XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Симметрия в работах М.К. Эшера
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Однажды мой взор упал на рисунок, изображенный на обложке учебника «Геометрия». Изображение настолько привлекло моё внимание, что я стала рассматривать и рисунки, размещенные среди глав учебника. Оказалось, что большинство из них было столь же удивительно. Это маленькое открытие подтолкнуло меня к тому, чтобы поближе изучить столь интересное творчество.
Кто же автор этих рисунков? И почему эти картины так погружают в пространство своего действия?
Автором этих произведений оказался нидерландский художник-график Мауриц Корнелис Эшер. Его называют художником, но сам Эшер не совсем согласен с таким утверждением и в свое время говорил: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам». Его творчество интересовало не только любителей художественных произведений, но и людей определенного круга. Так в 1954 году была открыта выставка работ Эшера на XII Всемирном математическом конгрессе в Амстердаме, что доказывает признание учеными-математиками творчество М.К. Эшера.
Произведения Эшера оказались настолько интригующими, что моему интересу не было предела, и я решила изучить его творчество, с математической стороны, выяснить насколько гармонично его работы переплетаются с законами математики?
Цель работы: продемонстрировать гармонию законов математики в творчестве художника.
Задачи:
Познакомиться с биографией Маурица Корнелиса Эшера;
Повторить математическое понятие «симметрия» и некоторые её виды;
Выделить элементы симметрии в работах М.К. Эшера;
Отразить актуальность стиля имп-арт в современном мире;
Разработать дидактические материалы на основе техники Эшера.
Вопрос (проблема) проекта:
Доказать верность утверждения, что гармония науки «математика» и творчество художника дополняют друг друга.
Объект исследования: гармония математики в творчестве художника.
Предмет исследования: работы художника М.К. Эшера.
Методы исследовательской работы: методы визуализации данных, анализ и синтез, сравнение и обобщение.
Тип проекта: информационно-исследовательский, практико-ориентированный.
ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Ма́уриц Корне́лис Э́шер (17 июня 1898, Леуварден, Нидерланды — 27 марта 1972, Хилверсюм, Нидерланды) — нидерландский художник-график. Известен прежде всего своими концептуальными литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.
До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получил мировую известность.
Среди его восторженных поклонников много математиков, которые видят в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. И это становится еще интересней тем, что Эшер не имел специального математического образования.
В семье инженера Джорджа Эшера и его жены Сары он был пятым сыном. Они жили в здании Леуварден, где сейчас находится музей «Принцессехоф». Семья состояла из интеллектуалов и художников в широком смысле этого слова. Младший кузен Эшера был композитором, то есть человеком, чутким к высокой гармонии, построенной на точных математических началах.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ СИММЕТРИЯ И НЕКОТОРЫЕ ЕЁ ВИДЫ
В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». В переводе с греческого это слово означает: соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей чего-либо по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.
Центральная симметрия
Центральная симметрия – симметрия относительно точки.
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если они лежат на прямой, проходящей через точку О и находятся по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Точка О называется центром симметрии. (Рисунок 1 в приложении 1)
Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры, говорят, что «фигура обладает центральной симметрией». (Рисунок 2 в приложении 1)
Зеркальная (осевая) симметрия
Зеркальная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей относительно плоскости точку.
Две точки Р1 и Р называются симметричными относительно плоскости, если они лежат на прямой, перпендикулярной плоскости, и находятся от неё на одинаковом расстоянии
Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку. Она связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что «одна фигура зеркально симметрична другой».
На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. В пространстве бесчисленное множество плоскостей симметрии имеет шар.
Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым основанием, шар.
Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична. (рисунок 3 в приложении 1)
Поворотная симметрия (или радиальная симметрия)
Поворотная симметрия – это симметрия, сохраняющаяся форму предмета при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … Указанную ось называют поворотной осью n-го порядка. (Рисунок 4 в приложении 1)
При п =2 все точки фигуры поворачиваются на угол 1800 ( = 1800 ) вокруг оси, при этом форма фигуры сохраняется, т.е. каждая точка фигуры переходит в точку той же фигуры(фигура преобразуется сама в себя). Ось называют осью второго порядка.
