XV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Ведение
Вода - удивительная жидкость. Это важнейшая субстанция всего живого на земле. Ее прихотливое течение можно долго наблюдать с неослабевающим интересом. Даже простая картина из течения воды через отверстие в сосуде, которую мы не раз видели, таит в себе много неожиданных логических сюрпризов.
Цель работы: изучить гидравлические закономерности истечения жидкостей из сосудов через отверстия в их стенках.
Задачи:
Создать экспериментальную установку для фактического измерения реактивной силы струи истекающей жидкости
Произвести теоретический расчет реактивной силы струи
Сравнение экспериментального и теоретического расчетов
Примеры истечения жидкостей из сосудов и использование этого в технике.
Актуальность проблемы
В инженерной практике часто приходится встречаться с истечением жидкости из сосудов через отверстия различных форм и размеров и через различные короткие патрубки, называемые насадками.
При этом истечение может происходить в атмосферу, или в газообразную среду, или под уровень (затопленное отверстие) при постоянном или переменном напоре.
Распространенная в инженерной практике задача расчета истечения жидкости из резервуара через отверстия и насадки, состоит в установлении связи между напором в резервуаре и расходом или скоростью струи, вытекающей через отверстия или насадки, присоединенные к отверстию в стенке или в днище резервуара.
В данной работе рассматривается истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке, теоретически рассчитывается реактивная сила струи воды Fp и проверяется экспериментально.
Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке
Рассмотрим не большой резервуар с жидкостью, имеющей малое круглое отверстие в стенке на достаточно большой глубине h от поверхности (рисунок 1). Вычислим реактивную силу. На рисунке 2 изображен малый горизонтальный участок вытекающей струи.
Рис. 1
Рис. 2
Вычислимреактивнуюсилу.Нарисунке2 изображен малый горизонтальный участок вытекающей струи. За времячерез сечение A пройдет масса где v– скоростьпотока, –площадьсечения,d–диаметр, –плотностьводы.
Эта массауносит импульс, которыйравенимпульсусилы,оказываемой сжатойпружинойзатожесамоевремя,т.е. (другихсил,действующихнасистемувгоризонтальномнаправлении,нет). Отсюданаходимвеличинуреактивнойсилы струи:
Скорость v можно определить по закону Бернулли (1738 г.), который утверждает, что вдоль линии тока остается постоянной величина
Здесь C – постоянная, p – давление, – ускорение свободного падения. В точке А (см. рис. 2), которая находится на высоте h, скорость v = 0, давление , где – атмосферное давление. Значит,
где = – гидростатическое давление. В точке B = 0, h = 0, следовательно, . В точке Z p=pa, h = 0, поэтому . Тогда для скорости струи v0 и для реактивной силы получаем
и
Можно задать вопрос: а почему реактивная сила в 2 раза больше, чем сила гидростатического давления на площадь s? Казалось бы, в районе точки B на стенку сосуда действует разность сил внутреннего давления p2 и наружного атмосферного давления , равная гидростатическому давлению , а напротив, находится отверстие, где стенки вообще нет. Можно было бы предположить, что на любой высоте силы давления на левую стенку сосуда и на правую стенку сосуда равны друг другу и противоположны по направлению, поэтому они везде компенсируют друг друга, кроме области отверстия справа и области точки B слева.
В этих двух областях некомпенсированная сила будет равна , где S – площадь отверстия. Получается, что в суммарной (векторной) силе давления, действующей на боковые стенки, отсутствует множитель 2, а в реактивной силе струи он есть, хотя ожидалось равенство .
Ведь можно сказать, что струя «реактивно» действует на воду в сосуде, вода давит на твердый сосуд, сосуд действует на пружину, и везде должно быть равенство сил, чтобы эти тела не двигались. Например, на сосуд одновременно давит вода и действует пружина. Сила пружины по величине равна реактивной силе струи, значит, суммарная сила давления воды на боковые стенки должна равняться реактивной силе струи, иначе сосуд стал бы двигаться.
Как найти равновесие? Первым шагом в решении этого вопроса стала догадка, что не везде равны давления на левую и правую стенки сосуда (на одной и той же горизонтальной линии вне области отверстия). Дело в том, что вода, подходя к отверстию, как показано стрелками на рисунке 3, движется рядом с правой стенкой с ненулевой скоростью v, которая тем больше, чем ближе отверстие. (На кромке отверстия она становится равной скорости струи v0.) Тогда на какой либо горизонтальной линии вблизи кромки отверстия, например на линии , на левой стенке (здесь скорость пренебрежимо мала),а на правой Отсюда , т.е. здесь давление на левую стенку больше, чем на правую.
