XIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Формула для нахождения любого числа во второй степени
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Все мы в своей школьной жизни, так или иначе сталкиваемся с таблицей квадратов от 1 до 10 в начальных классах, затем от 11 до 99 в средней школе на уроках алгебры или математики, но что если под рукой не окажется таблицы квадратов, калькулятора или даже листочка, чтобы записать решение в столбик, как посчитать квадрат числа в уме зная только банальную таблицу квадратов от 1 до 10 именно это мы и рассмотрим в этой работе.
Разбор всех закономерностей.
1) Возведение чисел в квадрат с единицей равной 0.
Разберём самую простую и понятную всем закономерность, если посмотреть на цифру единиц, а именно 0, то всем понятно, что любое двухзначное число в квадрате оканчивающиеся на нуль равно квадрату цифры десятков до множенное на 100, то есть х2*100. На рассмотренном ниже примере мы видим что за х взяли цифру 1 и получилось следующие выражение: 12*100=1*100=100.
х=
В данном случае х=1
2) Возведение чисел в квадрат с единицей равной 5.
Следующий пример: но уже более сложный, следует заметить что, десятки и единицы во всех случаях с единице равной 5одинаковы и равны 25, то есть 52, а числа сотен и тысяч равны произведению цифры десятка на цифру десятка +1, то есть х*(х+1) необходимо до множить на 100, тогда конечное уравнение выглядит так х*(х+1)*100+52= искомому числу в квадрате оканчивающееся на 5. На рассмотренном ниже примере мы видим, что за х взяли цифру 1 и получилось следующие выражение: 1*(1+1)*100+52=1*2*100+52=2*100+52=200+52=200+25=225
3) Возведение чисел в квадрат с единицей равной 1.
Рассмотрим возведение, разберём числа с единицей. Для начала разберёмся с единицами- тут всё просто единица равна цифре в квадрате и это будет справедливо для всех чисел в таблице квадратов. Далее разберём числа десятков- всё начинается с 20 и умножается на цифру десятка. Следующее и самое сложное это разряд сотен- для них есть закономерность: предыдущее число сотен+ следующие выражение х+1, всё это умножить на 100, где х- цифра десятка. Рассмотрим на примере числа 21, т.к. для 11 это правило будет гораздо легче, но не настолько понятно. Для этого запишем формулу общего вида: Если мы знаем что в числе 112 сотня равна 1, значит по нашей формуле сотня числа 212=(1+2+1)*100=400, далее по другой формуле рассчитаем десяток числа 212=20*2=40, и последнее, что осталось рассчитать разряд единицы в числе 212=12. В общем у нас получилось число 441.
4) Интересная закономерность с цифрой 9 в разряде десятков.
Отвлечёмся от сложных закономерностей, мною было замечено, что с цифрой 9 в разряде десятков есть интересная небольшая закономерность, если мы посмотрим на последние две цифры в каждом числе кроме числа с единицей равной нулю, то увидим, что они равны квадрату обратного числа в таблице, то есть в числе 912 последние две цифры равны 92, а в числе 992 последние две цифры равны 12, в числе 922 последние две цифры равны 82, а числе 982 последние две цифры равны 22 и так далее. А если посмотреть на первые две цифры, то есть на разряд тысяч и сотен мы увидим что между числом 90 и 91 разница в 1 единицу, между всеми остальными ровно 2.
82+2=84
5) Интересная закономерность с цифрой 4 в разряде десятков.
В этой закономерности как и впредыдущей,если мы посмотрим на последние две цифры в каждом числе кроме числа с единицей равной нулю, то увидим, что они равны квадрату обратного числа в таблице, то есть в числе 412 последние две цифры равны 92, а в числе 492 последние две цифры равны 12 и так далее. Если как и в предыдущем примере посмотреть на первые две цифры, то есть на разряд тысяч и сотен мы увидим, что между числами 40 и 41 разница равна 0, а между всеми остальными 1. Значит мы можем сделать вывод что в десятках с разницой в единицу начиная с 4 увелечение цифр разрядов сотени и тысяч увеличивается на 1, то есть если до этого между 41 и 42 разница в 1 единицу, то между 91 и 92 разница уже 2 следовательно между 141 и 142 разица будет 3 единицы, а две последние цифры так и останутся 81 и 64 соотвественно- это будет работать со всеми числами до бесконечности, которые подчиняются данному правилу, что начиная от 4 единиц в десятке и прибавляя 5 единиц, разница между всеми цифрами в числе (кроме последних двух) будет увеличиваться на 1.
16+1= 17
6) Интересная закономерность с цифрой 5 в разряде десятков.