На рисунке показана ось 3-го порядка, 4-го порядка, 5-го порядка. Предмет может иметь более одной поворотной оси.
Всем известные буквы «И» и «Ф» обладают поворотной симметрией. Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°, 180°= 360° : 2, n =2 , значит она обладает симметрией второго порядка.
Заметим, что поворотной симметрией второго порядка обладает также буква «Ф». Кроме того, буква «И» имеет центр симметрии, а буква «Ф» ось симметрии.
Вернемся к примерам из жизни: стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба. Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они, так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна поворотная, ось симметрии.
Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.
Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии. Рассмотрим, например, геометрическое тело, составленное из двух одинаковых правильных четырехугольных пирамид. Оно имеет одну поворотную ось 4-го порядка (ось АВ), четыре поворотные оси 2-го порядка (оси СЕ, DF, MP, NQ), пять плоскостей симметрии (плоскости CDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ). (Рисунок 5 в приложении 1)
Переносная симметрия
Переносная симметрия – такая симметрия, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой.
О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние «p» либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние «p» - элементарным переносом, периодом или шагом симметрии. (рисунок 6 в приложении 1)
Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется бордюром. На практике бордюры встречаются в различных видах (настенная роспись, чугунное литье, гипсовые барельефы или керамика). Бордюры применяют маляры и художники при оформлении комнаты. Для выполнения этих орнаментов изготавливают трафарет. Передвигаем трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводим контур, повторяя рисунок, и получается орнамент (наглядная демонстрация). Бордюр легко построить с помощью трафарета (исходного элемента), сдвигая или переворачивая его и повторяя рисунок.
Скользящая симметрия
Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос. (рисунок 7 в приложении 1)
Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:
- отрезок переходит в равный ему отрезок;
- угол переходит в равный ему угол;
- окружность переходит в равную ей окружность;
- любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т.д.
- параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.
ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ В РАБОТАХ М.К. ЭШЕРА
Рассмотрим картину «Эволюция 3». На картине отмечается превосходство переносной симметрии. Передвигаем трафарет, переворачивая, повторяя рисунок, и получается орнамент.
Трафарет, к которому применяется
переносная симметрия
Ещё один пример переносной симметрии – картина «Птицы и рыбы». Передвигаем трафарет, не переворачивая его, обводим контур, повторяя рисунок, и получается орнамент.
Трафарет
Картина «Предел круга». Оба элемента являются симметричными относительно плоскости, если они лежат на прямой, перпендикулярной плоскости, и находятся от неё на одинаковом расстоянии, а значит, это зеркальная симметрия.
элемент применения зеркальной симметрии
В основном, Эшер использовал переносную и зеркальную симметрию, но в каждой картине добавляет интересные элементы, которые немного выбиваются из общей симметричной картины.
Например, картина «Рисующие руки» имеет зеркальную симметрию, но Эшер изменил в них положение рук:
элементы, к которым применили
зеркальную симметрию
Вдохновившись творчеством М.К. Эшера, я попыталась создать собственную картину, используя зеркальную и переносную симметрию. Элементами моей работы являются автопортрет Эшера и рисунок леопарда. (рисунок 1с в приложении 2)
МОЗАИКИ
Мозаика – регулярное разбиение плоскости, состоящее из замкнутых фигур, которые заполняют данную плоскость, не пересекаясь друг с другом и находящихся относительно друг друга без щелей. Чаще всего для построения мозаик используют прямоугольники, треугольники и шестиугольники.
Эшер преобразовывал базовые виды мозаик, применяя к ним трансформации, называемые симметрией, рассмотренные мной ранее. Благодаря симметрии такие его работы сохраняли свойство заполнения плоскости без перекрытий, и щелей. Конечно, все преобразования были не без уникального виденья автора, Эшер всегда менял некоторые элементы мозаики отличающимися изображенным на них рисунком. Кроме того, элементами Эшеровской мозаики часто становились рептилии, птицы и млекопитающие. (рисунок 1 в приложении 3)
НЕЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
Работы Эшера всегда задерживают на себе внимание смотрящего, этого автор добивается уникальными приемами, математическими преобразованиями. Еще одна уникальность его работ – применение неевклидовой геометрии Лобачевского.