Оценим дополнительную некомпенсированную силу F+, связанную с этой разностью давлений. Для этого надо знать, как зависит пристеночная скорость v от расстояния r до оси отверстия. Воспользуемся грубой моделью, представленной на рисунке 3. Там символом Φ0 обозначена полусфера радиусом r0. Если бы скорость течения везде на этой полусфере равнялась скорости струи v0 и была направлена перпендикулярно полусфере, т.е. по линиям ее радиусов, то вся картина течения внутри сосуда стала бы однозначно определенной. Предположим, что мы теми или иными инженерными средствами обеспечили такую ситуацию на полусфере Φ0,
Рис. 3
тогда скорость воды на полусферах Φ1, Φ2, Φ3 тоже будет направлена по линиям радиусов и иметь постоянное для данной полусферы значение v.
Так как через все полусферы проходит один и тот же поток воды, то выполняется равенство , где 2πr2 – площадь поверхности полусферы. Значит, скорость обратно пропорциональна квадрату радиуса:
V=
Рассмотрим на правой стенке вокруг отверстия кольцо с меньшим и большим радиусами r и r + ∆r (рис.4). Если ширина кольца r достаточно мала, то пристеночная скорость в пределах этой ширины почти одинаковая и дополнительная сила равна ,
где .
Разобьём правую стенку вокруг отверстия на систему узких колец и просуммируем соответствующие им дополнительные силы
Рис. 4
Если радиус отверстия достаточно мал по сравнению с глубиной h и расстоянием до дна сосуда, то величиной 1/R2 можно пренебречь в сравнение с величиной 1/r02, и тогда получается замечательный результат:
Теперь с учетом дополнительной силы F+ в выражении для суммарной силы давления
Казалось бы, равновесие найдено, но в реальности есть важный параметр, который наша модель плохо отражает. При истечении воды через малое (по сравнению с h) отверстие скорость не может превысить, тогда поток воды через это отверстие не может превысить , а в модели поток равен , так как площадь полусферы Φ0 в два раза больше площади отверстия S. Поэтому в реальности сила окажется значительно меньше .
При дальнейшем поиске равновесия возникает эвристическая догадка, что силу можно вообще обратить в ноль! Для этого надо удалить вход отверстия подальше от правой стенки, вставив внутрь перпендикулярно стенке трубочку длиной заметно большей, чем ее диаметр (рис.5).
Рис. 5
Тогда вдоль правой стенки пристеночная скорость v будет пренебрежимо мала, а силы бокового давления воды на трубочку не будут оказывать влияние в горизонтальном направлении измерения реактивной силы.
Поскольку добавочная сила устранилась, приходится вернуться обратно к равенству . Это равенство точно расшифровывается так: , откуда следует непредвиденный сюрприз: , т.е. площадь сечения струи в два раза меньше площади отверстия!
Оказывается, что диаметры струи и отверстия – это не тождественные, а принципиально разные понятия.
2. Практическая часть
На фотографии, представленной на рисунке 6, струя воды имеет диаметр примерно в раз меньше, чем у трубочки: 20,0 /14,3= 1,40 . Далее выяснилось, что еще 250 лет назад это открытие сделал французский математик, физик, инженер и морской офицер Жан-Шарль шевалье де Борда, поэтому конструкция трубочки (см. рис.5) названа «насадок Борда».
Рис. 6
Теперь можно вернуться к ситуации обыкновенного отверстия. Если и S разные, то ответ на начальный вопрос о конструктивном смысле коэффициента 2 найден – действительно реактивная сила равна суммарной силе давления воды на боковые стенки:
, т.е. .
И этот ответ состоит из целых трех составляющих:
1) некомпенсированная сила на противоположной от отверстия стенке;
2) дополнительная сила связанная с пристеночным течением вокруг отверстия;
3) сужение струи, .
Простой формулы, по которой можно определить либо s, либо нет. Для их расчета надо написать детальные уравнения гидродинамики и применить технику вычислительной математики. Применение закона Бернулли в эксперименте дает лишь предсказание скорости струи , а для прогноза реактивной силы надо еще каким либо образом узнать диаметр струи, к примеру измерить по фотографии или по расходу воды в секунду. В литературе, например [1, с. 245], указывается, что на опыте для разных высот h при очевидных оговорках наблюдается постоянное соотношение . Следовательно, , и это в 4 раза меньше, чем по нашей грубой модели. Таким образом, дополнительная сила F+ становится экспериментально определенной величиной.