Очень похожая закономерность есть и с числом 5, тут всё то же самое как и в предыдущем примере, если мы говорим о разряде тысяч и сотен в числе, а если говорить о разряде десятков и единиц, то всё обратно пропорционально тут уже последние две цифры раны квадрату разряда единиц, то есть в числе 512 последние две цифры равны 12. Заметем что, как и в предыдущем примере разница между всеми цифрами кроме последних двух в числах с десятками равными 5, 10, 15, 20- увеличивается на 1, 2, 3, 4 соответственно ,следовательно так может продолжаться до бесконечности, как и в предыдущем примере. 512=2601; 522=2704. 1012=10201; 1022=10404. 1512=22801; 1522=23104.
26+1=27
102+2=104
228+3=231
=
26+1=27
7) Универсальная формула для нахождения числа в квадрате.
И так в предыдущем пункте мы разобрали все числа и составляли формулу для каждого случая отдельно, а что если посмотреть шире, то мы получим закономерность для всех чисел в таблице для единиц как и для десятков действует такое же правило 20 умножить на цифру единицы числа, то есть возьмём число 18 его десяток получится следующим 20*8=160, но что делать получилась сотня, всё просто сотня уходит в разряд сотен просто прибавляясь, теперь рассмотрим разряд сотен для всех чисел в таблице сотню можно найти так (х*10)2 где х- цифра десятков, считаем х2*102=12*102=1*100=100, и число разряда единиц рассчитывается легко 82=64, и теперь всё это выражение равно 160+100+64=324. И так теперь можно найти формулу по которой можно будет найти любое число в квадрате (х*10)2+20*х*у+у2, где х- цифра десятков, а у- цифра единиц. А теперь, то откуда мы взяли выражение 20*х*у, всё просто при детальном рассмотрении и приведении данной формулы ко всем значениям в этой таблице я понял, что десятки в числе находятся не просто по формуле 20*х, а ещё и на у, т.к., если рассмотреть число 68, то мы получим, что по формуле предложенной мной ранее число будет неверное, тогда я умножил и цифру единиц, в этом случае всё получилось. Попробуем решить 682=(6*10)2+20*6*8+82=3600+960+64=4624, всё так же получается, а получается всё потому что (х*10)2+20*х*у+у2не что иное как (10*х+у)2, а это в свою очередь равно (10*6+8)2=(60+8)2=682, таким образом можно гораздо быстрее и правильнее решать чем столбиком, т.к. если вы находитесь без листка и ручки, то вам сложно буде посчитать в уме чему будет равно 682, а при помощи формулы (х*10)2+20*х*у+у2 это сделать будет гораздо легче.
8) Доказательство того, что формула работает со всеми числами
от 10 до 99
102=(1*10)2+20*1*0+02=100+0+0=100
112=(1*10)2+20*1*1+12=100+20+1=121
122=(1*10)2+20*1*2+22=100+40+4=144
132=(1*10)2+20*1*3+32=100+60+9=169
142=(1*10)2+20*1*4+42=100+80+16=196
152=(1*10)2+20*1*5+52=100+100+25=225
162=(1*10)2+20*1*6+62=100+120+36=256
172=(1*10)2+20*1*7+72=100+140+49=289
182=(1*10)2+20*1*8+82=100+160+64=324
192=(1*10)2+20*1*9+92=100+180+81=361
202=(2*10)2+20*2*0+02=400+0+0=400
212=(2*10)2+20*2*1+12=400+20+1=421
222=(2*10)2+20*2*2+22=400+80+4=484
232=(2*10)2+20*2*3+32=400+120+9=529
242=(2*10)2+20*2*4+42=400+160+16=576
252=(2*10)2+20*2*5+52=400+200+25=625
262=(2*10)2+20*2*6+62=400+240+36=676
272=(2*10)2+20*2*7+72=400+280+49=729
282=(2*10)2+20*2*8+82=400+320+64=784
292=(2*10)2+20*2*9+92=400+360+81=841
302=(3*10)2+20*3*0+02=900+0+0=900
312=(3*10)2+20*3*1+12=900+60+1=961
322=(3*10)2+20*3*2+22=900+120+4=1024
332=(3*10)2+20*3*3+32=900+180+9=1089
342=(3*10)2+20*3*4+42=900+240+16=1156
352=(3*10)2+20*3*5+52=900+300+25=1225