Неевклидово пространство – пространство, свойства которого базируются на системе аксиом, отличной от евклидовой.
Евклид сформулировал 5 постулатов:
От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
II. Любой отрезок можно непрерывно продолжать по прямой линии.
III. Имея любой отрезок, можно описать круг с радиусом, равным длине этого отрезка, и с центром в одном из концов этого отрезка.
IV. Все прямые углы равны между собой.
V. Если две прямые пересекаются третьей, так что с одной стороны сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то эти две прямые неизбежно пересекаются друг с другом по эту сторону, будучи продленными достаточно далеко.
Гиперболическая геометрия Лобачевского возникла путем замены пятого постулата Евклида следующим утверждением: «Через точку Р вне данной прямой проходит более одной прямой, параллельной данной»
Впоследствии появились и другие модели геометрии Лобачевского. Эти модели окончательно установили, что геометрия Лобачевского не противоречива. Таким образом, было показано, что евклидова геометрия не единственно возможная. Это оказало большое прогрессивное влияние на все дальнейшее развитие геометрии и математики в целом. (рисунок 2 в приложении 3)
ЛЕНТА МЁБИУСА
Лента Мебиуса – пример неориентируемой односторонней поверхности с одним краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве. У поверхностей всех объектов, с которыми мы взаимодействуем в жизни две стороны, однако поверхность ленты Мёбиуса имеет лишь одну сторону. И с таким удивительным объектом Эшер сумел создать свою картину. (рисунок 3 в приложении 3)
НЕВОЗМОЖНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПЕНРОУЗА
В 1934 году Оскар Реутерсвард создал первый невозможный треугольник, составленный из 9 одинаковых кубиков. (рисунок 4 в приложении 3)
А в 1954 году Роджер Пенроуз, именно после лекции М. К. Эшера, заново создал невозможный треугольник, нарисовав его в более привычной форме. Отличие от треугольника Реутерсварда в том, что у Пенроуза треугольник нарисован с использованием линейной, а не параллельной перспективы.
В 1961 году М. К. Эшер создает свою знаменитую работу «Водопад», находясь под впечатлением невозможного треугольника, нарисованного Пенроузом. И после использует данный прием в картине «Восхождение и спуск», а также создает невероятно знаменитую литографию «Относительность». (рисунок 5 в приложении 3)
ГОМОТЕТИЯ
Гомотетией с центром О и коэффициентом k, отличным от нуля, называется преобразование плоскости, переводящее точку М в точку М1, такую, что
Чтобы гомотетия была определена, должен быть задан центр гомотетии и коэффициент. Записывают гомотетия (O; k). (рисунок 6 в приложении 3) Гомотетия (О;2) выявлена в картине Эшера «Эволюция 3» (рисунок 7 в приложении 3)
СТИЛЬ ИМП- АРТ
Математика – удивительная наука, наполненная красотой и гармонией. В любом искусстве не обойтись без математики.
Стиль, в котором работал М.К. Эшер называется Имп-арт.
Имп-арт – это самостоятельное направление в оп-арте, нацеленное на изображение невозможных фигур, использующее для достижения оптических иллюзий особенности отображения трёхмерных объектов на плоскости. Здесь мы видим изображения объектов, не существующих в пространстве – элементы изображения трехмерного объекта расположены во взаимосвязи, препятствующей их однозначному восприятию. Архитекторы, дизайнеры и художники часто обращаются к этому стилю.
Я провела опрос, на выявление актуальности данного направления. В опросе участвовало 300 человек. Респондентам задавался вопрос: «Как вы считаете, актуально ли в наше время направление Имп-арт?», затем показывались некоторые картины в стиле Имп-арт, а далее предлагались варианты ответа (актуально, неактуально и актуально, но не везде). По результатам опроса, можно сделать вывод, что большинство респондентов (167 человека) считает, что такое творчество популярно в наше время, но не везде. Другие анкетируемые (92 человека) считает, что Имп-арт популярен в наше время, и 41 человек считает, что творчество в стиле имп-арт не актуально. Свои выборы они объясняли тем, как часто они встречают это направление в быту и профессиональной деятельности.