Какие физические моменты в процессе сужения потока можно себе представить? На рисунке 7 показаны линии тока воды. На самой крайней линии, обозначенной цифрой 1, применение закона Бернулли дает «всюду» постоянную скорость .
Эта линия является продолжением пристеночного течения, которое отвечало за появление дополнительной силы , поэтому крайняя линия разворачивается на 90° , меняя вертикальное направление на горизонтальное. Криволинейное движение с постоянной скоростью происходит с центростремительным ускорением, которое должно вызываться соответствующей силой, поэтому на соседней линии тока под номером 2 в точке 2 должно быть большее давление, чем в точке 1, следовательно, в точке 2 скорость меньше (!), чем .
По мере удаления от отверстия скорость и давление на линии 2 постепенно приближаются к постоянной скорости и атмосферному давлению pa на линии 1. Рис. 7
Для выяснения реальной картины был проведен соответствующий опыт. В стенку прямоугольной 15-литровой емкости было встроено качественное стеклянное окно диаметром 8 см прямо напротив входа воды в насадок Борда. Через это окно цифровым фотоаппаратом с лампой-вспышкой получено фото, приведенное на рисунке 8.
Рис. 8
На фото в насадок Борда 1 втекает поток. Внутренний диаметр трубочки 20 мм, а внешний диаметр рядом со входом 20,3 мм. Из медицинской иголки 2 вытекают чернила, и их тонкая зеленая траектория, обозначенная стрелкой, показывает линию тока, которая разворачивается приблизительно на 135°, что больше соответствует варианту ниже средней линии на рисунке 10.
Неожиданно лампа-вспышка и случайные пузырьки воздуха помогли увидеть дополнительные детали. Маленькие пузырьки захватываются мощным течением и движутся почти по линиям тока. За время, что длится вспышка, каждый пузырек, попавший в фокус фотоаппарата, оставляет на фотографии протяженный след, указывая линию тока. Этот след тем длиннее, чем больше скорость потока, т.е. дополнительно получается информация о скорости. Цифрой 3 на рисунке 8 отмечена группа коротких черточек-следов, которые также указывают на наличие течения с внешней стороны насадка Борда навстречу центральному потоку. Образно говоря, этот внешний поток «сталкивается» с центральным потоком.
Еще один яркий сюрприз зафиксирован на фотографии, представленной на рисунке 9. Оказывается, при одной и той же глубине h в одной и той же трубке Борда бывают два совершенно разных устойчивых режима течения: ламинарный, как на рисунке 6, и турбулентный, как на рисунке 9! Какой режим возникнет, зависит от стартовых условий. Если резиновую пробку (с небольшой боковой конусностью) на старте вынимать из трубки с наружной стороны, то возникает турбулентный режим, а если с внутренней стороны в толще воды, то возникает ламинарный режим. Чтобы в последнем случае не возмущать воду рукой, резиновая пробка крепится к длинному (вертикальному) стержню посредством прямой гибко-упругой проволоки, пронизывающей пробку вдоль центральной оси.
рис. 9
Если просто смотреть на турбулентный поток, то он белый, шумный, беспокойный, брызгающий, но лампа-вспышка «остановила» этот внешний хаос, и открылась хрустальная прозрачность, плавность и какая-то внутренняя неуловимая сущность. Теперь поток касается стенок трубки, и расход воды увеличивается (!) по сравнению с ламинарным режимом.
Математическое моделирование турбулентности до сих пор остается интеллектуальным вызовом. Простые домашние эксперименты, наподобие тех, что представлены в статье, могут дать не только ответ на сотни собственных вопросов, но и послужить основой какой-либо новой концепции турбулентности. И вообще, гидро- или аэродинамику стоит воспринимать как интереснейшую область для творческого осмысления.
Снова вернемся к опытам с насадком Борда. Если взять не круглую трубку, а трубку (из жести) с прямоугольным 1:3 сечением, то соотношение сохраняется. А как будет выглядеть струя? Удастся ли вообще получить ламинарный режим? Или если случайные пузырьки воздуха оказались столь эффективны для визуализации картины течения, то, может быть, стоит пузырьки создавать искусственно? Например, можно по одной медицинской иголке подавать раствор соды NaHCO3 , а по соседней иголке – раствор лимонной кислоты, тогда в смеси двух потоков должны образовываться пузырьки углекислого газа CO2.