362=(3*10)2+20*3*6+62=900+360+36=1296
372=(3*10)2+20*3*7+72=900+420+49=1369
382=(3*10)2+20*3*8+82=900+480+64=1444
392=(3*10)2+20*3*9+92=900+540+81=1521
402=(4*10)2+20*4*0+02=1600+0+0=1600
412=(4*10)2+20*4*1+12=1600+80+1=1681
422=(4*10)2+20*4*2+22=1600+160+4=1764
432=(4*10)2+20*4*3+32=1600+240+9=1849
442=(4*10)2+20*4*4+42=1600+320+16=1936
452=(4*10)2+20*4*5+52=1600+400+25=2025
462=(4*10)2+20*4*6+62=1600+480+36=2116
472=(4*10)2+20*4*7+72=1600+560+49=2209
482=(4*10)2+20*4*8+82=1600+640+64=2304
492=(4*10)2+20*4*9+92=1600+720+81=2401
502=(5*10)2+20*5*0+02=2500+0+0=2500
512=(5*10)2+20*5*1+12=2500+100+1=2601
522=(5*10)2+20*5*2+22=2500+200+4=2704
532=(5*10)2+20*5*3+32=2500+300+9=2809
542=(5*10)2+20*5*4+42=2500+400+16=2916
552=(5*10)2+20*5*5+52=2500+500+25=3025
562=(5*10)2+20*5*6+62=2500+600+36=3136
572=(5*10)2+20*5*7+72=2500+700+49=3249
582=(5*10)2+20*5*8+82=2500+800+64=3364
592=(5*10)2+20*5*9+92=2500+900+81=3481
602=(6*10)2+20*6*0+02=3600+0+0=3600
612=(6*10)2+20*6*1+12=3600+120+1=3721
622=(6*10)2+20*6*2+22=3600+240+4=3844
632=(6*10)2+20*6*3+32=3600+360+9=3969
642=(6*10)2+20*6*4+42=3600+480+16=4096
652=(6*10)2+20*6*5+52=3600+600+25=4225
662=(6*10)2+20*6*6+62=3600+720+36=4356
672=(6*10)2+20*6*7+72=3600+840+49=4489
682=(6*10)2+20*6*8+82=3600+960+64=4624
692=(6*10)2+20*6*9+92=3600+1080+81=4761
702=(7*10)2+20*7*0+02=4900+0+0=4900
712=(7*10)2+20*7*1+12=4900+140+1=5041
722=(7*10)2+20*7*2+22=4900+280+4=5184
732=(7*10)2+20*7*3+32=4900+420+9=5329
742=(7*10)2+20*7*4+42=4900+560+16=5476
752=(7*10)2+20*7*5+52=4900+700+25=5625
762=(7*10)2+20*7*6+62=4900+840+36=5776
772=(7*10)2+20*7*7+72=4900+980+49=5929
782=(7*10)2+20*7*8+82=4900+1120+64=6084
792=(7*10)2+20*7*9+92=4900+1260+81=6241
802=(8*10)2+20*8*0+02=6400+0+0=6400
812=(8*10)2+20*8*1+12=6400+160+1=6561
822=(8*10)2+20*8*2+22=6400+320+4=6724
832=(8*10)2+20*8*3+32=6400+480+9=6889
842=(8*10)2+20*8*4+42=6400+640+16=7056
852=(8*10)2+20*8*5+52=6400+800+25=7225
862=(8*10)2+20*8*6+62=6400+960+36=7396
872=(8*10)2+20*8*7+72=6400+1120+49=7569
882=(8*10)2+20*8*8+82=6400+1280+64=7724
892=(8*10)2+20*8*9+92=6400+1440+81=7941
902=(9*10)2+20*9*0+02=8100+0+0=8100
912=(9*10)2+20*9*1+12=8100+180+1=8281
922=(9*10)2+20*9*2+22=8100+360+4=8464
932=(9*10)2+20*9*3+32=8100+540+9=8649
942=(9*10)2+20*9*4+42=8100+720+16=8836
952=(9*10)2+20*9*5+52=8100+900+25=9025
962=(9*10)2+20*9*6+62=8100+1080+36=9216
972=(9*10)2+20*9*7+72=8100+1260+49=9409
982=(9*10)2+20*9*8+82=8100+1440+64=9604
992=(9*10)2+20*9*9+92=8100+1620+81=9801
Заключение
Мне удалось разобрать почти все закономерности в таблице квадратов, придумать формулу для более быстрого и практичного возведения числа в квадрат, а так же пояснить, как разобрать одно из чисел таблицы, и описать как я пришёл к этой формуле.
Список литературы
И.Н. Сергеев, С.Н. Олехник, С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990
Керимов З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" №2, 1980
Петраков И.С. «математические кружки в 8-10 классах»; Книга для учителя. – М.: Просвещение,1987
Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики». - М.: Наука. Главная редакция физико - математической литературы, 1979
Ткачева М.В. Домашняя математика. Книга для учащихся 8 класса учебных заведений. – Москва, Просвещение, 1994г.
Жохов В.И., Погодин В.Н. Справочные таблицы по математике. - М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС», 2004.-120 с.
http://translate.google.ru/translate
http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/