
Анализ достоверных источников информации.
Сравнение различных сведений, касающихся исследования.
Систематизация и обобщение информации
Глава 1. Теоретические основы арифметической и геометрической прогрессий
История возникновения арифметической и геометрической прогрессий
Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Так еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ получения n-го члена последовательности простых чисел. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».
Идея предела последовательности восходит к V-IV вв. до н. э. Прогрессии - частные виды числовых последовательностей – встречаются в памятниках II тысячелетия до н.э.
Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни.
В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются задачи арифметических и геометрических прогрессий. Так, в одной из клинописных табличек древних вавилонян предлагается найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии 1, 2, 22,…,2n-1. Например, вавилонская задача, в которой используется арифметическая прогрессия: « 10 братьев, мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько он выше?». Здесь требуется по сумме первых десяти членов арифметической прогрессии мины (1 мина = 60 шекелей) и известному восьмому члену определить разность арифметической прогрессии.
При решении вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни современной символики, ни готовых формул, вынужден придержаться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли), деля мины на 10 и получая мины, ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет мины. Отсюда и находится значение одной ступени, т.е. разность прогрессии, равная от мины. [1].
А вот, например, задача из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры». [1,5].
Задачи на арифметические и геометрические прогрессии имеются и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах».
Задача из книги «Арифметика» Магницкого: Некто продал лошадь и просил за неё 1000 рублей. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря: — Нет мне резона покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: - Если по – твоему, цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего полушку (0,25 копейки), за второй- 2 полушки, за третий- 4 и так за каждый последующий в 2 раза больше. Покупатель, соблазнённый низкой ценой, и желая получить лошадь даром, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 1000 рублей. На сколько покупатель проторговался? [1,5].
Таким образом, первые задачи, дошедшие до нас на прогрессии, связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства, приплод скота, наблюдениями над явлениями природы и т.д.
Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым. Так, Ариабхатта (V в.) знал формулы общего члена, суммы арифметической прогрессии и др. Магавира (IX в.) пользовался формулой суммы квадратов натуральных чисел
и другими более сложными конечными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202 г.) Леонардо Пизанского (Фибоначчи). В «Науке о числах» (1484 г.) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула для суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII в. [1]
Известна история о немецком математике К. Гауссе (1777-1855). В детстве на уроке математике он поразил учителя тем, что быстро сложил числа от 1 до 100. Он использовал такой способ.
С начала нашей эры известна задача-легенда:
«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царем, потребовал на первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два зерна, за третью – четыре и т. д. Оказалось, что царь не был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».
Говорят, что игра в шахматы была изобретена в Индии. Царь Ширам был восхищен игрой и приказал наградить изобретателя по-царски. Изобретатель Сета был человеком бедным, скромным, не терпел хвастунов. И когда царь заявил, что выполнит любое его желание, хитро прищурился и сказал:
- Хорошо, государь. Прикажи выдать мне за первую шахматную клетку 1 зернышко, за вторую – 2, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32 …
- Хватит, хватит! Приди вечером, да не забудь мешок! – расхохотался Ширам.
Сета с низким поклоном удалился.
А мудрецы тем временем взялись за расчёты. И вечером в ужасе предстали пред царём, ожидая страшного наказания. 5
- В чём дело? Почему я не вижу мешков с зерном? – вскричал царь.
Самый старый мудрец негромко произнёс:
- О, государь! У вас нет такого количества зерна. Даже если распахать всю поверхность Земли…
Ширам удивился и попросил назвать ему количество зёрен.
- 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, - ответил мудрец.
Чтобы собрать такое количество зёрен, следует распахать все планеты Солнечной системы (в 2000 раз больше всей поверхности Земли). В учебнике 9 класса нам предлагается решить задачу
из другого старинного русского учебника математики «Полный курс чистой математики, сочинённый Ефимом Войтеховским (1795)»: «Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую-2 копейки, за третью – 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран». В настоящее время прогрессии рассматриваются, как частные случаи числовых последовательностей.
1.2. Арифметическая и геометрическая прогрессии в учебниках.
В толковом словаре понятия арифметической и геометрической прогрессии даются следующим образом:
Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем прибавления или вычитания некоего постоянного числа.
Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел, каждое из которых получается из предыдущего путем умножения или деления на некое постоянное число [4].