3. Экспериментальная часть
3.1 Материалы, необходимые для изготовления экспериментальной установки
1. Фанера толщиной 12 мм:
850x60 мм = 1 шт.
780x60 мм = 1 шт.
530x60 мм = 1 шт.
330x160 мм = 1 шт.
2. Электронные весы, точность измерения 1 гр.
3. Леска 0,3 мм, длина 2 м
4. Пластиковая прозрачная бутылка, объёмом 2 литра
5. Пластиковое колесико на площадке с осью
6. Пластиковая трубка с внутренним d=12 мм и длиной 20 мм.
Рис. 10
Рис. 11
Штатив был выполнен из фанерных полос, скрепленных между собой. В консольной части штатива, была закреплена леска, к которой подвешивалась бутылка с водой. В пробке бутылки было сделано отверстие для сообщения с атмосферой, в нижней части было сделано отверстие и вклеена пластиковая трубка внутренним диаметром 12 мм и длиной 20 мм. Так же внизу бутылки крепилась леска с грузом, перекинутая через блок (пластиковое колесико с осью). Длина лески отрегулирована таким образом, что груз на леске (металлическая пластина) за один край чуть-чуть приподнимался с площадки весов, стоящих под этим грузом. При этом любое изменение положения бутылки с водой изменяла давление груза на площадку весов в большую или меньшую сторону. Отверстие бутылки было сориентированно вдоль лески с грузом. При открывании пробки, струя воды начинала вытекать из бутылки, создавая реактивную силу, которая отталкивала бутылку. Натяжение лески поддерживающей груз на весах, увеличивалась, что подтверждалась уменьшением веса груза; максимально в первые моменты истечения жидкости. Постепенно вес пластины возвращался к начальному значению, так как высота столба жидкости уменьшалась, соответственно уменьшался напор воды и как следствие - реактивная сила.
|
Вес груза в покое |
42 |
41 |
45 |
|
Минимальный вес груза |
19 |
18 |
19 |
|
Разница в весе |
23 |
23 |
26 |
Вычислим среднее значение уменьшения веса пластины (23+23+26):3=24 гр.
Мы принимаем, что на установке леска является «нерастяжимой, невесомой нитью». Трение в блоке, через который проходит леска отсутствует, в этом случае Fp=0,26 Н.
Расчетная часть
Произведем теоретический расчет реактивной силы струи воды:
Диаметр отверстия 0,012 м
Высота столба жидкости 0,24 м
Атмосферное давление
g=10 м/с2
= =0,0085 м
По теоретическим расчетам, реактивная сила составляет: Fp=0,28 Н
При сравнении расчетов, полученных теоретически и экспериментальных значений силы Fpмы видим что они незначительно отличаются, это связано с тем, что существуют погрешности измерений, «не идеальностью» установки, т.е. леска растяжима, в блоке присутствует трение а так же неточностью весов.
Заключение
В ходе работы было рассмотрено истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке. Выяснилось, что диаметры струи и отверстия – это не тождественные, а принципиально разные понятия.
Сжатие струи обусловлено движением жидкости от различных направлений, в том числе от радиального движения по стенке к осевому движению струи.
В процессе истечения, потенциальная энергия жидкости превращается в кинетическую энергию вытекающей струи.
В повседневной жизни явления истечения жидкости из отверстия и насадках используется во многих сферах жизни. Так, небольшие калиброванные отверстия необходимы в тех устройствах, где требуется точная дозировка жидкости: жиклеры для подачи топлива в карбюраторах, распылители в форсунках дизельных двигателей и др. Работа гидравлических амортизаторов, предназначенных для гашения вертикальных колебаний, основана на перекачивании жидкости из одной полости амортизатора в другую через малые отверстия и каналы, создающие сопротивление перетеканию вязкой жидкости и поглощающие при этом энергию колебаний . Для выпуска жидкости из резервуара и водоемов применяют различные цилиндрические насадки. Внешние и внутренние цилиндрические насадки увеличивают расход по сравнению просто с отверстием. Для получения больших выходных скоростей и дальности полета струи жидкости применяют конически сходящиеся насадки в виде пожарных брандспойтов.
Литература
Р. Фейман, р. Лейтон, М.Сэндс. Феймановские лекции по физике. Выпуск 7. – М.: Мир 1966.
Т. Е. Фабер. Гидроаэродинамика . - М.: Постмаркет, 2001 .
Д. В. Сивухин. Общий курс физики. Том 1. – М.: Физматлит, 2016.Квант. Март, 2020 г.