Творец, нашедший себя в этом стиле сможет удивить зрителя завораживающими приемами. «Рисовать – значит обманывать» - одна из известных цитат Эшера.
ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Творчество Эшера – царство симметрий, иллюзий, переходов от плоскости к объему и искривлений пространства. Это оказалось настолько вдохновляющим, что я решила создать развивающую игру, основанную на технике художника.
«Форветр» – это настольная игра-ходилка. Её составляющие: игровое поле, карты, игральные кости и 4 разноцветные фишки, правильные ответы для построений. Цель игры «Форветр» – провести свою фишку по маршруту, вернувшись в клетку старта. В ходе игры, вытягивая карточку и выполняя записанное на ней задание, игрок отрабатывает знания по теме «симметрия». Расстояние, на которое игрок может продвинуть свою фишку, определяется броском игральной кости. Количество возможных игроков от двух и более, если игроков больше четырёх, то необходимо взять дополнительные фишки.
Во время маршрута фишка может оказаться на красной клетке. Это означает, что владелец фишки должен взять карту и выполнить указанное на ней задание. После построения выполнивший его игрок кладет свою карточку, а остальные игроки проверяют. При правильном ответе игрок передвигает свою фишку сразу на 5 клеток вперед. Всего в игре 8 отличных друг от друга карт. Кроме того, фишка может попасть на клетку с изображением синей летучей мыши. Оказавшись на такой клетке, игрок вынужден пропустить ход. Игровое поле, карты и ответы для карт представлены в приложении 4 (рисунки 1-3 в приложении 4)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Гармония науки «математика» и творчество художника дополняют друг друга. В данной работе я подтвердила эту гипотезу, и доказала, что какой бы трудной не была математика, каждый может найти в ней красоту и гармонию.
Эшер оказался очень интересным художником, который, не имея математического образования, создал работы, построенные на некоторых математических законах. Направление, в котором создавал свои картины художник популярно и в современном мире. Этот стиль довольно часто применяется в архитектуре, при производстве одежды и тканей, обоев и предметов интерьера или реализуется в произведениях искусства.
«Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного. Мы с наслаждением познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса»
Аристотель
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. Наглядная геометрия
2. https://ru.wikipedia.org/wiki/Эшер_Мауриц_Корнелис
3. Интернет ресурсы. Картинки. Работы Эшера
4. Цитаты о математике: http://tstrelnikova.ucoz.ru
5. Тарасов Л.В. Этот удивительный симметричный мир. –М.: Просвещение, 2013
6. Геометрия. Красота и гармония. Л.С. Сагателова, В.Н. Студенецкая
7. https://ru.wikipedia.org/wiki/Гомотетия
8. https://ru.wikipedia.org/wiki/Лента_Мёбиуса
РЕФЛЕКСИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
Желание провести исследование возникло у меня, когда я увидела интересные и загадочные картины, автор которых был мне тогда не известен.
Используя и осваивая методы анкетирования, интервьюирования, статистические методы и методы визуализации данных, я изучила стиль Имп-арт и провела опрос, на выявление актуальности данного направления среди разных возрастных категорий убедившись в том, что данное направление довольно актуально и в современном мире, что подтверждается более 86% ответов респондентов.
Я усовершенствовала свои навыки составления диаграмм, пользования различных Интернет-ресурсов, работы с текстами и художественными репродукциями.
Трудности, которые я испытывала при выполнении исследовательской работы: точный перевод на русский язык названий картин М.К.Эшера, правильное выявление видов симметрии и их изучение, грамотное изложение своих мыслей и поиск подлинной информации на Интернет-ресурсах.
В ходе выполнения исследовательской работы, поставленная мной цель и задачи были достигнуты полностью.
Приложение 1
рисунок 1
рисунок 2
рисунок 3
рисунок 4
рисунок 5
рисунок 6
рисунок 7
Приложение 2
рисунок 1
Приложение 3
рисунок 1
рисунок 2
рисунок 3
рисунок 4
рисунок 5
рисунок 6
рисунок 7
Приложение 4
Игровое поле:
рисунок 1
Рисунок 2. Карты.
Рисунок 3. Ответы для заданий на картах.