В школьном курсе «Алгебра» 9 класс под редакцией С.М. Никольского понятия геометрической и арифметической прогрессии дается следующим образом:
Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый последующий член которой равен предшествующему, сложенному с постоянным для данной последовательности числом. Это число называют разностью арифметической прогрессии. d-разность прогрессии.
an+1= an+d
Очевидно, что арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если , и убывающей, если .
Формула n члена арифметической прогрессии.
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Каждый член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего – в случае конечной прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого выполняется равенство
то - арифметическая прогрессия.
Определение геометрической прогрессии. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, первого (и последнего – в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.
Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого выполняется равенство
то - геометрическая прогрессия.
[2].
Таким образом, в первой главе нами было выяснено, когда и в связи, с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; рассмотрены теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.
Глава 2. Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни
Арифметические и геометрические прогрессии в окружающей нас жизни.
Первые задачи на прогрессии, дошедшие до нас, были связаны с запросами хозяйственной жизни. Так и в наше рии, экономике, статистике. Рассмотрим примеры применения более подробно:
Строительство:
Амфитеатр состоит из 10 рядов, причем в каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем, а в последнем ряду 280 мест. Сколько человек вмещает амфитеатр?
Работники нанялись вырыть колодец с таким условием, чтобы за первый аршин глубины им заплатили 40 копеек, а за каждый следующий 15-ю копейками больше, чем за предыдущий. Сколько аршин вырыли они, если за всю работу получили 16 р. 90 к.?
Физика:
1.Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. Это свойство используют при создании ядерных реакторов и оружия.
2.При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5с после начала падения.
Математика
В квадрат со стороной а вписан посредством соединения середин его сторон новый квадрат. В этот квадрат тем же способом вписан новый квадрат и так до бесконечности. Чему равна сумма периметров всех этих квадратов?
Литература: в поэме А. С. Пушкина «Евгений Онегин» есть строки:
…Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить…
Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2,
4, 6, 8… Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…» (А.С.Пушкин)
Прогрессия 2,4,6, 8, …
Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…
«Я пропАл, как звЕрь в загОне…» (Б. Л. Пастернак)
Прогрессия 1, 3, 5, 7…
Биология:
микроорганизмы размножаются делением пополам. При наличии благоприятных условий и через одинаковый промежуток времени их количество удваивается, например, летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам. Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?
Медицина:
Больной, заболевший гриппом, может за день заразить четырёх человек. Через сколько дней заболеют все учащиеся школы в количестве 1176 человек?
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Формулы сложных и простых процентов.
Экономика — это уже для меня самая интересная тема. Вот где пригодились наши формулы простых и сложных процентов. прогрессия имеет очень широкое применение в экономике. С её помощью банки производят расчеты с вкладчиками, определяют, какие средства можно разместить в кредиты, решают, стоит ли вкладывать средства в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т.д. Так, вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии. Сложные проценты – увеличение первоначального вклада в геометрической прогрессии.
Теперь немного о банках. Считается, что наряду с изобретением колеса создание банков явилось одним из важнейших изобретений человечества. Слово «банк» происходит от латинского «банко» – скамья, лавка менялы. Первые банкиры – ростовщики и менялы – появились уже в древнем мире. Тогда было широко распространено ростовщичество, т.е. одалживание денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в древнем Вавилоне лихва составляла 20% и более! Таким образом, ремесленник, взявший у ростовщика 1000 денежных единиц сроком на один год, возвращал ему по прошествии года не менее 1200 этих же денежных единиц. Первые настоящие банки были основаны в Венеции в 1171 г. и в Генуе в 1320 г. В XIV – XV вв. банки широко распространились в Западной Европе. В России первые банки появились в 1774 г. Эти учреждения давали деньги в долг королям, князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия, завоевательные походы, возведение крупных сооружений и т.д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно. Как и ростовщики древности, они брали плату за пользование предоставленными деньгами. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег.
Представьте себе, что мы с вами пришли в банк, где нам предлагают открыть вклад в сумме а рублей под р% годовых на t лет. Есть две стратегии поведения:
в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу, т.е. полученную прибыль в размере а * 0,01p руб.;
прийти в банк один раз-в конце срока хранения вклада.
Тогда математическая модель первой ситуации такая: а; t*0,01р*а. Это арифметическая прогрессия, где можно найти сумму за t лет.t*0,01p*а.
Я вспомнил, что есть люди, живущие на проценты от вклада. Тогда я задал себе вопрос, сколько же я должен вложить в банк под 8% годовых, чтобы получать 25 тысяч рублей в месяц? Прожиточный минимум на месяц в Татарстане 11 185руб. Но на такие деньги жить невозможно. Беру сумму больше: 25000 рублей. За год 12*25000= 300000 рублей. Это 8%. 100% составит 300000*100:8=3750000 рублей. Осталось только их найти. Не зря говорят, деньги к деньгам тянутся. Применил я формулу простых процентов.
Рассмотрим математическую модель второго случая. Пусть первоначальный вклад =b Тогда ; bt+1=
Взяли кредит в банке на сумму 250 000 рублей под р% процентов годовых и выплатили за 2 года платежами 150 000 рублей в первый год и 180 000 рублей — во второй.
Найдите р.
Каждый год долг увеличивается на p%, или в (1+0,01р) раз, и уменьшается на сумму ежегодного платежа. Для удобства введём обозначение (1+0,01р) = с. Тогда в конце первого года остаток (250000*с -150000); к концу второго года (250000*с -150000)*с – 180000 рублей и равен нулю, так как выплатил за 2 года. Составим уравнение (250000*с-150000)*с-180000=0. Решая квадратное уравнение находим корни 1,2 и -0,6. Значит с=1,2, а р=20% .
Рассчитаю доход, который клиент получит после окончания срока хранения вклада в банке, зная сумму вклада, ставку по вкладу и срок хранения вклада. Так, клиент открыл в банке вклад (депозит) на сумму 3 млн. рублей сроком на 6 месяцев. Банк платит клиенту за пользование его средствами ставку в размере 6% годовых. Схема расчета такова: , тогда это геометрическая прогрессия: b6 =3000000*(1,005)5=3075753,76 рублей, где 3 000 000 – первоначальная сумма депозита, а 1,005 – знаменатель прогрессии
Таким образом, нами были рассмотрены примеры применения прогрессий в нашей жизни, и мы убедились, что арифметическая и геометрическая прогрессия, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.
Заключение
Целью данного исследования было установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.
Мы в соответствии поставленным задачам выявили: когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности - прогрессии; какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме; теоретические основы геометрической и арифметической прогрессий.
Установили, какое прикладное значение имеют арифметическая и геометрическая прогрессии, нашли и показали примеры применения прогрессий в нашей жизни.
В ходе исследования мы использовали следующие методы: анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета и обобщили найденные факты в учебниках по биологии, по экологии, по экономики и в медицинских справочниках по применению прогрессий.
Таким образом, мы подтвердили поставленную гипотезу о том, что математика – наука очень древняя и возникла она из практических нужд человека, значит и прогрессии имеют определенное практическое значение.
В ходе работы было установлено, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Также мы убедились в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, так же, как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни.
Мы выяснили, какие ученые внесли свой вклад в развитие теории прогрессий и как теоретические знания применяются на практике в современной жизни.
Много задач с практическим содержанием в учебниках по математике для 9 класса. Сделав анализ задач, мы увидели, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в банковских расчетах, в живой природе, в спортивных соревнованиях и в других жизненных ситуациях.
На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что знания арифметической и геометрической прогрессий помогают человечеству решать многие проблемы. Арифметическая и геометрическая прогрессии не только связаны с красивыми задачами и легендами прошлого, но и позволяют изучать часто встречающиеся на практике процессы
Библиографический список
Глейзер Г.И. История математики в школе VII – VIII кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1982. – 240 с.
Мордкович А.Г.Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224с.
Современный толковый словарь русского языка / Гл. ред. С.А. Кузнецов. – СПб.: «Норинт», 2005. – 960 с.
С.М.Никольский. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 6-е изд., Серия «МГУ – школе», Москва,издательство «Просвещение» 2019. – 336 с.
Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с.
http://festival.1september.ru/articles/568100/ - статья о прогрессиях
http://www.a4format.ru/pdf_files_slovari/4b853e92.pdf - литературный словарь
http://www.sunhome.ru/help/184 - Размеры стихосложения.